Sutured Khovanov homology distinguishes braids from other tangles
J. Elisenda Grigsby, Yi Ni
我们证明了乘积缝合流形D x I中平衡缠结的缝合Khovanov同调秩为1当且仅当该缠结与辫子是同位素的。
We show that the sutured Khovanov homology of a balanced tangle in the product sutured manifold D x I has rank 1 if and only if the tangle is isotopic to a braid.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Sutured annular Khovanov-Rozansky homology
我们引入了一个sl（n）的同调论的纽结和环加厚。为了做到这一点，我们首先给出一个新的视角缝合环形Khovanov同调，表明它的定义自然遵循从增强sl（2）泡沫和分类量子gl（m）的迹decategualization，通过经典的斜豪对偶。这个框架，然后扩展到给我们的环形sl（n）链接同调论，我们称之为缝合环形Khovanov-Rozansky同调。我们证明了环链的sl（n）缝合环Khovanov-Rozansky同调带有李代数sl（n）的作用，在n=2的情况下恢复了Grigsby-Licata-Wehrli的结果.
Sutured annular Khovanov homology and two periodic braids
令$\widetilde{K}$是一个双周期辫，令$K$是它的商。本文证明了从$\widetilde{K}$闭包的缝合环Khovanov同调的次顶绕数分级到$K$闭包的缝合环Khovanov同调的次顶卷绕数分级存在一个谱序列.
On Sutured Khovanov Homology and Axis-Preserving Mutations
本文建立了缝合环形Khovanov同调是不不变的辫子封闭下轴保持突变。这是由于缝合环形Khovanov同调和经典的Burau表示编织封闭之间的显式关系。
Sutured Khovanov homology, Hochschild homology, and the Ozsvath-Szabo spectral sequence
2001年，Khovanov和Seidel构造了A_m上左模的导出范畴上（m+1）-strand辫群的忠实作用.我们解释的霍赫希尔德同调的Khovanov-Seidel辫子不变的缝合Khovanov同调的环形辫子封闭的直接和项。
On Gradings in Khovanov homology and sutured Floer homology
我们讨论了与Khovanov同调和Heegaard弗洛尔同调相关的Ozsvath-Szabo谱序列的推广，重点关注自然Z（分别为，1/2 Z）分级。这两个分级具有简单的代表性理论（分别为，几何）的解释，我们也审查。
Annular Khovanov homology and knotted Schur-Weyl representations
设L为加厚环中的链环。我们证明了它的缝合环Khovanov同调带有李代数sl_2的外流代数的作用。当L是三球面中纽结K的m-框架n-索时，它的缝合环Khovanov同调带有对称群Sn的交换作用.当K是Seifert框架的unknot时，我们得到了一个与经典sl_2 Schur-Weyl对偶一致的“knotted”Schur-Weyl表示.
Khovanov homology, sutured Floer homology, and annular links
劳伦斯·罗伯茨扩展了奥兹瓦特-萨博的工作，他展示了如何将S ^3中固定的非结B的补链L与一个谱序列相关联，该谱序列从加厚环中链的霍瓦诺夫同调到L的双分支覆盖内B的原像的结弗洛尔同调。在前一篇文章中，我们将Ozsvath-Szabo的谱序列在不同的方向上进行了扩展，对S^3中的每个结点K和每个正整数n，构造了一个从Khovanov对约化的n色Jones多项式的分类到K的约化n-cable的缝合弗洛尔同调的谱序列。本文用Juhasz的缝合弗洛尔同调语言重新解释了Roberts的结果，并证明了我们的谱序列是Roberts的直接和项.
Instanton Floer homology for sutured manifolds with tangles
我们证明了一个切除定理的奇异瞬子弗洛尔同调，允许切除表面相交的奇异轨迹。这是Kronheimer和Mrowka的非奇异切除定理和Street的亏格零奇异切除定理的推广。利用奇异切除定理定义了带缠结的缝合流形的瞬子弗洛尔同调理论。作为应用，我们证明了环状Khovanov同调（1）可检测解链，（2）可检测平凡辫的闭包，（3）可区分辫闭包与其他链，还证明了环状瞬子弗洛尔同调可检测双曲曲面的Thurston范数.
