Convex sets evolving by volume preserving fractional mean curvature flows
研究了分数中曲率下集合边界的保体积几何演化。我们证明了光滑凸解始终保持其分数曲率有界，并且长时间渐近性接近圆球。证明是基于解的内外半径的先验估计。
2018-11-21 math.AP
Convexity of the smallest principal curvature of the convex level sets of some quasi-linear elliptic equations with respect to the height
对于具有严格凸水平集的$p$ -调和函数，我们找到了一个由$p$ -调和函数的梯度范数和$p$ -调和函数的水平集的最小主曲率的组合得到的检验函数.证明了该曲率函数关于$p$ -调和函数的高度是凸的。当$p$ -调和函数是球上的$p$ -格林函数时，该检验函数是高度的仿射函数。对于极小图，我们得到了类似的结果.
2012-11-04 math.AP
Contraction of Convex Hypersurfaces in $\mathbb R^3$ by Powers of Principal Curvatures
本文研究了严格凸的轴对称超曲面在非对称、非齐次完全非线性曲率函数作用下的收缩问题，证明了其在有限时间内收敛至一点，且经适当缩放后解收敛至凸超曲面。
2024-09-27 math.AP
Implicit time discretization for the mean curvature flow of mean convex sets
本文分析了在平均凸初始条件下求解中曲率流的Almart-Taylor-Wang格式。我们表明，该计划保持严格的平均凸性，并通过补偿紧技术，到达时间函数严格收敛于\(BV\)。特别是，这建立了时间积分的近似周长的收敛性。作为推论，Luckhaus-Sturzenhecker的条件收敛结果在均值凸情形下变为无条件收敛.
2019-05-02 math.AP
Strict Convexity and Sharp Power Concavity for a Graphical $σ_2$-Curvature Equation
针对光滑一致凸区域上的图σ₂曲率狄利克雷问题，通过Ma-Xu型论证、Bian-Guan微观凸性原理等方法证明其容许解对应变换的严格凸性，得到区域内二阶导数正定的结论。
2026-08-24 math.AP
Concave-convex nonlinearities for some nonlinear fractional equations involving the Bessel operator
证明了一类由非局部算子驱动的非线性分数阶方程解的存在性结果。
2016-07-13 math.AP
A concave-convex elliptic problem involving the fractional Laplacian
研究了一类定义在有界区域上的非线性椭圆问题，该问题涉及拉普拉斯算子的分数阶幂和一个凹凸项。我们完全表征的参数范围内的解决方案的问题存在，并证明了多重性的结果。
2010-10-21 math.AP
Convex solutions to the power-of-mean curvature flow
证明了当幂严格大于1/2时，中曲率流的凸古解（解的存在时间从$-\infty$开始）的一些估计.作为应用，我们证明了在二维情形下，整个凸平移解的blowdown，即$u_{h}=\frac{1}{h}u(h^{\frac{1}{1+α}}x),$局部一致收敛到$\frac{1}{1+α}|x|^{1+α}$，即$h\rightarrow\infty$ .另一个应用是对于广义曲线缩短流（凸曲线以其曲率的幂的速度沿其法线方向演化），如果凸紧致古解扫过$\textbf{R}^{2}$，则它必须是一个收缩圆.否则，解被定义在条带区域中。
2012-10-30 math.AP
Finding the convex hull of a set using the flow by minimal curvature with an obstacle. A game theoretical approach
本文研究带障碍的最小主曲率几何流，通过水平集障碍问题的博弈论近似，证明正超水平集随时间收敛到障碍的凸包。
2024-09-10 math.AP
The Concavity of the Gaussian Curvature of the convex level sets of minimal surface with respect to the height
对于具有严格凸水平集的极小图，我们找到一个辅助函数来研究水平集的高斯曲率。证明了当极小曲面为悬链面时，该曲率函数是关于极小曲面高度的凹函数，而该辅助函数几乎是尖锐的。
2013-05-28 math.AP
Global Curvature Estimates for k-Convex Hypersurfaces
针对预定曲率方程的k-凸解，提出结合分式线性变换与双曲多项式对数凹性的新方法，通过强制性二次型估计，在3≤k<n<2k范围内建立了闭严格星形k-凸超曲面的全局曲率界。
2026-09-15 math.AP
Existence of multiple radial solutions for nonlinear equation involving the mean curvature operator in Lorentz-Minkowski space
该研究利用Szulkin非光滑泛函临界点理论，证明了Lorentz-Minkowski空间中含平均曲率算子的凹凸型非线性方程Dirichlet问题多径向解的存在性，并拓展至非线性项依赖解梯度的情形。
2024-09-17 math.AP
The existence of $(\mathbf{p}, k)$-convex hypersurfaces for a class of Hessian quotient type curvature equations
