Application of the parallel BDDC preconditioner to the Stokes flow
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Czech Republic（捷克科学院数学研究所）；Department of Mathematical and Statistical Sciences, University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校数学与统计科学系）；Institute of Thermomechanics, Academy of Sciences of the Czech Republic（捷克科学院热力学研究所）；Department of Mathematics, Faculty of Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学机械工程学院数学系）；Department of Mathematics, Faculty of Civil Engineering, Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学土木工程学院数学系）
本文描述了一种基于全局矩阵的并行BDDC方法实现，通过MUMPS并行求解器计算近似逆作为预条件子，成功应用于Taylor-Hood有限元离散的Stokes流问题，表明BDDC对此类问题具有潜力。
2011-01-12 cs.NA math.NA
Adaptive BDDC algorithms for the system arising from plane wave discretization of Helmholtz equations
Xiangtan University（湘潭大学）；Hunan Key Laboratory for Computation and Simulation in Science and Engineering, Xiangtan University（湘潭大学计算与工程科学模拟湖南省重点实验室）
本文提出基于约束的平衡域分解算法，用于高波数亥姆霍兹方程的加权平面波最小二乘离散化，通过自适应主约束和局部技术改进了预处理系统条件数。
2018-06-12 cs.NA math.NA
Parallel Newton-Krylov-BDDC and FETI-DP deluxe solvers for implicit time discretizations of the cardiac Bidomain equations
本文构造了两种新的并行约束Newton-Krylov平衡区域分解（BDDC）和双原始有限元撕裂与互连（FETI-DP）求解器，并对三维Bidomain方程组的隐式时间离散进行了数值分析和测试。该模型代表了心脏生物电活动的最先进的数学描述，它由两个非线性反应扩散偏微分方程（PDE）的退化系统和一个刚性的常微分方程（ODE）系统组成。空间上的有限元离散和时间上的隔离隐式离散，基于从常微分方程解耦偏微分方程，在每个时间步产生非线性代数系统的解决方案。在每个牛顿迭代的雅可比线性系统的Krylov方法，加速BDDC或FETI-DP预处理器，都增加了最近推出的{ \em豪华}缩放的对偶变量。一个多对数的收敛速度界证明所产生的并行Bidomain求解器。在多达2000个处理器的Linux集群上进行的广泛数值实验证实了理论估计，表明所提出的并行求解器是可扩展的且准最优的。
2022-04-20 cs.NA math.NA
Nested BDDC for a saddle-point problem
University of Southern California（南加州大学）；Institute of Thermomechanics, Academy of Sciences of the Czech Republic（捷克科学院热力学研究所）；University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校）
提出一种嵌套BDDC方法求解鞍点问题，通过三步求解通量和压力变量，并利用多层BDDC预条件子进行散度自由通量校正，理论证明条件数界，数值实验验证有效性。
2013-02-04 cs.NA math.NA
Adaptive BDDC in Three Dimensions
University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校）；Institute of Thermomechanics, Academy of Sciences of the Czech Republic（捷克科学院热力学研究所）；Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Czech Republic（捷克科学院数学研究所）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
将自适应BDDC方法扩展到三维面约束选择，提出基于全局公式的新实现，通过多波前求解器实现大规模并行，并用投影和广义变量替换保持稀疏性，在多个工程问题上验证有效性。
2011-02-28 cs.NA math.NA
BDDC by a frontal solver and the stress computation in a hip joint replacement
Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）；Institute of Thermomechanics, Academy of Sciences of the Czech Republic（捷克科学院热力学研究所）；University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校）
采用前求解器并行实现BDDC方法求解有限元线性方程组，并将其集成到标准有限元系统中用于线弹性工程分析，展示了髋关节置换部件的应力计算结果，比较了添加平均约束和角点约束的BDDC性能。
2008-06-02 cs.NA math.NA
Speeding up an unsteady flow simulation by adaptive BDDC and Krylov subspace recycling
Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences（捷克科学院数学研究所）；Faculty of Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学机械工程学院）
本文通过自适应BDDC和Krylov子空间回收技术，显著加速了不稳流模拟中大规模线性方程组的求解，节省了超过40%的计算时间。
2026-01-28 cs.NA math.NA
Coupling parallel adaptive mesh refinement with a nonoverlapping domain decomposition solver
研究了自适应网格加密对线性系代数方程并行区域分解求解器的影响。这些概念需要结合在一个并行自适应有限元软件。一个原型的实现，为此目的。它使用自适应网格细化与一个层次的悬挂节点。采用基于约束的平衡区域分解（BDDC）方法的两层和三层版本来求解所产生的代数方程组。回顾了基本概念，并详细研究了组合所需的组件。特别感兴趣的是断开的子域，一个典型的输出所采用的网格划分的基础上的空间填充曲线，对BDDC方法的收敛性和解决方案的时间的影响。大量的实验表明，虽然加细网格和不连通子域对BDDC的收敛性有负面影响，但迭代次数仍然可以接受。此外，三级BDDC求解器的可扩展性在多达几千个处理器内核上仍然保持良好。使用自适应网格细化的最大问题有超过10^9个未知数，并在2048个核心上求解。
2017-03-19 cs.MS cs.NA math.NA
BDDC for Mixed-Hybrid Formulation of Flow in Porous Media with Combined Mesh Dimensions
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Czech Republic（捷克科学院数学研究所）；Technical University of Liberec（利贝雷茨理工大学）；University of Maryland, Baltimore County（马里兰大学巴尔的摩县分校）
本文提出利用BDDC方法求解多孔介质流的混合混合有限元问题，通过迭代子结构化方法将问题转化为对称正定的界面问题，采用共轭梯度法结合BDDC作为预处理子程序，实现并行计算，验证了算法的效率和可扩展性。
2015-04-27 cs.NA math.NA
A non-nested unstructured mesh perspective on highly parallel multilevel smoothed Schwarz preconditioner for linear parametric PDEs
针对非结构网格下多级Schwarz预处理器因网格非嵌套难以并行的问题，提出含并行粗化与非嵌套插值的高并行非嵌套预处理器，在千核处理器上验证了良好收敛性与并行效率，可广泛用于线性参数PDE求解。
2024-12-12 cs.NA math.NA
Local and Parallel Finite Element Algorithm Based On Multilevel Discretization for Eigenvalue Problem
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文提出基于多级离散化的局部并行算法求解特征值问题，通过将最细网格的特征值问题转化为最粗网格的特征值问题和一系列边值问题的解，实现每个处理器计算工作达到最优阶数，提升整体效率。
2014-01-20 cs.NA math.NA
Matrix-Free Parallel Scalable Multilevel Deflation Preconditioning for Heterogeneous Time-Harmonic Wave Problems
本文提出一种无矩阵并行可扩展多层紧缩预处理方法，将复移位拉普拉斯预处理器与高阶紧缩向量及Galerkin粗化重新离散化相结合，用于求解非均匀时谐波问题，实现了接近波数无关的收敛性、低内存消耗和良好的弱并行可扩展性。
2024-12-06 cs.NA math.NA
Nonlinear parallel-in-time multilevel Schur complement solvers for ordinary differential equations