Khovanov spectra for tangles
本文为 Khovanov 弧代数和缠绕不变量引入稳定同伦细化，提供拓扑不变量。
Khovanov complexes of rational tangles
我们表明，Khovanov复杂的理性纠缠有一个非常简单的代表，其骨干的非零态射形成一个之字形。此外，这个最小复形可以通过归纳算法快速计算。(For例如，我们手工计算$Kh(8_2)$。）我们发现这些极小复形的子代数的双分次可以用矩阵作用来描述，矩阵作用在变换基后就是$B_3$的约化Burau表示.
Chen-Khovanov spectra for tangles
本文指出 Khovanov 弧代数与缠结不变量的稳定同伦细化可诱导 Chen-Khovanov 和 Stroppel 平台代数及缠结不变量的细化，并研究其拓扑 Hochschild 同调。
Khovanov's homology for tangles and cobordisms
我们给出了一个新的介绍Khovanov同调论的纽结和链接，特别强调其扩展到缠结，配边和2节。在拓扑图的世界中停留的时间比其他文章中的时间长一点，所需的扩展基本上变成了同义反复。然后，一个适当的函子（一个“TQFT”）的简单应用，我们的图片采取他们熟悉的领域的复（分次）向量空间和普通的同调不变量。
Khovanov invariants via Fukaya categories: the tangle invariants agree
给定一个尖的4端缠结$T \subset D^3$，有两个Khovanov理论缠结不变量，来自[arXiv：1910.1458]的$\unicode{1044}_1(T)$和来自[arXiv：1808.06957]的$L_T$，它们是边界4-穿孔球面$(S^2,4\text{pt})=\partial (D^3, T)$上的Kazaya范畴上的扭曲复形。我们证明了这两个不变量是相同的。
Khovanov homology for alternating tangles
我们描述了缠结的Khovanov复形的“集中在对角线上”的条件，证明了单交叉缠结的Khovanov复形也满足这个条件，并证明了交替平面代数组合保持这个条件.因此，所有交错缠结的Khovanov复形都满足这个条件。最后，在链接的情况下，我们的条件是等价于一个众所周知的结果，该结果指出，Khovanov同源的非分裂交替链接支持两个对角线。因此，我们的条件是李定理对缠结情况的推广
Computing Khovanov homology of tangles
针对纽结霍瓦诺夫同调计算研究有限的问题，提出弧约化计算方法，推导简单纽结庞加莱多项式，并完成最多三个交叉点纽结的庞加莱多项式计算，推动相关应用。
Tangle Floer homology and cobordisms between tangles
我们介绍了一个推广的定向缠结，这仍然被称为缠结，使他们在一对一的缝合流形对应。我们定义cobordisms缝合流形（缠结）之间的cobordisms定向缠结。对于Z/2 Z上的任何交换代数A，我们定义A-缠结为A-缠结和A-协边作为态射所组成的范畴，其中A-缠结是具有缠结链A-染色和固定SpinC结构的平衡缠结. A-配边是具有相容A-着色和SpinC结构的仿射集的配边。对每个A-模M，我们构造了一个从A-缠结到A-模的函子$HF^M$，称为缠结弗洛尔同调函子，其中A-模表示A-模的范畴和它们之间的A-同态.此外，对于任意的A-缠结T，A-模$HF^M(T)$是作者早期工作中定义的缝合弗洛尔同调的推广.特别是，这个构造推广了Ozsvath和Szabo的4-流形不变量。此外，将上述机制应用于链间的装饰配边，得到了链弗洛尔同调上的函子映射。
On the Colored Jones Polynomial, Sutured Floer homology, and Knot Floer homology
设S^3中的K是一个纽结，\widetilde{K}表示K在其双分支覆盖中的原像，即K的双分支覆盖，K（K）。对任意整数n > 1，证明了从K的镜像的约化n色Jones多项式到（K（K），\widetilde{K}）（当n为奇数）和（S^3，K # K）（当n为偶数）的结弗洛尔同调的Khovanov分类的谱序列的存在性.我们的结果的一个推论是，Khovanov的分类减少n-有色琼斯多项式检测unknot每当n>1。
Khovanov homology of tangles: algorithm and computation
针对缠结的霍瓦诺夫同调计算未充分探索的问题，提出拓扑量子场论构造及综合计算方法，含详细步骤与代码实现指南，推动该领域研究与应用。
Persistent Khovanov homology of tangles
