The Elliptic Law
Hoi Nguyen, Sean O'Rourke
我们证明了，在对随机复$n \times n$矩阵$X_n$的元素作一般性假设的情况下，当$n$趋于无穷大时，$\frac{1}{\sqrt{n}} X_n$的经验谱分布收敛于椭球的一致律.这推广了随机矩阵理论中著名的循环律。
We show that, under some general assumptions on the entries of a random complex $n \times n$ matrix $X_n$, the empirical spectral distribution of $\frac{1}{\sqrt{n}} X_n$ converges to the uniform law of an ellipsoid as $n$ tends to infinity. This generalizes the well-known circular law in random matrix theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Spectrum of Heavy-Tailed Elliptic Random Matrices
椭圆随机矩阵$X$是其$(i,j)$ -条目$X_{ij}$独立于可能除了$X_{ji}$之外的其余条目的方阵。椭圆型随机矩阵推广了Wigner矩阵和具有独立元素的非Hermite随机矩阵。当椭圆随机矩阵的元素具有均值零和单位方差时，已知经验谱分布收敛到由镜像元素的协方差确定的椭圆内部的均匀分布。我们考虑椭圆随机矩阵的元素没有两个有限的时刻。我们的主要结果表明，当椭圆型随机矩阵的元素在$α$ -稳定随机变量吸引区域中时，对于$0<α<2$，经验谱测度依概率收敛到一个确定性极限.这推广了Bordenave，Caputo和Chafafaeti的结果，对于具有独立同分布项的重尾矩阵。证明的关键要素是（i）在无矩假设下椭圆随机矩阵的最小奇异值的一般界;（ii）在适当的意义下，矩阵收敛到Poisson加权无限树上的随机算子。
The semicircle law for matrices with ergodic entries
研究了对角线上遍历的对称随机矩阵的经验谱分布。我们观察到，对于相关性衰减到0的条目，当对角条目的距离变大时，限制ESD是众所周知的循环定律。如果它不衰减到0（并且具有相同的符号），则循环定律不能是ESD的极限。这与Friesen和Löwe（2013 a）以及Hochstättler等人（2016）分析的可交换过程的结果非常一致。
Fluctuation of matrix entries and application to outliers of elliptic matrices
对于任何一族的$N\times N$随机矩阵$(\mathbf{A}_k)_{k\in K}$是不变的，在法律上，在酉共轭下，我们给出了一般的充分条件中心极限定理的类型为$\operatorname{Tr}(\mathbf{A}_k \mathbf{M})$的随机变量，其中矩阵$\mathbf{M}$是确定性的（这样的随机变量包括，例如，规范化的矩阵条目的$\mathbf{A}_k$的）。一个结果是矩阵$\mathbf{A}_k$在零迹矩阵的子空间上的投影与它们在这个子空间的正交上的投影的渐近独立性。这些结果被用来研究尖峰椭圆型随机矩阵离群点的渐近行为。更确切地说，我们表明，这些离群值的波动在其极限附近可以有不同的收敛速度，这取决于添加剂扰动的若尔当典范形。此外，在彼此宏观距离处的离群值之间可能会出现一些相关性。这些现象已经被Benaych-Georges和Rochet从单环定理中用随机矩阵观察到。
A note on the Marchenko-Pastur law for a class of random matrices with dependent entries
本文考虑了一类实相依随机矩阵，证明了其极限经验谱分布由Marchenko-Pastur定律给出.此外，我们建立了预期的经验谱分布收敛速率。
Semicircle Law for a Class of Random Matrices with Dependent Entries
本文研究了随机对称矩阵$\X_n = {X_{ij}}_{i,j = 1}^n$的系综，其中$\E X_{ij} = 0$，$\E X_{ij}^2 = σ_{ij}^2$，其中$σ_{ij}$可以是不同的数.假设每行归一化方差和的平均值收敛于1，Lindeberg条件成立，我们证明了特征值的经验谱分布收敛于Wigner周期律。
Local law for the product of independent non-Hermitian matrices with independent entries
我们考虑独立平方非埃尔米特随机矩阵的乘积。更准确地说，令X（1），.，X（n）是具有独立元素的随机矩阵（具有独立实部和虚部的实数或复数），均值为零，方差为1/N。Soshnikov和O 'Rourke指出乘积X（1）X（2）的经验谱分布。X（n）收敛于循环定律的n次幂。我们证明，如果矩阵X（1），…，X（n）满足一致次指数衰减条件，则ESD的整体收敛性保持在最优尺度。
Circular law for random matrices with exchangeable entries
