The Kakeya needle problem and the existence of Besicovitch and Nikodym sets for rectifiable sets
Alan Chang, Marianna Csörnyei
我们解决了Kakeya针问题，并构造了一个Besicovitch和Nikodym集的可求长集。
We solve the Kakeya needle problem and construct a Besicovitch and a Nikodym set for rectifiable sets.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Some results in support of the Kakeya Conjecture
Besicovitch集是$\R^d$的一个子集，它在每个方向上都包含一个单位线段，著名的Kakeya猜想指出Besicovitch集应该具有全维数。我们提供了一些结果，在各种情况下支持这一猜想。我们的证明是简单的，目的是给一个直观的感觉的问题。例如，我们给出了一个非常简单的证明，包装和低盒计数维的任何贝西科维奇集至少是$(d+1)/2$（更好的估计可在文献中）。我们还研究了Kakeya猜想在Baire范畴下的“通有有效性”，并证明了典型的Besicovitch集具有满的上计盒维数.我们还研究了一个较弱的版本的Kakeya问题的单位线段被替换为半无限线。我们证明了这样的“半扩展Besicovitch集”有充分的Assouad维数。这可以被看作是一个（大大削弱的）版本的挂谷问题的完全解决方案。
On Kakeya-Nikodym type maximal inequalities
我们证明了对于任意维数的$d\ge3$，在没有尺度上的归纳论证的情况下，可以得到$d\ge3$的$\mathbb R^d$中Kakea-Nikodym极大函数的Wolff $L^{(d+2)/2}$界.关键的成分是减少到一个2维的$L^2$估计与辅助最大函数。我们还证明了对于任意常曲率流形$(M^d,g)$，Nikodym极大函数也有相同的$L^{(d+2)/2}$界，从而将Sogge关于$d=3$的结果推广到任意$d\ge3$ .与三维情形一样，我们可以处理常曲率流形，因为在这种情形下，两条相交的测地线唯一地确定了一个二维全测地子流形，这允许使用辅助极大函数。
A Kakeya maximal function estimate in four dimensions using planebrushes
本文提出平面刷这一新几何工具，在四维空间中改进了Kakeya极大函数估计，得到维度3.049的极大函数估计，并证明Besicovitch集合的Hausdorff维数至少为3.059。
Refined and microlocal Kakeya-Nikodym bounds for eigenfunctions in two dimensions
我们得到了二维本征函数的一些改进的本质上尖锐的Kakeya-Nikodym估计。我们得到这些通过证明更强的相关microlocal估计，涉及相空间的自然分解，是适应的测地流。
Refined and Microlocal Kakeya-Nikodym Bounds of Eigenfunctions in Higher Dimensions
我们证明了本征函数和拟模的Kakeya-Nikodym界，这使作者的一个结果更加尖锐，并将其推广到高维。在以前的工作中，关键的中间步骤是证明这些估计的微局部版本，其中涉及这些模式的相空间分解基本上是不变的bicharteristic/测地流。在一个配套文件中，它会看到，这些尖锐的估计产生改进的$L^q(M)$边界上的特征函数的存在下，非正曲率时，$2 < q < \frac{2(d+1)}{d-1}$。
Curved Kakeya sets and Nikodym problems on manifolds
本文将满足 Bourgain 条件的弯曲 Kakeya 集及常曲率流形上的 Nikodym、Furstenberg 问题归结为欧氏对应问题，从而证明三维常截面曲率流形的 Nikodym 猜想和二维常 Gauss 曲率曲面的 Furstenberg 猜想。
Heisenberg Hausdorff dimension of Besicovitch sets
我们认为（有界）Besicovitch集的海森堡群，并证明了$L^p$估计的Kakeya极大函数意味着其海森堡豪斯多夫维数的下界。
The Kakeya maximal operator on the variable Lebesgue spaces
本文证明了当指数函数$p(\cdot)$是$N$ -修正的局部log-Hölder连续且在无穷远处是log-Hölder连续时，Kakeya（Nikodym）极大算子$K_{N}$，$N\gg 1$在变Lebesgue空间$L^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^2)$上是有界的.
New bounds on Kakeya problems
建立了Besicovitch集的Minkowski维数和豪斯多夫维数的新估计，并得到了Kakeya极大算子的新界.
