Littlewood and Duffin--Schaeffer-type problems in diophantine approximation
该研究在丢番图逼近领域，建立了Gallagher定理的完全非齐次版本、丢番图纤维细化结果及Liouville纤维的尖锐阈值，还证明了一类非单调逼近函数下Duffin–Schaeffer猜想的非齐次版本。
2023-08-24 math.NT
Attainable measures for certain types of p-adic Duffin--Schaeffer sets
本文通过确定p进Diophantine逼近集合族的Haar测度值谱，证明了近期相关猜想不成立。
2023-10-31 math.NT
A Mass Transference Principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures
介绍并讨论了度量数论中Duffin-Schaeffer猜想的Hausdorff测度形式.一般猜想是建立模原猜想。关键的结果是一个质量转移原理，它允许我们转移勒贝格测度理论陈述的lim超子集的R^k的豪斯多夫测量理论陈述。鉴于此，Lebesgue理论的lim supsets的基础一般Hausdorff理论。这是相当令人惊讶的，因为后者的理论被认为是一个微妙的改进前。
2007-03-13 math.NT
The Duffin-Schaeffer type conjectures in various local fields
本文发现了Duffin-Schaeffer猜想中的一个新现象，即$λ(\cap_{m=1}^{\infty}\cup_{n=m}^{\infty}{\mathcal E}_n)=1$当且仅当$\sum_nλ({\mathcal E}_n)=\infty$，其中$λ$表示$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$上的Lebesgue测度，\[ {\mathcal E}_n={\mathcal E}_n(ψ)=\bigcup_{m=1 \atop (m,n)=1}^n\big(\frac{m-ψ(n)}{n},\frac{m+ψ(n)}{n}\big), \] $ψ$是任意非负数论函数.本文不研究$\cap_{m=1}^{\infty}\cup_{n=m}^{\infty}{\mathcal E}_n$，而是引入了一个更基本的对象$\cup_{n=1}^{\infty}{\mathcal E}_n$，并猜想存在一个普适常数$C>0$，使得\[λ(\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathcal E}_n)\geq C\min\{\sum_{n=1}^{\infty}λ({\mathcal E}_n),1\}.\].证明了这个猜想等价于Duffin-Schaeffer猜想.在$p$-adic数和形式Laurent级数领域也发现了类似的现象.作为一个副产品，我们有条件地回…
2013-12-30 math.NT
Almost-Sharp Quantitative Duffin-Schaeffer without GCD Graphs
本文扩展了简化论证，结合既有工作，给出了 Duffin-Schaeffer 猜想几乎锐利定量界的新证明，完全避开 GCD 图技术。
2024-09-18 math.NT
The Duffin--Schaeffer conjecture for systems of linear forms
本文将Duffin-Schaeffer猜想推广到以$n$为变量的$m$线性型系统的设定.也就是说，我们建立了一个标准，以确定是否，对于一个给定的近似率，几乎所有或几乎没有$n$ -由- $m$系统的线性型是近似在该速率使用整数向量满足自然互质条件。当$m=n=1$，这就是经典的1941年Duffin-Schaeffer猜想，在2020年被Koukoulopoulos和Maynard证明。Pollington和Vaughan在1990年证明了高维版本，其中$m>1$和$n=1$。我们在这里证明的一般陈述是由Beresnevich，Bernik，Dodson和Velani在2009年提出的。对于没有互质要求的近似，他们也证明了卡特林猜想的推广版本，并且在2010年Beresnevich和Velani证明了$m>1$的情况。卡特林的经典猜想，其中$m=n=1$，遵循经典的Duffin-Schaeffer猜想。广义版本的其余情况，其中$m=1$和$n>1$，遵循我们的主要结果。最后，通过质量转移原理，我们的主要结果暗示了它们的Hausdorff测度类似物，Beresnevich \emph{et al}（2009）也证明了这一点。
