A Survey on Ordered Ramsey Numbers
本文综述了有序拉姆齐数的最新研究进展，梳理其与组合数学其他领域的联系和著名猜想，并提出若干新的开放问题，突出有序与无序情形下行为的显著差异。
2025-02-04 cs.DM math.CO
Some results on small ordered and cyclic Ramsey numbers
FAMNIT, University of Primorska（普里莫斯卡大学 FAMNIT）；IAM, University of Primorska（普里莫斯卡大学 IAM）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Faculty of Electronic Engineering, University of Niš（尼什大学电子工程学院）；Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts（塞尔维亚科学与艺术学院数学研究所）；College of Integrative Studies, Abdullah Al Salem University（阿卜杜拉·萨勒姆大学综合研究学院）；Faculty of Sciences and Mathematics, University of Niš（尼什大学理学院）
本文研究了小有序和循环Ramsey数，通过Kissat求解器确定了多种图类的Ramsey数，并引入了循环Ramsey数概念，探讨了强化学习在Ramsey数下界计算中的应用。
2026-04-17 cs.DM math.CO
On Induced Online Ramsey Number of Paths, Cycles, and Trees
一个在线拉姆齐游戏是一个游戏之间的建设者和画家，轮流交替。给出了图$H$和图$G$的一个独立顶点的无限集合。在每一轮中，生成器绘制一条边，绘制器将其着色为红色或蓝色。如果在某个有限回合之后有图形的单色副本$H$，则生成器获胜，否则绘制器获胜。在线Ramsey数$\widetilde{r}(H)$是生成器可以在$G$中强制生成$H$单色副本的最小轮数。这是一个类比的大小拉姆齐数$\overline{r}(H)$定义为最小数，使存在图$G$与$\overline{r}(H)$的边缘，其中任何边缘二着色$G$包含一个单色副本的$H$。本文引入诱导在线Ramsey数的概念：诱导在线Ramsey数$\widetilde{r}_{ind}(H)$是Builder在$G$中可以强制生成$H$的诱导单色副本的最小轮数。我们证明了渐近紧界诱导在线Ramsey数的道路，圈和两个家庭的树。此外，我们还提供了一个类似于Conlon [On-line Ramsey Numbers，SIAM J. Discr. Math.2009]，表明对于$i\ge1$存在树$T_1,T_2,\dots$、$|T_i|<|T_{i+1}|$的无限族，使得\[ \lim_{i\to\infty} \frac{\widetilde{r}(T_i)}{\overline{r}(T_i)} = 0. \]
2019-01-11 cs.DM math.CO
Complementary Ramsey numbers and Ramsey graphs
本文考虑Ramsey数的一个变体，我们称之为互补Ramsey数$\bar{R}(m,t,s)$ .我们首先建立它们与Ramsey $(s,t)$ -图对的联系。利用小$s,t$的Ramsey $(s,t)$ -图的分类，我们确定了$(s,t)=(4,4)$和$(3,6)$的互补Ramsey数$\bar{R}(m,t,s)$.
