Polyline Drawings with Topological Constraints
设$G$是一个简单拓扑图，$Γ$是$G$的一个简单图.如果$Γ$与$G$具有相同的外边界、相同的旋转系统和相同的交叉集，则我们称之为$G$的$Γ$ \emph{partially preserves the topology}。如果$G$的平面化和$Γ$的平面化具有相同的平面嵌入，则绘制$Γ$完全保留了$G$的拓扑。我们证明了如果$G$的无交叉边集形成一个连通生成子图，则$G$允许一个部分保持其拓扑结构且曲线复杂度至多为3的连续图（即，每边最多三个弯曲）。然而，如果$G$的无交叉边的集合不是连通生成子图，则曲线复杂度可以是$Ω(\sqrt{n})$。关于图纸，完全保留的拓扑结构，我们表明，如果$G$有偏度$k$，它承认一个这样的绘图曲线复杂性最多$2k$ ;偏度为1的图，曲线复杂性可以减少到一个，这是一个紧的界限。我们还考虑最佳的$2$ -平面图，并讨论曲线的复杂性和交叉角分辨率的图纸，完全保持拓扑结构之间的权衡。
2018-09-21 cs.CG
A Simple Partially Embedded Planarity Test Based on Vertex-Addition
针对部分嵌入平面性问题，提出一个基于顶点添加和修改PC树数据结构的线性时间算法，相比以往复杂方法更简单且易于实现。
2024-10-17 cs.CG
Upright-Quad Drawing of st-Planar Learning Spaces
我们考虑学习空间的图形绘制算法，学习空间是一种面向st的部分立方体，来自antimatroids，用于模拟学生的知识状态。我们展示了如何绘制任何st-平面学习空间，使所有内部面都是凸四边形，底边水平，左侧垂直，有一个最小和一个最大顶点。相反地，每一个这样的绘图代表一个st-平面学习空间。我们还描述了这些图之间的连接和一个象限的翻译安排。
2006-07-20 cs.CG
1-Bend RAC Drawings of 1-Planar Graphs
一个图是1-平面的，如果它有一个图，其中每个边最多交叉一次。如果边仅以直角相交，则图形为RAC（直角相交）。1-平面图和RAC图之间的关系在文献中已经得到了部分研究。已知存在不可绘制直线RAC的1-平面图和具有直线RAC绘制但不是1-平面的图。此外，直线RAC图纸总是存在的IC-平面图，1-平面图的子类。一个仍然悬而未决的主要问题是，是否每个单平面图都有一个RAC绘图，每个边最多有一个弯曲。我们肯定地回答这个问题。
2016-08-30 cs.CG
Parameterised Partially-Predrawn Crossing Number
受部分图扩展研究的启发，我们提出了一个新的视角，传统的，可以说是最重要的几何图形参数，交叉数。具体来说，我们定义部分预绘制的交叉数是任何图形中的最小交叉数，其中一部分是在输入中规定的（不计算规定的交叉）。我们的主要成果-FPT算法计算部分预画交叉数-结合了先进的思想，从研究的经典交叉数和所谓的部分平面性在一个非常自然的，但复杂的方式。我们的技术不仅概括了已知的FPT算法的Grohe计算标准的交叉数，它们也使我们能够大大提高了一些最近的参数化结果的各种绘图扩展问题。
2022-02-28 cs.CG cs.DM
Algorithms for Drawing Media
我们描述的算法绘制媒体，系统的状态，令牌和动作，具有状态转换图的形式部分立方体。我们的算法是基于两个原则：嵌入状态转换图在一个低维整数格和投影到平面上的晶格，或绘制介质作为一个平面图与中心对称的面孔。
2004-06-16 cs.CG cs.DS
Drawing Two Posets
