Non-existence of multi-line Besicovitch sets
Tuomas Orponen
如果紧集K \subset R ^2包含一个正维的在正多个方向上的线段族，则K有正测度。
If a compact set K \subset R^2 contains a positive-dimensional family of line-segments in positively many directions, then K has positive measure.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Kakeya needle problem and the existence of Besicovitch and Nikodym sets for rectifiable sets
我们解决了Kakeya针问题，并构造了一个Besicovitch和Nikodym集的可求长集。
Hausdorff dimension, projections, intersections, and Besicovitch sets
本文综述了欧几里得空间一般子集的投影和交的豪斯多夫维数的最新发展，重点是例外集的豪斯多夫维数的估计和限制投影族.我们还将讨论投影与Besicovitch集的豪斯多夫维数之间的关系。
An improved bound on the Minkowski dimension of Besicovitch sets in R^3
Besicovitch集是在任何方向上包含单位线段的集合。已知这样一个集合的Minkowski维数和豪斯多夫维数在\R^3中必须大于或等于5/2。本文证明了对于某个绝对常数ε> 0，Minkowski维数实际上必须大于5/2 + ε.一个观察所产生的论点是，贝西科维奇集的近最小维数必须满足某些强性质，我们称之为“粘性”，“平面性”和“颗粒性”。本文的目的是改进三维Besicovitch集的Minkowski维数的已知界。作为论证的副产品，我们得到了关于具有几乎极小Minkowski维数的Besicovitch集的结构的一些强有力的结论。
On the generalized Hausdorff dimension of Besicovitch sets
本文构造了一族极小的Besicovitch直线集，证明其广义Hausdorff维数的精确规范函数小于Keich上界，表明迭代对数并非必要。
A note on the parameterisation of Besicovitch sets
针对Terry Tao在他的博客上提出的一个问题（并以否定的方式回答），即是否有可能在一组零区域内连续旋转一条线段，我们证明了平面上存在一组零区域，在该区域内，一条线段可以被Baire-1映射旋转。
Heisenberg Hausdorff dimension of Besicovitch sets
我们认为（有界）Besicovitch集的海森堡群，并证明了$L^p$估计的Kakeya极大函数意味着其海森堡豪斯多夫维数的下界。
An improved bound for the Minkowski dimension of Besicovitch sets in medium dimension
我们使用几何组合学的论证，包括沃尔夫的“发刷”和x射线论证，以及卡茨、拉巴和陶的粘性/平面/颗粒分析，来证明R^n中的贝西科维奇集的闵可夫斯基维数至少为（n+2）/2 + \eps_n（对于所有n > 3），其中\eps_n > 0是只依赖于n的绝对常数。这补充了Katz，Laba和Tao的结果，他们对n=3建立了相同的结果，以及Bourgain和Katz-Tao的结果，算术组合学技术建立了n > 8的结果。与以前的工作相比，我们的论点将是纯粹的几何，不需要算术组合。
A new bound for finite field Besicovitch sets in four dimensions
设$F$是特征大于2的有限域.在$F^4$中定义一个\emph{Besicovitch set}为一个集合$P \subseteq F^4$，该集合在每个方向上都包含一条线。\emph{Kakeya conjecture}断言$|P| \approx |F|^4$。Wolff的一个结果证明了$|P| \gtrsim |F|^3$.本文将其改进为$|P| \gtrapprox |F|^{3+\gain}$。另一方面，我们表明，$|F|^3$的界是尖锐的，如果我们放松的假设，线指向不同的方向。一个新的特点，在论点是介绍了少量的基本代数几何。
An improved bound on the Hausdorff dimension of Besicovitch sets in $\mathbb{R}^3$
该研究改进了三维欧氏空间中Besicovitch集的Hausdorff维数下界至$5/2+ε_0$，通过分析满足Wolff公理的管并体积得到结果，还提出了Kakeya猜想的新近乎反例$SL_2$示例供后续研究。
The intersection of typical Besicovitch sets with lines
我们证明了一个典型的Besicovitch集$B$与不包含在其中的所有直线都有测度零的交，而且$B$中的每条直线都与$B$中所有其它直线的并集在测度零的集合中相交.