2018-10-31 math.CO
New bounds for Ramsey numbers $R(K_k-e,K_l-e)$
令$R(H_1,H_2)$表示图$H_1, H_2$的Ramsey数，并令$J_k$为$K_k{-}e$。我们提出的算法，枚举所有循环和块循环拉姆齐图的不同类型的图，从而获得几个新的下界拉姆齐数，包括：$49 \leq R(K_3,J_{12})$，$36 \leq R(J_4,K_8)$，$43 \leq R(J_4,J_{10})$，$52 \leq R(K_4,J_8)$，$37 \leq R(J_5,J_6)$，$43 \leq R(J_5,K_6)$，$65\leq R(J_5,J_7)$。我们还使用了胶合策略，$R(J_5,J_6)$推导出一个新的上限。结合这两种策略，我们证明了两个Ramsey数的值：$R(J_5,J_6)=37$和$R(J_5,J_7)=65$。我们还证明了$R(J_5,J_7)$的64-顶点极值Ramsey图是唯一的。此外，我们的算法还允许建立新的下界和精确值的拉姆齐数涉及轮图和完全二部图，包括：$R(W_7,W_4) = 21$，$R(W_7,W_7) = 19$，$R(K_{3,4},K_{3,4}) = 25$，和$R(K_{3,5}, K_{3,5})=33$。
2021-07-09 cs.DM math.CO
Computation of small reflective and dihedral Ramsey numbers
Faculty of Electronic Engineering, University of Niš（尼什大学电子工程学院）；Faculty of Mathematics, Natural Sciences and Information Technologies, University of Primorska（普里莫尔斯卡大学数学、自然科学和信息技术学院）
研究小反射和二面体拉姆齐数的计算问题，应用基于SAT的方法，利用Kissat SAT求解器，针对特定图类得到小反射和二面体拉姆齐数的精确值与下界，并得出一般结果和提出猜想。
2026-07-14 cs.DM math.CO
New Lower Bound Formulas for Multicolored Ramsey Numbers
给出了多色Ramsey数的两个下界公式。这些公式改进了几个小的多色Ramsey数的界。
2001-07-27 math.CO
Ramsey and Gallai-Ramsey number for wheels
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。与图中的Ramsey数非常相似，Gallai-Ramsey数通常被认为很难计算。到目前为止，人们所知道的精确结果仍然很少。本文给出了轮的Gallai-Ramsey数的界以及轮在$5$顶点上的精确值.
2019-05-28 math.CO
Anti-Ramsey numbers for paths
我们确定路径的反拉姆齐数。这证实了Erdós，Simonovits和Sós在20世纪70年代提出的一个猜想。
2021-02-09 math.CO
Ramsey and Gallai-Ramsey numbers for two classes of unicyclic graphs
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。本文考虑了两类单圈图：有额外边的星形图和一端有三角形的路图。我们提供了这两类图的$2$ -色Ramsey数，并使用这些来获得一般的上界和下界的Gallai-Ramsey数。
2018-09-26 math.CO
Difference Ramsey Numbers and Issai Numbers
我们提出了一个递归算法寻找好的下界的经典Ramsey数。使用这个算法的概念，我们然后给出了一些结果的广义舒尔数，我们称之为Issai数。
1999-04-05 math.CO
Lower bounds for multicolor Ramsey numbers
我们给出了一个指数改善的下界对角线拉姆齐数的任何固定数量的颜色大于两个。
2020-11-25 math.CO
Ramsey numbers for bipartite graphs with small bandwidth
我们估计了具有小带宽和有界最大度的二部图的Ramsey数。特别是我们确定渐近的两个和三个颜色的拉姆齐数的网格图。更一般地，我们渐近地确定了具有小带宽和有界最大度的二部图的双色Ramsey数，以及在附加假设二部图是平衡的情况下，确定了这类图的三色Ramsey数.
2016-02-18 math.CO
Ramsey numbers for partially-ordered sets
通过考虑顶点具有偏序的图，我们给出了Ramsey数的一个改进.这是有序Ramsey数的自然扩张。我们形式化的情况下，我们可以使用任意家庭的偏序集，以形成主图的拉姆齐问题。我们探讨连接到研究图兰型问题的偏序集，特别是那些在布尔格。当图的偏序具有大的反链时，我们发现了布尔格上的Ramsey数与有序Ramsey数之间的一个很大的区别.
2016-11-28 math.CO
An improved lower bound for multicolor Ramsey numbers and the half-multiplicity Ramsey number problem
对于每对自然数$\ell$和$t$，Ramsey数问题要求一个没有大小为$t$的单色团的完全图的最大$\ell$ -染色。Conlon-Ferber和Wigderson最近的工作改进了这个问题长期存在的下界。我们做了进一步的改进，取代显式图出现在他们的建设由一个随机图。对于这种构造有用的图正是那些与没有大集团和几个大独立集的图上的Erdos问题相关的图。我们也对这个问题做了一些基本的观察。
2021-11-22 math.CO
Ordered Ramsey numbers of loose paths and matchings
对于顶点集为$\{1,\ldots,n\}$的$k$ -一致超图$G$，有序Ramsey数$\operatorname{OR}_t(G)$是最小整数$N$，使得顶点集$\{1,\ldots,N\}$上的完全$k$ -一致超图的边的每个$t$ -染色都包含$G$的单色副本，其顶点遵循指定的顺序.由于这种增加的顺序限制，有序的拉姆齐数可以比通常的图拉姆齐数大得多。我们确定了在单调序下松散路的有序Ramsey数作为高度小于最大度小于的塔而增长。我们还推广了Conlon，Fox，Lee和Sudakov [Ordered Ramsey numbers，arXiv：1410.5292]关于2-一致匹配的有序Ramsey数的定理，给出了在一定序下$k$ -一致匹配的有序Ramsey数的上界.