研究了同一个基集的两个偏序集的绘制问题，使得一个偏序集从左向右绘制，另一个偏序集从下向上绘制。这个问题的输入是一个有向图$G = (V, E)$和两个具有$X \cup Y = E$的集合$X, Y$，每个集合都可以解释为$V$的偏序。任务是找到$G$的平面图，使得$X$中的每个有向边被绘制为$x$ -单调边，并且$Y$中的每个有向边被绘制为$y$ -单调边。这样的绘图称为$xy$ -平面绘图。检验一个图是否允许$xy$ -平面图是NP-完全的。考虑了$G$的平面嵌入固定，且由$Y$中的边导出的$G$的子图是$G$的一个向上嵌入固定的连通生成子图的情形.对于这种情况下，我们提出了一个线性时间算法，确定是否$G$承认$xy$平面绘图，如果是这样，产生一个$xy$平面的绘图，最多有三个弯曲的每边。
2020-10-24 cs.CG
Extending Nearly Complete 1-Planar Drawings in Polynomial Time
扩展部分几何图表示（如平面图）的问题近年来受到了相当大的关注。具体地，给定图$G$、$G$的连通子图$H$和$H$的绘图$\mathcal{H}$，扩展问题询问是否可以将$\mathcal{H}$扩展成$G$的绘图，同时保持绘图的某些期望属性（例如，平面性）。在他们的突破性结果中，Angelini等人[ACM TALG 2015]表明，当目标是保持平面性时，扩展问题是多项式时间可解的。最近，我们考虑了部分1-平面绘图[ICALP 2020]的这个问题，这是平面中的绘图，允许每条边最多有一个交叉。最重要的问题，确定和左开放的工作是，当$H$可以从$G$通过删除有限数量的顶点和边得到的问题是否可以在多项式时间内解决。在这项工作中，我们通过提供一个建设性的多项式时间决策算法来积极回答这个问题。
2020-07-08 cs.CC cs.CG
Extending Orthogonal Planar Graph Drawings is Fixed-Parameter Tractable
在文献中已经广泛研究了在坚持对表示的约束的同时找到对给定的图的部分绘图的扩展的任务，其中众所周知的结果为基本表示（例如平面和超平面拓扑绘图）提供了有效的算法。本文研究了平面连通图的弯曲最小正交图的扩张问题，这是最基本的几何图形表示之一。虽然已知该问题是\NP -难的，但考虑仅需绘制图的一小部分的情况是很自然的。在这里，我们建立了固定参数的问题时，参数化的缺失子图的大小的易处理性。我们的算法是基于多个新的成分internalized几何和组合参数。这些措施包括识别一个新的图形表示的弯曲等效区域的顶点放置在平面上，建立一个绑定的树宽度的这个辅助图，和一个全球点网格，使我们能够离散的可能放置的弯曲和顶点到本地有界的子网格为上述每个区域。
2023-02-20 cs.CG
The Crossing Number of Seq-Shellable Drawings of Complete Graphs
Harary-Hill猜想指出，对于每个$n>0$，$n$上的完全图的顶点$K_n$，其所有可能的图的最小交叉数等于\begin{align*} H(n) := \frac{1}{4}\Big\lfloor\frac{n}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-1}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-2}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-3}{2}\Big\rfloor\text{.} \end{align*}。到目前为止，该猜想的下界只能对$K_n$与$n\leq 12$的任意图得到验证。近年来，对某些类型的图形，如$2$ -page-book，$x$ -monotone，$x$ -bounded，shellable和bishellable图形的猜想的验证取得了进展。到目前为止，双壳图类是Harary-Hill猜想已被证实的最广泛的类，因为它包含了所有前面提到的类。在这项工作中，我们介绍了类的seq-shellable图纸，并验证了Harary-Hill猜想这个新的类。我们证明了双壳性蕴涵了序列可壳性，并证明了$K_{11}$的一个不可双壳但可序列可壳的图类，因此可序列可壳的图类严格包含了可双壳的图类.
