Isotopic algebras with non-isomorphic congruence lattices
William DeMeo
我们给出了具有非同构同余格的同位素代数对的例子。这就回答了是否所有的同位素代数都有同构的同余格的问题。
We give examples of pairs of isotopic algebras with non-isomorphic congruence lattices. This answers the question of whether all isotopic algebras have isomorphic congruence lattices.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Homomorphisms and principal congruences of bounded lattices. III. The Independence Theorem
G. Czédli指出，对于一个至少有两个元素的有序集$P$和一个群$G$，存在一个有界格$L$，使得$L$的有序主同余集同构于$P$，并且$L$的自同构群同构于$G$。我提供了一个替代的证明，利用我与J. Sichler从20世纪60年代末的结果。
The ordered set of principal congruences of a countable lattice
对于格L，设Princ L表示L的主同余的有序集.在一篇开创性的论文中，G. Gratzer的特点是有序集Princ L的有限格L;在这里，我们做同样的可数格。他还表明，每一个有界有序集H是同构的Princ L的有界格L。我们证明了一个相关的陈述：如果一个最小元序集H是一个主阶理想链的并，则H同构于某个格L的主L.
Congruence FD-maximal varieties of algebras
本文研究了同构于给定的代数的同余格的有限格类。如果这个类是一个明显的必要条件所允许的最大类，则这个簇称为同余FD-极大。本文的主要结果刻画了一些特殊的同余FD-极大簇。
A simultaneous representation of a group and a bounded poset with lattice automorphisms and principal congruences
给定一个偏序集$P$和一个群$G$，存在一个长度为16的自对偶格，使得它的主同余的集合与$P$序同构，而它的自同构群与$G$序同构.
Some preliminary results on the set of principal congruences of a finite lattice
在第二版的同余格书，问题22.1要求的一个表征子集$Q$的有限分配格$D$，使有一个有限格$L$的同余格是同构的$D$和根据这一同构$Q$对应的主同余的$L$。本文证明了一些初步结果。
Characterizing representability by principal congruences for finite distributive lattices with a join-irreducible unit element
对于一个有限分配格$D$，我们称$Q \subseteq D$为\emph{principal congruence representable}，如果存在一个有限格$L$使得$L$的同余格同构于$D$，并且在这个同构下$L$的主同余对应于$Q$.我们找到了主同余可表示的一个必要条件，并证明了对于有限分配格，这个条件也是充分的。
On principal congruences and the number of congruences of a lattice with more ideals than filters
令$λ$和$κ$为基数，使得$κ$为无穷大，并且为$2\leq λ\leq κ$或$λ=2^κ$。我们证明了存在一个格$L$，它恰好有$λ$多个同余，$2^κ$多个理想，但只有$κ$多个滤子。进一步地，如果$λ\geq 2$是一个$2^m\cdot 3^n$形式的整数，那么我们可以选择$L$作为生成Ralph Freese在1976年描述的最小模非分配同余簇之一的模格，并且这个$L$甚至是$λ=2$的相对可补的。与GeorgeGrätzer和第一作者的一些较早的结果相关，我们还证明了如果$P$是有界序集，则（换句话说，有界偏序集），$G$是群，并且$κ$是无限基数使得$κ\geq |P|$和$κ\geq |G|$，则存在基数$κ$的格$L$使得（i）$L$的主同余形成与$P$同构的有序集，（ii）$L$的自同构群同构于$G$，（iii）$L$有$2^κ$多个理想，但（iv）$L$只有$κ$多个滤子.
Congruence lattices forcing nilpotency
给定一个格$\mathbb{L}$和一个代数结构类$K$，我们称\emph{forces nilpotency} $K$，如果其同余格$\mathrm{Con} (\mathbf{A})$与$\mathbb{L}$同构的每个代数$\mathbf{A} \in K$是幂零的.我们描述了同余格，迫使幂零，超幂零或可解的某些类代数。为此，我们研究了在一个给定的同余格上可以存在哪些交换子运算。
Minimal representations of a finite distributive lattice by principal congruences of a lattice
设有限分配格$D$同构于有限格$L$的同余格.令$Q$表示$D$中对应于该同构下的主同余的那些元素。则$Q$包含$0,1 \in D$和$D$的所有连接不可约元.如果$Q$恰好包含这些元素，我们说$L$是$D$通过格$L$的主同余的极小表示。利用主同余的极小表示刻画了有限分配格$D$，并证明了$D$至多有两个对偶原子.