2023-01-24 math.NT
The Duffin-Schaeffer Conjecture with extra divergence
给定一个非负函数$ψ: \N \to \R $，令$W(ψ)$表示实数集$x$，使得对于无穷多个约化有理数$a/n (n>0) $，$|nx -a| < ψ(n) $。我们的主要结果的一个推论是：$W(ψ)$是完全勒贝格测度的，如果存在一个$ε> 0 $使得$$ \textstyle \sum_{n\in\N}(\frac{ψ(n)}{n})^{1+ε}φ(n)=\infty . $$ Duffin-Schaeffer猜想是与$ε= 0$对应的命题，并且是度量数论中一个未解决的基本问题.另一个结果是，如果上述与$ε= 0$的和发散，则$W(ψ)$具有全豪斯多夫维数;即Duffin-Schaeffer猜想的维数模拟为真。
2009-03-20 math.NT
A note on the Duffin-Schaeffer conjecture
给定一个实数序列$\{ψ(n)\}_{n\in\mathbb{N}}$与$0\leq ψ(n)<1$，令$W(ψ)$表示$x\in[0,1]$的集合，其中对于无穷多个互质对$(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{Z}$，$|xn-m|<ψ(n)$。本文的目的是证明如果存在一个$ε>0$使得$\sum_{n\in\mathbb{N}}ψ(n)^{1+ε}\cdot\frac{φ(n)}{n}=\infty,$，则$W(ψ)$的勒贝格测度等于1。
2013-04-01 math.NT
Proving the Duffin-Schaeffer conjecture without GCD graphs
University of York（约克大学）；Graz University of Technology（格拉茨工业大学）
该研究给出度量丢番图逼近中达芬 - 谢弗猜想新证明，受前人思路启发，简化强化技术，避免处理最大公因数图及其‘质量’，还改进丢番图逼近度量定量理论的误差项。
2026-07-13 math.NT
Counterexamples to the inhomogeneous Duffin-Schaeffer conjecture for a residual set of shifts
Shantou University（汕头大学）；Wuhan University（武汉大学）
本文构造反例证明非齐次Duffin-Schaeffer猜想对所有非零有理平移均失败，并进一步证明失败平移集在实数集中是残差的。
2026-10-12 math.NT
The Duffin-Schaeffer conjecture with extra divergence
Duffin-Schaeffer猜想是度量数论中一个基本的未解决的问题。它断言，对于几乎所有实数$x$的每个非负函数$ψ:~\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$，不等式$|nx - a| < ψ(n)$有无穷多个互质解$(a,n)$，只要级数$\sum_{n=1}^\infty ψ(n) φ(n) /n$是发散的。本文在“额外发散”假设下证明了该猜想成立，即对某些$\varepsilon > 0$，当用$ψ(n) / (\log n)^\varepsilon$代替$ψ(n)$时，级数的发散仍然成立.这改进了Beresnevich，Harman，Haynes和Velani的结果，并解决了Haynes，Pollington和Velani提出的问题。
2019-11-22 math.NT
Extension of a theorem of Duffin and Schaeffer
