发表机构
Shantou University; Wuhan University（汕头大学; 武汉大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文构造反例证明非齐次Duffin-Schaeffer猜想对所有非零有理平移均失败，并进一步证明失败平移集在实数集中是残差的。
AI 中文摘要
设 $\theta\in\mathbb Q\setminus\{0\}$。我们构造一个逼近函数 $\psi:\mathbb N\to[0,\frac12)$，使得 \\[ \sum_{q=1}^{\infty}\frac{\varphi(q)}{q}\psi(q)=\infty, \\] 但满足 \\[ |qx-a-\theta|<\psi(q),\qquad \gcd(a,q)=1, \\] 对无穷多个 $(a,q)\in\mathbb Z\times\mathbb N$ 成立的 $x\in[0,1]$ 的集合的Lebesgue测度为零。因此，非齐次Duffin-Schaeffer猜想的类比对于每个非零有理平移都失败。通过修改构造，我们进一步证明，非齐次Duffin-Schaeffer猜想失败的平移集合在 $\mathbb R$ 中是残差的。
英文摘要
Let $θ\in\mathbb Q\setminus\{0\}$. We construct an approximating function $ψ:\mathbb N\to[0,\frac12)$ for which \[ \sum_{q=1}^{\infty}\frac{φ(q)}{q}ψ(q)=\infty, \] but the set of $x\in[0,1]$ for which \[ |qx-a-θ|<ψ(q),\qquad \gcd(a,q)=1, \] holds for infinitely many $(a,q)\in\mathbb Z\times\mathbb N$ has Lebesgue measure zero. Thus the inhomogeneous analogue of the Duffin--Schaeffer conjecture fails for every nonzero rational shift. By a modification of the construction, we further show that the set of shifts for which the inhomogeneous Duffin--Schaeffer conjecture fails is residual in $\mathbb R$.