Hubei Key Laboratory of Applied Mathematics（应用数学湖北省重点实验室）
本文研究了一类Hessian商型曲率方程中闭合星形超曲面的存在性，结合先验估计与连续方法，证明了非齐次和齐次方程的(p,k)-凸超曲面存在性和唯一性，并利用新发现的『逆凸性』性质，证明了常秩定理，从而获得严格凸解的存在性和唯一性。
2026-04-15 math.AP
Convex hypersurfaces with pinched principal curvatures and flow of convex hypersurfaces by high powers of curvature
我们考虑凸超曲面的主曲率在每一点的比率是有界的最大主曲率在无穷远极限为1的函数。我们证明了外切半径与内切半径之比是有界的外切半径的一个函数，极限1为零。我们将这个结果应用到运动的超曲面的任意速度，这是光滑的齐次函数的主曲率的程度大于一。对于光滑的严格凸的初始超曲面，当其每一点的主曲率之比足够接近于1时，我们证明了其解保持光滑和严格凸，并在有限时间内收缩到点时变为球形.
2009-10-02 math.AP math.DG
Curvature estimates for $p$-convex hypersurfaces of prescribed curvature
本文利用$p\geq \frac{n}{2}$建立了$\mathbb{R}^{n+1}$中给定曲率的$p$ -凸超曲面的曲率估计.证明了具有指定曲率的星形超曲面的存在性。我们还证明了相应方程的狄利克雷问题解的一类内部$C^2$估计。
2022-04-28 math.AP math.DG
Interior curvature estimate for curvature quotient equations on convex hypersurfaces
McMaster University（麦克马斯特大学）
本文针对满足σₙ/σₙ₋₂(λ)=f(X)>0的凸图，研究其曲率商方程的内部曲率估计问题
2026-08-24 math.AP math.DG
The Dirichlet problem for prescribed curvature equations of $p$-convex hypersurfaces
本文研究了具有给定曲率的$p$ -凸超曲面的狄利克雷问题。我们证明了存在一个满足给定曲率方程且具有齐次边界条件的图超曲面。还得到了一个内曲率估计。
2022-08-21 math.AP math.DG
Convexity of Level Sets of Minimal Graph on Space Form with Nonnegative Curvature
对于定义在具有非负曲率的空间型中凸环上的最小图，利用连续性方法得到了其水平集的正则性和严格凸性.
2016-07-20 math.AP math.DG
Curvature estimates for semi-convex solutions of Hessian equations in hyperbolic space
本文建立了双曲空间中Hessian方程半凸解的曲率估计。我们还得到了双曲空间中规定曲率测度型问题的可采纳解的曲率估计。在这两个估计的一个重要组成部分是一个海森算子不等式。
2023-02-24 math.AP math.DG
Non-homothetic convex ancient solutions for flows by high powers of curvature
我们证明了曲率流的闭凸古解的存在性，这些解在大的负时间内变得越来越椭圆。速度函数是主曲率的一般对称函数，大于1次齐次。这推广了以前关于中曲率流和其它单齐次曲率流的工作。作为一个辅助结果，我们证明了一个新的定理的凸旋转对称超曲面满足适当的约束的曲率收敛到一个圆点。
2022-03-10 math.AP math.DG
Regularity for convex viscosity solutions of Lagrangian mean curvature equation
本文研究Lagrangian平均曲率方程凸粘性解的正则性，在相位二阶导数Hölder连续的条件下证明其解为正则解。
2023-08-15 math.AP math.DG
Singularity structure in mean curvature flow of mean convex sets
本文给出了三维平均凸集的中曲率流的一些结果。不严格地说，我们的结果证明了天真的图片中曲率流的唯一的奇异性是颈部捏，和组件的崩溃渐近圆球。
2003-10-16 math.AP math.DG
Total positive curvature and the equality case in the relative isoperimetric inequality outside convex domains
解决了内部不为空的任意凸集外的相对等周不等式的等式问题。
2021-03-31 math.AP math.DG
Interior curvature estimates for convex solutions of a prescribed curvature quotient equation
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Westlake University（西湖大学）
本文针对椭圆型Weingarten曲率商方程的严格凸解，借助方程算子的凹性不等式与新颖辅助函数，通过初等最大值原理证明其先验内部曲率界，还得到低维特殊拉格朗日曲率方程严格凸解的对应估计。
2026-10-30 math.AP math.DG
Dual curvature measures on convex functions and associated Minkowski problems
本文将$q$阶对偶曲率测度推广到凸函数，并提出了相应的Minkowski问题.一个特殊的情形包括由Huang，Lutwak，Yang和Zhang定义的凸体的$q$阶对偶曲率测度.证明了当$q\leq0$满足时泛函对偶Minkowski问题解的存在性，并在一定的假设下得到了唯一性部分.
