Twisted knot theory, introduced by M.O.Bourgoin, is a generalization of virtual knot theory. It is easily shown that any virtual knot can be deformed into a trivial knot by a finite sequence of generalized Reidemeister moves and two "forbidden moves" $F_{1}$ and $F_{2}$. Similarly, we show that any twisted knot also can be deformed into a trivial knot or a trivial knot with a bar by a finite sequence of extended Reidemeister moves and three "forbidden moves" $T_{4}$, $F_{1}$ (or $F_{2}$) and $F_{3}$ (or $F_{4}$) .
2022-09-29 math.GT
Invariants of knot diagrams and relations among Reidemeister moves
本文介绍了一种最精细的雷德迈斯特动作分类法。特别是，这种分类区分了一些$Ω_3$ -移动，它们的区别仅在于移动中涉及的三条链在结上的排序方式。为了将同位素结的结图相互转换，通常必须使用$Ω_3$ -至少两个不同类的移动。为了说明这一点，引入了仅在$Ω_3$ -移动下跳跃的结图不变量。同位素纽结的纽结图可以通过一系列里德迈斯特移动连接，在总共24个类别中只有6个类别。这一结果可应用于纽结理论中，简化数学纽结不变量不变性的证明。特别地，给出了高斯图上的函数定义纽结不变量的一个判据。
2000-05-11 math.GT
2-knot homology and Yoshikawa move
Ng构造了${\mathbb{R}}^3$中结点的一个不变量，即组合结点接触同调.扩展他的研究，我们构造了一个不变量的表面结在${\mathbb{R}}^4$使用标记图。
2019-09-16 math.GT
2-knot homology and Roseman move
Ng构造了${\mathbb{R}}^3$中结点的一个不变量，即组合结点接触同调.扩展他的研究，我们构建了一个不变量的表面结在${\mathbb{R}}^4$使用图在${\mathbb{R}}^3$。
2019-09-16 math.GT
A move on diagrams that generates S-equivalence of knots
三维空间中的两个纽结是S-等价的，如果它们不能被塞弗特矩阵区分。我们表明，S-等价产生的结图上的双δ移动。由此推论，一个纽结具有平凡的亚历山大多项式当且仅当它可以通过双三角移动来解开。
1999-11-02 math.GT
Arc shift move and region arc shift move for twisted knots
Indian Institute of Technology, Ropar（印度技术学院罗帕尔分校）
本文提出了一种新的扭结无结操作——区域弧移操作，并研究了其在扭结简化中的应用与界限。
2026-02-06 math.GT
Brunnian local moves of knots and Vassiliev invariants
K. Habiro用$C_k$ -move给出了纽结具有相同Vassiliev不变量的一个充分条件.本文给出了另一个用Brunnian局部移动表示的几何条件。这个证明是简单而完备的。
2004-12-24 math.GT
Arc shift number and region arc shift number for virtual knots
在本文中，我们制定了一个新的局部移动虚拟纽结图，称为弧移移动。此外，我们将其扩展到另一个本地移动称为区域弧移上定义的一个区域的虚拟结图。我们建立，这些弧移和区域弧移移动是unknotting操作显示，任何虚拟的结图可以变成平凡的结使用弧移（区域弧移）移动。在弧移移动和区域弧移移动的基础上，分别定义了弧移数和区域弧移数两个虚拟结点不变量。
2018-08-13 math.GT
Writhe polynomials and shell moves for virtual knots and links
扭多项式是有向虚纽结的基本不变量。我们介绍了一种本地移动定向虚拟节点称为壳移动。本文的第一个目的是证明两个有向虚纽结具有相同的扭多项式当且仅当它们由一个有限序列壳移动相关。本文的第二个目的是分类定向$2$组件虚拟链接壳移动通过使用虚拟链接的几个不变量。
2019-05-09 math.GT
We have two results. First, we give 96 generating sets oriented singular Reidemeister moves; it is an answer to a question by Bataineh, Khaled, Elhamdadi, and Hajij who give a generating set of oriented singular Reidemeister moves using their computation. Second, in the theory of plane curve and Legendrian knots introduced by V. I. Arnold, we select which moves survive as those of Legendrian singular knots and fronts diagrammatically and explicitly.