2014-12-04 math.CO
On the size-Ramsey number of hypergraphs
图$G$的大小拉姆齐数是图$H$中的最小边数，使得$H$的每个2-边染色产生$G$的单色副本。图的Size-Ramsey数已经研究了近40年，特别关注树和有界度图的情况。首次研究了$k$ -一致超图的大小Ramsey数。类似于图的情况下，我们考虑的大小拉姆齐数的团，道路，树，和有界度超图。我们的研究结果表明，超图的大小拉姆齐数是非常困难的，以确定和许多开放的问题仍然存在。
2015-03-21 math.CO
Two multicolor Ramsey numbers
证明了两个新的Ramsey数的界：$R(K_3,K_3,C_4,C_4)\geq 27$和$R_4(C_4)\leq 19$ .
2005-02-19 math.CO
Three colour bipartite Ramsey number of cycles and paths
二部图$H$的$k$ -色二部Ramsey数是使每一个$k$ -边色完全二部图$K_{n,n}$包含$H$的单色副本的最小整数$n$.对二部Ramsey数的研究始于40多年前，由Faudree和Schelp以及Gyárfás和Lehel独立地提出，他们确定了路的$2$ -色Ramsey数。本文渐近地确定了路和（偶）圈的$3$ -色二部Ramsey数.
2019-08-06 math.CO
Multicolour bipartite Ramsey number of paths
二部图$H$的$k$ -色二部Ramsey数是使每一个$k$ -边色完全二部图$K_{N,N}$包含$H$的单色副本的最小整数$N$.对二部拉姆齐数的研究是在40多年前由Faudree和Schelp以及Gyárfás和Lehel独立发起的，他们确定了路的$2$ -色二部拉姆齐数。最近的$3$ -颜色拉姆齐数的路径和（甚至）周期，基本上是确定的。本文改进了DeBiasio，Gyárfás，Krueger，Ruszinkó和Sárközy的结果，渐近地确定了路和圈的$4$ -色二部Ramsey数.我们还提供了新的上界的$k$ -颜色的二部Ramsey数的路径和周期是接近紧。
2019-09-17 math.CO
Ramsey and Gallai-Ramsey numbers for stars with extra independent edges
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。本文给出了由$t$阶星得到的图$G = S_t^{r}$的Gallai-Ramsey数的一般上、下界，该图是通过在该星的叶之间添加$r$额外独立边而得到的，从而使$S_t^{r}$中存在$r$三角形和$t - 2r - 1$悬垂边.当$t = 2$ .
2019-08-06 math.CO
Mixed, Multi-color, and Bipartite Ramsey Numbers Involving Trees of Small Diameter
在本文中，我们研究了直径为3的树（双星）与，分别是直径为2的树（星）、完全图和多个完全图。在双星与许多完全图的情况下，我们确定这个数字作为一个函数的拉姆齐数的完全图。我们还确定了双星的二分$k$色Ramsey数的增长顺序。
2014-04-06 math.CO
Recursive upper bounds for the vertex online Ramsey game with applications to hypergraph Ramsey numbers
Emory University（埃默里大学）
本文研究了超图Ramsey数的递归上界，提出改进的递推关系并应用于超图Ramsey数的上界优化。
2026-05-15 math.CO
Multicolor Ramsey numbers for Berge cycles
在本文中，对于小的一致性，我们确定了长度为$4$，$5$，$6$，$7$，$10$，或$11$的Berge圈的Ramsey数的数量级。我们的结果如下从一个更一般的设置，可以应用到其他超图拉姆齐问题。利用这一点，我们还确定了Berge- $K_{a,b}$为某些$a$，$b$，和均匀性的Ramsey数的数量级。
2021-09-28 math.CO
The Ramsey number of dense graphs
图H的Ramsey数r（H）是使得在K_n的边的任意二着色中存在H的单色副本的最小数n。研究了具有t个顶点和密度\r的图H的Ramsey数，证明了r（H）\leq 2^{c \sqrt{\r} \log（2/ \r）t}.我们还研究了一些相关的问题，如最大度为\r t的t阶图的Ramsey数和随机图在\mathcal{G}（t，\r）中的Ramsey数，即t阶图的每条边都以概率\r被独立选择.