可交换随机矩阵是指其元素在任意置换下都具有分布不变的随机矩阵。对于这类随机矩阵，我们证明了当维数趋于无穷大时，经验谱分布在单位圆盘上趋于一致规律。这是一个被称为循环定律的普适现象的例子，适用于具有相关项、行和列的随机矩阵模型。它也是Chatterjee关于具有可交换项的随机埃尔米特矩阵的半圆律的一个结果的非埃尔米特对应。证明特别依赖于减少到一个简单的模型给出了一个随机洗牌的刚性确定性矩阵，Hermitization，也对组合浓度的措施和组合中心极限定理。关键的一步是可交换随机矩阵的最小奇异值的多项式界，这可能是独立的利益。
Low rank perturbations of large elliptic random matrices
研究了大型随机矩阵有界秩扰动谱中野值的渐近性态。特别是，我们考虑椭圆随机矩阵的扰动，推广了Wigner随机矩阵和非厄米特随机矩阵的iid项目。因此，我们恢复Capitaine，Donati-Martin和Féral的结果扰动Wigner矩阵以及陶的结果扰动随机矩阵iid项目。一路上，我们证明了一些有趣的结果，椭圆随机矩阵的条目有有限的四阶矩，这些结果包括最小奇异值和谱半径的渐近行为的限制。
Patterned matrices with random walk entries
研究连续时间随机游走条目模式化随机矩阵的非交换概率极限，发现Wigner矩阵收敛到自由布朗运动，循环矩阵收敛到布朗运动，iid和椭圆矩阵收敛到圆和椭圆变量。
The Almost Sure Semicircle Law for Random Band Matrices with Dependent Entries
我们分析了具有相关项的随机周期带状矩阵的经验谱分布。我们研究的相关性结构最早是由Hochstättler、Kirsch和Warzel在2015年提出的，他们将其命名为“几乎不相关”，并显示出在概率上收敛于周期分布。我们加强了他们的结果，这些结果几乎肯定也是有效的。此外，我们将它们推广到带状矩阵。给出了按概率和几乎必然收敛于周期分布的充分条件。与概率上的依概率收敛相反，几乎必然收敛似乎需要带宽的最小增长率。适合我们一般设置的例子包括Curie-Weiss分布，相关高斯，以及作为特殊情况的独立条目。
On one generalization of the elliptic law for random matrices
本文考虑$m\ge 2$独立大实随机矩阵与元素的独立向量$(X_{jk}^{(q)},X_{kj}^{(q)})$的乘积。条目$X_{jk}^{(q)},X_{kj}^{(q)}$与$ρ=\mathbb E X_{jk}^{(q)}X_{kj}^{(q)}$相关。这类乘积的本征值经验谱分布的极限分布不依赖于$ρ$，而等于均匀分布在单位圆上的随机变量的$m$次方的分布。
Non-Gaussian Limiting Laws for the Entries of Regular Functions of the Wigner Matrices
本文是我们的论文“高斯随机矩阵的正则函数的矩阵元素的涨落”的继续。Phys.（134），147- 159（2009），其中我们证明了实对称随机高斯矩阵（GOE）的微分函数的矩阵元的中心极限定理。在这里，我们考虑实对称随机维格纳矩阵具有独立的（模对称条件），但不一定是高斯条目。我们表明，在这种情况下，这些随机矩阵的充分光滑函数的矩阵元素一般有另一个限制法律基本上符合矩阵元素的概率定律。
Random Band and Block Matrices with Correlated Entries
本文导出了具有相关元素的随机带阵和块阵的经验谱分布的极限律。本文第一部分研究了元素近似不相关的带状矩阵。我们加强以前获得的结果，同时需要较弱的假设，这是可能的精细应用的矩量法。在本文的第二部分，我们介绍了一个新的双层相关结构，我们称之为SSB-HKW相关，这使得研究具有相关元素的结构化随机矩阵。我们的结果包括概率和几乎必然的周期律，但我们也得到其他限制谱分布取决于条件。给出了极限定律为圆的简单的充要条件。我们的发现加强和扩展了许多已知的结果。
Large deviations for the largest eigenvalue of Rademacher matrices
在这篇文章中，我们考虑随机Wigner矩阵，即对称矩阵，使得Xn的次对角元素是独立的，中心的，方差为1，除了对角线上的元素方差为2。我们证明了，在一些适当的假设下的法律的条目，法律的最大特征值满足一个大偏差原则与相同的速率函数在高斯的情况下。关键的假设是，条目的拉普拉斯变换必须由具有相同方差的中心高斯变量的拉普拉斯变换上界。这是由Rademacher定律和关于[sqrt{3}，sqrt{3}]的统一定律所满足的。我们将结果推广到复数项的Wigner矩阵和Wishart矩阵。
The semicircle law for matrices with independent diagonals
研究了具有相关项的随机矩阵系综的谱分布。本文研究了元素为实值且对角线随机独立的对称矩阵。沿着对角线，条目可以相关。我们证明了在足够好的矩条件下，经验特征值分布几乎必然弱收敛于半圆律。
Circular law for random matrices with unconditional log-concave distribution
我们探讨了循环律对非独立同分布随机矩阵的有效性。条目设A是一个随机n \times n实矩阵，其随机向量在R^{n^2}中具有一个对数凹迷向无条件律.特别是，条目是不相关的，并且具有零均值和单位方差的对称定律。这允许条目之间的一些依赖性和非等分布，同时保持i.i.d.的特殊情况。标准高斯输入我们的主要结果是：当n趋于无穷大时，n^{-1/2}A的经验谱分布在复平面的单位圆上趋于一致规律.