2022-01-11 math.GT
Virtualized Delta moves for virtual knots and links
该研究提出虚拟纽结与链环的虚拟化 Δ 移动，证明其对虚拟纽结是解结操作，并刻画了虚拟链环在该移动下等价的充要条件。
2024-01-23 math.GT
Ordering the Reidemeister moves of a classical knot
我们表明，任何两个图相同的结或链接连接的一个序列的Reidemeister移动按类型排序。
2009-04-22 math.GT
The minimal sequence of Reidemister moves
bringing the diagram of $(n+1,n)$-torus knot to that of $(n,n+1)$-torus knot
令$D(p,q)$为$(p,q)$ -环面结的通常结图，即$D(p,q)$为$p$ -编织$(σ_1^{-1} σ_2^{-1}... σ_{p-1}^{-1})^q$的闭包。众所周知，$D(p,q)$和$D(q,p)$代表同一个结。结果表明，$D(n+1,n)$可以通过一系列的$\{(n-1)n(2n-1)/6 \} + 1$ Reidemeister移动，其中包括一个单一的RI移动和$(n-1)n(2n-1)/6$ RIII移动变形为$D(n,n+1)$。使用贝壳，我们表明，这个序列是最小的所有序列，使$D(n+1,n)$的$D(n,n+1)$。
2010-03-06 math.GT
Every Reidemeister move is needed for each knot type
我们表明，每一个结类型承认一对图，不能不使用Reidemeister Ω_2-移动相同。我们还表明，我们的证明是兼容的其他移动类型的已知结果，在这个意义上说，每一个结类型承认一对图，不能不使用所有的移动类型相同。
2004-06-27 math.GT
Unknotting virtual knots with Gauss diagram forbidden moves
禁止的移动可以与高斯图Reidemeister移动相结合，以获得移动序列，我们可以将任何高斯图（因此任何虚拟结）改变为任何其他，特别是包括未结图
2000-07-03 math.GT
Natural Moves for Knots and Links
我们提出了一些自然的概括Reidemeister移动，不增加生成的图中的交叉点的数量。实验结果使我们猜想这类单调移动对于计算标准形进而判定合痕是完备的。
2007-07-29 math.GT
One-two-way pass-move for knots and links
本文提出一种由通过移动和$\#$-移动混合而成的局部移动$1$-$2$-移动，证明其对纽结的等价分类与通过移动一致，但所需移动次数不同。
2023-06-01 math.GT
Algorithmic simplification of knot diagrams: new moves and experiments
本注记是实验性质的，不包含新的定理。我们介绍了一些经典的纽结图的移动，对于所有的非常多的例子，我们已经测试了他们给一个单调的完全简化。一个纽结图D的完全简化是一个移动序列，该移动序列将D转换为图D'，该图D'具有由D表示的纽结的合痕类的最小可能交叉数。如果交叉点的数量沿序列从未增加，则简化是单调的。我们的移动是一定的Z1，Z2，Z3推广经典的Reidemeister移动R1，R2，R3，和另一个C（连同一个变体），旨在检测是否可以将一个纽结图视为两个更容易的连接和。我们提出了一个准确的描述的动作和几个结果，我们实施的简化程序的基础上，公开在网上。
2016-06-06 math.GT
We study a local twist move on welded knots that is an analog of the virtualization move on virtual knots. Since this move is an unknotting operation we define an invariant, unknotting twist number, for welded knots. We relate the unknotting twist number with warping degree and welded unknotting number, and establish a lower bound on the twist number using Alexander quandle coloring. We also study the Gordian distance between welded knots by twist move and define the corresponding Gordian complex.