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Centre Internacional de Mètodes Numèrics en Enginyeria（国际工程数值方法中心）
本文提出一种并行时间求解器，用于线性和非线性常微分方程，通过多级时间划分的Schur补多级求解器高效求解，非线性问题采用牛顿法和非线性Schur补迭代，数值实验显示方案可弱标量扩展。
2017-09-19 cs.NA math.NA
Parallel multilevel methods for solving the Darcy--Forchheimer model based on a nearly semicoercive formulation
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；Utrecht University（乌得勒支大学）
本文提出并行多重级方法用于求解达西-福克海默模型，通过增广拉格朗日方法将其转化为近半协变凸优化问题，并通过理论分析和数值实验验证了方法的鲁棒性和有效性。
2026-06-04 cs.NA math.NA
Parallel multilevel restricted Schwarz preconditioners for implicit simulation of subsurface flows with Peng-Robinson equation of state
具有良好可扩展性的并行算法和模拟器对于在具有大量处理器的现代超级计算机上进行大规模油藏模拟尤为重要。在本文中，我们介绍和研究了一个家庭的高度可扩展的多级限制性添加剂Schwarz（RAS）方法的全隐式解的地下流动与Peng-Robinson状态方程在二维和三维。通过使用二阶全隐格式，该模拟器是无条件稳定的，并通过稳定性条件放宽了时间步长。然后，研究了几种类型的多层重叠可加Schwarz方法对不精确Newton迭代产生的线性系进行预处理，并提出了一些快速求解技术以保证多层方法的效率和可扩展性。我们的数值计算表明，建议的全隐式框架是非常有效的解决标准的基准以及现实的问题与数亿的未知数和可扩展到8192处理器上的天河2号超级计算机。
2020-07-28 cs.NA math.NA
Neutron transport criticality calculations using a parallel monolithic multilevel Schwarz preconditioner together with a nonlinear diffusion acceleration method
利用现代超级计算机计算多群中子输运临界已被广泛应用于核反应堆分析中，以研究系统是否是自持的。然而，设计和开发高效的并行算法的运输临界计算是具有挑战性的，特别是当处理器的核心数量是大的，采用非结构化网格。特别是，由于中子输运方程的维数，计算时间和内存使用都必须仔细考虑。本文研究了基于非线性扩散加速（NDA）方法的整体多层Schwarz预条件子的输运临界计算。我们提出了一个单片多层Schwarz方法，能够有效地处理系统的线性方程的传输系统和扩散系统。然而，在多层方法中，代数地构造粗糙空间是昂贵的，并且通常是不可扩展的。我们研究了基于子空间的粗化算法，以解决这样的挑战，通过探索传输方程和非线性扩散方程的矩阵结构。我们数值证明，单片多级预处理器与基于子空间的粗化算法是两倍的速度配备了一个未经修改的粗化方法上千个处理器内核的非结构化网格中子输运问题与数十亿个未知数。
2020-02-18 cs.NA math.NA
A highly parallel algorithm for computing the action of a matrix exponential on a vector based on a multilevel Monte Carlo method
提出了一种计算矩阵指数在向量上作用量的新算法。该算法是基于多级蒙特卡罗方法，和向量的解决方案计算概率生成合适的随机路径，通过矩阵的指数，根据一个合适的概率定律演变。计算复杂性在本文中被证明是显着优于经典的蒙特卡罗方法，它允许计算更精确的解决方案。此外，在实践中，利用该算法在并行性方面的积极特点，开发出一个高度可扩展的实现，能够非常有效地解决一些测试问题，使用高性能超级计算机配备了大量的核心。对于共享内存架构的特定情况下，该算法的性能进行了比较，使用现有的Krylov为基础的算法，优于后者在所有的基准测试分析到目前为止。
2019-07-04 cs.NA math.NA
Parallel-in-time Multilevel Krylov Methods: A Prototype
本文提出一种求解微分代数方程的时间并行多层 Krylov 迭代方法，通过特殊时间算子粗化网格并解耦最粗层级系统以实现完全并行化，数值实验证明其相比单处理器和顺序格式具有显著加速效果。
2023-12-30 cs.NA math.NA
Scalable Multilevel Monte Carlo Methods Exploiting Parallel Redistribution on Coarse Levels
Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）；Portland State University（波特兰州立大学）
本文提出了一种可扩展的多级蒙特卡洛方法，通过并行重分布技术提升粗化层次的计算效率。
2024-08-05 cs.NA math.NA