On the universality of spectral limit for random matrices with martingale differences entries
对于一类对称随机矩阵，其元素是适应于增滤的鞅差，证明了在Lindeberg条件下，其经验谱分布的行为渐近类似于具有相同方差的独立中心高斯元素的相应矩阵.在稍微加强的条件下，近似在几乎必然的意义上成立。我们还指出了几个充分的正则性条件施加到方差结构收敛到循环定律或Marchenko-Pastur定律和其他收敛结果。在平稳的情况下，我们得到一个完整的扩展从独立同分布。的收敛性的鞅的情况下，以及到Marchenko-Pastur一个。我们的结果很好地适用于研究几个例子，包括非线性无穷随机场。
On the Circular Law
研究了实元独立且均值为零、方差为单位的随机矩阵特征值实部和虚部的联合分布。我们证明了这种分布的收敛到单位圆盘上的均匀分布，而不需要假设条目分布的密度存在。然而，我们假设条目具有亚高斯尾部或稀疏非零。
Elliptic law for real random matrices
本文研究了具有独立同分布向量$(X_{ij}, X_{ji})_{i \neq j}$的随机矩阵$\X_n$的系综。在矩阵元素四阶矩有限的假设下，证明了特征值的经验谱分布依概率收敛于椭圆上的均匀分布。椭圆的轴由$X_{12}$和$X_{21}$之间的相关性确定。这个结果被称为椭圆律。极限分布不依赖于矩阵元素的分布，在此意义下的结果具有普适性。
Local spectral statistics of Gaussian matrices with correlated entries
证明了一类具有相关元素的平移不变高斯随机矩阵系综的最优局部律、体普适性和预解式非对角元的非平凡衰减性。
Local Semicircle Law for Curie-Weiss Type Ensembles
我们推导并比较了各种形式的局部循环法随机矩阵的可交换条目，表现出相关性，衰减速度非常慢。事实上，任何$l$点相关性都将以$N^{-l/2}$的速率衰减.我们称我们的系综为\emph{of Curie-Weiss type}，只要$β\leq 1$，Curie-Weiss（$β$）分布的条目就是可接受的。
Singular Values Distribution of Squares of Elliptic Random Matrices and Type B Narayana Polynomials
我们考虑具有参数$ρ$的大小为$N \times N$的高斯椭圆随机矩阵$X$，即，矩阵，其条目对$(X_{ij}, X_{ji})$是相互独立的高斯向量，$E X_{ij} = 0$、$E X^2_{ij} = 1$和$E X_{ij} X_{ji} = ρ$。我们感兴趣的是矩阵$W =\frac{1}{N^2} X^2 X^{*2}$特征值的渐近分布。我们已经表明，这个分布是由它的时刻，我们提供了一个经常性的关系，这些时刻。我们证明了（对称化的）渐近分布是由它的自由累积量决定的，它是B型Narayana多项式：$$c_{2n} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 ρ^{2k}.$$
A law of large numbers for finite-range dependent random matrices
我们考虑随机埃尔米特矩阵，其中遥远的对角线上的项目是独立的，但附近的项目可能是相关的。用组合方法求出了特征值经验分布的极限。利用Noether局部环的维数论，证明了该极限具有代数斯蒂尔切斯变换.