2020-08-08 math.GT
A generating set of Reidemeister moves of oriented virtual knots
针对有向虚拟纽结Reidemeister移动生成集研究不足的问题，研究枚举得到17种去冗余的有向虚拟Reidemeister移动，证明4元素子集为其生成集，简化了有向虚拟纽结不变量的验证工作。
2025-05-30 math.GT
Automated Reidemeister Moves: A Numerical Approach to the Unknotting Problem
在数学中，一个结是一个单股的字符串交叉本身的任何次数，并连接在两端。Reidemeister移动已被证明是三个核心移动所需的充分解开一个结。有些结可以解开一个循环（解开），而其他人根本打结。我们定义了四个广义移动的基础上雷德迈斯特移动。这些动作有解开结的能力，这些结必须在简化之前变得更加复杂。通过这些移动，我们构建了一个计算机程序，该程序可以读取高斯码符号中的结的二维投影，并将其解开到尽可能少的交叉点。由于高斯码符号的属性，该程序运行效率与最小的计算时间相比，目前现有的解开程序。我们已经测试了所有可能的高斯码多达50个交叉点，该程序成功地确定了一个最简单的可能投影每个结。这个结果与我们关于这些动作如何解开一个结的预测是一致的。
2017-02-06 math.GT
Braid equivalences and the $L$--moves
在这篇综述论文中，我们提出了$L$ -辫子之间的移动，以及它们如何适应和服务于建立和证明辫子等价定理的各种图形设置，如经典的结，结补，在c.c.o. 3--流形和在虚体，以及为虚结，为平坦的虚拟，为焊接结和奇异的结。该$L$ -移动是本地的，他们提供了一个统一的地面制定和证明辫子等价定理的任何图形设置的概念，辫子和图形的同位素的定义，报表是第一个几何，然后代数。
2011-03-22 math.GT
Unknotting rectangular diagrams of the trivial knot by exchanging moves
如果一个矩形图表示平凡纽结，那么它可以通过一个有限序列的合并操作和交换操作变形为只有两条垂直边的矩形图，而不需要增加垂直边的数目，如I所示。A.戴尼科夫我们在本文中，我们不需要合并操作变形的平凡结的矩形图，一个没有交叉。
2013-03-27 math.GT
Virtualized Delta, sharp, and pass moves for oriented virtual knots and links
本文研究定向虚拟链环上的虚拟化 Delta、sharp 与 pass 移动，给出链环经这些局部移动等价的充要条件，并确立可达到的解结数下界。
2024-01-24 math.GT
Ma-Qiu index, presentation distance, and local moves in knot theory
Kyoto University（京都大学）
本文通过马-邱指数研究结论中的局部移动与呈现距离的关系，提供了解结数的统一证明方法。
2025-01-27 math.GT
Writhes and $2k$-moves for virtual knots
本文研究了虚拟结的 $2k$-移动，证明了通过该移动相关的虚拟结的 $n$-绞拧数和奇绞拧数分别满足模 $k$ 和模 $2k$ 的同余关系，并给出了奇绞拧数模 $2k$ 同余类相同的充要条件。
2023-09-14 math.GT
Simplifying branched covering surface-knots by chart moves involving black vertices
分支覆盖面-纽结是在定向表面-纽结$F$上的分支覆盖形式的表面-纽结，其中我们包括覆盖没有分支点的情况。在$F$的曲面图上用一个称为图的图形表示分支的覆盖面-纽结。我们可以简化一个分支的覆盖面-纽结，方法是在一个形式上增加一个带图环的1-手柄，使得它的图是自由边和带图环的1-手柄的并集。我们调查这种简化的情况下，分支覆盖面-节点有一个非零的分支点，使用图表移动涉及黑色顶点的属性。
2018-04-12 math.GT
On Free Knots and Links
经典结和虚结都是以形式高斯图模对应于Reidemeister移动的一些抽象移动而出现的。如果我们忘记上/下交叉结构，并将结的数量以相同的Reidemeister移动为模，我们会得到虚拟结的戏剧性简化，这会杀死所有经典的结。然而，许多虚拟结在这种简化之后仍然存在。我们构造了这些对象的不变量，并将其应用于虚结点的极小性问题以及与图链接相关的一些问题。人们可以很容易地将这些结果推广到可定向的情况，并将其应用于解决不可逆性问题。这些不变量背后的主要思想是一些几何结构，它将一般等价简化为仅模Reidemeister - 2移动的等价。