2009-07-15 math.CO
List Ramsey numbers
本文介绍了经典Ramsey数的列表着色扩张。我们研究两个拉姆齐数相等时，以及一般情况下，它们之间可以相距多远。我们发现图序列，其中两个是平等的，他们是远离。对于$\ell$ -一致集团，我们证明了列表Ramsey数是有界的，而众所周知，Ramsey数是超指数的，因为一致性至少为$3$ .这与图的情况形成了很大的对比，在图的情况下，我们甚至不能决定集团的平等问题。
2020-08-12 math.CO
The Ramsey number for a triple of large cycles
我们发现的渐近值的Ramsey数的三倍长周期，其中的周期的长度很大，但可能有不同的奇偶性。
2007-09-01 math.CO
Regressive Ramsey numbers are Ackermannian
给出了回归Ramsey数是阿克曼数的一个初等证明.这一事实首先由Kanamori和McAyer用数理逻辑技术证明。
1998-05-15 math.CO
Projective planes and set multipartite Ramsey numbers for $C_4$ versus star
集合多部Ramsey数是在2004年引入的，它是著名的Ramsey数的推广。令$C_4$表示四个圈，令$K_{1,n}$表示$n+1$顶点上的星。本文研究了$C_4-K_{1,n}$集上多部Ramsey数的界.这些数字和经典的$C_4-K_{1,n}$ Ramsey数之间的关系进行了探讨。然后，几个近最优或精确类作为应用程序派生。作为主要目标，极性图从射影平面允许我们找到合适的子图，产生一些最佳的类。
2017-10-17 math.CO
Book Ramsey numbers I
一本大小为q的书是q个三角形的并集，它们共享一条公共边。当p<q/6-o（q）时，我们找到了大小为q的书与大小为p的书的精确拉姆齐数。
2004-05-07 math.CO
On the Ramsey Numbers of Trees with Small Diameter
我们估计Ramsey数r（T）= r（T，T）的各种树木T，获得一个精确的值r（T）的大量树木的直径为3。此外，我们证明了所有直径为3的树都是Ramsey不饱和的，正如Balister，Lehel和Schelp在他们的文章“Ramsey unsaturated and saturated graphs”中定义的那样。"
2016-04-21 math.CO
Ramsey-Theoretic Characterizations of Classically Non-Ramseyian Problems
本文提出更一般的经典拉姆齐数概念并用代数工具给出初步刻画，同时论证拉姆齐对象的结构可处理性，并说明格林-陶定理、孪生素数猜想、张益唐定理和波利尼亚克猜想均可视为关于拉姆齐数的陈述。
2025-02-06 math.CO
A New Upper Bound for Diagonal Ramsey Numbers
本文证明了对角双色Ramsey数的一个新的上界，证明了存在一个常数$C$，使得\[r(k+1, k+1) \leq k^{- C \frac{\log k}{\log \log k}} \binom{2k}{k}.\]
2006-07-30 math.CO
On the Ramsey numbers for a combination of paths and Jahangirs
对于给定的图$G$和$H,$，\emph{Ramsey number} $R(G,H)$是最小自然数$n$，使得对于每一个$n$阶的图$F$，下列条件成立：或者$F$包含$G$，或者$F$的补包含$H.$本文改进了Surahmat和Tomescu关于路的Ramsey数与Jahangirs的结果\cite{ST:06}.我们还确定了Ramsey数$R(\cup G,H)$，其中$G$是一条路，$H$是一个Jahangir图.
