Algebraic groups and $G$-complete reducibility: a geometric approach
\emph{$G$-completely reducible}子群的概念在代数群及其子群结构的研究中很重要。它推广了表示论中完全可约的一般思想：一般线性群$G= {\rm GL}_n(k)$的子群$H$是$G$ -完全可约的当且仅当包含映射$i\colon H\rightarrow {\rm GL}_n(k)$是$H$的完全可约表示。在这些笔记中，我介绍了完全约化理论及其应用，并解释了使用几何不变理论的方法。
2022-07-25 math.GR
Non-separability and complete reducibility: $E_n$ examples with an application to a question of Külshammer
设$G$是定义在特征为$2$的代数闭域$k$上的$E_n (n=6,7,8)$型单代数群.我们提出的例子，三元组的封闭约化群$H<M<G$，使$H$是$G$ -完全可约，但不是$M$ -完全可约。作为应用，我们考虑了Külshammer关于有限群在约化群中的表示的一个问题。我们还考虑了$G$ -完全约简的合理性问题和共轭类问题。
2017-01-28 math.GR
Complete kappa-reducibility of pseudovarieties of the form DRH
我们用kappa表示包含乘法和（omega-1）幂的隐式签名。证明了对于群H的任意完全kappa-可约伪簇，正则R-类为群的有限半群的伪簇DRH也是完全kappa-可约的.反之亦然。阿尔梅达，科斯塔和Zeitoun所使用的工具证明，所有有限的R-平凡幺半群的伪簇是完全卡帕可约的是适应的一般设置的伪簇的形式DRH。
2015-12-03 math.GR
Complete reducibility, Kulshammer's question, conjugacy classes: a D_4 example
设$k$是一个非完美可分闭域.设$G$是定义在$k$上的连通约化代数群.研究了Serre关于$G$子群完全约化的概念的合理性问题。特别是，我们提出了一个新的例子，$G$的子群$H$的类型$D_4$在特征$2$，使$H$是$G$ -完全可约，但不是$G$ -完全可约的$k$（反之亦然）。这是新的：所有已知的这样的例子都是针对例外类型的$G$的。我们还发现了一个新的反例Külshammer的问题上表示的有限群的$G$型$D_4$。关于共轭类的数量的问题也被认为是。不可分子群的概念在我们所有的构造中起着至关重要的作用。
2017-06-15 math.GR
Complete reducibility and subgroups of exceptional algebraic groups
本文综述了Serre的$G$-完全约化概念及其在阐明例外型单代数群子群结构中的推论，并概述了该领域六十年来的已知成果及文献更正。
2023-09-08 math.GR
Complete reducibility in bad characteristic
本文在坏特征情形下分类了例外型单代数群中非完全可约且单分量秩至少为3的连通约化子群，并确定了其模作用与中心化子，得到关于极大子群、乘积子群及不可分解作用等推论。
2023-04-17 math.GR
Complete reducibility of subgroups of reductive algebraic groups over nonperfect fields 3
设$k$是一个非完美可分闭域.设$G$是定义在$k$上的（可能非连通的）约化群。研究了Serre关于$G$子群完全约化的概念的合理性问题。在我们以前的工作中，我们构造了$G$的子群$H$的例子，它们是$G$ -完全可约的，但不是$G$ -在$k$上完全可约的（反之亦然）。在本文中，我们给出了这些结构的理论基础。为了说明我们的结果，我们提出了一个新的例子，在一个非连接的约化群的类型$D_4$的特征$2$。然后利用几何不变理论推广了上述理论结果，得到了任意仿射$G$簇中$G(k)$ -（和$G$ -）轨道结构的新结果.我们把我们的结果翻译成球形建筑的语言，给出一个拓扑的观点。还考虑了完全可约子群的中心化子问题和共轭类的个数问题。
2019-03-14 math.GR
Separability and complete reducibility of subgroups of the Weyl group of a simple algebraic group of type $E_7$
设$G$是定义在代数闭域$k$上的连通约化代数群.本文的目的是提出一种方法来找到三元组$(G,M,H)$以下三个性质。特性1：$G$简单，$k$具有特性2。性质2：$H$和$M$是$G$的闭还原子群，使得$H<M<G$和$(G,M)$是还原对。属性3：$H$是$G$ -完全可约，但不是$M$ -完全可约。我们展示我们的方法，提出了一个新的例子，这样的三元组在$G=E_7$。然后，我们考虑的合理性问题和共轭类的问题作为我们的建设的重要应用。