Local circular law for the product of a deterministic matrix with a random matrix
重标平方非厄米随机矩阵特征值的谱测度满足循环律。我们考虑产品$TX$，其中$T$是一个确定性的$N\times M$矩阵和$X$是一个随机的$M\times N$矩阵与独立的项目具有零均值和方差$(N\wedge M)^{-1}$。我们证明了一个一般的本地循环法的经验谱分布（ESD）的$TX$在任何点$z$远离单位圆的假设下，$N\sim M$，和矩阵元素$X_{ij}$有足够高的时刻。更准确地说，如果$z$满足$||z|-1|\ge τ$，对于任意小的$τ>0$，$TX$的ESD收敛到$\tilde χ_{\mathbb D}(z) dA(z)$，其中$\tilde χ_{\mathbb D}$是由$T$的奇异值确定的旋转不变函数，$dA$表示$\mathbb C$上的勒贝格测度。局部循环定律在$z$周围直到$(N\wedge M)^{-1/4+ε}$尺度对任何$ε>0$都是有效的。此外，如果$|z|>1$或$X$的矩阵项具有消失的三阶矩，则对于任何$ε>0$，局部循环定律在$z$周围直到尺度$(N\wedge M)^{-1/2+ε}$都是有效的。
Semicircular law with a few independent entries in a random matrix
本文针对随机矩阵领域的半圆律问题，打破Wigner矩阵需O(n²)个独立随机变量的固有认知，构造出仅含O(n)个独立随机变量、经验谱分布可任意接近半圆律的矩阵。
Law of Large Numbers for Permanents of Random Constrained Matrices
具有独立同分布（i.i.d.）在文献中已经广泛地研究了条目，并且已知在关于分布的不同假设下的收敛性和集中性。本文考虑约束~ \(n \times n\)随机矩阵，其中每行有一个确定的数~ \(r = r(n)\)零元，其余元是几乎必然为正的独立随机变量。每行内的零的位置也是随机的，我们建立了充分条件为永久的，适当的规模和中心的弱大数定律的存在。作为一种特殊情况，我们看到，如果~ \(r\)比~ \(\sqrt{n},\)增长得快，则随机选择的约束~ \(0-1\)矩阵的积和式以高概率集中在van der Waerden界附近，即以~ \(n \rightarrow \infty.\)的概率收敛到1
Central limit theorem for linear eigenvalue statistics of elliptic random matrices
考虑一类椭圆型随机矩阵，它推广了随机矩阵理论中的两个经典系综：Wigner矩阵和带iid元的随机矩阵。特别地，在检验函数是解析函数的假设下，我们建立了实椭圆型随机矩阵线性特征值统计量的一个中心极限定理。作为推论，我们将Rider和Silverstein的结果推广到实iid随机矩阵.
An Exposition on Wigner's Semicircular Law
我们重新考虑矩量法，以获得通常的半圆定律的稍微加强的版本。我们的版本只假设Hermitian随机矩阵的上三角元素是独立的，有平均零和方差接近$1/n$在一定意义上，并满足Lindeberg型条件。作为应用，我们导出了行和按分布收敛于标准正态分布的另一个半圆律，包括所有矩阵元素可能具有无穷大方差的情况。附录，弥补了大部分的文件，为那些新的主题，一个严格的阐述，涉及的大多数细节，包括也证明了一个半圆形的法律，使用斯蒂尔切斯变换方法。
Circular law for non-Hermitian block band matrices with slowly growing bandwidth
本文研究非厄米随机块三对角矩阵的经验特征值分布，证明当带宽随维度缓慢增长时，其归一化经验谱分布几乎必然收敛到圆律，证实了带宽随维度增长时圆律成立的民间猜想。
On minimal singular values of random matrices with correlated entries
令$\mathbf X$是一个随机矩阵，其成对的条目$X_{jk}$和$X_{kj}$是相关的，并且对于$1\le j<k\le n$，向量$ (X_{jk},X_{kj})$是相互独立的。假设对角线条目也独立于非对角线条目。我们假设$\mathbb{E} X_{jk}=0$，$\mathbb{E} X_{jk}^2=1$，对于任何$j,k=1,\ldots,n$和$\mathbb{E} X_{jk}X_{kj}=ρ$ $1\le j<k\le n$。设$\mathbf M_n$是具有$\|\mathbf M_n\|\le Kn^Q$的非随机$n\times n$矩阵，其中$K>0$和$Q\ge 0$为正常数。令$s_n(\mathbf X+\mathbf M_n)$表示矩阵$\mathbf X+\mathbf M_n$的最小奇异值。证明了存在正的常数$A$和$B$仅依赖于$K,Q,ρ$，使得$$ \mathbb{P}(s_n(\mathbf X+\mathbf M_n)\le n^{-A})\le n^{-B}. $$作为这个结果的应用，我们证明了这类矩阵具有不等分布相关元的椭圆律.