2009-02-01 math.GT
Local moves on knots and products of knots II
我们使用的术语，结产品和本地移动，定义在文本的文件。令$n$为整数$\geqq3$。令$\mathcal S_n$是$S^{n+2}$中的简单球形$n$ -结的集合。令$m$为整数$\geqq4$。证明了映射$j:\mathcal S_{2m}\to\mathcal S_{2m+4}$是双射的，其中$j(K)=K\otimes$为Hopf，Hopf表示Hopf链.令$J$和$K$是$S^3$中的1-链路。假设$J$是通过单次传递移动从$K$获得的，这是1-链路上的局部移动。令$k$为正整数。令$P\otimes^kQ$表示结积$P\otimes\underbrace{Q\otimes...\otimes Q}_k$。我们证明如下：$(4k+1)$ -维子流形$J\otimes^k{\rm Hopf}$ $\subset S^{4k+3}$是由$K\otimes^k{\rm Hopf}$通过一个$(2k+1,2k+1)$ -通过-移动得到的，它是包含在$S^{4k+3}$中的$(4k+1)$ -子流形上的一个局部-移动.参见本文的正文，了解本摘要中所有局部移动的定义。我们证明了以下几点：令$a,b,a',b'$和$k$是正整数。如果$(a,b)$环面链与$(a',b')$环面链是传递-移动等价的，则Brieskorn流形$Σ(a,b,\underbrace{2,...,2}_{2k}…
2018-04-06 math.GT
On biquandle-based invariant of immersed surface-links, Yoshikawa oriented fifth move, and ribbon 2-knots
该研究解决了吉川定向第五变换不可被其他变换替代的开放问题，扩展了浸入曲面链的代数工具包并开发了双quandle着色理论，还证明了无限多对群同构但结quandle不同的带边2-结。
2025-07-08 math.GT
Intersectional pairs of $n$-knots, local moves of $n$-knots, and their associated invariants of $n$-knots
令$n$为整数$\geqq0$。设$S^{n+2}_1$（分别为$S^{n+2}_2$）为嵌入$(n+4)$ -球体$S^{n+4}$中的$(n+2)$ -球体.令$S^{n+2}_1$和$S^{n+2}_2$横向相交。设$S^{n+2}_i$中的光滑子流形$S^{n+2}_1 \cap S^{n+2}_2$与$n$ -球面PL同胚.则$S^{n+2}_i$中的$S^{n+2}_1$和$S^{n+2}_2$是$n$ -结$K_i$。我们说n-纽结对$(K_1,K_2)$是可实现的。本文考虑了如下问题。令$A_1$和$A_2$为n-knot。$n$结对$(A_1,A_2)$是否可实现？我们给出了一个完整的描述。
2018-06-02 math.GT
Partially Ordering Unknotting Operations
在本文中，我们引入了一个等价关系的局部移动和分类的局部移动，称为扩展的$ST$ -移动，直到等价。此外，通过引入一个二元关系的局部移动的等价类的集合，我们表明，一个扩展的$ST$ -移动实现的交叉变化或$SH(2)$ -移动。此外，对任意有向纽结和两个扩展的$ST$ -移动，讨论了纽结通过移动解结数的大小关系，证明了除了$SH$ -移动之外，还存在一个扩展的$ST$ -移动，使得纽结可以通过单个扩展的$ST$ -移动转化为平凡纽结.最后，我们给出了一些$ST$ -移动与二元关系的例子。
2016-04-26 math.GT
A new unknotting operation for classical and welded links
Dalian University of Technology（大连理工大学）；Pusan National University（釜山国立大学）
本文提出一种新的无结操作，能够将任何结或链简化为无结或无链，通过有限的无结操作和 Reidemeister 操作，并分析无结操作下的结距离。
2025-10-21 math.GT
Extensions of some classical local moves on knot diagrams