Stage-parallel fully implicit Runge-Kutta implementations with optimal multilevel preconditioners at the scaling limit
我们提出了一个实现的Radau IIA型全隐式龙格-库塔法，它近似的$A_Q$从布彻表的下三角形矩阵从LU分解和对角化系统的块尽可能多的阶段的逆的完全阶段并行预处理。对于变换后的系统，我们采用了一个块预处理器，其中每个块是分布式的，并解决了一个子组的进程并行。对于部分结果的组合，我们要么使用类似于Cannon算法的通信模式，要么使用共享内存。一个性能模型和大量的性能研究（包括强大的缩放运行高达150 k的过程中的3 k计算节点）进行的时间依赖性热问题，使用无矩阵有限元法，表明阶段并行实现可以达到更高的吞吐量时，块求解器在较低的并行效率，这发生在缩放限制附近。可并行加速比随级数线性增加，并受级数限制。此外，我们表明，所提出的阶段并行的概念也适用于$A_Q$是直接对角化的情况下，这需要复杂的算术或解决方案的两个由两个块和序列化部分算法。另外，分配阶段，并将它们分配给不同的进程，我们讨论的可能性，从不同的阶段在一起的并行操作。
2022-09-14 cs.NA math.NA
Local Fourier analysis of Balancing Domain Decomposition by Constraints algorithms
局部傅里叶分析是分析多重网格和其他多级算法的常用工具，它既能洞察观察到的收敛速度，又能对许多算法的性能进行预测分析。在本文中，第一次，我们适应本地傅里叶分析检查变量的两级和三级平衡区域分解的约束（BDDC）算法，以更好地了解这些预处理算子的特征值分布和条件数界。这种适应是基于对傅里叶谐波空间的基的修改选择，其极大地简化了局部傅里叶分析在这种设置中的应用。通过考虑二维拉普拉斯算子和预测不同子域大小的预处理算子的条件数，验证了局部傅里叶分析的有效性。几个变量进行了分析，显示两个和三个级别的性能的“集总”的变体可以大大提高乘法组合时使用的加权对角缩放预条件，通过使用LFA的权重优化。
2021-08-04 cs.NA math.NA
High Performance Uncertainty Quantification with Parallelized Multilevel Markov Chain Monte Carlo
复杂现实世界现象的数值模型通常需要高性能计算（HPC）。不确定性进一步增加了问题的维度，并提出了更大的挑战。我们提出了一个并行化策略的多级马尔可夫链蒙特卡罗，一个国家的最先进的，算法可扩展的不确定性量化（UQ）算法的贝叶斯逆问题，和一个新的软件框架，允许大规模的并行跨前向模型评估和UQ算法本身。主要的可扩展性挑战以MLMCMC方法引入的强数据依赖性的形式出现，禁止琐碎的并行化。我们的软件是作为模块化和开源的MIT UQ库（MUQ）的一部分发布的，可以很容易地与任意用户代码耦合。我们使用DUNE和ExaHyPE引擎进行演示。后者提供了一个现实的，大规模的海啸模型，其中确定海啸的来源，从海拔高度的数据。
2021-07-30 cs.MS cs.NA math.NA
Multilevel Schwarz preconditioners for singularly perturbed symmetric reaction-diffusion systems
我们提出了强大的和高度并行的多层非重叠Schwarz预处理器，解决了一个系统的稳态，奇摄动反应扩散方程的奇异反应算子的内部惩罚间断Galerkin有限元离散，使用GMRES求解器。我们提供的两个级别的设置和多重网格V-循环的收敛性证明，以及广泛的制度的数值结果。
2020-09-05 cs.NA math.NA
Face-based Selection of Corners in 3D Substructuring
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Czech Republic（捷克科学院数学研究所）；Department of Mathematics, Faculty of Mechanical Engineering Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学机械工程学院数学系）；Department of Mathematics, Faculty of Civil Engineering Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学土木工程学院数学系）
本文提出一种新的启发式算法，以面为基本单元选择角点，确保子域和全局粗问题的可逆性，并在结构分析问题中验证其优于传统方法。
2011-03-19 cs.NA math.NA
Multilevel Spectral Domain Decomposition
高度不均匀的各向异性系数，例如在碳纤维复合材料部件的模拟中，可能导致极其具有挑战性的有限元系统。直接求解器产生的大型和稀疏的线性系遭受严重的内存需求和有限的并行可扩展性，而迭代求解器一般缺乏鲁棒性。两级谱区域分解方法通过使用基于子域中独立广义特征值问题的粗糙空间，可以为对称正定线性系提供这种鲁棒性。严格的条件数界限与网格步长、子域数以及系数对比度无关。然而，它们的并行可扩展性仍然受到以下事实的限制：（为了保证鲁棒性）粗问题是通过直接法解决的。在本文中，我们介绍了一个多级变量的背景下，子空间校正方法，并提供了一个一般的收敛理论，其强大的抽象，椭圆变分问题收敛。理论的假设验证符合，以及适用于标量扩散问题的不连续Galerkin方法。数值结果表明，该方法的性能为二维和三维的问题，并为各种离散计划，在标量扩散和线性弹性的背景下。