2017-01-25 math.GR
Complete reducibility and separable field extensions
设G是连通的约化线性代数群.本文的目的是解决J-P. Serre关于他的G-完全归约概念在可分域扩张下的行为的一个问题。我们的部分证明依赖于最近建立的山雀中心猜想的球形建设的约化群G。
2010-04-14 math.GR math.RT
On relative complete reducibility
设$K$是代数闭域$k$上约化群$G$的约化子群.在贝特-马丁-罗尔-坦格以前的工作中引入的相对完全归约的概念，给出了$G^n$中闭合的$K$ -轨道的纯代数描述，其中$K$通过同时共轭作用于来自$G$的元素的$n$ -元组。这扩展了Richardson的工作，也是Serre的$G$ -完全约简概念的自然推广。在本文中，我们重新审视这一思想，给出了相对$G$ -完全约化的一个特征，它直接推广了$G$ -完全约化的等价形式。如果环境群$G$是一个一般线性群，这个特征就产生了表示论准则。在此过程中，我们扩展和推广的几个结果，从上述工作的Bate-Martin-Roehrle-Tange。
2019-08-30 math.GR math.RT
Complete Reducibility and Commuting Subgroups
设G是特征为p的代数闭域上的约化线性代数群，我们研究了J. - P. Serre关于G的子群的G-完全约化的概念。特别地，对于子群H和H的正规子群N，我们研究了N和H的G-完全约化之间的关系，并证明了如果H/N是线性约化的，则这些性质是等价的，推广了Serre的一个结果.我们还研究了H = MN，M是G的G-完全可约子群，它使N正规化的情形。证明了若G是连通的，N和M是G的交换G-完全可约子群，且p对G是良的，则H = MN也是G-完全可约的.
2008-02-29 math.AG math.GR
Complete Reducibility and Conjugacy classes of tuples in Algebraic Groups and Lie algebras
设H是代数闭域k上约化群G的约化子群.我们考虑H在G^n上的同时共轭作用，G ^n是G与自身的n重笛卡儿积。我们给出了G^n中闭H-轨道的一个纯代数刻画，推广了Richardson关于H = G的工作。这个特征原来是一个自然的推广塞尔的概念G-完全约化。这个概念似乎是新的，即使在零特征。我们讨论了如何在这个框架下推广G-完全约化的一些关键结果。我们还考虑了一些合理性问题。
2010-06-29 math.GR math.RT
A Geometric Approach to Complete Reducibility
设G是连通的约化线性代数群.利用几何方法研究了G的G-完全可约子群，给出了G-完全可约的新判据。我们证明了G的子群是G-完全可约的当且仅当它在G中是强可约的，这使得我们可以利用R. W.理查森和希尔伯特-芒福德-肯普夫从几何不变理论。我们推出G的G-完全可约子群的正规子群也是G-完全可约的，从而肯定地回答了J. P. Serre的方法，反过来证明了G的G-完全可约子群的正规化子也是G-完全可约的。讨论了G的球面构造的一些合理性问题及其应用。我们的许多结果推广到了非连通G的情形。
2004-12-01 math.AG math.GR
Relative complete reducibility and normalised subgroups
研究了约化代数群$G$的$G$ -完全约化的Serre概念的一个相对变体.我们让$K$是一个约化子群的$G$，并考虑子群的$G$规范化的单位连通区$K^{\circ}$。我们证明了这样一个子群是相对$G$ -完全可约的当且仅当它在$K^{\circ}$的自同构群中的像是完全可约的。这使我们能够概括一些基本结果从绝对的相对设置。我们也得到类似的结果，李代数的李子代数的$G$，以及“理性”的版本在非代数闭域。
2020-04-28 math.GR math.RT
Complete reducibility of subgroups of reductive algebraic groups over nonperfect fields 1
设$k$是特征$2$的非完美域.设$G$是定义在$k$上的类型为$E_6$（或$G_2$）的$k$ -分裂单代数群.本文给出了在$k$上$G$ -完全可约的$G$的非交换非完全可约$k$ -子群的第一个例子.我们的构造是基于$G$的子群不可分离地作用在$G$的真抛物子群的幂幺根上的构造。我们也给出了非连通还原群$G$具有相同性质的例子。一路上，几个一般性的结果证明了完整的约化在非完美的领域使用最近证明的山雀中心猜想的球形建筑。特别地，我们证明了在温和的条件下，一个$k$ -子群的$G$是伪约化的，如果它是$G$ -完全可约的$k$。