Isoform lattices
设$L$为格。如果$\gQ$的任何两个同余类同构（如格），我们称$L$同构的同余关系$\gQ$。如果$L$的所有同余都是同构，我们称格为$L$同构。G. Grätzer和E.\，T. Schmidt证明了每个有限分配格$D$都可以表示为有限同构格$L$的同余格。我们现在证明了每个有限格$K$有一个有限同构格$L$的保同余扩张。
A classification of the division algebras that are isotopic to a cyclic Galois field extension
本文分类了循环伽罗瓦域扩张的主Albert同位体可除代数，并在三次情形下给出可区分非同构代数的紧分类。
The possible values of critical points between strongly congruence-proper varieties of algebras
我们用Conc（A）表示一个（泛）代数A的所有Conc生成的同余的半格，并且我们定义Conc（V）为所有Conc（A）的所有同构副本的类，对于A在V中，对于任何代数簇V。设V和W是代数的局部有限簇，使得对于V中的每个有限代数A，在同构之前，W中只有2/3个B，使得A和B有同构的同余格，并且每个这样的B是有限的.如果Conc（V）不包含在Conc（W）中，则存在基数为aleph 2的半格在Conc（V）-Conc（W）中.我们的结果推广到一阶结构的拟簇，具有许多关系符号和相对同余格。特别地，如果W是代数的一个非平凡生成簇，则这发生在W省略了驯服的同余理论类型1和类型5的情况下;反过来，这发生在W满足非平凡的同余恒等式的情况下。绑定aleph 2是尖锐的。
A solution to Dilworth's Congruence Lattice Problem
我们构造了一个分配代数格D，它不同构于任何格的同余格。这解决了一个长期存在的开放问题，传统上归因于R。P. Dilworth，40年代的。格点D有紧顶元和aleph Ω +1紧元。我们的结果推广到所有具有最大元素的并半格的多项式可定义结构的代数。
Extensions and congruences of partial lattices
对于一个偏格L，为了将L扩张到一个格，定义了所谓的两点扩张。我们的动机是广泛用于部分代数的单点扩张在这种情况下不起作用，即偏格的单点扩张不一定是格。我们描述了这些两点扩张，并证明了他们的几个性质。我们引入了一个偏格上的一个同余的概念，并展示了它与一个同态概念的关系，以及它与相应的两点扩张上的同余的联系。特别地，我们证明了偏格L与L上的同余E的商L/E也是偏格，并且证明了L/E的两点扩张同构于L的两点扩张L* 与E生成的L* 上的同余的商格.附上几个说明性的例子。
On the set of principal congruences in a distributive congruence lattice of an algebra
设$Q$是有限分配格$D$的一个子集.一个代数$A$用主同余表示包含$Q\subseteq D$，如果$A$的同余格同构于$D$，并且$A$的主同余的有序集在这个同构下对应于$Q$.如果对于包含$0$、$1$和$D$的所有连接不可约元的每个子集$Q$都存在这样一个代数，则称$D$是完全（A1）-可表示的。证明了每个完全（A1）-可表示的有限分配格都是平面的，并且至多有一个并可约余原子.相反，我们证明了每个至多有一个并可约余原子的有限平面分配格在G.格雷泽将本文的结果与作者的另一篇文章相结合，得到了每个完全（A1）-可表示的有限分配格即使用有限格的主同余也是“完全可表示的”.最后，我们证明了每一个链表示包含$Q\subseteq D$可以表示为有限（和相当小）代数的主同余。
Lattices of quasi-equational theories as congruence lattices of semilattices with operators, Part II
第一部分证明了对每一个结构的拟簇K（它可能既有运算又有关系），存在一个具有算子的半格S，使得K的拟方程理论格（K的子拟簇格的对偶）同构于Con（S，+，0，F）。已知如果S是一个有0（且无算子）的并半格，则存在一个拟簇Q使得Q的理论格同构于Con（S，+，0）.证明了：若S是一个既有0又有1的半格，且G上有一个作用于S的算子群G，且G中的每个算子都固定0和1，则存在一个拟簇W，使得W的拟方程理论格同构于Con（S，+，0，G）.