在本文中，我们考虑经典和焊接图的局部移动：（自）交叉变化，（自）虚拟化，虚拟共轭，三角洲，融合，带通和焊接带通移动。这些动作之间的相互关系进行了讨论，对于每一个这些动作，我们提供了一个代数分类。我们解决的问题，相关的焊接扩展的经典动作的意义上说，经典对象的经典商嵌入焊接对象的焊接商。作为一个副产品，我们得到，所有上述的局部移动是unknoting操作焊接（长）结。我们还提到了这些组合的拓扑解释。
2017-07-23 math.GT
The H(n)-move is an unknotting operation for virtual and welded links
本文将经典纽结的 H(n)-解结移动推广至虚拟与焊接链环，并证明虚拟化和禁止移动均可由有限次广义 Reidemeister 移动与 H(n)-移动实现。
2025-02-17 math.GT
Realizing Exterior Cromwell moves on rectangular diagrams by Reidemeister moves
如果一个矩形图表示平凡纽结，那么它可以通过一个有限序列的合并操作和交换操作变形为只有四条边的平凡矩形图，而不需要增加边的数目，如I. A.戴尼科夫利用这一点，亨利克和考夫曼给出了解开琐碎结的结图所需的里德迈斯特移动次数的上界。然而，交换或合并移动的顶部和底部对矩形图的边缘没有考虑在证明。本文证明了平凡纽结存在一个矩形图，它需要这样的交换移动才能解开，并研究了实现这样的交换或合并移动所需的Reidemeister移动数的上界.
2014-03-02 math.GT
The forbidden number of a knot
每一个经典的或虚拟的结都通过一系列扩展的Reidemeister移动和所谓的禁止移动等价于解结。解开一个给定的结所需的最小禁止移动次数是一个不变量，我们称之为{ \it禁止数}。我们与几个已知的不变量的禁止数，并计算一些类的虚拟结的界限。
2014-06-11 math.GT
Evolution of unknotting strategies for knots and braids
本文探讨了数学纽结理论中的封闭辫和经典结的解结问题。我们应用进化计算方法来学习序列的动作，简化结图，并表明，这可以是有效的，当进行个别节点的演变和通用序列的动作时，演变为一组节点。
2013-02-04 math.GT
An Index-Type Invariant of Knot Diagrams Giving Bounds for Unknotting Framed Unknots
我们引入了一个新的纽结图不变量，称为自交叉指数（SCI）。使用SCI，我们提供了两个家庭的框架解开结的界限。对于其中一个家族，使用框架Reidemeister移动解开打结比使用常规Reidemeister移动解开打结要困难得多。我们还研究了SCI和Arnold曲线不变量St之间的关系，以及与Hass和Nowik不变量之间的关系，后者推广了cowrithe。特别是，在Ω3移动下SCI的变化仅取决于移动的向前/向后特征，类似于St或cowrithe的变化仅取决于移动的正/负质量。
2017-07-13 math.GT
A Representation Theorem for Knots and a Generalization of the Fundamental Theorem of Finite Type Invariants
我们提供了一种从符号弦图产生$S^3$中的节点的方法，并证明了每个节点都可以用这种方法产生。利用这些图，我们推广了有限型不变量的基本定理。我们还为图提供了移动，以便同一个结的任何两个图都可以通过移动序列连接起来。
2018-06-28 math.GT
Brieskorn submanifolds, Local moves on knots, and knot products
我们证明了如下定理：设$2p + 1$不小于5，$p$为自然数.设$K$和$J$是标准$(2p+3)$ -球面的闭的、定向的、$(2p+1)$ -维连通的、$(p-1)$ -连通的简单子流形.则$K$等价于$J$当且仅当与$K$的简单塞弗特超曲面相关联的塞弗特矩阵是$(-1)^p$ - $S$ -等价于$J$的塞弗特矩阵。我们还讨论了$2p+1=3$的情况。这个结果包含了我们的一个主要结果：设$μ$是一个自然数。一个1-link $A$是一个1-link $B$的传递-移动等价当且仅当$A$和$μ$的节点积是$(2μ+1, 2μ+1)$ -传递-移动等价于B和$μ$的节点积。它还意味着另一个：两重循环悬浮与球形$(2k+1)$ -结（$2k+1>4$）的扭转运动的性能互换。进一步证明了：设$2p+1$不小于5，p为自然数。设$K$是标准$(2p+3)$ -球面的闭定向$(2p+1)$ -维子流形.则$K$是Brieskorn子流形当且仅当$K$是连通的，$(p-1)$ -连通的，单的，并且有一个$(p+1)$ -塞弗特矩阵与一个单的塞弗特超曲面相关联，该塞弗特超曲面是$(-1)^p$ - $S$ -等价于考夫曼-诺依曼型或KN-型的。我们还讨论了$2p+1=3$的情况。