2017-01-25 math.AG math.GR
Complete Reducibility in Good Characteristic
本文研究例外型代数群在好特征下的非 $G$-完全可约子群，确定其共轭类、伴随模作用与连通中心化子，并分类相关约化子群及一类极大子群。
2023-10-02 math.GR math.RT
$G$-complete reducibility and semisimple modules
设$G$是定义在特征为$p > 0$的代数闭域% $k$上的连通约化代数群.我们的第一个目的是在这份说明中给出简洁和统一的证明两个基本的和深入的结果的背景下，塞尔的概念$G$ -完全约简，在成本较不利的界限。以下是这些结果的一些特殊情况：假设指标$(H:H^\circ)$与$p$互质，且对于某些忠实的$G$ -模$V$，指标$p > 2\dim V-2$与$p$互质.然后，下面的保持：（i）$V$是半单$H$ -模当且仅当$H$是$G$ -完全可约的;（ii）$H^\circ$是可约的当且仅当$H$是$G$ -完全可约的。我们还讨论了两个新的相关结果：（i）若对某些$G$ -模$V$，$p \ge \dim V$且$H$是$G$的一个$G$ -完全可约子群，则$V$是一个半单$H$ -模，这推广了Jantzen的半单性定理（即$H = G$）;（ii）若对于某个忠实的$G$ -模$V$，$H$半单作用于$V \otimes V^*$，则$H$是$G$ -完全可约的.
2011-03-28 math.GR math.RT
Complete Reducibility and Separability
设G是特征p > 0的代数闭域上的约化线性代数群.称G的子群在G中是可分的，如果它的整体中心化子和无穷小中心化子具有相同的维数。研究了G的子群的可分性概念与Serre的G-完全约化概念之间的相互作用。可分性假设出现在许多关于G-完全约化的一般定理中。我们证明，许多这些结果失败，没有这个假设。另一方面，我们证明了如果G是一个连通的约化群，且p对G是很好的，则G的任何子群都是可分的;我们推出了在G的这些假设下，如果G的李代数是半单的H-模，则G的子群H是G-完全约化的.最近，Guralnick证明了：如果H是G的一个约化子群，C是G的一个共轭类，则C与H的交是H-共轭类的有限并。对于一般的p -当某些额外的假设成立，包括可分性-这是从一个众所周知的切空间的论点，由于理查森，但在一般情况下，它取决于Lusztig的深刻结果，即一个连接的约化群只有200多个幂单共轭类。我们表明，类似的Guralnick的结果是假的，如果考虑共轭类的n元组的元素从H n > 1。
2008-08-12 math.AG math.GR
A polynomial-time solution to the reducibility problem
我们提出了一个算法来决定一个给定的辫子是否是伪Anosov，可还原，或定期。该算法是基于Garside的加权分解，是多项式时间的输入辫子的字长。此外，如果输入是某种类型的可约辫子，则可以完全找到圆的约化系统。
2006-12-05 math.GR math.GT
G-complete reducibility and the exceptional algebraic groups
设$G=G(K)$是定义在特征为$p>0$的代数闭域$K$上的单代数群. $G$的子群$X$被称为$G$-完全可约的，如果只要它包含在$G$的抛物子群中，它就包含在该抛物子群的Levi子群中。$G$的子群$X$称为$G$-不可约，如果$X$不在$G$的抛物子群中;而$G$-可约，如果它在$G$的某个抛物子群中。在这篇论文中，我们考虑$G$是例外类型的情况。当$G$是$G_2$型时，我们找到$G$的闭、连通、约化子群的所有共轭类。当$G$是$F_4$型时，我们找到$G$的闭的、连通的、约化的$G$-可约子群$X$的所有共轭类。因此，我们也找到了$G$的所有非$G$-完全可约闭连通可约子群.当$X$是闭的、连通的且秩至少为2的单的时，我们找到了$G$的所有共轭类-不可约子群$X$。连同工作的Amende在[Ame05]分类不可约子群的类型$A_1$这给了一个完整的分类简单的分组的$G$。在$G=F_4(K)$的子群分类中，我们发现$G$的子群$X$的无限集合，它们在$G$的所有约化子群中是最大的，但不是$G$的最大子群;因此它们不包含在$G$的任何最大约化子群中。当$p=3$为$A_1$型时，$G$的非极大可约子群中所含的连通半单子群为$A_1$型;当$p=2$为$A_1^2$或$A_1$型时，连通半单子群为半单型。当$p=2$不可分解地作用于$G$的26维不可约表示时，其中一些发生。…