本文提出缠结的持续Khovanov同调框架，通过具体函子和平面代数构造，解决现有方法难以捕捉纽结与链环局部拓扑特征的问题，为曲线型数据拓扑分析提供理论基础与实践策略。
Open-closed TQFTs extend Khovanov homology from links to tangles
我们使用一种特殊的二维扩展拓扑量子场论（TQFTs），所谓的开闭TQFTs，以推广Khovanov同调从链接到任意缠结，不一定是均匀的。对于任意有向缠结的平面图，我们构造了一个同调在Reidemeister移动下不变的链复形.这个链复形的项是适当代数A的模，使得对于缠结的每个边界点都有A或A^op的一个作用。我们给出这样的代数A的例子，我们的缠结同源理论减少到链接同调论的Khovanov，李，和酒吧，纳坦，如果它是评价的链接。作为Cardy条件的结果，Khovanov的分次理论只能推广到缠结，如果基础场具有有限特征。在所有的情况下，其中代数A是强可分的，即巴-纳坦的理论在任何特征和李的理论的特征以外的2，我们还提供了所需的代数运算的组成定向缠结。正如Khovanov的链接理论可以从李或Bar-Natan的一个合适的谱序列恢复，我们提供了一个谱序列，以计算我们的Khovanov的理论从Bar-Natan或李的理论的纠缠扩展。因此，我们提供了一个缠结的同调论，是本地可计算的，仍然足够强大的恢复特征p Khovanov同源性的链接。
Khovanov homology for virtual tangles and applications
我们扩展了基于配边的虚拟琼斯多项式的虚拟缠结的分类。这种扩张是组合的，并且具有半局部性质。本文利用半局部性质证明了一个应用，即讨论了Lee关于虚同调的退化。
2-cabling and tangle operators in Khovanov theory
本研究定义了强可逆纽结2-配边诱导的4端缠结算子，推导其在相关代数与Fukaya范畴上的诱导算子，刻画其在帽平凡缠结的限制，并受协边不变量启发得到分布结果。
A categorification of the skein module of tangles
我们推广了我们以前关于曲面Kauffman括号skein模的分类的工作，将我们的同调推广到曲面Fx [0，1]上圆柱体中的缠结.我们在D^3中的0-缠结和1-缠结的同源性与Khovanov连接同源性和约化的Khovanov连接同源性一致（直到归一化）。我们证明了我们的同调的基本性质。特别是，短的确切序列的同调绞相关缠结和Kunneth公式的张量积缠结。
Relating tangle invariants for Khovanov homology and knot Floer homology
Ozsvath和Szabo最近构造了一个代数定义的缠结不变量，它采用DA双模的形式。该不变量有望用于计算纽结弗洛尔同调。作者有一个类似的结构，开放的辫子和他们的平闭包，可以被视为一个过滤DA双模在相同的代数。对于一个封闭的图，这个不变量计算结或链接的Khovanov同调。我们发现，忘记过滤，我们的DA双模同伦等价于一个合适的版本的Ozsvath- Szabo双模。除了给出Khovanov同调和结弗洛尔同调的缠结不变量之间的关系外，还给出了Ozsvath-Szabo双模的定向绞合正三角形，该双模可以迭代以给出全局构造的定向立方体的分辨率。
On a Heegaard Floer theory for tangles
本论文的目的是定义一个“局部”版本的Ozsváth和Szabó的Heegaard弗洛尔同调$\operatorname{\widehat{HFL}}$的链接在3-球，即一个Heegaard弗洛尔同调$\operatorname{\widehat{HFT}}$的缠结在封闭的3-球。在研究了$\operatorname{\widehat{HFT}}$及其去范畴化缠结不变量$\nabla_T^s$的基本性质后，利用Zarev的有边缝合弗洛尔同调，证明了一个胶合定理，赋予了$\operatorname{\widehat{HFT}}$一个附加胶合结构.对于四端缠结，我们将这种胶合结构重新包装成某些弯曲的复合物$\operatorname{CFT}^\partial$，我们称之为特殊模。这使我们能够轻松地恢复$\operatorname{\widehat{HFL}}$的有向和无向绞链关系。我们的特殊模具有一些对称性，这些对称性支持了关于$\operatorname{\widehat{HFL}}$的$δ$ -分次突变不变性的猜想.事实上，我们表明，任何两个链接相关的突变约$(2,-3)$ -椒盐卷饼缠结有相同的$δ$ -分级链接弗洛尔同调。在本文的最后一部分，我们研究了4-穿孔球面的全包裹复形范畴中的特殊模与扭曲复形之间的关系。本文附有两个Mathematica软件包。第一个是计算$\opera…