设$r_1,\ldots,r_s:\mathbb{Z}_{n\geqslant 0}\to\mathbb{C}$是线性递归序列，其相关特征值在$π\mathbb{Q}$中具有自变量，并设$F(z):=\sum_{n\geqslant 0}f(n)z^n$，其中对于每个$n\geqslant 0$，$f(n)\in\{r_1(n),\ldots,$ $r_s(n)\}$。证明了如果$F(z)$在其收敛圆的一个扇区内有界，则它是一个有理函数.这推广了Tang和Wang最近的一个结果，他们在序列$f(n)$取100多个多项式的值时给出了类似的结果。
2017-09-04 math.NT
Decoupling theorems for the Duffin-Schaeffer problem
Duffin-Schaeffer猜想是度量数论中的一个中心开放问题。设$ψ~\mathbb{N} \mapsto \mathbb{R}$是非负函数，并设置$\mathcal{E}_n :=\bigcup \left( \frac{a - ψ(n)}{n},\frac{a+ψ(n)}{n} \right)$，其中并集被取为与$n$互质的所有$a \in \{1, \dots, n\}$。假设$\mathcal{E}_n$的测度序列是发散的，则猜想断言几乎所有的$x \in [0,1]$都包含在无穷多个集合$\mathcal{E}_n$中。该猜想的核心是控制成对重叠$\mathcal{E}_m \cap \mathcal{E}_n$的测量的问题，依赖于$m, n, ψ(m)$和$ψ(n)$。在本文中，我们证明了这些重叠的措施，这表明，在全球范围内的依赖程度的集合系统$(\mathcal{E}_n)_{n \geq 1}$是显着小于假设的上界。作为应用，我们得到了Duffin-Schaeffer猜想的显著改进的“额外发散”和“慢发散”变体。
2019-07-10 math.NT
On the Duffin-Schaeffer conjecture
设$ψ:\mathbb{N}\to\mathbb{R}_{\ge0}$是从正整数到非负实数的任意函数。考虑实数$α$的集合$\mathcal{A}$，其中有无穷多个约化分数$a/q$使得$|α-a/q|\le ψ(q)/q$。如果是$\sum_{q=1}^\infty ψ(q)ϕ(q)/q=\infty$，则证明了$\mathcal{A}$具有完全的勒贝格测度.这回答了Duffin和Schaeffer的一个问题。作为推论，我们还建立了Catlin关于不等式$|α- a/q|\le ψ(q)/q$的非约化解的一个猜想，给出了Khinchin定理的一个改进.
2020-05-02 math.CO math.NT
Quantitative results on the $k$-dimensional Duffin-Schaeffer conjecture
Norwegian University of Science and Technology（挪威科技大学）
本文针对k维杜菲-施莱弗猜想，给出了关于其定量结果的几乎精确估计，通过引入Ψ_k(Q)函数并结合误差项分析，得出了S_k(α,Q)的渐进行为。
2026-02-23 math.NT
Khintchine's Theorem with random fractions
我们证明版本的欣钦定理（1924年）的近似由有理数的分子在于随机选择的整数集，我们探讨在何种程度上的单调性假设可以删除。粗略地说，我们表明，如果每个分母的可用分数的数量增长太快，那么单调性假设不能被删除。在这个随机设置中有一些问题可以被看作是Duffin-Schaeffer猜想（1941）的同源物，并且可能更容易理解。我们指出，Duffin-Schaeffer猜想的直接随机模拟，就像Duffin-Schaeffer猜想本身一样，蕴涵着Catlin猜想（1976）。达芬-谢弗猜想和它的随机版本是否相互暗示并不明显，卡特林猜想是否暗示它们中的任何一个也不清楚。卡特林是否暗示了达芬-谢弗的问题几十年来一直悬而未决。
2018-12-17 math.NT math.PR
An almost sharp quantitative version of the Duffin-Schaeffer conjecture
本文证明了Duffin-Schaeffer猜想的一个几乎尖锐的定量版本，在级数发散条件下，给出了几乎处处成立的计数函数与期望值之间的误差项估计，改进了已有结果。
2024-09-20 math.NT
Duffin--Schaeffer examples, real residue systems, and Bohr-set primes
