Some conjectures in elementary number theory
Angelo B. Mingarelli
我们宣布了一些与之相关的，并产生于研究素数和无理数在$\mathbb{R}$。所有这些都尽可能得到数字核查的支持。
We announce a number of conjectures associated with and arising from a study of primes and irrationals in $\mathbb{R}$. All are supported by numerical verification to the extent possible.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
An elementary proof of the Mazur-Tate-Teitelbaum conjecture for elliptic curves
利用Kato元给出了椭圆曲线Mazur-Tate-Teitelbaum猜想的初等证明。
Retraction of 'Elementary proof of the Giuga-Agoh conjecture'
在推论2.2的证明中发现了一个基本的缺口，从而撤回了本文第一版中的主张。
The Elementary Type Conjecture for Maximal Pro-p Galois groups
本文研究伽罗瓦理论中的初等类型猜想，描述其多个变体并证明它们与其他猜想的联系，重点探讨强算术变体对pro-p Demuskin群实现的影响。
Elementary Proof of Lehmer's Conjecture on Non-vanishing of Tau Function
本文借助于鸽子洞原理和唯一因子分解定理，通过研究Tau（n）的加法群结构，证明了关于Ramanujan的Tau函数的Lehmer猜想，即Tau（n）对n ≥ 1不等于零.
Demuskin groups, Galois modules, and the elementary type conjecture
设p是素数，F（p）是含有本原p次单位根单位根的域F的最大p-扩张.本文给出了当p=2时，以及当p>2时，伽罗瓦群Gal（F（p）/F）中Demuskin群的一个新的刻画.这个特征是根据Galois（F（p）/F）的指数p子群的Galois上同调作为Galois模的结构。
A reinforcement of the Bourgain-Kontorovich's theorem by elementary methods II
Zaremba猜想（1971）指出，每个正整数$d$都可以表示为一个有限连分数$\frac{b}{d}=[d_1,d_2,...,d_{k}],$的分母（连数），其中所有部分连数$d_1,d_2,...,d_{k}$都被一个绝对常数$A.$所限制。其中最简单的一个定理是，满足Zaremba猜想且A=50的数集在$\N.$中有正比例。本文仅用初等方法证明了A=5时的相同定理。
Massey products in Galois cohomology and the Elementary Type Conjecture
本文证明Efrat初等类型猜想蕴含Minač--Tân Massey消失猜想的强化版，从而在若干情形下使含单位根的域的极大pro-p伽罗瓦群满足强n-Massey消失性质。
On consecutive perfect powers with elementary methods
Catalan猜想指出丢番图方程$x^p-y^q=1$在整数$x,y,p,q \ge 2$中存在唯一解$3^2-2^3=1$。这个猜想最终由P. Mihenilescu（2002）利用分圆域和伽罗瓦模的理论证明。在这里，只依赖于基本的技术，我们证明了这个经典的结果的几个例子。特别地，我们证明了在下列情况下的猜想：$p$偶数（由于V.A. Lebesgue），$q$是偶数（由于L. Euler和Chao Ko），$x$整除$q$，$y$整除$x-1$，$y$是素数的幂，而$y\le p^{p/2}$。
A reinforcement of the Bourgain-Kontorovich's theorem by elementary methods
最近（2011年），Bourgain和Kontorovich证明了关于这个猜想的几个新定理。其中最简单的一个定理是，满足Zaremba猜想且A=50的数集在$\N.$中有正比例。这个定理的证明比较复杂，涉及到谱理论。本文仅用初等方法证明了A=13时的相同定理。
On consecutive quadratic non-residues: a conjecture of Issai Schur
Issai Schur曾经问过是否有可能确定一个界限，最好是使用初等方法，这样对于所有素数p大于界限，模p的连续二次非剩余数的最大个数总是小于p的平方根.本文用初等方法证明了13是唯一一个连续二次非剩余数的最大个数小于p的平方根的素数.模p的余数超过p的平方根。