2010-11-22 math.GR math.RT
Complete reducibility for Lie subalgebras and semisimplification
本文利用几何不变量理论研究了李子代数的 $G$-完全可约性，引入了其 $k$-半单化概念，证明了其共轭唯一性，并验证了该概念与子群半单化的相容性。
2023-10-26 math.GR math.RT
The Jacobson--Morozov theorem and complete reducibility of Lie subalgebras
本文确定了Jacobson-Morozov和Kostant关于复半单有限维李代数的经典sl_2-理论推广到正特征的精确程度。这是建立在Pommerening的工作基础上的，并在Springer-Steinberg和Carter/Spalberth之前的尝试基础上进行了重大改进。我们的主要进展是通过调查相当充分的程度上的李代数的半单代数群的子代数的代数闭域k是G-完全可约的，一个概念基本上是由于塞尔。例如，如果G是例外的，并且char k=p \geq 5，我们对三元组（\h，\g，p）进行分类，使得存在同构于\h的\g的非G-完全可约子代数。我们这样做的限制下，\h是一个p-子代数的\g。我们发现，子代数是G-完全可约的概念有效地刻画了s1_2-子代数的共轭类与幂零轨道之间的双射的可能性，从而证明了我们的主要定理。对于绝对完备性，我们还证明了当p \geq 3时，本质上只有一种情况幂零元不能扩张为sl 2-三元组：当p=3时，这种情况发生在G2中的例外轨道上.
2017-10-02 math.GR math.RA math.RT
$G$-complete reducibility and saturation
本文研究连通约化线性代数群中完全可约性与饱和性的关系，在特征限制下证明 $H$-完全可约子群在 $G$ 中亦完全可约，并推广饱和性结果至一般群及李型有限子群。
2025-04-25 math.GR math.RT
Torsion-Free Abelian Groups are Borel Complete
University of Torino（都灵大学）；The Hebrew University of Jerusalem（耶路撒冷希伯来大学）；Rutgers University（罗格斯大学）
证明了具有整环$ω$的无挠的阿贝尔群的Borel空间是Borel完备的，即，在这个Borel空间上的同构关系是尽可能复杂的，作为同构关系。这解决了描述集合论中一个长期存在的问题，这个问题可以追溯到1989年弗里德曼和斯坦利关于博雷尔归约的开创性论文。
2023-02-21 math.GR math.LO
Completely reducible Lie subalgebras
设G是代数闭域K上的连通约化群. J-P. Serre引入了G的G-完全可约子群H的概念。本文给出了Lie（G）的李子代数的G-完全约化-- G-cr的概念，并证明了如果闭子群H < G是G-cr，则Lie（H）也是G-cr.
2006-01-11 math.GR math.RT
On unipotent algebraic G-groups and 1-cohomology
本文考虑系数在其他群中的群的非交换1-上同调。我们证明版本的'五个引理'所产生的这种情况。我们接着证明了一个连通的幂幺代数群Q被一个连通的代数群G形态地作用，允许一个滤子，其连续的同分元具有G-模的结构。从这些结果中，我们推断扩展的结果，由于克莱恩，Parshall，斯科特和范德卡伦。首先，如果G是一个连通的约化代数群，且G的博雷尔子群B和Q是一个幂幺代数G-群，我们证明了限制映射H^1（G，Q）\to H^1（B，Q）是一个同构.我们还表明，这种情况下承认的理性稳定性和一般上同调的概念。我们利用这些结果得到了关于完全约化和子群结构的推论。
2013-07-04 math.GR math.RA math.RT
Nonseparably connected complete metric spaces
一个拓扑空间是不可分连通的，如果它是连通的，但它的所有连通可分子空间都是单点的。证明了每个连通第一可数空间是不可分连通完全度量空间在连续单调遗传商映射下的象。
2009-11-05 math.GR math.MG
A complete solution of Markov's problem on connected group topologies
连通豪斯多夫群的每一个真闭子群的指数必须至少为连续统的基数c。70年前，Markov证明了群G可以具有一个连通的Hausdorff群拓扑，条件是G的每个子群在G上的所有Hausdorff群拓扑中闭，其指数至少为c。在非阿贝尔的情况下反例提供了25年前由佩斯托夫和雷穆斯，但问题是否马尔可夫猜想举行的阿贝尔群G仍然开放。我们从正面解决这个问题。
2015-09-22 math.GN math.GR