Wesleyan University（卫斯理安大学）
本文推广了杜芬-施莱弗尔定理，研究了实余数系统和博赫集中的素数分布，证明了圆周旋转在特定条件下的等分布性。
2026-03-04 math.DS math.NT
The Duffin-Schaeffer Conjecture for multiplicative Diophantine approximation
本文证明了乘法丢番图逼近的Duffin-Schaeffer型结果，去除了单调性假设，给出了无穷多个逼近成立的充要条件，解决了Beresnevich、Haynes和Velani的猜想。
2024-03-17 math.NT
Fourier Dimension in Inhomogeneous Duffin--Schaeffer Conjecture
本文研究非均匀杜菲-施莱费尔猜想中集合W_Q*（ψ，θ）的傅里叶维度，恢复了经典定理并完善了非均匀近似集的理论。
2026-04-16 math.NT
Borel-Cantelli, zero-one laws and inhomogeneous Duffin-Schaeffer
本文建立了适用于任意概率空间且保证 limsup 集概率为 1 的 Borel-Cantelli 引理新版本，并据此解决了非齐次 Duffin-Schaeffer 猜想等问题，提出了动力系统中的新刻画与引理。
2024-06-27 math.DS math.NT math.PR
The Duffin-Schaeffer conjecture with a moving target
本文证明了维数m≥3时带移动目标的非齐次Duffin-Schaeffer猜想，将Pollington-Vaughan结果推广到非齐次及目标随q变化的情形，并构造反例说明一维移动目标情形不成立。
2024-07-07 math.DS math.NT
The metric theory of p-adic approximation
度量丢番图逼近在其经典形式是研究如何以及几乎所有的实数可以近似的有理数。有一个很长的历史的结果，给这个问题的部分答案，但仍然有问题仍然是未知的。Duffin-Schaeffer猜想试图完整地回答所有这些问题，它经受住了50多年的数学研究。本文建立了Duffin-Schaeffer猜想与它的p-adic类比之间的强联系。我们的主要定理是转移原理，它允许我们在这两个问题之间来回。我们证明了如果概率论的方差方法可以用来解决p进的Duffin-Schaeffer猜想，即使是一个素数p，那么几乎整个经典的Duffin-Schaeffer猜想将遵循。相反，如果方差方法可以用来证明经典猜想，那么p-adic猜想对所有素数都成立。此外，我们能够无条件地和完全建立更高的维模拟这个猜想中，我们允许同时近似在任何有限数量和组合的真正和p-adic领域，只要涉及的领域的总数是大于一。最后，利用Hausdorff测度的质量转移原理，我们将所有的结果推广到与任意维数函数相关的Haar测度所取代的相应类似物上.
2009-07-01 math.NT math.PR
Counterexamples, covering systems, and zero-one laws for inhomogeneous approximation
我们发展了Duffin-Schaeffer猜想（1941）的一些关键方面的非齐次对应物。具体来说，我们构造反例的一些候选人的sans-monotonicity版本的Szusz的非齐次（1958年）版本的欣钦定理（1924年）。例如，给定任何实数序列{y_i}，我们建立一个非负实数psi（n）的发散级数，使得对于{y_i}中的任何y，几乎没有实数是具有非齐次参数y的非齐次psi-逼近的。此外，给定任何第二序列{z_i}不与{1，y_i}的有理跨度相交，并假设Erdos的覆盖系统猜想（1950）的动力学版本，我们可以确保几乎每个实数都是非齐次psi-可逼近的，其中任何非齐次参数z都在{z_i}中。接下来，我们证明了一个积极的结果，是接近最优的限制，我们的反例施加。这就引出了在非齐次背景下讨论Duffin-Schaeffer猜想和Duffin-Schaeffer定理（1941）的自然类似物。作为迈向这些的一步，我们证明版本的加拉格尔的零一律（1961年）的非齐次近似约分数。
2016-09-21 math.DS math.NT