Wilkie's conjecture for restricted elementary functions
我们考虑由$({\mathbb R},<,+,\cdot)$通过邻接受限指数函数和正弦函数得到的结构${\mathbb R}^{\mathrm{RE}}$。我们证明了威尔基的猜想集定义在这种结构：有理点的高度$H$的超越部分的任何可定义的集合的数量是有界的多项式在$\log H$。我们还证明了两个精致的apturtures由于皮拉关于密度的代数点从一个固定的数域，或与一个固定的代数度，为${\mathbb R}^{\mathrm{RE}}$ -可定义的集。
An elementary heuristic for Hardy-Littlewood extended Goldbach's conjecture
本文提出一个基于超几何分布和Hoeffding型界的初等组合启发式，用于预测Hardy-Littlewood扩展哥德巴赫猜想。
On The Local Sum Conjecture in Two Dimensions
本文给出了二维局部和猜想的一个初等证明。在一个显着的文件[CMN，arXiv：1810.11340]，这一猜想已建立在所有层面上使用复杂的，强大的技术，从一个研究领域融合代数几何与思想的逻辑。本文的目的是给出这个猜想的一个初等证明，以供广大读者参考。
An elementary proof of a congruence by Skula and Granville
令$p\ge 5$是素数，令$q_p(2):=(2^{p-1}-1)/p$是$p$以2为底的费马商。下面这个奇怪的一致性是由L. Skula，并由A. Granville $$ q_p(2)^2\equiv -\sum_{k=1}^{p-1}\frac{2^k}{k^2}\pmod{p}. $$在本文中，我们用完全初等的数论论证建立了上述同余式.
Prime Plus a Non-Square-Free Integer: An Elementary Approach
本文用初等同余和有限计算，无条件证明了 Lee-O'Clarey 猜想对不被 997# 整除的 n>24 成立，反例必被所有≤997 的素数整除且大于 10^415。
An elementary property of correlations
本文研究了满足Ramanujan猜想的一般$f,g$的移位Ramanujan展开式（见1705.07193），以得到它们的移位卷积和的公式，比如$C_{f,g}(N,a)$，长度为$N$，移位为$a$（所以Ramanujan展开式是关于a>0的）.我们证明，假设Delange假设（DH）的扩展，我们得到说Ramnujan精确的显式公式（R.e.e.f.）。当然，一个值得注意的例子是$f=g=Λ$，即冯·曼戈尔特函数，所以$C_{Λ,Λ}(N,2k)$，对于自然的$k$，与$2k-$孪生素数有关;假设它们是$(DH)$，我们得到（从相应的R.e.e.f.）证明哈代-利特尔伍德猜想。
An elementary approach to toy models for D. H. Lehmer's conjecture
在1947年，莱默证明，拉马努金的tau函数$τ(m)$永远不会消失的所有正整数$m$，其中$τ(m)$是$m$ -th傅立叶系数的尖点形式$Δ_{24}$的重量12。球形$t$ -设计理论与Lehmer猜想密切相关，因为Venkov，de la Harpe和Pache证明了$τ(m)=0$等价于$E_{8}$ -格的范数$2m$的壳是球形8-设计。因此，Lehmer猜想在球形$t$ -设计中被重新表述. Lehmer的猜想很难证明，仍然是开放的。然而，Bannai-Miezaki证明了$\RR^2$中整数格$\ZZ^2$的非空壳都不是球面4-设计，六边形格$A_2$的非空壳都不是球面6-设计。此外，与类数为1或2的虚二次域的代数整数相关联的整数格的非空壳，除了$\QQ(\sqrt{-1})$和$\QQ(\sqrt{-3})$之外，都不是球面2-设计.在证明中，模形式理论起了重要作用。最近，Yudin发现了一个关于$\ZZ^{2}$ -格的初等证明，它不使用模形式的理论，而使用Calcut的最新结果。在本文中，我们给出了基本的（即，模形式自由）的证明，并讨论了Calcut的结果与虚二次域理论之间的关系。
On the Littlewood conjecture in simultaneous Diophantine approximation
对于任意给定的具有有界部分幂元的实数$α$，我们构造了许多具有有界部分幂元的实数$β$，其中对$(α, β)$满足Littlewood猜想的强形式.我们的证明是初等的，并依赖于连分数的基本理论。
Annihilating class groups in $p$-elementary extensions