2021-05-04 math.AP math.FA
Strictly Locally Convex Hypersurfaces with Prescribed Curvature and Boundary in Space Forms
本文研究了空间型中具有给定Weingarten曲率和边界的严格局部凸径向图的$C^2$先验估计。通过构造两步连续过程，并利用度理论的证明，在严格局部凸子解的假设下，得到了给定Gauss曲率方程在空间型中解的存在性结果.
2019-11-03 math.AP math.DG
Contracting convex surfaces by mean curvature flow with free boundary on convex barriers
研究了欧氏$3$-空间中紧致凸曲面的中曲率流，其中自由边界位于任意有界凸障碍曲面上。当初始表面足够凸时，仅取决于屏障的几何形状，流动在有限时间内将表面收缩到一点。此外，该解对于半空间中的收缩半球是渐近的。这延伸，在二维，收敛结果的Stahl脐障碍一般凸障碍。我们引入了一个新的扰动参数，建立基本的凸性和捏流估计。我们的结果可以与Huisken关于黎曼流形中凸超曲面的中曲率流的一个著名的收敛定理相比较。
2020-01-04 math.AP math.DG
Interior C2 regularity of convex solutions to prescribing scalar curvature equations
建立了数量曲率方程和$σ_2$ -Hessian方程凸解的内$C^2$估计.证明了具有正数量曲率的等距浸入超曲面$(M^n,g)\subset \mathbb R^{n+1}$的内曲率估计。这些估计是在一个弱化条件下得到的这些方程的内估计的结果。
2017-11-02 math.AP math.DG
Contracting convex hypersurfaces by curvature
我们考虑紧致凸超曲面按其曲率的函数收缩。在中曲率流下，一致凸光滑初始超曲面演化为光滑一致凸的，并在有限时间后收缩为点。如果初始数据仅为弱凸或非光滑，并且最终时刻的极限形状为球形，则情况也是如此。我们提供了一个令人惊讶的大家庭的流动，这种结果失败，通过各种机制：一致凸超曲面可能成为非凸，和光滑的可能发展曲率奇点;即使在不发生这种情况的情况下，初始超曲面中的非均匀凸区域和奇异部分也可能持续存在，包括平坦侧，无限曲率的脊，或者某些主曲率消失的“圆柱形”区域;即使速度为正，这样的圆柱形区域也可能持续存在，并且在这种情况下，超曲面甚至可能坍缩为线段或更高维的圆盘，而不是坍缩为点。我们提供了这些各种灾难发生的充分条件，并通过避免这些到达一类流，任意弱凸初始超曲面立即成为光滑和一致凸，并合同点。
2011-04-05 math.AP math.DG
Mean Curvature Flows of Lagrangian Submanifolds with Convex Potentials
本文研究了拉格朗日子流形的中曲率流。特别地，我们证明了如下的全局存在性和收敛性定理：如果T^{2n}中的拉格朗日图的势函数是凸的，则流始终存在，并且光滑地收敛到平坦的拉格朗日子流形.