Computation of isotopisms of algebras over finite fields by means of graph invariants
本文定义了一对忠实函子，它们将有限域上的同构和同位素有限维代数映射到同构图。这些函子减少了通常需要确定两个代数是否同构的计算成本。为了说明他们的效率，我们明确地确定了二维和三维部分拟群环的分类。
Congruence lattices of finite algebras
泛代数中一个重要而长期存在的公开问题是：是否每个有限格都同构于有限代数的同余格。在这个问题解决之前，我们对有限代数的理解是不完整的，因为给定一个任意的有限代数，我们不能说它的同余格的形状是否有任何限制。根据Palfy和Pudlak的一个著名结果，如果我们能证明在有限群的子群格中存在一个非区间的有限格，这个问题就解决了.因此，有限代数的同余格的刻画问题与子群格的区间刻画问题密切相关。在这项工作中，我们回顾了一些方法，找到一个有限代数与一个给定的同余格，包括搜索区间子群格。我们还考虑了证明具有给定同余格的代数存在而不实际构造它们的方法。通过将这些著名的方法与我们开发的新方法相结合，并借助计算机软件如UACalc和GAP，我们证明了除了一个可能的例外，每个至多有7个元素的格都同构于有限代数的同余格。因此，我们已经确定了唯一的最小格，没有已知的表示。我们研究这个特殊的格详细，并证明结果的特点类的代数，可能代表这个格。最后，我们认为是围绕这个问题的最有趣的开放式问题，并讨论未来工作的可能性。
Congruences on infinite partition and partial Brauer monoids
本文给出了划分么半群$P_X$和部分Brauer么半群$PB_X$上的同余的完整描述，其中$X$是任意的无限集.我们的结果补充了East，Mitchell，Ruskuc和Torpey最近的一篇文章，其中涉及有限的情况。作为我们的分类结果的一个结果，我们证明了$P_X$和$PB_X$的同余格是同构的，并且是分配的和良好的拟序的。我们还计算了生成任何同余所需的最小划分对的数量;当这个数量是无限的时，它取决于某些极限基数的共尾性。
Lattices of quasi-equational theories as congruence lattices of semilattices with operators, Part I
我们表明，对于每一个准品种K的结构（其中功能和关系是允许的）有一个半格S与运营商，使格的准方程理论的K（对偶格的子准品种的K）是同构的Con（S，+，0，F）。结果，发现了拟方程理论格上自然拟内部算子的新的限制。
The graphs of join-semilattices and the shape of congruence lattices of particle lattices
我们给每个$\langle 0, \vee \rangle$ -半格附加一个图$\boldsymbol{G}_{\boldsymbol{S}}$，它的顶点是$\boldsymbol{S}$的并不可约元，它的边对应于自反依赖关系.本文研究了图$\boldsymbol{G}_{\boldsymbol{S}}$的性质，包括当$\boldsymbol{S}$是并半格和当它是格时的性质。我们称一个$\langle 0, \vee \rangle$ -半格$\boldsymbol{S}$粒子为它的并不可约元的集合并生成$\boldsymbol{S}$且满足DCC.证明了质点格的同余格与相应图的遗传子集格是反同构的，这些遗传子集格在零维拓扑中是闭的。因此，我们推广了已知的主要链有限格的结果。
Large intervals in the clone lattice
本文给出了无限集X上（局部）克隆格中的大区间的三个例子，通过展示克隆C_1，C_2，C_3使得：（1）局部克隆格中的区间[C_1，O]（作为格）同构于{0，1，2，.}在整除关系下，（2）局部克隆格中的区间[C_2，O]同构于任意半格的同余格，（3）所有克隆格中的区间[C_3，O]同构于X上的所有滤子格.这些例子解释了在无限集合上获得克隆格的满意分析的困难。特别地，（1）表明局部克隆的格不是对偶原子的。
Reducing the lengths of slim planar semimodular lattices without changing their congruence lattices
本文证明任意含 $n$ 个元素的 JConSPS-可表示偏序集都可由长度不超过 $2n^2$、大小不超过 $4n^4$ 的细长矩形格表示，并据此提出可判定算法及一种新构造。
Critical points of pairs of varieties of algebras
对于代数类V，用Conc（V）表示同构于A的所有紧同余的半格Conc（A）的所有半格的类。对于代数类V1和V2，我们用crit（V1，V2）表示Conc（V1）中的一个半格的最小基数，如果它存在，它不在Conc（V2）中，否则为无穷大。本文证明了一个具有范畴性质的一般定理，它意味着对于所有的非线性生成的同余分配簇V1和V2，crit（V1，V2）要么是有限的，要么是对某个自然数n的aleph_n，要么是无穷大的.我们还找到了两个可生成的模格簇V1和V2，使得crit（V1，V2）=aleph_1，从而回答了J.Tuma和F.威龙