本文在$p$-初等扩张中证明了Rubin和Burns--Kurihara--Sano猜想的新情形，利用$S$-截断Dirichlet $L$-级数构造类群的消灭子。
Powers of 3 with few nonzero bits and a conjecture of Erdős
本文使用初等同余方法，找到了所有可表示为至多22个不同2的幂之和的3的幂，以及至多25个不同3的幂之和的2的幂，后者与Erdős猜想有关，并指出初等同余技术对某些指数丢番图方程有效。
On proving some of Ramanujan's formulas for $\frac{1}π$ with an elementary method
本文证明了S. Ramanujan在他的论文“Modular equations and approximations to $π$“\cite{24}中用初等的方法讨论了\cite{24}。
A proof of some conjectures of Mao on partition rank inequalities
基于Atkin和Swinnerton-Dyer关于划分秩差函数的工作，以及Lovejoy和Osburn最近的工作，毛泽东证明了划分秩模$10$之间的几个不等式，以及关于没有重复奇数部分的划分的$M_2$秩的模$6$和$10$的额外结果。毛泽东提出了一些额外的不平等。本文用初等方法证明了Mao关于秩和模$10$的$M_2$秩的秩不等式.
A new characterization of prime numbers and solution to Lehmer's conjecture on Euler's totient function
利用初等对称多项式与数论结果解决 Lehmer 猜想，并由此得到素数的新刻画。
Some remarks in elementary prime number theory
我们给出了初等数论中Gelfond-Schnirelmann方法的一个推广的概要。它与Selberg（1944）的一个积分有关，推广了Euler beta积分。我们所解释的结果是奈尔和丘德诺夫斯基在80年代初独立得到的。
The distribution of the first elementary divisor of the reductions of a generic Drinfeld module of arbitrary rank
设$ψ$是秩为$r \geq 2$的一般Drinfeld模.研究了当$\wp$变化时，$ψ$模素数$\wp$约化的第一初等因子$d_{1, \wp}(ψ)$.特别地，我们证明了$d_{1, \wp} (ψ)$是固定的素数$\wp$的密度的存在性。对于$r = 2$，我们还研究了$ψ$模$\wp$约简的第二个初等因子（指数），并证明了平均而言，它具有大的范数。我们的工作是由J的研究动机。P.Serre的一个类似于Artin的原根猜想的椭圆曲线，并进一步改进了第一作者和M. R. Murty.
An elementary proof of some Ramanujan-type identities
本文通过初等方法证明了将黎曼ζ函数在整数点的平方表示为涉及双曲函数、digamma函数和伯努利数等级数的恒等式，并修正了文本中的不准确之处和参考文献。
On the Mazur--Tate conjecture for prime conductor and Mazur's Eisenstein ideal
1995年，Ehud de Shalit证明了模雅可比矩阵$J_0(p)$的Mazur-Tate猜想的一个类似物。他的主要结果是有效的远离爱森斯坦素数。我们完成了de Shalit的工作，包括Eisenstein素数，并给出了一些应用，如一个初等组合恒等式，涉及超奇异$j$ -不变量的差分离散序列。一个重要的工具是我们最近的工作，所谓的“广义尖$1$ -动机”。
Elementary symmetric polynomials and a potentially injective family of maps on partitions
本文通过无限例证反驳Ballantine及其合作者关于整数划分上pre_k映射单射性的猜想，研究了这些映射间的相互关系，并提供了三种子情况的替代证明。
Applications of Baker Theory to the Conjecture of Leopoldt
在本文中，我们给出了一个简短的，初步的证明以下过于极端的情况下Leopoldt猜想：的情况下，当$\K/\Q$是一个可解的扩展和情况下，当它是一个全实的扩展，其中$p$完全分裂。第一个证明使用了Baker理论，第二个证明使用了类域理论。这里使用的方法是2008年在哥廷根举行的SANT会议上提出的，并在\cite{Mi2}，\cite{Mi1}中公开的方法的锐化。
One relator maximal pro-p Galois groups and the Koszulity conjectures