2002-10-15 math.AP math.DG
Cylindrical estimates for hypersurfaces moving by convex curvature functions
我们证明了一个完整的家庭的“圆柱估计”的解决方案的一类完全非线性曲率流，推广圆柱估计的Huisken-Sinestrari的中曲率流。更确切地说，我们表明，对于所考虑的流的类，$(m+1)$凸（$0\leq m\leq n-2$）的解决方案成为严格的$m$凸，或其Weingarten地图接近的圆柱体$\R^m\times S^{n-m}$的曲率变得很大。这一结果补充了作者和McCoy对同一类流证明的凸性估计。
2013-10-07 math.AP math.DG
A simple proof of curvature estimate for convex solution of $k$-Hessian equation
Guan-Ren-Wang建立了满足Weingarten曲率方程$σ_{k}(κ(X)) = f(X,ν(X))$的凸超曲面的曲率估计.本文给出了这个结果的一个简单证明。
2020-05-17 math.AP math.DG
Uniqueness of convex ancient solutions to mean curvature flow in $\mathbb{R}^3$
Perelman的一个著名的问题是关于里奇流在$3$维中具有正截面曲率且$κ$ -noncollapsed的非紧古解的分类。本文解决了$\mathbb{R}^3$中中曲率流的类似问题，证明了旋转对称碗孤子是严格凸非坍缩的$\mathbb{R}^3$中中曲率流的唯一非紧古解.
2019-01-14 math.AP math.DG
Strictly Locally Convex Radial Graphs of Prescribed Curvature and Boundary in Space Forms
在一个空间型中，我们得到了与寻找一个具有给定曲率和边界的严格局部凸超曲面的几何问题有关的非线性二阶椭圆型方程解的$C^2$先验估计.在严格局部凸子解的假设下，利用度理论证明了存在性结果。
2019-02-20 math.AP math.DG
Convexity and the Dirichlet problem of translating mean curvature flows
在这项工作中，我们提出了一个新的演化几何流（称为平移中曲率流）的平移孤子的超曲面$R^{n+1}$。研究了平移中曲率流的正性保持等基本性质。研究了图平移中曲率流的狄利克雷问题，讨论了流的整体存在性和收敛性.
2016-12-12 math.AP math.DG
The existence of $k$-convex hypersurface for a class of Hessian curvature equations
Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei Key Laboratory of Applied Mathematics, Hubei University（湖北大学数学与统计学院，应用数学湖北省重点实验室）
研究一类 Hessian 曲率方程闭星形超曲面存在性，结合先验估计与连续性方法建立 k - 凸超曲面存在唯一性，通过常秩定理证其严格凸。
2026-07-17 math.AP math.DG
Stability of mean convex cones under mean curvature flow
我们考虑图形解决方案，中曲率流和获得的稳定性结果的homothetically扩大解决方案出来的锥的正中曲率：如果另一个解决方案是最初接近锥在无穷远，然后差异的homothetically扩大解决方案变得很小的大时代。证明涉及建立适当的障碍。
2008-11-03 math.AP math.DG
No mass drop for mean curvature flow of mean convex hypersurfaces
利用水平集流定义了R^n中紧致超曲面通过中曲率过去奇点的一种可能演化.在初始超曲面具有正的中曲率的情况下，我们证明了与水平集流相关联的Brakke流实际上是一个具有等式的Brakke流.我们得到的结果是，没有质量下降可以发生沿这样的流动。作为上述方法的进一步应用，我们给出了平均凸超曲面的中曲率流的一个新的变分形式。
2006-10-06 math.AP math.DG
Deforming a convex hypersurface by anisotropic curvature flows
本文研究了欧氏n-空间中凸超曲面的全非线性曲率流.该流包含主曲率半径的k阶初等对称函数和一个支撑函数。在适当的假设下，我们给出了该流的长时间存在性和收敛性的证明.作为应用，我们给出了Orlicz-Christoffel-Minkowski问题光滑解的存在性.