Stable laws and products of positive random matrices
设$S$是具有正元素的$q\times q$矩阵的乘法半群，使得每行和每列包含严格正元素。用$(X_n)_{n\geq1}$表示$S$中的独立同分布随机变量序列，用$X^{(n)} = X_n ... X_1$、$ n\geq 1$表示$S$上的相关左随机游动。我们假设$(X_n)_{n\geq1}$验证了压缩性质$¶(\bigcup_{n\geq1}[X^{(n)} \in S^\circ])>0$，其中$S^\circ $是所有具有严格正元素的矩阵的子集。我们的状态的随机矩阵$X_1$的分布条件，以确保项目，规范，和产品的谱半径的矩阵$X^{(n)}$，$n\ge 1$，是在一个稳定的法律吸引域。
The circular law for random matrices
研究了均值为零且方差为单位的独立元随机矩阵特征值实部和虚部的联合分布。我们证明了这种分布的收敛到单位圆盘上的均匀分布，而不需要假设条目分布的密度存在。我们假设元素有一个大于二阶的有限矩，并考虑稀疏矩阵的情况。这些结果是基于白，Rudelson和作者以前的工作，将这些结果推广到更大的一类稀疏矩阵。
From the Littlewood-Offord problem to the Circular Law: universality of the spectral distribution of random matrices
著名的\emph{circular law}断言，如果$M_n$是一个$n \times n$矩阵，且具有i id个均值为零且方差为单位的复数元素，则归一化矩阵$\frac{1}{\sqrt{n}} M_n$的经验谱分布（ESD）几乎必然收敛于单位圆盘$\{z \in \C: |z| \leq 1 \}$上的均匀分布.经过一长串的部分结果，验证了这一法律的附加假设下的分布的条目，最近成立的全循环法在\cite{TVcir2}。在这次调查中，我们描述了一些关键成分中使用的循环法的建立，特别是最近的进展，在理解的Littlewood-Offord问题及其逆。
Universality and the circular law for sparse random matrices
普适性现象是指独立同分布随机矩阵的特征值的分布。零均值、单位方差项不依赖于随机项的基础结构。例如，一个随机符号矩阵的特征值图，其中每个元素是+1或-1的概率相等，看起来与一个随机矩阵的特征值图相同，其中每个元素是具有零均值和单位方差的复高斯。本文证明了稀疏随机n × n矩阵的一个普适性结果，其中每个元素以概率$1/n^{1-α}$为非零，其中$0<α\le1$为任意常数.稀疏普适性原理的一个结果是，只要元素具有零均值和单位方差，循环定律就适用于稀疏随机矩阵，这是迄今为止稀疏随机矩阵的最一般结果。
The Fixed Points of the Multivariate Smoothing Transform
设$N,d > 1$为固定整数，$(T_1, ..., T_N)$为具有非负元素的随机d × d矩阵，$Q$为具有非负元素的随机d向量。这就导出了一个由$S η:= \mathrm{Law\ of}\ (T_1 X_1 + ... + T_N X_N + Q)$在非负锥上的概率律上的映射（多元平滑变换），其中$X_i$与概率律$η$一致，且与$(T_1, ..., T_N, Q)$无关.在类似于d=1的条件下，得到了$S$的所有不动点的完整刻画.