2018-03-20 cs.CG math.CO
Level-Planar Drawings with Few Slopes
介绍并研究了具有固定数量$λ$斜率的水平平面直线图。对于适当的水平图，我们给出了一个$O(n \log^2 n / \log \log n)$的时间算法，找到这样的图纸或确定没有这样的图纸存在。此外，我们考虑部分绘图扩展问题，我们试图将一个不可变的子图的绘图扩展到整个图的绘图，以及同时绘图问题，它要求存在两个图的绘图，它们的限制，他们的共享子图一致。我们提出$O(n^{4/3} \log n)$ -时间和$O(λ n^{10/3} \log n)$ -时间的算法，这些相应的问题适当的水平平面图。我们补充这些积极的结果表明，测试是否非适当的水平图承认水平平面图纸与$λ$斜率是$\textsf{NP}$ -硬，即使在有限的情况下。
2019-07-31 cs.CG cs.DS
On Layered Fan-Planar Graph Drawings
在本文中，我们研究使用$h$层的扇平面图，并且是适当的，即，边缘连接相邻层。我们证明了，如果图的嵌入是固定的，那么在$h$中测试这样的图的存在性是固定参数易处理的，通过Dujmović等人对平面图的类似结果的简化。如果嵌入不是固定的，那么我们给出了$h=2$的部分结果：已经知道如何测试2连通图的扇平面真2层图的存在性，我们在这里展示如何测试树。一路上，我们展示了其他有趣的结果与一个风扇平面适当的$h$层图纸的图形，特别是我们绑定他们的路径宽度，并表明他们有一个酒吧-1-可见性表示。
2020-02-22 cs.CG cs.DM
Plane Spanning Trees in Edge-Colored Simple Drawings of $K_n$
Károlyi、Pach和Tóth证明了完全图的每一个2-边着色直线图都包含一棵单色平面生成树。如果此语句推广到其他类别的绘图，特别是完整图形的简单绘图，则它是开放的。这些图形中的边由约旦弧表示，其中任何两个最多相交一次。我们提出了两个部分结果对这样的推广。首先，我们表明，该声明适用于圆柱形简单绘图。(In在圆柱形绘图中，所有顶点都放置在两个同心圆上，并且没有边与任何一个圆相交。）其次，我们引入了一个放松的问题，其中图是$k$ -边着色的，目标结构必须是减色的，也就是说，避免（至少）一个颜色类。在此设置中，我们表明，每$\lceil (n+5)/6\rceil$边着色单调简单的$K_n$绘图包含一个全色平面生成树。(In在单调绘图中，每条边都表示为$x$ -单调曲线。）
2020-08-20 cs.CG cs.DM
On the edge-length ratio of 2-trees
我们研究平面直线图，最小化的最长和最短边的长度之间的比率。我们回答一个问题的拉扎德等人。[理论。Comput. Sci. 770（2019），88- 94]，并且对于任何给定的常数$r$，我们提供了一个$2$树，它不允许具有由$r$限定的比率的平面直线绘图。当该比值仅限于相邻边时，我们证明了对于任意小的$\varepsilon > 0$，任何$2$ -树都有一个边长比至多为$4 + \varepsilon$的平面直线图，因此部分$2$ -树的局部边长比的上界为$4$ .
2020-08-20 cs.CG
RAC Drawings of Graphs with Low Degree
受认知实验的启发，提供了大交叉角度不会损害图形绘制的可读性的证据，RAC（直角交叉）绘图被引入以通过支持所有交叉形成90°角的最佳情况来解决产生非平面图形的可读表示的问题。在这项工作中，我们取得了进展的问题，找到RAC图纸的低程度的图。在这种情况下，一个长期存在的开放问题是，是否所有的3度图都允许直线RAC绘图。对于Hamilton度为3的图，这个问题已经得到了肯定的回答。我们改进了这一结果，通过扩展到类的3-边着色度3图。当每个边被允许有一个弯曲，我们证明了度-4图承认这样的RAC图纸，这是以前只知道度-3图的结果。最后，我们证明了7-边可着色度为7的图允许每边有两个弯曲的RAC图。这改进了以前的结果6度图。
2022-06-29 cs.CG cs.DM cs.DS
Crossing-Optimal Extension of Simple Drawings