2020-11-20 math.AP math.DG
Convexity of constant mean curvature graphs in $\mathbb{R}^{n+1}$ with planar boundary
本文研究了图$Σ$在$\mathbb{R}^{n+1}$中的Dirichlet问题，图$Σ$具有归一化常数中曲率$H>0$和平面边界$Γ=\partial Ω$ .我们的主要结果是，最佳可解性条件，即$Γ$的归一化中曲率$h$满足$h\geq H$，也足以当$Ω$是严格凸的，以证明严格凸的$Σ$。
2020-04-19 math.AP math.DG
Convex capillary hypersurfaces of prescribed curvature problem
本文将闭凸超曲面的规定$k$-阶Weingarten曲率问题扩展到毛细情形，通过将其转化为球冠上带Robin边界条件的Hessian商方程可解性问题，在自然充分条件下证明了严格凸毛细超曲面的存在性，扩展了毛细Minkowski问题的相关研究。
2025-04-19 math.AP math.DG
Mean curvature flow of mean convex hypersurfaces
在过去的15年里，White和Huisken-Sinestrari发展了一个意义深远的平均凸超曲面的中曲率流的结构理论。他们的论文提供了一套估计和结构的结果，产生一个精确的描述奇异性和高曲率区域的平均凸流。本文给出了平均凸（和k-凸）流理论的一种新的处理方法。这包括：（1）曲率导数的估计，（2）凸性估计，（3）柱面估计，（4）整体收敛定理，（5）古解的结构定理，（6）部分正则性定理。我们的新证明比原来的论证更基本，也更短。我们的估计是地方性和普遍性的。我们新方法的一个关键要素是Andrews的新的非崩溃结果。有些部分也受到佩雷尔曼作品的启发。在即将发表的论文中，我们将基于本文所建立的定理给出一个新的带手术的中曲率流的构造。
2014-04-13 math.AP math.DG
Liouville type theorems on manifolds with nonnegative curvature and strictly convex boundary
证明了具有非负截面曲率和严格凸边界的光滑紧致黎曼流形上的Liouville型定理。这在低维上给出了Xia-Xiong最近给出的第一Steklov特征值的尖锐下界的非线性推广，并部分验证了第三作者的一个猜想.作为结果，我们得到了这些流形上的几个尖锐的Sobolev迹不等式。
2020-05-26 math.AP math.DG
Entire spacelike hypersurfaces with constant $σ_k$ curvature in Minkowski space
本文证明了Minkowski空间中具有指定类光方向的光滑、整、严格凸、类空、常$σ_k$曲率超曲面的存在性。这等价于证明了具有给定高斯映射像的光滑、整、严格凸、类空、常$σ_k$曲率超曲面的存在性。我们还证明了不存在任何完整的、凸的、严格类空的、常$σ_k$曲率超曲面。进一步推广了\cite{RWX}中的结果，构造了严格凸的、类空的、常$σ_k$曲率的、具有有界主曲率的超曲面，其高斯映射的像是单位球.
2020-07-03 math.AP math.DG
Anisotropic and crystalline mean curvature flow of mean-convex sets
本文考虑严格正各向异性中曲率集的各向异性（包括结晶）中曲率流的变分格式。我们表明，这样的条件是保存的计划，我们证明了严格收敛BV的时间积分周长的近似演化，最近的结果德Philippis和劳克斯的各向异性设置。我们还证明了在极限下所得到的平坦流的唯一性。
2020-10-27 math.AP math.OC
Anisotropic flow of convex hypersurfaces by the square root of the scalar curvature
在欧几里得空间中，当给定一个严格凸的初始超曲面时，我们证明了由数量曲率的平方根乘以一个正的各向异性因子$ψ$所变形的流的光滑解的存在性.我们还证明了重标度曲面收敛到光滑极限流形，这是一个圆球。在二维情况下，它表明，与体积保持重新标度，极限轮廓满足孤子方程。
2019-10-10 math.AP math.DG
Negative curvature constricts the fundamental gap of convex domains
考虑黎曼流形$(M^n,g)$中凸区域上具有Dirichlet边界条件的Laplace-Beltrami算子，证明了当$M^n$有甚至一个负截面曲率的切面时，基本间隙与直径平方的乘积可以任意小.特别是，基本间隙猜想强烈失败的小变形的欧几里得空间，引入任何负曲率。我们还表明，当曲率是负捏，它是可能的，以构建这样的域的任何直径高达直径的歧管。证明是改编自Bourni等的论点。（Annales Henri Poincaré 2022），该文献建立了双曲空间中凸区域的类似结果，但需要几个新的成分。