2007-11-16 math.CO
An improved lower bound on multicolor Ramsey numbers
Conlon和Ferber最近的一项突破使多色对角Ramsey数的下界得到了指数级的改进。在本文中，我们修改了它们的结构，并获得了三种以上颜色的改进边界。
2020-12-09 math.CO
Canonical Ramsey numbers for partite hypergraphs
Universität Hamburg（汉堡大学）；Universidad de Chile（智利大学）
本文证明对于任意固定一致性的部分超图，其典范拉姆齐数以单指数增长。
2026-07-03 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for graphs with five vertices of chromatic number four
给定一个图$H$和一个整数$k\ge1$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$被定义为最小整数$n$，使得$K_n$的每个$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$H$的单色副本。本文确定了具有5个色数为4的顶点的连通图的Gallai-Ramsey数。
2020-08-01 math.CO
The multipartite Ramsey number for the 3-path of length three
研究了长度为3的3-路和$n$颜色的Ramsey数，证明了对于某些显式常数$λ_0=1.97466\dots$，$R(P^3_3;n)\le λ_0 n+7\sqrt{n}$.
2017-06-27 math.CO
Constructive Methods in Gallai-Ramsey Theory for Hypergraphs
超图拉姆齐理论的最新进展主要集中在构造相应的拉姆齐数的下界。在本文中，我们考虑应用这些结果的Gallai着色。也就是说，我们专注于Ramsey数只考虑$t$ -着色的完全$r$ -一致超图，其中没有彩虹$K_{r+1}^{(r)}$ -子超图存在的超边。我们还提供了新的结构，这意味着许多$3$和$4$ -一致的拉姆齐数和$3$和$4$ -一致的Gallai-Ramsey数的改进的下界。
2019-02-04 math.CO
New Lower Bounds for Some Multicolored Ramsey Numbers
本文利用有限域，推广了Fan Chung的一个结果，给出了八个新的非平凡的下界.
1998-11-19 math.CO
A Ramsey-type theorem for the matching number regarding connected graphs
一个主要的研究路线是发现拉姆齐型定理，这是以下形式的结果：给定一个图参数$ρ$，每个图$G$与足够大的$ρ(G)$包含一个“结构良好的”诱导子图$H$与大$ρ(H)$。经典的拉姆齐定理处理的情况下，图的参数是考虑的顶点数;也有一个拉姆齐型定理关于连通图。给定图$G$，$G$的匹配数和导出匹配数分别是$G$的匹配和导出匹配的最大大小。本文给出了关于连通图的匹配数和诱导匹配数的Ramsey型定理。在此基础上，我们还得到了关于连通图的独立数的Ramsey型定理。
2018-08-14 math.CO
Ordered Ramsey numbers
给定一个顶点集为$\{1, 2,\ldots,n\}$的标号图$H$，序Ramsey数$r_<(H)$是使$\{1, 2, \ldots,N\}$上的完全图的边的每一个双染色都包含一个顶点出现顺序与$H$相同的$H$的副本的最小$N$.一个标号图$H$的有序Ramsey数至少是Ramsey数$r(H)$，并且对于完全图这两个数是一致的.然而，我们证明，即使是匹配有标号的顺序拉姆齐数是超多项式的顶点数。在其他结果中，我们还证明了一个一般的上界有序Ramsey数，这意味着存在一个常数$c$，使得$r_<(H) \leq r(H)^{c \log^2 n}$的任何标记图PDMATHAMM的顶点集$\{1,2, \dots, n\}$。
2016-04-25 math.CO
On the Ramsey numbers for paths and generalized Jahangir graphs
对于给定的图$G$和$H,$，\emph{Ramsey number} $R(G,H)$是最小自然数$n$，使得对于每一个$n$阶的图$F$，以下条件成立：或者$F$包含$G$，或者$F$的补图包含$H.$本文确定了广义与Jahangir图的路的Ramsey数.我们还导出了Ramsey数$R(tP_n,H)$，其中$H$是一个广义的Jahangir图$J_{s,m}$，其中$s\geq2$是偶数，$m\geq3$和$t\geq1$是任意整数.