在部分图绘图的扩展问题中，给出了输入图$G$的不完整绘图，并要求在保持某些属性的情况下完成绘图。出现这种问题的一个突出领域是交叉最小化。对于平面图和各种放宽这些，有一些易处理性以及下限的结果，探索交叉敏感的绘图扩展问题的计算复杂性。相比之下，相对较少的结果是已知的基本和广泛的一类简单的图纸，即图纸中的每对边缘相交在最多一个点的扩展问题。事实上，直到最近，它已被证明，简单的图纸延伸问题是NP-难的，即使任务是插入一个单一的边缘。在本文中，我们提出了简单的图纸交叉敏感的延伸问题的易处理的结果。特别是，我们表明，插入到一个简单的绘图的边缘的问题是固定参数的参数化时，易于处理的边缘插入和上界新创建的交叉点的数量。使用相同的证明技术，我们也能够回答这个问题的几个密切相关的变种，其中包括$k$ -平面图纸的扩展问题。此外，使用不同的方法，我们提供了一个单指数固定参数算法的情况下，我们只是试图插入一个单一的边缘到绘图。
2020-12-14 cs.CG cs.DS
Outerplanar graph drawings with few slopes
我们考虑外平面图的直线外平面图，其中使用少量不同的边斜率，即表示边的线段平行于少量方向。我们证明了$Δ-1$边斜率对于每一个最大度为$Δ\ge 4$的外平面图都是足够的。这改进了$O(Δ^5)$的上界，该上界是针对平面部分3-树（外平面图的超类）而给出的。边界很紧：对于每一个$Δ\ge 4$，存在具有最大度$Δ$的外平面图，该外平面图在外平面直线图中需要至少$Δ-1$不同的边斜率。
2014-04-10 cs.CG cs.DM math.CO
Drawing Planar Graphs with Many Collinear Vertices
请考虑以下问题：给定一个平面图$G$，使$G$有一个平面直线图且其顶点$p$共线的最大数目是多少？这个问题存在于几个图形绘制问题的核心，包括通用点子集，解开和列平面性。以下结果是已知的：每个$n$ -顶点平面图有一个平面直线图与$Ω(\sqrt{n})$共线顶点;对于每个$n$，有一个$n$ -顶点平面图，其每个平面直线图与$O(n^σ)$共线顶点，其中$σ<0.986$ ;每个树宽至多为2的$n$ -顶点平面图有一个平面直线图与$Θ(n)$共线顶点。我们将线性边界推广到树宽至多为3的平面图和三连通三次平面图。这（部分）回答了Ravsky和Verbitsky提出的两个开放问题[WG 2011：295- 306]。类似的结果是不可能的所有有界树宽平面图或所有有界度平面图。对于树宽至多为3的平面图，我们的结果也意味着上述所有其他绘图问题的渐近紧界。
2016-08-31 cs.CG math.CO
Windrose Planarity: Embedding Graphs with Direction-Constrained Edges
给定平面图$G$和每个顶点$v$的邻居在四个集合$UR(v)$、$UL(v)$、$DL(v)$和$DR(v)$中的划分，问题Windrose Planarity要求决定$G$是否允许Windrose平面绘图，即，其中（i）每个邻居$u \in UR(v)$在$v$的右上方，（ii）每个邻居$u \in UL(v)$在$v$的左上方，（iii）每个邻居$u \in DL(v)$在$v$的左下方，（iv）每个邻居$u \in DR(v)$在$v$的右下方，以及（v）边缘由相对于每个轴单调的曲线表示。通过利用顶点之间的水平和垂直关系，windrose-planar绘图允许同时可视化由图的边缘定义的两个偏序。虽然在一般情况下，这个问题是NP-难的，我们给出了一个多项式时间算法来测试是否存在一个windrose-planar绘图，尊重给定的组合嵌入。该算法是基于一个特征的平面三角剖分承认一个windrose平面图。此外，对于任何具有$n$顶点的嵌入图，其具有一个windrose-planar绘图，我们可以构造一个每条边至多有一个弯曲并且总共至多有$2n-5$弯曲的图，其位于$3n \times 3n$网格上。后一结果与直线风玫瑰平面图可能需要指数面积的事实形成对比。
2018-09-06 cs.CG
The Complexity of Drawing a Graph in a Polygonal Region
我们证明了以下问题对于实数的存在性理论是完备的：给定一个平面图和一个多边形区域，其中图的一些顶点被分配给区域边界上的点，将剩余的顶点放置在区域内以创建图的平面直线图。这加强了Patrignani关于扩展部分平面图的NP-困难结果。我们的结果是第一次表明，画平面图的直线边的问题是很难的实数的存在理论之一。问题的复杂性在单连通区域的情况下是开放的。我们还表明，即使是整数输入坐标，这是可能的，绘制一个图形在多边形区域需要一些顶点被放置在无理坐标。相比之下，已知坐标在凸区域的特殊情况下是有界的，或者用于在任何多边形区域中绘制路径。
2018-09-05 cs.CC cs.CG cs.DM