From objects to diagrams for ranges of functors
设A，B，S是范畴，F：A-->S和G：B-->S是函子.我们假设对于A中的“许多”对象a，存在B中的对象b，使得F（a）同构于G（b）。我们建立了一个一般的框架，在这个框架下，有可能把这个陈述转化为A的图。这些图都是以偏序集为索引的，其中每个主理想都是并半格，且任何有限子集的所有上界的集合都是一个可生成的上子集。以下是一些推论，特别是：（1）格雷泽-施密特定理（Grätzer-Schmidt Theorem），它指出每个代数格同构于某个代数的同余格，可以推广到代数格的有限偏序集索引图和保紧的完全并同态（如果有足够大的基数，则没有有限性限制）。(2)在许多情况下，两个局部有限拟簇之间的相对临界点要么小于aleph Ω，要么等于无穷大。(3)基数为aleph 1的格可能没有任何可置换的、保同余的扩张。
On equivalence classes of homotopes of algebras and trilinear forms
一个$k$ -代数的同胚或变异是一个新的代数，它具有相同的底层空间，但其乘法律依赖于原代数的乘法律。在本文中，我们表明，一般的有限维代数的维数大于3有无穷多个非同位素同伦，而且，更一般地说，一个类似的结果是真实的一般三线性形式。我们还研究了一类特殊的同伦称为$Δ$ -同伦，其中$Δ$是一个元素的代数，并表明，有无穷多个非同构同伦代数，即使在一些额外的假设，如结合性的代数或$Δ$是良好的锻炼。
A closer look at some cyclic semifields
本文研究了循环半域，证明了生成元选择影响同构类数，并给出了素数情形下 Sandler 半域的完整参数化，进而参数化射影平面与最大秩距离码。
Representation of algebraic distributive lattices with $\aleph\_1$ compact elements as ideal lattices of regular rings
我们证明了以下结果：定理。每个至多含有$\aleph\_1$紧元的代数分配格D同构于von Neumann正则环R的理想格。(By作者早期的结果，$\aleph\_1$界是最优的。）因此，D也同构于一个分段补模格L的同余格，即R的主右理想格.此外，如果D的最大元素是紧的，则可以分别假设R是酉的，L有最大元素。这推广了G.M. Bergman，A.P. Huhn，J. T uma和G. Grätzer，H. Lakser和作者，它解决了调查文件[10]的问题2。证明我们结果的主要工具是一个半格和代数的合并定理（在给定的除环上），它是J.Tuma和G. Grätzer，H.拉克瑟和作者。
Locally Equivalent Correspondences
给定一对具有同构环的数域，我们构造了这对数域上对象之间的双射。例如，我们构造了一个与限制交换的Brauer群的同构。此外，我们还构造了中心单代数，极大序模，各种伽罗瓦上同调集之间的双射，并在简单的，内部代数群的算术格的可扩展性类。我们证明了在一定条件下，在我们的双射下相互对应的格具有相同的余体积和前同余完备化。我们还推广了Prasad和Rapinchuk的一个有限性结果。
On the isomorphisms between evolution algebras of graphs and random walks
演化代数是受生物现象启发的非结合代数，它在不同的数学领域有着广泛的应用或联系。有两种自然的方式来定义与给定图相关联的演化代数。其中一种方法只考虑图的邻接性，另一种方法则包括与同一图上的对称随机游动相关的概率。在这项工作中，我们国家的新的性质有关的关系，这些代数，这是一个开放的问题之间的相互作用的演化代数和图。一方面，我们证明了对任意图，两个代数都是强同位素的。另一方面，我们提供的条件下，这些代数是或不是同构的。对于有限非奇异图的情况下，我们提供了一个完整的描述的问题，而对于有限奇异图的情况下，我们状态的猜想支持的例子和部分结果。本文还讨论了顶点数为无穷多的图的情形。作为我们工作的一个副业，我们重新审视了文献中关于演化代数的自同构群的识别的一个结果，并给出了它的一个改进版本。
Lattices of Equivalence Relations Closed Under the Operations of Relation Algebras
泛代数中一个长期存在的问题是有限格与有限代数的同余格同构的问题。这个问题可以表述为，哪些有限格可以表示为有限集上的等价关系在某些一阶公式下闭合的格。我们将这个问题推广到一阶公式的不同集合，并举例说明我们的新问题是不同的。然后，我们证明了每个格$\m M_n$可以表示在这种新的方式。[This是提交给\emph{Algebra Universalis}的论文的扩展版本。]
On Matrix Algebras Isomorphic to Finite Fields and Planar Dembowski-Ostrom Monomials
本文提出判定矩阵代数是否为有限域的确定性算法，并研究平面DO多项式的矩阵商集不变量，证明其结构特征及其与有限域的关系。
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