A theorem on approximation by algebraic polynomials of functions with given generalised modulus of smoothness
Mikhail K. Potapov, Faton M. Berisha
引入了一个非对称广义平移算子，并利用它定义了广义光滑模，得到了它的逼近论中的正逆定理.
We introduce an asymmetric operator of generalised translation, define the generalised modulus of smoothness by its means, and obtain the direct and inverse theorems in approximation theory for it.
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A note on an inverse theorem for a generalised modulus of smoothness
我们证明了定理逆杰克逊定理的一阶光滑模广义的广义平移的非对称算子的装置。
Modulus of supporting convexity and supporting smoothness
引入巴拿赫空间的支撑凸性模和支撑光滑性模，刻画单位球面偏离任意支撑超平面的性质.证明了支持光滑模、Bana{n}模和光滑模在零点处等价，支持凸模在零点处等价于凸性模.我们证明了一天-Nordlander型结果，这些模量。
Direct and inverse theorems of approximation theory for a generalised modulus of smoothness
本文引入了一种广义平移的非对称算子。利用这个算子，我们定义了一个广义光滑模，并证明了它的逼近论的正逆定理。
On a connection between a generalised modulus of smoothness of order~$r$ and the best approximation by algebraic polynomials
本文引入了一种广义平移的非对称算子，利用它的平均值定义了广义光滑模，并证明了关于该模的逼近论中的正逆定理。- V dannotrabote vvvoditsya nesimmetricnybrand operator obobbshchennogo sdviga，s ego pomoshchyu opredelyaetsya obbshchennybrand modul' gladkosti i i dlya nego dokazyvaetsya pryamaya i obratnaya teoremy teorii priblizheni.
On coincidence of classes of functions defined by a generalised modulus of smoothness and the appropriate inverse theorem
给出了一类由广义光滑模定义的函数与一类由代数多项式的最佳逼近阶定义的函数的重合定理。我们还证明了相应的逼近论逆定理。
Approximating classes of functions defined by a generalised modulus of smoothness
在本文中，我们使用一个广义的移位算子，以定义一个广义光滑模。通过它，我们定义了广义Lipschitz函数类，并给出了它们的构造特征。具体地说，我们证明了逼近论中代数多项式的最佳逼近的某些正、逆定理。
Approximation of classes of functions defined by a generalized $r$-th modulus of smoothness
本文基于广义平移的非对称算子定义了一个$k$阶广义光滑模，并证明了由该模定义的一类函数与一类具有代数多项式给定的最佳逼近阶的函数重合的一个定理.
On Jackson's theorem for the modulus of smoothness determined by a nonsymmetric generalised shift operator
本文引入了一类广义平移的非对称算子，并对每一类算子引入了广义光滑模，证明了Jackson定理及其逆定理。--
Nuclear and compact embeddings in function spaces of generalised smoothness
研究了定义在有界Lipschitz域$Ω\subset\mathbb{R}^d$上的广义光滑函数空间的核嵌入.这涵盖了，特别是众所周知的情况下，空间的Besov和Triebel-Lizorkin空间定义的有界域以及一些第一结果的函数空间的对数光滑性。此外，我们提供了一些新的，更一般的方法，紧凑的嵌入等函数空间，这也统一了早期的结果，在不同的设置，包括也研究他们的熵数。同样，我们依赖于适当的小波分解技术和著名的Tong（1969）关于核对角算子作用在$\ell_r$空间中的结果，我们最近可以将其扩展到这里需要的向量值设置。
Compact embeddings of generalised Morrey smoothness spaces on bounded domains
本文研究了一般化Morrey光滑空间在有界域上的紧嵌入问题，通过小波方法推广并改进了经典光滑性Morrey空间的结果。
Moduli of convexity and smoothness of reflexive subspaces of L^1
我们证明了对任意概率测度μ，在空间L^1（μ）上存在一个等价范数，它对每个自反子空间的约束是一致光滑和一致凸的，其凸性凸性模为幂型2。这种重赋范也提供了对这样的子空间的相应的平滑模的估计。
Approximation by Neural Network Sampling Operators in Mixed Lebesgue Spaces
本文证明了Sigmoidal函数激活的神经网络采样算子在混合勒贝格范数下基于平均光滑模的逼近阶，通过建立子空间平均光滑模有限性、估计线性算子逼近阶得到Jackson型定理，并展示了对连续与不连续函数的逼近实现。
Asymptotic Smoothness, Convex Envelopes and Polynomial Norms
在无限维巴拿赫空间上引入了渐近光滑的概念，证明了在一定的结构约束下，渐近光滑函数的凸包络是渐近光滑的.进一步研究了多项式范数的凸性和光滑性，得到了N次多项式范数具有幂型N的凸性模。