Extending Biconnected Straight-Line Planar Drawings
Roma Tre University（罗马第三大学）；CeDiPa - University of Perugia（佩鲁贾大学 CeDiPa）
研究双连通直线平面绘图的部分绘图可扩展性问题（PDE），证明特定条件下PDE仍NP难，给出H为双连通、G有固定嵌入且含p条长度为2路径时的O(p^2 n)时间算法，还表明该问题在特定条件下关于G的顶点覆盖数是固定参数可处理的。
2026-07-29 cs.CG cs.DS
Extending Upward Planar Graph Drawings
在本文中，我们研究的计算复杂性的向上平面扩展问题，这需要在输入一个向上的平面图$Γ_H$的一个子图$H$的有向图$G$，并询问是否$Γ_H$可以扩展到一个向上的平面图$G$。我们的研究符合部分表示可扩展性的研究路线，该研究最近已成为图形绘制中的主流。我们显示以下结果。首先，证明了平面向上扩张问题是NP完全的，即使$G$有一个指定的向上嵌入，$H$的顶点集也与$G$的顶点集重合，并且$H$不含边.其次，证明了如果$G$是一个$n$ -顶点向上平面$st$ -图，则向上平面扩张问题可以在$O(n \log n)$时间内求解.这一结果改进了一个已知的$O(n^2)$时间算法，但适用于所有的$n$ -顶点单源向上平面图。最后，我们将展示如何在多项式时间内解决一个令人惊讶的困难版本的向上平面性扩展问题，其中$G$是一个有向的路径或循环与规定的向上嵌入，$H$不包含任何边缘，没有两个顶点共享相同的$y$坐标在$Γ_H$。
2019-02-18 cs.CG cs.DS
Recognition and Drawing of Stick Graphs
\emph{Stick graph}是轴对齐段的相交图，使得水平段的左端点和垂直段的底端点位于“基线”上，“基线”是具有斜率$-1$的线。在多项式时间内判定一个给定的二部图$A\cup B$是否具有棒表示是一个开放性问题，其中$A$和$B$中的顶点分别对应于水平和垂直段。我们证明了$G$具有Stick表示当且仅当存在$A$和$B$的排序使得$G$的行$A$和列$B$的二部邻接矩阵排除三个小的“禁止”子矩阵。这类似于其他类型的二部相交图的特征。我们提出了一个算法来测试是否给定的顺序$A$和$B$允许坚持表示尊重这些顺序，并找到这样的表示，如果它存在。该算法在时间上与邻接矩阵的大小成线性关系。对于只给出$A$的序的情况，我们给出了一个$O(|A|^3|B|^3)$ -时间算法.当这两个命令是给定的，我们提出了一些部分结果图，或不，坚持表示。
2018-08-29 cs.CG
Z_2-genus of graphs and minimum rank of partial symmetric matrices
图$G$的\emph{genus} $\mathrm{g}(G)$是最小$g$，使得$G$在亏格为$g$的可定向曲面$M_g$上有嵌入。在曲面上绘制的图形称为\emph{independently even}，如果图形中每对不相邻的边相交偶数次。图$G$的\emph{$\mathbb{Z}_2$-genus}，记为$\mathrm{g}_0(G)$，是最小$g$，使得$G$在$M_g$上有独立偶图。根据Battle，Harary，Kodama和Youngs在1962年的一个结果，图的亏格在2-连通块上是可加的。在2013年，Schaefer和Štefanković证明了图的$\mathbb{Z}_2$ -亏格在2-连通块上也是可加的，并询问这个结果是否可以扩展到所谓的2-合并，作为Decker，Glover，Huneke和Stahl对亏格的结果的类似。我们给出以下部分答案。如果$G=G_1\cup G_2$、$G_1$和$G_2$在两个顶点$u$和$v$中相交，并且$G-u-v$具有$k$连通分量（如果存在，我们将边$uv$计算在内），则$|\mathrm{g}_0(G)-(\mathrm{g}_0(G_1)+\mathrm{g}_0(G_2))|\le k+1$。对于完全二部图$K_{m,n}$，利用$n\ge m\ge 3$，我们证明了$\frac{\mathrm{g}_0(K…
2019-03-20 cs.CG cs.DM math.CO
Outside-Obstacle Representations with All Vertices on the Outer Face
本文研究单障碍位于外面的外部障碍表示，证明每个偏2-树均存在OOR，并刻画或构造若干图类的凸OOR与正OOR。
2025-02-17 cs.CG