Lectures on the local semicircle law for Wigner matrices
这些笔记提供了从随机矩阵理论的局部循环律的介绍，以及它的一些应用。我们专注于维格纳矩阵，厄米特随机矩阵与独立的上三角元零期望和常数方差。我们的状态和证明当地的周期法，这意味着一个维格纳矩阵的特征值分布是接近维格纳的周期分布，下降到包含略多于一个特征值的频谱尺度。该局部循环律是使用格林函数来制定的，格林函数的各个条目由大偏差界限控制。然后我们讨论了局部周期律的三个应用：第一，特征向量的完全离域化，说明特征向量很可能近似平坦;第二，特征值的刚性，给出单个特征值位置的大偏差界;第三，体谱中局部本征值统计的比较论证，表明两个Wigner矩阵的局部特征值统计量一致，前提是它们的元素的前四个矩一致。我们还勾画进一步的应用程序的特征值附近的光谱边缘，并分布的特征向量。
Fluctuation Around the Circular Law for Random Matrices with Real Entries
本研究将复元素非埃尔米特矩阵线性特征值统计量的中心极限定理结果推广到实元素情形，通过分析弱相关戴森布朗运动证明结论，揭示实矩阵谱特性带来的期望、方差差异及相关结构的非平凡性。
Semicircle law for generalized Curie-Weiss matrix ensembles at subcritical temperature
Hochstättler、Kirsch和Warzel证明了在临界温度或更高温度下广义Curie-Weiss矩阵系综的循环定律成立。我们扩展他们的结果的情况下，亚临界温度的矩阵条目之间的相关性更强。然而，可以使用在上述论文中首次引入的近似不相关系综的概念。为了做到这一点，需要通过适当修改系综来去除条目的平均磁化，该系综被证明是秩1的，因此不改变限制谱测量。
Central limit theorems for linear statistics of heavy tailed random matrices
我们显示中心极限定理（CLT）的斯蒂尔切斯变换或更一般的解析函数的对称矩阵的独立重尾条目，包括条目的吸引区域中的$α$ -稳定的法律和条目的时刻爆炸的尺寸，如在邻接矩阵的Erdös-Rényi图。对于第二个模型，我们还证明了其经验特征值分布的矩的一个中心极限定理。极限定律是高斯的，但与标准Wigner矩阵的情况不同，归一化是独立随机变量的经典CLT之一。
Local laws and spectral properties of deformed sparse random matrices
研究变形稀疏随机矩阵H=W+λV的局部定律及其谱性质，包括特征值刚性和极值特征值的渐近正态性。
Global law of conjugate kernel random matrices with heavy-tailed weights
本文研究了具有厚尾权重的两层神经网络模型中，共轭核随机矩阵$YY^\top$的渐近谱分布特性，揭示了厚尾分布对矩阵谱行为的显著影响。
Limiting behavior of large correlated Wishart matrices with chaotic entries
我们研究的波动，作为$d,n\to \infty$，Wishart矩阵$\mathcal{W}_{n,d}= \frac{1}{d} \mathcal{X}_{n,d} \mathcal{X}_{n,d}^{T} $与$n\times d$随机矩阵$\mathcal{X}_{n,d}$与非高斯条目。分析了$\mathcal{W}_{n,d}$在两种情况下的极限分布行为：当$\mathcal{X}_{n,d}$的元素是任意阶Wiener混沌的独立元素时和当元素部分相关且属于第二Wiener混沌时.在第一种情况下，我们表明，（适当规范化）Wishart矩阵收敛分布的高斯矩阵，而在相关的情况下，我们得到它的收敛律的对角非高斯矩阵。在这两种情况下，我们通过Malliavin演算和Wiener空间上的分析推导出Wasserstein距离的收敛速率。
Fluctuations of Matrix Entries of Regular Functions of Wigner Matrices
研究了Wigner随机矩阵的正则函数的矩阵元在矩阵大小趋于无穷大时的涨落。在高斯系综（GOE和GUE）的情况下，这个问题由A.Lytova和L.Pastur在J. Stat.物理、134，147-159（2009）。当非对角矩阵的四阶矩有限，对角矩阵的二阶矩有限，且检验函数在Wigner周期律的支撑邻域内具有四阶连续导数时，我们的结果是有效的.