Embeddings of generalised Morrey smoothness spaces
本文通过Daubechies小波刻画广义Triebel-Lizorkin-Morrey空间，并给出其嵌入到同类空间及连续函数空间的充要条件。
Best one-sided algebraic approximation by average modulus
该研究引入加权空间中无界函数基于代数算子、以平均光滑模表述的最佳单边逼近概念，并给出了相应逼近阶的估计结果。
Approximating classes of functions defined by operators of differentiation or operators of generalised translation by means of algebraic polynomials
在本文中，通过代数多项式的函数类定义的广义模光滑算子的微分这些功能的逼近被认为是。给出了由代数多项式的最佳逼近阶定义的函数类的结构特征。
The convergence rate of of multivariate operators on simplex in Orlicz space
研究了单形上多元算子对Orlicz空间中函数的逼近问题。利用光滑模给出了算法的收敛速度。
On Whitney type inequalities for local anisotropic polynomial approximation
利用$1\leq p\leq \infty$证明了$L_p(Q)$中局部各向异性多项式逼近的多元Whitney型定理。这里$Q$是$\RR^d$中的$d$ -平行六面体，其边平行于坐标轴。我们认为错误的最佳逼近的函数$f$的代数多项式的固定次数在最$r_i - 1$变量$x_i,\ i=1,...,d$，并将其与所谓的总混合模的光滑性适当的特征的收敛速度的逼近误差。这个定理是由关于某个K-泛函与全混合光滑模等价的Johnen型定理导出的，本文证明了这个定理。
Approximation properties for Baskakov-Kantorovich-Stancu type operators based on q- integers
本文给出了基于q-整数的Stancu型Baskakov-Kantorovich算子的一个有趣的推广，并研究了它们的逼近性质.利用加权光滑模得到了它们序列的收敛速率的估计。
Direct and Inverse Estimates for Combinations of Bernstein Polynomials with Endpoint Singularities
本文给出了伯恩斯坦多项式的组合对端点奇异的函数用$r$阶Ditzian-Totik光滑模$ω_ϕ^{r}(f,t)_w$加权逼近的正逆定理，其中$ϕ$是一个容许的阶跃权函数.
Semi-discrete moduli of smoothness and their applications in one- and two- sided error estimates
本文引入一种新的半离散光滑模，推广了Kolomoitsev和Lomako在2023年的定义，并利用Steklov积分的正则化与逼近性质，在非限制性假设下建立了点态线性算子的广义单边和双边误差估计，得到了比经典平均光滑模更精确的估计，同时建立了Rathore型定理并引入等价的K-泛函。
A Stancu Variant of Szász-Mirakjan-Kantorovich type Operators: Approximation Properties and Asymptotic Analysis
本文研究Stancu型Szász-Mirakjan-Kantorovich算子的广义版本，确定其逼近阶、收敛速率等性质，证明相关定理并给出数值例子验证理论结果。
Advancements in nonlinear exponential sampling: convergence, quantitative analysis and Voronovskaya-type formula
本文提出了非线性指数Kantorovich采样级数，建立了其逐点与一致收敛性及Voronovskaja型渐近公式，将结果扩展至Mellin-Orlicz空间，并利用对数连续模与光滑模给出了定量与定性的收敛阶结果。
Bridging Smoothness and Approximation: Theoretical Insights into Over-Smoothing in Graph Neural Networks
本文基于图上 $K$-泛函与光滑性模的等价性，建立 GCN 逼近下界并解释高频能量衰减导致的过平滑，实验验证了指数衰减阶理论。
Approximation by a new sequence of operators involving Laguerre polynomials
本文构造一类基于修正 Laguerre 多项式与 Păltănea 基的新积分算子，证明其在无界区间和加权空间中的收敛与逼近性质，并通过数值实验验证。
Approximation of associated GBS operators by Szasz-Mirakjan type operators
本文研究了Szasz-Mirakjan型算子对二元函数的逼近性质，并根据全连续模和部分连续模确定了二元算子的收敛速率.本文研究二元Szasz-Mirakjan型算子的GBS（Generalized Boolean Sum）-形式，在Bogel空间中求B-连续和B-可微函数的逼近.进一步，利用混合光滑模和属于Lipschitz类的函数得到了GBS型算子的逼近阶，并利用Peetre K-泛函得到了一个开拓性的结果.最后，通过有限和和无限和的图形表示，研究了二元Szasz-Mirakjan型算子及其相应的GBS型算子的收敛速率，结果表明相应的GBS型算子的收敛速率优于二元Szasz-Mirakjan型算子.
Approximation properties by some modified Szasz-Mirakjan-Kantorovich operators
本文讨论了Mishra和Yadav（Tbilisi Mathematical Journal. 11（3），（2018），175-91）。进一步，我们用有界变差的导数确定了收敛速率，并对所定义算子的定量平均建立了定量的Voronovskaya型和Gr $\ddot{\text{u}}$ ss型定理.最后，给出了一些例子，并用图形表示来支持主要结果.