Besicovitch Compression and a Quantitative Failure of Endpoint Fourier Restriction
该研究将 Besicovitch 压缩转化为端点 Fourier 限制的定量失效，构造显式集合序列，以精确速率展示球面和抛物面受限弱型估计的退化，并指出对高维矩曲线不适用。
Some results in support of the Kakeya Conjecture
Besicovitch集是$\R^d$的一个子集，它在每个方向上都包含一个单位线段，著名的Kakeya猜想指出Besicovitch集应该具有全维数。我们提供了一些结果，在各种情况下支持这一猜想。我们的证明是简单的，目的是给一个直观的感觉的问题。例如，我们给出了一个非常简单的证明，包装和低盒计数维的任何贝西科维奇集至少是$(d+1)/2$（更好的估计可在文献中）。我们还研究了Kakeya猜想在Baire范畴下的“通有有效性”，并证明了典型的Besicovitch集具有满的上计盒维数.我们还研究了一个较弱的版本的Kakeya问题的单位线段被替换为半无限线。我们证明了这样的“半扩展Besicovitch集”有充分的Assouad维数。这可以被看作是一个（大大削弱的）版本的挂谷问题的完全解决方案。
Quantitative Besicovitch projection theorem for irregular sets of directions
本文证明定量 Besicovitch 投影定理，仅需可测且测度较大的好方向集即可推出 AD-正则集合含于低 Lipschitz 常数图像的大片段，并推广方向避开结论。
$(n,k)$-Besicovitch sets do not exist in $\mathbb{Z}_p^n$ and $\hat{\mathbb{Z}}^n$ for $k\ge 2$
本文证明了在 $p$-进数和射有限整数空间中，任何包含所有方向 $2$-平坦的集合必具有正测度，从而否定了相应 Besicovitch 型零测度构造的存在性。
Buffon's needle landing near Besicovitch irregular self-similar sets
本文给出了任意自相似Cantor集的任意邻域的Favard长度的一个估计。考虑$L$在单位圆盘内半径为$1/L$的闭合不相交圆盘。利用小圆盘到单位圆盘上的线性映射，可以生成自相似Cantor集$G$ .然后是$\G=\bigcap_n\G_n$。然后，人们可以问这些集合$\G_n$的Favard长度（在该方向上正交投影到一条线上的长度的所有方向上的平均值）衰减到零的速率是$n$的函数。Favard长度问题的定量结果是由Peres-Solomyak和Tao获得的;在后者的论文中，考虑了从Besicovitch定理进行定量陈述的一般方法。但由于该方法过于一般，对自相似结构如$\G_n$不能给出很好的估计。事实上，大大改善估计已被证明在这些情况下：在文件的纳扎罗夫佩雷斯沃尔伯格，它表明，为1/4角康托集有$p<1/6$，使$Fav(\K_n)\leq\frac{c_p}{n^{p}}$，并在拉巴翟和邦德沃尔伯格相同类型的权力估计证明了产品康托集（与额外的平铺性质）和谢尔宾斯基垫片$S_n$为其他一些$p>0$。在目前的工作中，我们给出了一个估计，适用于{ \it任何} Besicovitch集是自相似的。然而，估计值比幂估计值更差。功率估计似乎仍然与相应的指数线性组合的零的某种规律性属性有关（我们称此属性为{ \it解析平铺}）。
Borel sets which are null or non-$σ$-finite for every translation invariant measure
我们证明了Liouville数的集合对于$\RR$上的每个平移不变Borel测度，特别是对于每个具有度规函数$g$的Hausdorff测度$\iH^g$，要么为零，要么为非$σ$ -有限.这回答了D的一个问题。莫尔丁我们还证明了其他一些简单定义的Borel集，如非正规数或Besicovitch-Eggestival数，以及$\RR$的所有博雷尔子群，如果不是$F_σ$，也具有上述性质.我们证明了，除了一些平凡的情况下，Borel类，Hausdorff或包装维数的博雷尔集没有这样的措施，它可以是任意的。
New bounds on Kakeya problems
建立了Besicovitch集的Minkowski维数和豪斯多夫维数的新估计，并得到了Kakeya极大算子的新界.