2021-06-15 cs.NA math.NA
Some multilevel decoupled algorithms for a mixed Navier-Stokes/Darcy model
Morgan State University（摩根州立大学）；Nanjing Forestry University（南京林业大学）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
本文提出多级解耦算法用于混合纳维-斯托克斯/达西模型，通过求解耦合非线性粗网格问题后依次或并行求解两个线性子域问题，给出误差估计以验证算法精度，并通过一阶和二阶离散化实验展示算法有效性。
2017-02-24 cs.NA math.NA
Multilevel Second-Moment Methods with Group Decomposition for Multigroup Transport Problems
North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）；Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）
本文提出多级迭代方案求解多群玻尔兹曼传输方程，采用多群和灰低阶方程的二阶矩方法，并通过安德森加速提升收敛性和计算效率。
2021-02-17 cs.NA math.NA physics.comp-ph
parGeMSLR: A Parallel Multilevel Schur Complement Low-Rank Preconditioning and Solution Package for General Sparse Matrices
本文讨论了parGeMSLR，一个C++/MPI软件库，用于在分布式存储计算环境下通过预条件Krylov子空间方法求解稀疏线性代数方程组。parGeMSLR中实现的预条件子是基于代数区域分解和分区的对称邻接图递归到几个不重叠的分区通过一个p路顶点分离器，其中p是整数倍的MPI进程的总数。从数值的角度来看，parGeMSLR建立了一个舒尔补近似逆预条件子之间的总和界面耦合矩阵的矩阵逆和低秩校正项。为了减少与近似逆矩阵的计算相关联的成本，parGeMSLR利用代数域的多级划分。parGeMSLR库是在消息传递接口之上实现的，可以求解实数和复杂的线性系统。此外，parGeMSLR可以利用具有对一个或多个图形处理单元的节点内访问的混合计算环境。最后，parGeMSLR的并行效率（弱和强标度）上所产生的三维偏微分方程的离散化的几个模型问题证明。
2022-05-04 cs.MS cs.NA math.NA
Scheduling massively parallel multigrid for multilevel Monte Carlo methods
三维偏微分方程的朴素的、基于采样的不确定性量化的计算复杂性是非常高的。多级方法，如多级蒙特卡罗（MLMC），可以大大降低复杂性，但充分利用它们在并行环境中，复杂的调度策略是必要的。通常，并行执行的快速算法对于计算3D中的精细水平样本是必不可少的，而为了计算单独的粗略水平样本，只能有效地采用中等数量的处理器。我们利用多个实例的并行多重网格求解器结合先进的负载均衡技术。特别是，我们优化的并发执行的MLMC方法的三个层：跨级别，跨样本，跨空间网格的并行化。将分析这些方法的整体效率和性能。这里，多重网格求解器的可扩展性窗口被揭示为是必不可少的，即，该属性的解决方案可以计算的进程数的范围，同时保持良好的并行效率。我们评估了一系列的数值测试中的新的调度策略，并得出结论，证明大型3D缩放实验的文件。
2016-07-12 cs.CE cs.DC cs.MS
Multilevel Preconditioning Strategies for Convex Optimization Methods in Image Deblurring
University of Insubria（因苏布里亚大学）；King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；Università della Svizzera italiana（瑞士意大利语联邦理工学院）
研究图像去模糊中凸优化方法，结合预处理和多级策略为正则化凸优化问题的算法设计加速框架，经图像去模糊数值实验验证，该方法相比标准方法在收敛速度上有显著提升。
2026-07-14 cs.NA math.NA
On accelerating a multilevel correction adaptive finite element method for Kohn-Sham equation
基于[G. Hu，X. Xie，F. Xu，J. Comput.物理、355（2018），436 - 449.]对于Kohn-Sham方程，本文利用i）进一步提高了效率。设计了一种数值方法，其策略是将非线性Hartree势和交换关联势分开处理; ii）采用特征对方法将算法并行化。详细分析了两种方法的可行性，并对新算法进行了完整的描述.通过大量的数值实验，与已有的结果相比，新方法的数值效率有了明显的提高，更适合于实际问题。