Rational approximations of irrational numbers
给定量$Δ_1,Δ_2,\dots\geqslant 0$，丢番图逼近中的一个基本问题是理解哪些无理数$x$具有无穷多个约化的有理逼近$a/q$，使得$|x-a/q|<Δ_q$。根据对$Δ_q$和$x$的选择，这个问题可能很难回答。然而，达芬和谢弗在1941年approached，如果我们假设一个“度量”的观点，这个问题是由一个简单的零-一法律：书面$φ$欧拉的totient功能，我们要么有$\sum_{q=1}^\infty φ(q)Δ_q=\infty$，然后几乎所有的无理数（在勒贝格意义上）是可逼近的，或$\sum_{q=1}^\inftyφ(q)Δ_q<\infty$，几乎没有无理数是可逼近的。我们提出的历史Duffin-Schaeffer猜想和背后的主要思想最近的工作Koukoulopoulos-梅纳德解决它。
2022-11-21 math.CO math.NT
Classical metric Diophantine approximation revisited
利用测度论的概念来研究数论集合的大小的思想起源于E。Borel已经使用了近一个世纪。它导致了发展理论的度量丢番图逼近，一个分支的数论，其中借鉴了丰富和广泛的各种数学。我们讨论了有关这一经典理论的一些最新进展和公开问题。特别是，概括的Duffin-Schaeffer和Catlin结构的制定和探讨。
2008-03-16 math.NT
On the metric theory of approximations by reduced fractions: a quantitative Koukoulopoulos-Maynard theorem
设$ψ: \mathbb{N} \to [0,1/2]$已知。最近由Koukoulopoulos和Maynard解决的Duffin-Schaeffer猜想断言，对于几乎所有的实数$α$，只要级数$\sum_{q=1}^\infty φ(q) ψ(q) / q$是发散的，不等式$|α- p/q| < ψ(q)/q$有无穷多个互质解$(p,q)$。在本文中，我们建立了一个定量的版本，这一结果表明，几乎所有的$α$互质的解决方案$(p,q)$的数量，受到$q \leq Q$，是渐近顺序$\sum_{q=1}^Q 2 φ(q) ψ(q) / q$。证明依赖于Koukoulopoulos和Maynard发明的GCD图的方法，以及来自筛子理论的精确重叠估计，以及对“整数解剖”的数论输入。关键的现象是，系统的近似集表现出“渐近独立平均”的总质量的集合系统的增加。
2022-02-02 math.NT
Khintchine's Theorem with rationals coming from neighborhoods in different places
Duffin-Schaeffer猜想回答了一个问题，即如何用简化形式的有理数近似无理数（一个强加的条件），其中近似的精度取决于有理数。它可以被看作是辛钦定理的一个类似物，只允许有理数以简化形式存在。其他条件，如分子或分母的素数，一个平方自由的整数，或一个元素的一个特定的等差数列，等等，也施加和类似的欣钦定理的研究。我们证明版本的欣钦定理的有理数来源于一个球在一些完成的$\mathbb{Q}$（即欧几里德或$p$ -进），而近似进行了不同的第二次完成。最后，利用Hausdorff测度的质量转移原理，我们能够将我们的结果推广到用Hausdorff测度代替Haar测度的相应类似物，从而建立了Jarnik定理的类似物。
2021-03-31 math.NT
A note on bounded exponential sums
设$A\subset\mathbb{N}$、$α\in(0,1)$，对于$x\in\mathbb{R}$，设$e(x):=e^{2πix}$。最近，Lambert A'Campo提出了以下问题：是否存在一个无限的非上有限集合$A\subset\mathbb{N}$，使得对于所有的$α\in(0,1)$，和$S_{A}(α,N)$有界模$N\to +\infty$？在本说明中，我们证明了这样的集合不存在。为此，我们使用Duffin和Schaeffer关于复幂级数的定理。我们推广我们的结果证明，如果总和$S_{A}(α,N)$是有界的模上的任意小的区间和集合的有理点，那么集合$A$要么是有限的或上有限的。另一方面，我们证明了存在无限个非上有限集$A$，使得$|S_{A}(α,N)|$对所有$α\in E\subset (0,1)$都有界，其中$E$具有全Hausdorff维数且$\mathbb{Q}\cap (0,1)\subset E$。