Korovkin type theorem and iterates of certain positive linear operators
本文证明了一般正线性算子$T:C\left[ 0,1\right] \rightarrow C\left[ 0,1\right] $迭代的Korovkin型定理，并给出了光滑模的定量估计.特别地，我们证明了在某些自然条件下迭代$T^{m}:C\left[ 0,1\right] \rightarrow C\left[ 0,1\right] $强收敛于原算子$T$的不动点.这些结果可以应用于几个著名的算子，我们在这里提出了$q$ -MKZ算子，$q$ -Stancu算子，真正的$q$ -Bernstein-Durrmeyer算子和Cesaro算子.
Moduli of smoothness and growth of the Laguerre transform: two-sided estimates
本文研究Laguerre变换的加权系数估计，建立了由Laguerre平移生成的光滑模与系数范数之间的双边界，并在$p=2$时得到等价性，证明了乘子权重的最优性，恢复了Jackson和Bernstein型估计及Lipschitz类的$L^2$刻画。
Banach's Indicatrix Reloaded
本文用积分连续模度量函数光滑性，通过连续统关联问题量化上水平集结构，从而细化巴拿赫指标线定理并回答Garsia–Sawyer问题。
Direct and inverse theorems in the theory of approximation by the Ritz method
对于Hilbert空间$H$中的任意自伴算子$B$，我们给出了建立向量$x \in H$关于算子$B$的光滑度，算子$B$的指数型整向量的最佳逼近收敛到零的速度，以及$k$ -向量$x$关于算子$B$的连续模。所得结果可用于Hilbert空间中算子方程的Ritz近似解的先验估计。
L^{p}-Approximation and Shape-preserving Properties of the Max-product Generalized Sampling Operators
研究最大乘积广义采样算子在 \(L^{p}\) 范数下的收敛性与保形性质，通过\(\tau\)-模建立逼近误差估计，证明其 \(L^{p}\) 收敛，还将特定核的保形结果推广到更广泛核类，部分保持函数单调性。
Approximation of discontinuous functions by Kantorovich exponential sampling series
本文分析了有界可测信号f在跳跃间断处的Kantorovich指数抽样序列。建立了该级数的一个表示引理，并利用该引理证明了某些不连续信号的逼近定理。研究了该级数用对数光滑模表示的逼近阶。此外，已经获得了基于过去样本值的信号的线性预测。进行了一些数值模拟以验证采样序列对不连续信号f的逼近。
Measure density and extension of Besov and Triebel-Lizorkin functions
我们证明了一个区域是Hajelasz-Besov或Hajelasz-Triebel-Lizorkin空间的扩张区域当且仅当它满足一个测度密度条件。我们使用惠特尼扩展的修改，其中积分平均值被替换为中值，这使得我们也可以处理$0<p<1$的情况。测度密度条件的必要性是从嵌入定理推导出来的;在Hajerasz-Besov空间的情况下，我们应用一个最优的Lorentz型Sobolev嵌入定理，我们使用一个新的插值结果来证明。这个内插定理说Hajkasz-Besov空间是介于$L^p$和Hajkasz-索伯列夫空间之间的中间空间。我们的结果是在度量测度空间中得到证明的，但其中大部分是新的，即使在欧氏空间中也是新的，例如，我们得到了经典Besov空间$B^s_{p,q}$，$0<s<1$，$0<p<\infty$，$0<q\le\infty$的扩张域的一个特征，它们是由函数的$L^p$ -光滑模定义的.
Max-product Kantorovich sampling operators: quantitative estimates in functional spaces
本文在 Orlicz 空间中研究基于广义核的最大乘积型 Kantorovich 采样算子，利用光滑模与 K-泛函建立定量误差估计，并将收敛速度理论统一推广到 $L^{p}$、插值及指数等空间。
On the problem of smooth approximations in de Branges-Rovnyak spaces and connections to subnormal operators
对于由$H^\infty$的单位球的极值点$b$定义的单位圆$\mathbb{D}$的de Branges-Rovnyak空间类$\mathcal{H}(b)$，我们研究了$\mathcal{H}(b)$中的一般函数用一个扩张到单位圆$\mathbb{T}$的函数逼近的问题，该函数具有一定的光滑度，例如满足Hölder估计或可微.我们将展示这个问题和次正规算子理论之间的联系，特别是，我们将把光滑逼近的可能性与某个次正规算子的不变子空间的性质联系起来。这导致我们在$b$上的几个可计算的条件，这些条件是使这种近似成为可能所必需的。对于一类很大的极值点$b$，我们利用我们的结果得到了关于符号$b$的显式充要条件，这些条件保证了空间$\mathcal{H}(b)$中具有可微边值的函数的稠密性.这些条件包括在$\mathbb{T}$上的$b$的模量和其内部因子的谱之间的相互作用。
Yet another look at positive linear operators, $q$-monotonicity and applications
本文构造了正线性多项式逼近算子，同时保持k-单调性并给出误差估计，展示了q-单调多项式逼近的最佳均匀速率估计方法。
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