Sharp volume bounds for BRK-type sets of surfaces of revolution
本文证明旋转曲面BRK型集合的尖锐体积界，并导出Wolff型极大算子的最优Lp-Lq界，在三维情形需引入Sogge曲率条件的变体。
A new bound on partial sum-sets and difference-sets, and applications to the Kakeya conjecture
设$A, B$是阿贝尔群的有限子集，且$G \subset A \times B$使得$# A, # B, # \{a+b: (a,b) \in G \} \leq N$。我们考虑估计量$# \{a-b: (a,b) \in G \}$的问题。最近Bourgain将$N^2$的平凡上界改进为$N^{2-1/13}$，并将其应用于Kakeya猜想.进一步改进了Bourgain的估计，得到了$N^{2-1/6}$的进一步改进，如果我们也知道$# \{a+2b: (a,b) \in G\} \leq N$ .我们得出结论，$\R^n$中的Besicovitch集的Hausdorff维度至少为6 n/11+5/11，Minkowski维度至少为$4n/7 + 3/7$。这是$n > 8$的新功能。
Buffon needle lands in $ε$-neighborhood of a 1-Dimensional Sierpinski Gasket with probability at most $|\logε|^{-c}$
近年来，通过研究“投影多重性”函数$f_θ$的$L^p$范数，在Besicovitch投影定理的精神下，对于自相似集已经获得了相对尖锐的定量结果，其中$f_θ(x)$是在$θ$方向上正交投影以覆盖$x$的部分分形集的连通分量的数目。在\cite{NPV}中，我们证明了对于$p<1/6$，具有自相似比例因子1/4的$n$次部分四角Cantor集在Favard长度上的衰减至少与$\frac{C}{n^p}$一样快.在\cite{BV}中，对于某些$p>0$的1维Sierpinski垫片证明了相同的估计。为了使\cite{NPV}的方法适用于垫片，需要进行一些观察：我们在这里绘制了这些观察结果的草图。我们还制定了一个结果，所有自相似集的1维。
An existence theorem for sliding minimal sets
该研究针对ℝⁿ中二维集合的滑动边界型Plateau问题，证明了一个存在性定理，给出的充分条件核心是防止极小化序列的测度极限沿边界出现ℍ型奇点，其最简单情形适用于三维空间中凸体边界上的有限不交光滑闭曲线边界。
Existence of the Bedrosian Identity for Singular Integral Operators
当Hilbert变换$H$的Fourier变换的支集分别包含在$A=[-a,b]$和$B=R\setminus(-b,a)$，$0\le a,b\le+\infty$中时，Hilbert变换$H$满足Bedrosian恒等式$H(fg)=fHg$.利用时频分析的结果，我们研究了$L^2(R^d)$上的一般有界奇异积分算子以及一般支撑集$A$和$B$上的有界奇异积分算子的恒等式的存在性.建立了Bedrosian恒等式存在的支撑集的几何刻画。此外，还找到了部分Hilbert变换的支撑集，特别地，要使Hilbert变换满足Bedrosian恒等式，支撑集必须如上给出。
Existence of principal values of some singular integrals on Cantor sets, and Hausdorff dimension
本文研究了Cantor集上奇异积分主值的存在性，证明了在测度线性密度消失时主值存在点集的Hausdorff维数等于集合维数，并推广至高维Riesz奇异积分，同时引入鞅辅助证明。
A quadratic Roth theorem for sets with large Hausdorff dimensions
针对已有大集合几何构型存在性结果多依赖傅里叶衰减条件、仅证明大Hausdorff维数集合含两点模式的现状，本文研究仅由Hausdorff维数保证的三点构型存在性，推进相关领域的理论研究。
Existence of quasicrystals and universal stable sampling and interpolation in LCA groups
我们刻画了所有包含拟晶体（一类模型集）的局部紧阿贝尔（LCA）群。另外，如果LCA群G中存在一个简单的准晶，我们证明了Meyer和Matei最近关于n维欧几里得空间的结果可以推广到G中.更确切地说，我们证明了简单准晶是广义Paley-Wiener空间中的稳定采样的泛集和稳定插值的泛集。
On Volume and Surface Area of Parallel Sets
在欧几里得空间中，集合A的r-平行集由所有与A的距离不超过r的点组成。我们澄清的体积和平行集的表面积之间的关系，并研究这两个数量的渐近行为，r趋于0。例如，我们表明，在一般情况下，存在（适当重新缩放）限制的表面积意味着存在相应的限制的体积，称为闵可夫斯基内容。自相似分形集的情况下，得到一个完整的特征。平稳随机集的应用进行了讨论，以及，特别是对轨迹的布朗运动。
Measurable Envelopes, Hausdorff Measures and Sierpiński Sets
证明了$\RR^n$的所有子集关于$d$维Hausdorff测度$(0<d<n)$的可测包络的存在性与$ZFC$无关.我们还研究了关于$d$维Hausdorff测度的Sierpienski集可测性的存在性的一致性。
A Combinatorial Proof of the Existence of Dense subsets in R without the "Steinhaus" like Property
利用组合技巧证明了具有附加性质的不可测稠密集的存在性。
Multi-tiling sets, Riesz bases, and sampling near the critical density in LCA groups
本文证明了局部紧交换群G的Paley-Wiener空间在临界密度附近的采样集和插值集的存在性。这解决了Gröchenig，Kutyniok和Seip在文章中留下的问题：“LCA群的Landau密度条件”（J. of Funct. Anal. 255（2008）1831-1850）。为了实现这一结果，我们证明了存在的普遍Riesz基地的特点，L2（Ω），提供了相对紧凑的子集Ω的对偶群G满足一个multi-tiling条件。这最后一个结果推广Fuglede定理，并延伸到LCA组设置最近的建设Riesz基地的指数在有界集的Rd。
An elementary rectifiability lemma and some applications
本文推广 Besicovitch 经典定理，证明非 $\mathcal{H}^k$-$\sigma$-有限的 Souslin 集必含有限测度的纯不可整流闭集，从而给出 $k$-可整流性的闭子集判定准则，并说明其在几何分析奇点集研究中的应用。
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