2019-12-18 math.NT
Variants of Khintchine's theorem in metric Diophantine approximation
Duffin-Schaeffer猜想是度量数论中一个基本的未解决的问题，最近在额外发散的假设下得到了一些新的结果。给定一个非负函数$ψ: \mathbb{N}\to\mathbb{R}$，我们用$W(ψ)$表示所有$x\in\mathbb{R}$的集合，使得对于无穷多个$a,n$，$|nx-a|<ψ(n)$。类似地，如果我们另外要求$a,n$互质，则表示为$W'(ψ)$。Aistleitner等人[1]证明了如果存在$\varepsilon>0$使得$\sum_{n=2}^\inftyψ(n)φ(n)/(n(\log n)^\varepsilon)=\infty$，则PDMATHAMR是完全Lebesgue测度.这一结果似乎是所用方法所能预期的最佳结果。在额外发散$\sum_{n=2}^\inftyψ(n)/(\log n)^\varepsilon=\infty$的假设下，我们证明了$W(ψ)$是满测度的.这也可以从文[1]的结果中推出，但我们认为我们的证明是独立的，因为它的方法与文[1]中的完全不同。作为我们的方法的进一步应用，我们证明了欣钦定理的一个变体是真的，没有单调性，受一个额外的条件的集合上的因子的$ψ$的支持。
2019-06-11 math.NT
Measure theoretic laws for lim sup sets
给定一个紧致度量空间（X，d），它具有一个非原子的概率测度m和一个实的正减函数p，我们考虑X的一类“自然"limsup子集La（p）.度量丢番图逼近理论中的经典limsup集“很好地逼近”的数字属于这一类。我们表明，m（La（p））>0下的“全球普遍存在”的假设和一定的m-体积和的分歧。事实上，在“局部普遍性”假设下，我们证明了La（p）具有完全测度;即m（La（p））=1。这是数论中经典欣钦-格罗谢夫定理发散部分的类似物。此外，如果“本地无处不在”的假设是满意的，一定的f-体积和发散，然后我们能够证明，Hausdorff f-测量La（p）是无限的。一个简单的后果，这是一个下界的豪斯多夫维数的La（p）和各种结果有关的尺寸和措施有关的“确切顺序”集。从本质上讲，“局部普遍性”的概念出乎意料地统一了La（p）相对于自然测度m和一般Hausdorff测度的“发散”型结果。一般框架的应用包括那些从数论，Kleinian群和有理映射。即使是经典的limsup集的“好逼近”的数字，该框架加强了经典的Hausdorff措施的结果Jarnik和开放的Duffin-Schaeffer猜想Hausdorff措施。
2004-12-17 math.DS math.NT
An analogue of Khintchine's theorem for self-conformal sets
Khintchine定理是度量数论中的一个经典结果，它将某些limsup集的勒贝格测度与自然发生的体积和的收敛/发散联系起来。在本文中，我们问一个类似的结果是否适用于迭代函数系统（IFS）。我们说IFS是近似正则的，如果我们观察到Khintchine型行为，即，如果使用IFS定义的某些limsup集的大小由自然发生的和的收敛/发散确定。证明了一个IFS是逼近正则的，如果它由共形映射组成，并且满足开集条件。我们引入的发散条件包含了IFS中存在的不均匀性。我们通过一个例子证明，这种方法是必不可少的。我们还制定了一个类似的Duffin-Schaeffer猜想，并表明，它持有一套完整的豪斯多夫维数。结合Beresnevich和Velani \cite{BerVel}的质量转移原理，我们证明了一个普遍的结果，这意味着存在例外点内的吸引子我们的IFS。这些点是例外的，因为它们是“非常近似的”。作为这一结果的推论，我们得到了马勒问题的一般解决方案，并证明了有很好的二次无理数逼近的严重。本文件提出的想法是在可能有重叠的综合筹资战略的一般背景下提出的。我们相信，通过从度量数论的角度来看待IFS，人们可以更深入地了解它们重叠的程度。本文的结果应被解释为在这项调查的第一步。
2020-07-22 math.DS math.NT