2022-11-11 math.AP math.DG
On the mean convexity of a space-and-time neighborhood of generic singularities formed by mean curvature flow
我们考虑一个一般制度的形成奇点。我们得到一个详细的描述可能很小，但固定，附近的爆破点，直到（包括）爆破时间，并发现它是平均凸。这证实了Ilmanen的一个猜想。我们发现奇点是孤立的。
2019-05-22 math.AP math.DG
Convex ancient solutions to mean curvature flow
X.- J. Wang证明了关于中曲率流的凸古解的结构的一系列显著结果。他的一些结果似乎并不广为人知，但是，可能是由于技术性质，他的论点和他利用的方法，这是不广泛使用的中曲率流动。在这篇简要的文章中，我们介绍了王的结构理论和它的一些结果。我们将利用单调性公式和微分Harnack不等式简化Wang的一些分析，并利用后者得到一个重要的附加结构结果.我们的结论是，凸古解和凸平移子的各种刚性结果都直接来自结构理论，包括推论8.3的新结果。我们最近提供了一个完整的分类凸古代解决方案，曲线缩短流利用类似的参数。
2019-07-09 math.AP math.DG
Contraction of convex hypersurfaces by nonhomogeneous functions of curvature
最近的一篇文章李和吕认为收缩的凸超曲面的某些非齐次函数的曲率，显示收敛点在有限时间在某些情况下，速度是一个功能的一度齐次，凹和反凹函数的主曲率。在这篇文章中，我们将结果扩展到其他各种情况下，是类似于那些考虑在其他早期的工作，我们表明，在所有情况下，充分的捏条件假设的初始超曲面，然后在适当的重新缩放的最终点是渐近圆和收敛是指数的$C^\infty$ -拓扑。
2020-05-19 math.AP math.DG
Convex solutions to the mean curvature flow
本文研究了$\R^{n+1}$中中曲率流的古凸解的分类。与II型奇点分类相关的一个公开问题是凸平移解是否对于某个整数$2\le k\le n$是$k$ -旋转对称的，即它的水平集是球还是柱$S^{k-1}\times \R^{n-k}$。本文对二维空间的整体解给出了肯定的回答。在高维情形下，我们证明了存在非旋转对称的整体凸平移解，但任何整体凸平移解在空间的blow-down是$k$ -旋转对称的.我们还证明了一个古老的凸解的时空吹扫整个空间$\R^{n+1}$是一个收缩球或柱。
2010-02-08 math.AP math.DG
Forced Convex Mean Curvature Flow in Euclidean Spaces
本文考虑了欧几里得空间中带有一般强迫项的凸超曲面的中曲率流。我们表明，流可以收缩到一个点在有限的时间，如果强迫项是小的，或存在的所有时间和扩展到无穷大，如果强迫项是足够大的。对于某些特殊的强迫项和初始超曲面，该流也可以收敛到一个圆球。进一步对流进行归一化处理，研究了重标度流的长时间存在性和收敛性。我们的工作扩展了Huisken的著名的中曲率流和McCoy的混合体积保持中曲率流。
2007-11-15 math.AP math.DG
Convexity and singularities of curvature equations in conformal geometry
我们定义了一个推广的凸函数，我们称之为$δ$ -凸函数，并证明它们必须满足内部Hölder和$W^{1,p}$估计。作为应用，我们考虑了一类具有里奇曲率的共形几何中具有孤立奇点的完全非线性方程的解.我们证明了这样的解决方案要么延伸到一个Hölder连续函数的奇异性，否则有相同的奇异行为的共形拉普拉斯算子的基本解。我们还得到了这些方程的各种可去奇点定理。
2006-09-06 math.AP math.DG
Horo-convex hypersurfaces with prescribed shifted Gauss curvatures in $\mathbb{H}^{n+1}$
本文考虑$\mathbb{H}^{n+1}$中horo-凸超曲面的指定平移Gauss曲率方程。在一定的充分条件下，利用标准度理论，基于方程解的先验估计，得到了方程解的存在性结果。与空间型中的Weingarten曲率问题不同的是，我们在证明$\mathbb{H}^{n+1}$中超曲面的时凸性的存在性时，没有对方程右边的函数的径向导数施加符号条件.
2020-07-27 math.AP math.DG