Khovanov homology: pro-tangles, derived colimits and spectral sequences
本文引入pro-缠绕作为经典缠绕的推广，通过单纯Yoneda嵌入构造Khovanov单纯预层，证明其可表示性，并利用布尔立方分解建立收敛到总Khovanov同调的代数谱序列，给出Reidemeister不变性的函子解释。
Khovanov homology via 1-tangle diagrams in the annulus
本文将S^3中有向链环的约化Khovanov同调实现为环面1-缠结图闭包所构造的较小链复形的同调，并以自然滤过得到收敛谱序列，为透镜空间链环的Khovanov型理论奠基。
A cobordism realizing crossing change on $\mathfrak{sl}_2$ tangle homology and a categorified Vassiliev skein relation
本文利用配边的方法讨论了Khovanov同调的0度交叉变换。也就是说，使用Bar-Natan的Khovanov同调的形式主义，我们引入了一个协边的总和，它在两个交叉变化图的复形上产生一个态射，我们称之为“亏格一态射”。“证明了态射在缠结图中的二重点的移动下是不变性的。因此，在Vassiliev理论的精神下，采用迭代映射锥，我们得到了扩展sl（2）tangle同调的奇异tangle的不变量;例子包括Lee同调，Bar-Natan同调，Naot的泛Khovanov同调以及任意系数的Khovanov同调。我们还验证了不变量满足范畴化的类似物的Vassiliev绞关系和FI关系。
Towards tangle calculus for Khovanov polynomials
我们提供了新的证据，缠结演算和“进化”适用于Khovanov多项式的家庭内的结图的长辫子。我们表明，跳跃在进化中，特有的超多项式，比原来预期的要少得多。也就是说，对于一个固定的伴结的环面和扭曲卫星，主要（最复杂的）贡献不跳，所有的跳跃都集中在环面和扭曲部分，这些跳跃是必要的，使Khovanov多项式为正。除此之外，这开辟了一种定义着色Khovanov多项式的无跳部分的方法，它与朴素的着色多项式只是“无穷小”不同。跳跃部分和平滑部分之间的分离涉及Rasmussen指数和一个新的结不变量的组合，我们称之为“厚度”。
A computation in Khovanov-Rozansky Homology
研究了一类纠缠及其复合的Khovanov-Rozansky不变量。令人惊讶的是，我们遇到的复杂简化为非常简单的复杂。此外，我们还讨论了计算Khovanov-Rozansky同调的“局部”算法，并将我们的结果与s1_3-同调的“泡沫”版本的结果进行了比较。
An sl(2) tangle homology and seamed cobordisms
我们构造了一个依赖于参数α的双分次（上）同调论，其分次欧拉示性数是量子sl（2）链不变量。我们一方面遵循Bar-Natan的缠结方法，另一方面遵循Khovanov的泡沫sl（3）理论。我们的理论在tangle cobordisms下是适当的函子，并且Khovanov sl（2）不变量的一个版本（或Lee对它的修改）对应于a=0（或a=1）。特别是，我们的建设自然地解决了Khovanov的sl（2）同调论的功能性的符号歧义。
The Fukaya category of the pillowcase, traceless character varieties, and Khovanov Cohomology
对于一个图的2链纠缠在3球，我们定义了一个扭曲的复杂的紧凑的拉格朗日在三角形信封的光滑轨迹的枕套类的Brackaya。我们表明，这个扭曲的复杂的是一个函子不变的同伦类的缠结，它提供了一个因式分解的巴尔-Natan的函子从缠结配边范畴的链复形。特别是，我们的不变量与一个特定的非紧拉格朗日相关的平凡纠缠的hom集自然同构的减少Khovanov链复形的封闭的纠缠。我们的构造来自于与缠结图的解析相关联的无迹SU（2）特征标簇的几何，并受到Kronheimer和Mrowka的奇异瞬子链接同调的启发。
Khovanov multicurves are linear
在以前的工作中，我们介绍了一个Khovanov多曲线不变$\operatorname{\widetilde{Kh}}$与康威缠结。应用同调镜像对称的思想，我们表明，$\operatorname{\widetilde{Kh}}$是受到强烈的地理限制：每个组件的不变量是线性的，在这个意义上说，它承认一个电梯的曲线同伦的一条直线在适当的平面覆盖的纠缠边界。