Universality of random matrices with correlated entries
我们考虑一个$N$乘$N$实对称随机矩阵$X=(x_{ij})$其中$\mathbb{E}x_{ij}x_{kl}=ξ_{ijkl}$ .在假定$(ξ_{ijkl})$是分段Lipschitz函数的离散化和相关性是短程的条件下，我们证明了$X$的经验谱测度收敛于一个概率测度.极限测度的斯蒂尔切斯变换可以通过求解一个函数方程得到。在稍强的假设下，$(x_{ij})$有一个严格正定的协方差矩阵，我们证明了当地的法律的经验措施的最佳规模$\text{Im} z \gtrsim N^{-1}$。局部律意味着特征向量的离域化。作为另一个结果，我们证明了本征值统计的散装同意的GOE。
Concentration of the empirical spectral distribution of random matrices with dependent entries
研究了元素部分相依的Hermite随机矩阵的谱测度的集中性质。更准确地说，令$X_n$是大小为$n\times n$的厄米特随机矩阵，其可以被分割成大小至多为$d_n=o(n^2)$的独立块。我们证明了在$X_n$元素分布的适当条件下，$X_n$的经验谱测度集中在其均值附近.主要定理是一个最近的结果由肯普和齐默尔曼，其中块的大小增长为$o(\log n)$加强。作为应用，我们将Schenker和Schulz关于一类相依随机矩阵的期望收敛于循环律的结果推广到概率弱收敛.其它应用包括模式化随机矩阵，例如Toeplitz、Hankel或循环类型的矩阵以及在高斯分布的吸引区域中具有重尾项的矩阵。
Local inhomogeneous circular law
我们考虑大型随机矩阵$X$的中心，独立的项目，具有可比的，但不一定相同的方差。Girko的循环定律断言，光谱在圆盘中是支持的，并且在相同方差的情况下，极限密度是均匀的。在这种特殊的情况下，布尔歇的局部循环律。等人[11，12]表明，经验密度甚至在略高于典型特征值间距的尺度上局部收敛。在一般情况下，极限密度通常是不均匀的，它是通过求解确定性方程组获得的。我们的主要结果是局部非均匀的圆形法律在最佳尺度的整体频谱一般方差轮廓的条目$X$。
The circular law for non-Hermitian random band matrices up to bandwidth $N^{2/3+c}$
本文证明了非厄米随机带状矩阵在带宽 $N^{2/3+c}$ 及更宽条件下的圆律，覆盖双随机方差分布与周期标量条带，无需下方差界或密度假设，通过粗奇异值计数等方法实现。
Law of large numbers for non-elliptic random walks in dynamic random environments
本文证明了一类动态随机环境中$\Z^d$值随机游动的一个大数定律，包括非椭圆情形。我们假设随机环境的混合属性称为\emph{conditional cone-mixing}和随机游动往往停留在足够宽的时空锥。证明是基于一个概括的再生计划开发的彗星和Zeitouni的静态随机环境和适应阿韦纳，登霍兰德和Redig动态随机环境。一些一维的例子。在某些情况下，可以确定速度的符号。
Real eigenvalues of elliptic random matrices
我们考虑了一个$(N \times N)$实椭圆型Ginibre矩阵的实特征值，该矩阵的元素通过一个非厄米性参数$τ_N\in [0,1]$相关。在几乎厄米特区域中，我们得到了实特征值个数的均值和方差的大$N$展开式，其中$1-τ_N=Θ(N^{-1})$。进一步，我们得到了实本征值的极限经验分布，它插值于Wigner椭圆律和均匀分布，椭圆律在实轴上的限制.我们的证明是基于由于Forrester和Nagao的相关核的斜正交多项式表示。
Marchenko-Pastur law with relaxed independence conditions
在两种新的情况下，证明了$p \times p$样本协方差阵特征值的Marchenko-Pastur律，其中数据没有独立的坐标.在第一种情况下--块独立模型--数据的$p$坐标被划分成块，使得不同块中的条目是独立的，但是来自同一块的条目可以是依赖的。在第二种情况下-随机张量模型-数据是$d$阶的齐次随机张量，即数据的坐标都是从一组$n$独立随机变量中选择的$d$变量的$\binom{n}{d}$不同乘积。我们证明了当最大块的大小为$o(p)$时，对于块无关模型，Marchenko-Pastur定律成立;当最大块的大小为$d = o(n^{1/3})$时，对于随机张量模型，Marchenko-Pastur定律成立.我们的主要技术工具是新的浓度不等式的二次型的随机变量与块无关的坐标，和随机张量。
Spectrum of Random Matrices with Exploding Moments
研究具有爆炸矩矩阵模型的线性特征值统计的中心极限定理，采用渐近 Wick 公式证明椭圆、中心对称、循环和互相关块矩阵的 CLT。
Local elliptic law
在复平面上，当椭圆随机矩阵系综维数趋于无穷大时，其经验特征值分布趋于椭圆上的一致测度。我们表明，这种收敛在所有介观尺度上略高于典型的本征值间距在批量频谱的最佳收敛速度。作为一个推论，我们获得完整的离域相应的特征向量在任何基础。
Local Marchenko-Pastur law at the hard edge of the Sample Covariance ensemble