2021-03-04 cs.NA math.NA
Novel multilevel preconditioners for the systems arising from plane wave discretization of Helmholtz equations with large wave numbers
LSEC, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文提出用于大波数平面波离散化Helmholtz方程组的新型多级预条件器，通过多级重叠空间分解构建加法多级预条件器，并设计了带平滑器的加法和乘法多级预条件器，实现稳定收敛。
2016-07-16 cs.NA math.NA
An experimental comparison of a space-time multigrid method with PFASST for a reaction-diffusion problem
我们考虑两个并行的时间方法应用于（反应）扩散问题，可能是非线性的。特别是，我们认为PFASST（空间和时间的并行全近似方案）和时空多级策略。对于这两种方法，我们开始从一个连续的时间依赖性问题的积分公式。然后，PFASST的配置形式和时空多重网格在时间上的不连续Galerkin离散，导致在时间节点上相同的离散解。强和弱缩放的两个多层次的战略比较不同的时间离散化的顺序。此外，我们调查各自的收敛行为的非线性问题，并强调定量的差异。
2021-01-07 cs.NA math.NA
Randomized multilevel Monte Carlo for embarrassingly parallel inference
这份立场文件总结了最近开发的一个研究项目，该项目专注于以数据为中心的科学和工程应用背景下的推理，并预测了未来十年的发展轨迹。在这种情况下，人们通常会努力学习复杂的系统，以便在不确定的情况下做出更明智的预测和高风险决策。在这种情况下，必须满足的一些关键挑战是鲁棒性，可推广性和可解释性。贝叶斯框架优雅地解决了这三个挑战，同时也带来了第四个不受欢迎的功能：它通常比确定性框架昂贵得多。在21世纪，并且在过去的十年中，越来越多的方法已经出现，这些方法允许人们利用廉价的低保真度模型，以便对用于使用更昂贵的模型执行推理的算法进行预处理，并且使得贝叶斯推断在高维和昂贵的模型的上下文中易于处理。值得注意的例子是多级蒙特卡罗（MLMC），多指标蒙特卡罗（MIMC），和他们的随机化的同行（rMLMC），这是能够证明实现一个独立的维度（包括$\infty-$维度）规范复杂度相对于均方误差（MSE）的$1/$ MSE。一些并行性通常在推理上下文中丢失，但最近这在很大程度上通过新的双随机化方法恢复。这种方法提供了i.i.d.感兴趣的量的样本，其相对于无限分辨率目标分布是无偏的。在未来十年中，这一系列算法有可能通过扩大和扩展完全贝叶斯推断来改变以数据为中心的科学和工程，以及经典的机器学习应用程序，如深度学习。
2021-12-03 cs.NA math.NA stat.CO
Multilevel Stochastic Gradient Descent for Risk-Averse PDE-Constrained Optimization
Heidelberg University（海德堡大学）；Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics（约翰·拉多纳计算与应用数学研究所）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
提出多级随机梯度下降算法求解风险规避三维PDE约束优化问题，利用自适应多级蒙特卡洛梯度估计，相比标准批处理方法具有更优收敛速度和计算复杂度。
2026-06-23 cs.NA math.NA math.OC
Fast multilevel sparse Gaussian kernels for high-dimensional approximation and integration
University of Leicester（莱斯特大学）
本文提出基于方向缩放张量积高斯核的快速多级算法，用于高维函数插值和高维积分计算，通过预计算一维基函数实现并行化插值与积分。
2015-01-14 cs.NA math.NA
Uncertainty quantification in coastal aquifers using the multilevel Monte Carlo method
我们考虑一类密度驱动流问题。我们对沿海含水层盐碱化问题特别感兴趣。我们认为亨利盐水入侵问题与不确定的孔隙度，渗透率和补给参数作为一个测试案例。存在不确定性的原因是缺乏知识、测量不准确以及无法在每个空间或时间位置测量参数。这个问题是非线性的和时间相关的。解决方案是盐的质量分数，这是不确定的，并随时间变化。利用随机场模拟孔隙度、渗透率、补给量和质量分数的不变性。这项工作研究了著名的多级蒙特卡罗（MLMC）方法对这些问题的适用性。MLMC方法可以减少总的计算和存储成本。此外，MLMC方法在不同的空间和时间网格上运行多个场景，然后估计质量分数的平均值。并行化在物理空间和随机空间中进行。为了解决每一个确定性的情况下，我们运行并行多重网格求解器ug4在一个黑盒的方式。我们使用从拟蒙特卡罗方法获得的解决方案作为参考解决方案。
2023-02-13 cs.NA math.AP math.NA