2008-05-10 math.CO
Anti-Ramsey numbers of paths and cycles in hypergraphs
反Ramsey问题是由Erdens，Simonovits和Sós在20世纪70年代提出的。超图$\mathcal{H}$的反Ramsey数$ar(n,s, \mathcal{H})$是最小的整数$c$，使得在$n$顶点上的$s$ -均匀完全超图的边的任意着色中，都存在一个边具有不同颜色的$\mathcal{H}$的副本.本文对足够大的$n$确定了超图中线性路和松散路的反Ramsey数，并给出了Berge路的反Ramsey数的界。类似的精确的反拉姆齐数得到线性/松散的循环，并获得边界的Berge循环。我们的主要工具是路径扩张技术和超图Turán问题的稳定性结果。
2019-11-12 math.CO
On the anti-Ramsey numbers of linear forests
对于固定图$F$，$\textit{anti-Ramsey number}$，$AR(n,F)$是不包含$F$的彩虹副本的$K_n$的边着色中的最大颜色数。本文确定了充分大的$n$线性森林的反Ramsey数的精确值，并给出了极边有色图.这就回答了方、吉、鲁、孝的一个问题。
2020-03-17 math.CO
Turán and Ramsey numbers for $3$-uniform minimal paths of length $4$
我们确定了长度为4的3-一致极小路族\emph{for all $n$}的图兰数.我们还建立了二阶和三阶Turán数，并使用它们来计算最多四种颜色的相应Ramsey数。
2020-09-26 math.CO
Ramsey Numbers through the Lenses of Polynomial Ideals and Nullstellensätze
Department of Mathematics, University of California, Davis（加州大学戴维斯分校数学系）；Department of Mathematics, University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校数学系）
本文通过多项式理想和消元定理研究Ramsey数，构造消元证书并推广至其他Ramsey理论数
2025-12-22 math.CO
On size Ramsey numbers for a pair of cycles
本文证明了一对环的尺寸拉姆齐数存在线性上界，并研究了受限尺寸拉姆齐数。
2023-08-31 math.CO
A coding perspective on the lower bound for diagonal Ramsey numbers
我们给出了一个编码为基础的角度来看，结果Erdós，上的一个下界的对角线拉姆齐数。
2021-05-01 math.CO
Ramsey Numbers of Connected Clique Matchings
我们确定了连通团匹配的Ramsey数。也就是说，我们表明，如果$G$是一个$2$ -边着色完全图上的$(r^2 - r - 1)n - r + 1$顶点，那么有一个单色连通子图包含$n$不相交副本的$K_r$，这个数量的顶点不能减少。
2016-05-24 math.CO
An exact value for the Ramsey number $R(K_5, K_{5-e})$
Australian National University（澳大利亚国立大学）
本文确定了Ramsey数$R(K_5, K_{5-e})$的精确值为30。
2026-02-12 math.CO
Chromatic number is Ramsey distinguishing
一个图$G$是图$H$的Ramsey，如果图$G$的边的每一个着色都包含$H$的一个单色拷贝.两个图$H_1$和$H_2$是Ramsey等价的，如果任何图$G$对于$H_1$是Ramsey当且仅当它对于$H_2$是Ramsey.如果$s(H_1)\neq s(H_2)$暗示$H_1$和$H_2$不是Ramsey等价的，则图参数$s$是Ramsey可区分的。本文证明了色数是一个Ramsey判别参数。我们还扩展到多色的情况下，并使用类似的想法，找到另一个图形参数，这是拉姆齐区分。
2022-03-09 math.CO
Large chromatic number and Ramsey graphs
设Q（n，c）表示n-顶点图的色数为c时所能拥有的最小团大小。使用Ramsey图，我们给出了一个精确的，虽然隐含的，公式的情况下c至少是（n+3）/2。
2012-04-10 math.CO
The Cycle-Complete graph Ramsey numbers
当圈的阶数至少是完全图的阶数的4倍时，我们得到了圈与完全图的Ramsey数.这部分证实了Erdés、Faudree、Rousseau和Schelp在1978年提出的一个猜想。
2004-04-27 math.CO