2018-06-02 math.GT
Minimal generating sets of moves for diagrams of isotopic knots and spatial trivalent graphs
本文扩展Polyak关于纽结与链环图表定向Reidemeister移动极小生成集的研究，新增11个4元素极小生成集并证明共12个为全部可能，还确定空间三价图图表定向Reidemeister型移动的极小生成集含10个移动。
2022-09-11 math.GT
Montesinos Knots with Delta-Unknotting Number One
本文研究$\Delta$-解结数为一的Montesinos纽结，提出其猜想性刻画，并给出不同$\Delta$-移动将纽结变为平凡纽结的实例。
2026-10-01 math.GT
Strong and weak (1, 3) homotopies are equivalence relations on knot projections, defined by the first flat Reidemeister move and each of two different types of the third flat Reidemeister moves. In this paper, we introduce the cross chord number that is the minimal number of double points of chords of a chord diagram. Cross chord numbers induce a strong (1, 3) invariant. We show that Hanaki's trivializing number is a weak (1, 3) invariant. We give a complete classification of knot projections having trivializing number two up to the first flat Reidemeister moves using cross chord numbers and t…
2020-12-01 math.GT
(1, 2) and weak (1, 3) homotopies on knot projections
本文得到了两个纽结投影由第一和第二平坦Reidemeister移动的有限序列相关的充要条件（定理1）。我们还考虑了一个称为弱（1，3）同伦的等价关系。这种等价关系通过第一平Reidemeister移动和第三平Reidemeister移动之一来发生。我们介绍了一个映射发送弱（1，3）同伦类结合痕类（第二。3）。利用该映射，我们确定哪些纽结投影在弱（1，3）同伦下平凡化（推论3）。
2020-04-14 math.GT
Forbidden detour number on virtual knot
我们发现，禁止绕道移动，基本上介绍了Kanenobu和纳尔逊，是一个unknotting操作虚拟结。然后，我们定义一个虚拟的纽结的禁止迂回数是必要的虚拟纽结图转换成平凡纽结图的禁止迂回移动的最小数量。根据最小实交叉数或虚拟节点的仿射指数多项式的系数，给出了禁止迂回数的上界和下界。
2019-08-29 math.GT
On two types of Heegaard diagram used in knot Floer homology
在这个简短的说明中，我们给出了一个显式序列的Heegaard移动插值局部版本的考夫曼状态Heegaard图和平面Heegaard图中使用的结弗洛尔同调，并显示这些局部移动可以用来去之间的整体版本的Heegaard图。
2018-08-01 math.GT
A Reidemeister type theorem for petal diagrams of knots
我们研究花瓣图的结，它提供了一种方法来描述结在对称群$S_{2n+1}$的置换。我们定义了两类移动这样的排列，称为平凡的花瓣添加和交叉交流，这不会改变的同伦类的基础结。我们证明，任何两个置换，代表同位素结可以相关的序列，这些举动和他们的逆。