A highly parallel multilevel Newton-Krylov-Schwarz method with subspace-based coarsening and partition-based balancing for the multigroup neutron transport equations on 3D unstructured meshes
Idaho National Laboratory（爱达荷国家实验室）
本文提出了一种高并行多级牛顿-克雷洛-施瓦茨方法，结合子空间粗化、基于分区的平衡和分层网格分区，以实现多组中子输运方程在3D无结构网格上的强标量性计算。
2019-03-08 cs.CE cs.DC cs.NA
Multilevel Stochastic Gradient Descent for Optimal Control Under Uncertainty
提出一种多层随机梯度下降法，用于求解受不确定输入数据影响的偏微分方程最优控制问题，通过并行多层蒙特卡洛估计随机梯度，实现线性收敛并显著优于标准随机梯度下降法。
2026-06-23 cs.MS cs.NA math.NA
Space-time multilevel Monte Carlo methods and their application to cardiac electrophysiology
我们提出了一种新的方法，旨在高性能的不确定性量化的时间依赖性偏微分方程的问题。特别是，我们考虑输入的不确定性描述的Karhunen-Loeeve扩展和计算统计的高维数量的利益，如心脏激活潜力。我们的方法依赖于一个紧密结合的多级蒙特卡罗方法，并行迭代求解器，和时空离散化。这种组合允许空时自适应、时变域，并利用过去的样本来初始化空时解。使用多级并行化策略来分布所产生的问题序列，将具有不同大小的样本批次分配到不同数量的处理器。我们评估性能的建议框架，详细显示其应用程序所产生的心脏电生理非线性方程的解决方案。具体而言，我们研究了心脏纤维传导率的空间相关扰动对所得到的激活图的平均值和方差的影响。实验结果表明，多层蒙特卡罗算法达到了理论上的收敛速度。此外，对于规定的精度的总计算工作减少了一个数量级相对于标准的蒙特卡罗方法。
2021-02-03 cs.CE cs.NA math.AP
On the mean-field limit for Stein variational gradient descent: stability and multilevel approximation
针对似然评估成本高的贝叶斯反问题中Stein变分梯度下降计算开销大的问题，提出多层SVGD变体，通过并行运行不同似然近似层级的粒子动力学并调整各层粒子数，可显著降低计算复杂度，数值实验验证了理论加速效果。
2024-02-02 cs.NA math.NA stat.ME
A staggered-grid multilevel incomplete LU for steady incompressible flows
用于研究不可压缩流中的转捩和不稳定性的算法通常需要具有完整雅可比矩阵的线性系的解。其他流行的方法，如基于梯度的设计优化和全隐式时间积分，也需要非常强大的求解器，这种类型的线性系。提出了一种在结构网格上求解三维定常不可压Navier-斯托克斯方程的并行完全耦合多层不完全因式分解预条件子。该算法和软件是基于强大的两个层次的方法开发的Wubs和Thies。在本文中，我们确定了一些两级方案的弱点，并提出了补救措施，如不同的域划分和递归应用的方法。我们将该方法应用于著名的3D盖驱动腔基准问题，并通过与隔离SIMPLE型预处理器的比较，证明了其优越的鲁棒性。
2020-11-11 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Adaptive Numerical Treatment of Elliptic Systems on Manifolds
University of California, San Diego（加利福尼亚大学圣迭戈分校）
针对几何分析和广义相对论中的椭圆系统，开发并分析了自适应多层有限元方法，并介绍了流形代码（MC）的设计与实现。
2010-01-08 cs.NA math.NA
A scalable multilevel domain decomposition preconditioner with a subspace-based coarsening algorithm for the neutron transport calculations
多群中子输运方程已被广泛用于研究核反应堆中中子与本底物质的相互作用。使用现代超级计算机对多群中子输运方程进行高分辨率模拟需要发展可扩展的并行求解技术。本文研究了一种求解多群中子输运方程离散化所产生的代数系统的可缩放输运方法。建议的运输方法包括一个完全耦合的牛顿求解器的广义本征值问题和GMRES连同一个新的多级区域分解预处理的雅可比系统。多级预处理器已成功地用于许多问题，但某些问题，特别是非结构化网格问题的粗糙空间的构建是昂贵的，往往是不可扩展的。我们引入了一个新的基于子空间的粗化算法来解决这个问题，探索在中子输运问题的离散化版本的矩阵的结构。我们数值证明，所提出的传输方法是高度可扩展的，具有超过10，000个处理器内核的3D C5G7基准问题的非结构化网格与数十亿个未知数。与传统的多级区域分解方法相比，该方法采用了基于子空间的粗化算法，在粗空间的构造上速度更快。
2019-06-18 cs.DC cs.NA math.NA