设$p$是一个素数，设${K}$是一个包含1的根的域，其阶为$p$。如果绝对Galois群$G_{K}$满足$\dim H^1(G_{K},\mathbb{F}_p)<\infty$和$\dim H^2(G_{K},\mathbb{F}_p)=1$，我们证明了L.~ Positselski和T.~ Weigel的Koszulity公式适用于${K}$。在上述假设下，我们证明了$G_{K}$的PDMATHAMR-上同调代数是分次代数$\mathrm{gr}_\bullet\mathbb{F}_p[G_{K}]$的二次对偶，由群代数$\mathbb{F}_p[G_{K}]$的增广理想的幂诱导，并且这两个代数分解为初等二次代数的乘积.最后，我们提出了一个改进的Koszulity拓扑，类似于I。Efrat的初等类型猜想
Elementary Proofs of Recent Congruences for Overpartitions Wherein Non-Overlined Parts are Not Divisible by 6
本文用初等方法证实了Nath等人关于超分拆数$\overline{R_6^*}(n)$模128的无限同余式族猜想，并给出了两个先前用模形式证明的同余式的初等证明。
An Elementary Proof of a Conjecture of Saikia on Congruences for $t$--Colored Overpartitions
本文用初等生成函数操作、剖分和归纳法，证明了 Saikia 关于 $t$ 色超分拆函数 $\overline{p}_{-t}(n)$ 模 2 幂同余的猜想对所有奇数 $t$ 成立。
On a conjecture of Pappas and Rapoport about the standard local model for $GL_d$
在他们对Shimura簇的局部模型的研究中，Pappas和Rapoport提出了一个关于$n \times n$矩阵的某个子模式的约化性的猜想。我们给出了一个肯定的答案，他们的猜想在充分的一般性。我们的主要思想自然地遵循我们以前的两个作品。首先是我们的一个猜想的证明Kreiman，Lakshmibai，Magyar，和韦曼的方程定义A型仿射格拉斯曼。第二个是前两个作者和Kamnitzer的工作仿射格拉斯曼切片和他们的约化概形结构。我们还提出了一个版本，我们的论点，几乎是完全小学：唯一的非小学成分是Frobenius分裂舒伯特品种。
Some examples of exceptional loci in Vojta Conjecture
本文讨论了三次曲面中两个完全可约超平面截面的补情形下Lang-Vojta猜想的例外轨迹。使用初等方法，我们表明，一般的例外集是在表面上的其余21条线的工会。我们还描述了例外集严格较大的例子。
Some elementary aspects of q-Fibonacci and q-Lucas polynomials
基于Fibonacci和Lucas数和多项式的著名性质，我们给出了一些二元类似物的自包含方法。
Some elementary remarks on the powers of a partial theta function and corresponding q-analogs of the binomial coefficients
本文研究了偏theta函数的幂及其对应的二项式系数的q-模拟，推导出了该函数正幂和负幂系数的计算公式。
Permutations that Destroy Arithmetic Progressions in Elementary $p$-Groups
给定一个阿贝尔群$G$，自然会问是否存在$G$的置换$π$，它“破坏”所有非平凡的3项等差数列（AP），在这个意义上，对于满足$b-a = c-b \neq 0$的每个有序三元$(a,b,c) \in G^3$，$π(b) - π(a) \neq π(c) - π(b)$。Hegarty在无限群$G$中解决了这个问题，他证明了存在$G$的AP-破坏置换当且仅当$G/Ω_2(G)$与$G$具有相同的基数，其中$Ω_2(G)$表示$G$中所有元素的子群，其阶划分$2$。然而，在$G$是有限的情况下，迄今为止只得到了部分结果。Hegarty证明了$G$的AP破坏置换存在，如果对所有$n \neq 2,3,5,7$都有$G = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，并且他和Martinsson一起证明了对所有$n > 1.4 \times 10^{14}$的猜想。本文证明了：若$p$是素数，$k$是正整数，则初等$p$ -群$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^k$存在AP-破坏置换当且仅当$p$是奇数，且$(p,k) \not\in \{(3,1),(5,1), (7,1)\}$ .
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