Khovanov homology is an unknot-detector
我们证明了一个纽结是unknot当且仅当它的约化Khovanov上同调秩为1。证明有两个步骤。首先，我们表明，有一个谱序列开始减少Khovanov上同调和邻接的结使用奇异瞬子定义的同调。然后，我们表明，后者的同源性是同构的瞬子弗洛尔同调的缝合结补：一个不变的，是已知的检测unknot。
Not even Khovanov homology
我们构造了一个超范畴，它可以看作是$A$型KLR代数（加厚）的斜版本。我们使用我们的超范畴构建同调不变量的缠结，并表明，对于每一个链接我们的不变量给出了一个链接同调论超范畴的琼斯多项式。我们的同源性是不同的，甚至Khovanov同源性，我们提出的证据支持的猜想，它是同构的奇Khovanov同源性。我们还表明，我们的超范畴的分圆子给出的不可约的有限维表示的水平2的$\mathfrak{gl}_n$的supercriterionations。
Khovanov homology and strong inversions
在三球纽结上的强反演与一类特殊的四端缠结之间存在一一对应的关系。我们计算减少Khovanov同源性，这样的缠结的所有强反转结多达9个交叉点，并讨论这些计算的背景下，早期的工作由第二作者。特别地，我们提供了[猜想29，arXiv：1311.1085]的一个反例，以及[猜想28，arXiv：1311.1085]的一个改进和额外的证据。
An unoriented skein relation via bordered-sutured Floer homology
我们证明了任意3-流形$Y$中一个缠结的补的加边缝合Floer不变量，在加边缝合结构满足极小条件的情况下，满足一个无向的skein正合三角形.这推广了Manolescu关于$S^3$中链路的定理。我们给出了一个理论证明，这一结果适应全纯多边形计数的边界缝合设置，也给出了一个组合描述的所有涉及的地图，并明确计算它们。然后我们证明，对于$Y = S^3$，我们的三角形与马诺列斯库的三角形完全重合。最后，我们提供了一个分级的版本，我们的结果，详细解释了所涉及的分级还原过程。
Instantons and Annular Khovanov Homology
本文引入了环瞬子弗洛尔同调，它是对加厚环中的链环定义的。它是环状Khovanov同调的类似物。构造了一个谱序列，它的第二页是环形Khovanov同调，并收敛于环形瞬子弗洛尔同调.作为这个谱序列的一个应用，我们证明了环状Khovanov同调检测在增厚的环带（假设所有的组件是空同源）的unlink。另一个应用是一个新的证明Grigsby和Ni的结果，缠结Khovanov同源区分辫子从其他缠结。
Planar algebras and the decategorification of bordered Khovanov homology
本文给出了环$\mathbb{Z}[q^{1/2},q^{-1/2}]$上单位的、球面的、非退化的$\ast$ -平面代数的一个简单的组合构造。这个平面代数在精神上类似于坦珀利-利布平面代数，但计算表明它们是不同的。该结构来自作者以前关于加边Khovanov同调的工作中A型和D型结构的非范畴化的组合学。特别是，建设说明如何胶合缠结发生在他的边界Khovanov同源性和它的差异，在Khovanov的缠结同源性，而不受任何额外的同调代数。它还提供了一个简单的框架，通过一个简单的过程表明，这些理论是不相关的，从而证实了最近的工作A。曼尼昂。此外，使用Khovanov的公约和琼斯多项式的状态和方法，我们得到新的不变量缠结在$Σ\times [-1,1]$其中$Σ$是一个紧凑的，平面的边界表面，和缠结相交于每个边界圆柱体的偶数点。这种构造自然地将Khovanov的方法推广到琼斯多项式。
Quantum topological Hochschild homology and annular Khovanov spectra
本文提出量子拓扑Hochschild同调（qTHH）并构建其稳定同调细化，用于量子环状Khovanov同调的构造，证明其与现有理论一致。
An Exceptional Collection For Khovanov Homology
Temperley-Lieb代数是SU（2）拓扑量子场论的一个基本组成部分。构造了对应于Temperley-Lieb代数中极小幂等元的链复形.我们的研究结果适用于确定Khovanov同源性的框架。我们的工作的结果包括半正交分解的Temperley-Lieb代数和Postnikov分解的所有Khovanov纠缠不变。
On mutation invariance in Khovanov homology