Uncertainty Quantification by MLMC and Local Time-stepping For Wave Propagation
蒙特卡罗方法由于其鲁棒性、高效性和非侵入性，可能是不确定性量化中最流行的方法，用于计算感兴趣的量（QoIs）的期望值。多层蒙特卡罗（MLMC）方法通过将采样分布在离散化的层次结构中并将大多数样本分配到较粗的网格中来显着降低计算成本。对于不定常问题，空间粗化通常需要增加时间步长。然而，几何约束可能会阻碍均匀粗化，从而迫使一些元素在所有级别上保持较小。如果使用显式时间步长，则时间步长将由每个水平上的最小元素决定，以实现数值稳定性。因此，越来越严格的CFL条件上的时间步长上的粗糙水平显着降低了多层次的方法的优势。为了克服这一瓶颈，我们建议结合MLMC与本地时间步进（LTS）的多级方法。通过调整时间步长以适应每个层次上的局部细化元素，MLMC方法的效率即使在存在复杂几何的情况下也能恢复，而不会牺牲显式性和固有的并行性。在一个仔细的成本比较，我们量化的计算成本的减少，无论是在一个小的固定区域内，或对一个重入角的局部细化。
2022-04-11 cs.NA math.NA
Large scale simulation of pressure induced phase-field fracture propagation using Utopia
非线性相场模型越来越多地用于裂缝扩展模型的模拟。实际规模的裂隙网络的数值模拟需要大型耦合非线性系统的高效并行求解。虽然在原则上有效的迭代多层次的方法，这些类型的问题是可用的，他们并没有被广泛应用于实践中，由于其并行实现的复杂性。在这里，我们提出了乌托邦，这是一个开源的C++库的并行非线性多级解决方案的战略。Utopia提供了高级编程接口的优点，同时也是一个访问低级数据结构而不破坏代码封装的框架。复杂的数值过程可以用几行代码来表达，并由不同的实现、库或计算硬件来评估。在本文中，我们研究我们的实现的递归多级信赖域（RMTR）方法的并行性能的基础上的乌托邦图书馆。RMTR是一种全局收敛的多层求解策略，用于求解非凸约束极小化问题。特别是，我们解决了压力引起的相场裂缝在大型和复杂的裂缝网络的传播。解决这些问题被认为是具有挑战性的，即使是几个裂缝，然而，在这里，我们正在考虑的网络的现实规模高达1000裂缝。
2020-07-25 cs.DC cs.NA math.NA
Multilevel Picard scheme for solving high-dimensional drift control problems with state constraints
针对高维带状态约束的漂移控制问题，提出多层Picard近似方案，证明其克服维数灾难，数值实验验证维度至少20可行。
2025-10-24 cs.NA math.AP math.NA
Scaling Structured Multigrid to 500K+ Cores through Coarse-Grid Redistribution
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）
本文提出通过增量聚类实现粗网格问题的重分布算法，提升结构化多网格的并行扩展性，通过二维扩散问题验证性能提升，并在大规模计算系统上展示可扩展性。
2018-03-06 cs.MS cs.NA cs.PF
Uncertainty quantification in the Henry problem using the multilevel Monte Carlo method
针对沿海含水层盐化的不确定Henry海水入侵问题，研究应用多层蒙特卡罗（MLMC）方法，通过多层次时空网格和双重并行化显著降低计算与存储成本。
2024-02-22 cs.CE cs.NA math-ph
Applications of Domain Decomposition and Partition of Unity Methods in Physics and Geometry
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
提出一类结合自适应多重网格有限元、区域分解和单位分解方法的并行算法（PPUM），具有低通信需求、简单近似理论框架和易于集成复杂顺序自适应有限元软件的特点，并通过引力波模型中的爱因斯坦约束方程数值示例验证。
2010-01-08 cs.NA math.NA
Parallel Element-based Algebraic Multigrid for H(curl) and H(div) Problems Using the ParELAG Library
本文利用ParELAG库实现基于单元的代数多重网格层次结构，为H(curl)和H(div)问题构建多层预条件子与求解器，通过相容嵌套空间、混合平滑器及AMS/ADS实现完整多重网格循环，并展示了其并行性能与库功能。
2022-12-17 cs.MS cs.NA math.NA
Performance of explicit and IMEX MRI multirate methods on complex reactive flow problems within modern parallel adaptive structured grid frameworks
针对多物理场模拟的多时间尺度耦合难题，对比了SUNDIALS中不同MRI多速率方法在两类反应流问题上的性能，验证了其结合AMReX高级空间离散特性的显著效率优势。
2022-11-07 cs.MS cs.NA math.NA