考虑具有iid实部和虚部的复数项的$N$乘$N$矩阵$X$。我们证明了在最优尺度下$X^*X$的局部特征值密度以概率$1$收敛于Marchenko-Pastur律.我们还获得了刚性的本征值在散装和附近的硬和软的边缘。在这里，我们避免了对数和多项式校正直接与高功率的期望的斯蒂尔切斯变换。我们的工作假设，条目有一个有限的四阶矩，并截断在$N^{1/4}$。在这项工作中，我们简化和适应的方法，从以前的文件Götze-Tikhomirov和Cacciapuoti-Maltsev-Schlein的协方差阵。
Bulk Universality for Complex non-Hermitian Matrices with Independent and Identically Distributed Entries
本文研究了复非厄米特矩阵的体 universality，证明了在元素独立同分布且具有有限矩的条件下，通过 Tao 和 Vu 的四矩定理可消除 Gaussian 扰动分量，并证明体相关函数在大 N 极限下是 universal 的。
Local semicircle law with imprimitive variance matrix
本文将文[4]中关于广义Wigner矩阵的局部循环律的证明推广到方差矩阵有特征值$ -1 $的情形。特别地，该结果提供了样本协方差阵$ \boldsymbol{\mathrm{X}}^\ast \boldsymbol{\mathrm{X}} $在硬边缘（即，在零附近）处的最优局部Marchenko-Pastur定律的简短证明，其中$ \boldsymbol{\mathrm{X}} $的条目的方差可以变化。
Coverings of random ellipsoids, and invertibility of matrices with i.i.d. heavy-tailed entries
设$A=(a_{ij})$是具有独立同分布的$n\times n$随机矩阵。条目，例如$\mathbb{E} a_{11} = 0$和$\mathbb{E} {a_{11}}^2 = 1$。我们证明，对于任何$δ>0$有$L>0$只依赖于$δ$，和一个子集$\mathcal{N}$的$B_2^n$的基数最多$\exp(δn)$，使概率非常接近一，我们有$$A(B_2^n)\subset \bigcup_{y\in A(\mathcal{N})}\bigl(y+L\sqrt{n}B_2^n\bigr).$$作为一个应用程序，我们表明，对于一些$L'>0$和$u\in[0,1)$只依赖于分布规律的$a_{11}$，最小奇异值$s_n$的矩阵$A$满足$\mathbb{P}\{s_n(A)\le \varepsilon n^{-1/2}\}\le L'\varepsilon+u^n$的所有$\varepsilon>0$。后一结果推广了Rudelson和Vershynin的一个定理，该定理被证明为具有次高斯项的随机矩阵。
Necessary and Sufficient Conditions for Convergence to the Semicircle Distribution
考虑了具有独立上三角元的随机埃尔米特矩阵。维格纳的周期律表明，在某些附加假设下，经验谱分布收敛于周期分布。我们的特点收敛到圆的条目的方差，自然的假设下，如Lindeberg条件。结果扩展到某些矩阵的条目具有无限的二阶矩。作为推论，给出了行和分布收敛于标准正态分布的另一个刻划。
Local laws for polynomials of Wigner matrices
本文研究了具有相同方差的中心独立随机矩阵的一般自伴多项式。我们表明，在某些条件下，当地法律举行了最佳规模，即，刚好在本征值间距之上的尺度上的本征值密度遵循由自由概率论确定的全局状态密度。我们证明了这些条件对一般的二次齐次多项式和独立同分布矩阵的对称化积都成立。条目，从而建立这些类的合奏的最佳批量本地法律。特别地，我们推广了Anderson关于反换位子的一个类似结果。对于更一般的多项式，我们的条件是有效的数值检验。
Application of Randomized Quadrature Formulas to the Finite Element Method for Elliptic Equations
线性椭圆型方程的有限元法的实现需要组装刚度矩阵和载荷向量。一般来说，这个矩阵-向量系统的元素不是明确已知的，而是需要通过求积规则来近似。如果微分算子或强迫项的系数函数不规则，则标准的求积公式（例如重心求积规则）可能不可靠。本文研究了两个随机求积公式在非正则系数椭圆型边值问题的有限元法中的应用。我们给出了这些方法的详细误差分析，讨论了它们的实现，并在几个数值实验中证明了它们的能力。
On the Limiting Spectral Density of Random Matrices filled with Stochastic Processes
讨论了实对称随机矩阵的极限谱密度。除了在标准随机矩阵理论中，上对角元素不被假设为独立的，但我们将用随机过程的元素填充它们。在对该过程的假设下，满足，例如，通过有限集上的平稳马尔可夫链，有限状态空间上的平稳吉布斯测度，或高斯马尔可夫过程，我们证明了极限谱分布依赖于矩阵填充随机过程的方式。如果填充以某种方式与矩阵上的对称条件相容，则经验特征值分布的极限定律是众所周知的半圆定律。对于其他填料，我们表明，半圆形法律不能限制谱密度。
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