2018-12-21 math.GT
Strong and weak (1, 2, 3) homotopies on knot projections
结投影是从圆到二维球体的通用浸入的图像。我们可以通过三种类型的纽结投影的局部替换找到任意两个纽结投影之间的同伦，称为Reidemeister移动。本文定义了纽结投影的一个等价关系，称为弱（1，2，3）同伦，它由Reidemeister移动的类型1，弱类型2和弱类型3组成.本文定义了弱（1，2，3）同伦下的第一非平凡不变量。利用这个不变量证明了纽结投影存在无穷多个弱（1，2，3）同伦等价类。相比之下，由三元组类型的其他变体组成的纽结投影的所有等价类，即，Reidemeister移动（1，强类型2，强类型3），（1，弱类型2，强类型3）和（1，强类型2，弱类型3）是可收缩的。
2020-05-13 math.GT
On Codimension Two Ribbon Embeddings
我们考虑n \geq 2的带状n结。对于这样的结，我们定义了一组带状磁盘上的移动，并表明，任何两个带状磁盘的同位素结相关的有限序列，这样的移动和环境同位素。利用这一点，我们能够证明，有一个自然的几何对应之间的带状n-结和带状m-结，这是双射。我们还探讨了这种结的图解演算。此外，我们表明，对于这样的结，任何两个带介绍相同的结是稳定的等价。
2015-09-03 math.GT
Minimal unknotting sequences of Reidemeister moves containing unmatched RII moves
Arnold为一般平面曲线引入了不变量$J^+$、$J^-$和$St$。已知$J^+ /2 + St$和$J^- /2 + St$都是通用球面曲线的不变量。将这些不变量应用于纽结图的基础曲线，我们可以得到用于Uknotting的Reidemeister移动数目的下界。$J^- /2 + St$适用于不匹配的RII移动。然而，它只对RI移动起一半作用。令$w$表示纽结图的扭转。我们表明，$J^- /2 + St \pm w/2$也适用于RI移动，并证明它给出了一个精确的估计，为一定的结图的unknot与潜在的曲线$r = 2 + \cos (n θ/(n+1)),\ (0 \le θ\le 2(n+1)π$）。
2010-11-17 math.GT
Up-down colorings of virtual-link diagrams and the necessity of Reidemeister moves of type II
我们介绍了一个上下着色的虚拟链接图。的着色性给出了一个下界的最小数量的Reidemeister移动的类型II之间需要两个2组件的虚拟链接图。利用Quandle上循环不变量的概念，我们确定了平凡虚结图对的Reidemeister移动的必要性。这意味着对于任何虚拟结图$D$，存在表示相同虚拟结的图$D'$，使得它们之间的任何广义Reidemeister移动序列包括至少一个类型II的Reidemeister移动。
2017-03-10 math.GT
We consider 32 homotopy classifications of knot projections (images of generic immersions from a circle into a 2-sphere). These 32 equivalence relations are obtained based on which moves are forbidden among the five type of Reidemeister moves. We show that 32 cases contain 20 non-trivial cases that are mutually different. To complete the proof, we obtain new tools, i.e., new invariants.
2020-12-04 math.GT
Reidemeister Moves and Groups
最近，作者发现了一类有趣的类结物体，称为自由结。这些纯粹的组合对象是高斯图模Reidemeister移动的等价类（Turaev在语言中引入了相同的概念，他认为所有自由结都是平凡的）。事实证明，这些新对象是高度非平凡的，甚至允许非平凡的配边类。一个重要的问题是不变量的存在，其中一个图评估为自身，这使得这样的对象“类似”于自由群：一个元素有它的最小代表“生活在”任何代表等价于它。
2014-12-30 math.GT