本文研究了Khovanov同调在Conway突变下的不变性，并通过同调镜像对称方法对相关不变量进行了分类。
Twisting bordered Khovanov homology
我们描述了一个加边版本的完全扭曲Khovanov同源。我们首先通过添加一个“垂直”型$D$结构来扭曲Roberts的$D$型结构，该结构推广了扭曲缠结同调中的垂直映射。我们的$D$类型结构的一个显著优点是，它是同伦等价于“生成树”生成器上支持的$D$类型结构。我们还描述了如何扭曲罗伯茨的$A$型结构的左缠结，这样的方式，配对我们的$A$型和$D$型结构将导致完全扭曲的Khovanov同源。
On the naturality of the spectral sequence from Khovanov homology to Heegaard Floer homology
奥兹瓦特和萨博以谱序列的形式，在S ^3中的一个链环L（的镜像）的约化霍瓦诺夫同调和它的双分支覆盖的希高弗洛尔同调之间建立了一个代数关系。这种关系后来被作者改写为霍瓦诺夫和赫高弗洛尔型同调论之间更广泛联系的一个具体实例，使用了赫高弗洛尔同调的一个版本，用于由尤哈斯开发的缝合流形。在目前的工作中，我们证明了自然的谱序列下某些基本的TQFT操作，使用推广的Juhasz的表面分解定理有效的分解表面几何不相交的嵌入框架链接。
Khovanov homology detects the trefoils
我们证明了Khovanov同源检测三叶草。我们的证明采用了一系列的思想在弗洛尔同调和接触几何。它使用打开的书;接触不变量，我们定义的瞬子Floer设置;旁路精确三角形缝合瞬子同源性，证明在这里;和Kronheimer和Mrowka的谱序列有关Khovanov同源性与奇异瞬子结同源性。作为一个副产品，我们还加强了Kronheimer和Mrowka的$SU(2)$表示的纽结群的结果。
Hochschild (co)homology for odd Khovanov arc algebras
本文将 Hochschild 同调与上同调推广至拟结合代数，并据此重新证明奇 Khovanov 同调的至多相差符号函子性，同时首次确立 Naisse–Putyra 缠结理论关于缠结配边的至多相差单位函子性。
Homotopy functoriality for Khovanov spectra
本文证明了链环与缠结的Khovanov谱在同伦和符号意义下具有函子性，解决了该谱结构的函子性问题。
Involutive Khovanov homology and equivariant knots II
本文将对合Khovanov同调框架推广到对合缠结，实现了相关同调与不变量的分治加速计算，并得到存在奇异切片圆盘对的强可逆纽结新例子。
Immersed curves in Khovanov homology
我们给出了一个几何解释的巴尔-纳坦的通用不变量的类缠结在3球的四个端部：我们与这样的4端缠结$T$多曲线$\widetilde{\operatorname{BN}}(T)$，即，收集浸没曲线与本地系统的4穿孔球。这些多重曲线是缠结不变量，直到底层曲线的同伦和局部系统的等价。他们满足胶合定理，恢复减少Bar-Natan同源的链接包装拉格朗日弗洛尔理论。此外，我们使用$\widetilde{\operatorname{BN}}(T)$定义两个浸入曲线不变量$\widetilde{\operatorname{Kh}}(T)$和$\operatorname{Kh}(T)$，满足类似的胶合定理，恢复约化和未约Khovanov同调的链接，分别。作为第一个应用程序，我们证明了Conway突变保持减少Bar-Natan同源域上的两个元素和Rasmussen的$s$不变的任何字段。作为第二个应用程序，我们给出了几何解释Rozansky的分类的双链琼斯-Wenzl投影仪。这使我们能够定义一个模块结构减少巴-纳坦和Khovanov同调的无限扭曲的结，推广的结果Benheddi。
A type A structure in Khovanov Homology
受加边弗洛尔同调的启发，我们描述了一个缠结的Khovanov同调上的A型结构，它补充了前面的D型结构. A型结构是一个特定代数上的微分模。这可以与D型结构配对以恢复Khovanov链复形。A型结构的同伦类型是一个缠结不变量，A型结构的同伦等价导致Khovanov链复形上的链同伦等价.我们可以用它来简化计算，并引入一个模块化的方法来计算霍瓦诺夫同调。这种方法增加了文献，即使在连接和的情况下，这里的技术将允许精确计算Khovanov同源性的结构，两个缠结来自summand。包括几个例子，特别是显示我们如何可以计算正确的扭转summands的Khovanov同源性的连接和。本文的附录给出了特征零环上这类结构的理论。
A $y$-ification of Khovanov homology
本文通过构造Khovanov同调的$y$-化及其等变版本，定义了$\mathfrak{sl}_2$作用，并证明其与HOMFLY-PT同调到Khovanov同调的谱序列相容，从而区分具有相同同调的结对。
Symmetries of colored Khovanov-Rozansky homology
该研究在带色$\frak{gl}_N$-Khovanov-Rozansky同调上构造Witt代数正半部分的作用，证明其与带色链环同调的函子性相容，借助Bar-Natan的范畴框架在缠结层面完成相关命题的证明。
Odd Khovanov homology and higher representation theory
本文引入$\boldsymbol{\frak{gl}_2}$-泡沫的超类比物，定义定向缠结的不变量并将其与奇霍万诺夫同调关联，通过构造2阶$q$-舒尔代数的超范畴化及超2-表示，给出奇霍万诺夫同调的表示论构造，还定义了超2-范畴中链复形的张量积。
A type D structure in Khovanov homology
本文第一部分讨论了整系数双阶Khovanov同调的胶合理论。这一部分将D型结构与适当嵌入半空间中的缠结联系起来，证明了D型结构的同伦类是缠结的同伦类的不变量。该结构是仿照边界Heegaard-弗洛尔同调，但只使用组合/图解方法
Cobordisms with chronologies and a generalisation of the Khovanov complex
琼斯多项式有两种形式：1999年由M.Khovanov发现的“偶”和2007年由P.Ozsvath，J.Rasmussen和Z.Szabo发现的“奇”。第一个可以在配边范畴中完全构造（严格地说：在该范畴的加法闭包中），在那里我们可以为给定的tangle构造一个复形，并证明它在Reidemeister移动下的不变性。偶环同调由从配边到模的monoidal函子给出。然而，奇数连接同源性不能以这种方式获得。在本文中，我填补了这一空白。我丰富cobordisms与年表（预测到间隔是莫尔斯可分离的功能），并表明它们形成一个类别。给定一个缠结图，我取其分辨率的立方体，并在这个新类别中构建一个复合体。我证明了这个复合体是一个纠缠不变量，并应用适当的函子，我可以恢复偶和奇链接同调论。
Heegaard Floer multicurves of double tangles
本文给出了从纽结补集Heegaard Floer多重曲线计算双缠结不变量的公式，并借此发现纽结Floer同调与Khovanov同调在卫星运算下行为迥异，同时给出L空间纽结的新刻画及首个Floer同调为薄的卫星纽结。
Bordered Floer homology and incompressible surfaces
我们发现，边界Heegaard弗洛尔同源检测不可压缩曲面和边界缝合弗洛尔同调检测部分边界平行缠结和桥梁，在自然的方式。例如，存在双模λ，使得CFD（Y）和λ的张量积与CFD（Y）是Hom正交的当且仅当Y的边界允许本质压缩圆盘。在这个过程中，我们锐化了Ni的一个非零结果。我们还扩展了Lipshitz-Ozsváth-Thurston的“因式分解”算法计算HF-帽计算bordered-sutured弗洛尔同调，使这两个结果检测不可压缩实用。特别是，这使得Zarev的纠缠不变明显组合。
A minimality property for knots without Khovanov 2-torsion
针对 Shumakovitch 关于非平凡纽结 Khovanov 同调 2-挠的猜想，本文证明无 2-挠纽结在真有理缠结替换下约化 Khovanov 同调秩的极小性，并推得解结数 1 的纽结必有 2-挠。
Fast Khovanov Homology Computations
我们介绍了一个局部算法的Khovanov同调计算-也就是说，我们解释了它是如何可能的"取消"项在Khovanov复杂的相关（"本地"）缠结，从而取消了许多相关的"全球"条款在一个swoosh早期。这导致了显着提高计算效率。因此，我们的程序可以快速计算某些Khovanov同调群，否则将需要几个世纪来评估。
An Introduction to Khovanov Homology
本文介绍了霍瓦诺夫同调，从考夫曼括号状态求和开始，强调Bar-Natan冠层和缠结配边方法。本文讨论了Khovanov同调的一种简化方法和一个量子模型，使得从Khovanov同调产生Jones多项式的分次欧拉示性数线成为与Khovanov同调相关的希尔伯特空间上的一个酉变换的迹.
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