A new bound for finite field Besicovitch sets in four dimensions
设$F$是特征大于2的有限域.在$F^4$中定义一个\emph{Besicovitch set}为一个集合$P \subseteq F^4$，该集合在每个方向上都包含一条线。\emph{Kakeya conjecture}断言$|P| \approx |F|^4$。Wolff的一个结果证明了$|P| \gtrsim |F|^3$.本文将其改进为$|P| \gtrapprox |F|^{3+\gain}$。另一方面，我们表明，$|F|^3$的界是尖锐的，如果我们放松的假设，线指向不同的方向。一个新的特点，在论点是介绍了少量的基本代数几何。
Sharp microlocal Kakeya--Nikodym estimates for eigenfunctions with applications
本文扩展了Blair-Sogge特征函数的微局Kakeya-Nikodym界，适用于更广的指数范围，并在常曲率流形上引入新的各向异性范数，从而改进了Hecke-Maass形式在紧致双曲3流形上的L^p界。
An improved bound on the Hausdorff dimension of Besicovitch sets in $\mathbb{R}^3$
该研究改进了三维欧氏空间中Besicovitch集的Hausdorff维数下界至$5/2+ε_0$，通过分析满足Wolff公理的管并体积得到结果，还提出了Kakeya猜想的新近乎反例$SL_2$示例供后续研究。
Oscillatory integral operators on manifolds and related Kakeya and Nikodym problems
本文研究了黎曼流形上的Carleson-Sjölin算子，在常截面曲率和Sogge混沌曲率条件下通过不同方法获得了改进的$L^p$界，并作为副产品得到了Nikodym极大函数的新界。
An $L^{4/3}$ $SL_2$ Kakeya maximal inequality
本文构造性地证明了R³中存在零测度SL₂ Besicovitch集，由此说明SL₂ Kakeya极大不等式不能以一致常数成立；进一步给出p>3/2时的反例，并在二维球条件下证明p≤4/3时该不等式在C_εδ^{-ε}损失下成立。
On Kakeya-Nikodym averages, $L^p$-norms and lower bounds for nodal sets of eigenfunctions in higher dimensions
我们将第二作者\cite [定理1.1]{soggekaknik}的结果推广到维数$d \geq 3$，它将$2<p<\frac{2(d+1)}{d-1}$的本征函数的$L^p$ -范数的大小与收缩管中关于单位长度测地线的$L^2$ -质量的量联系起来。证明使用双线性振荡积分估计李\cite{leebilinear}和一个可变系数变量的“$\veps$删除引理”陶和巴尔加斯\cite{tv1}。我们还使用Hörmander的\cite{HorOsc} $L^2$振荡积分定理和Cartan-Hadamard定理表明，在非正曲率的假设下，特征函数$e_\la$的$L^2$ -范数在宽度为$\la^{-\frac12}$的单位长度管上趋于零。使用我们的主要估计，我们推断，在这种情况下，$L^p$规范的本征函数的上述范围内的指数是相对较小的。其结果是，我们可以稍微改善已知的下界节点集的尺寸$d\ge3$的Colding和Minicozzi \cite{CM}在特殊情况下（可变）非正曲率。
A Study on Kakeya Needle Problem for $(n-1)$-Rectifiable Sets
本文研究n维欧氏空间中针对(n-1)可求长集的Kakeya针问题类似问题，结合三类关键要素构造Nikodym型集，实现沿等距变换路径移动该类集并覆盖勒贝格零测集。
Kakeya-Nikodym averages and $L^p$-norms of eigenfunctions
本文给出了二维紧致无边界黎曼流形$M$上的Laplacian的平方根的本征函数的$L^p$ -范数$2<p<6$小于本征值$λ$的自然幂的充要条件.确保这一点的条件是，当$λ$较大时，它们在任意单位测地线的$O(λ^{-1/2})$邻域上的$L^2$范数较小（例如，对于$S^2$上的最高权重球谐函数，情况并非如此）。证明利用高斯引理和事实，即双线性振荡积分在Hörmander的Carleson-Sjölin定理的证明中变得越来越好，远离对角线。我们的研究结果是有关最近的工作Bourgain谁表明，$L^2$平均测地线的本征函数是小的自然电源的本征值$λ$提供的$L^4(M)$规范同样小。我们的结果意味着QUE不能保持在一个紧凑的二维无边界黎曼流形$(M,g)$，如果$L^p$ -范数是饱和的，对于一个给定的$2<p<6$。我们还表明，本征函数不能有一个最大的$L^2$ -质量集中沿单位部分的测地线是不顺利关闭的速率。
Nonconcentration of eigenfunctions in Microlocal Kakeya-Nikodym norms: a phase space approach
该研究针对拉普拉斯算子本征函数的$L^p$界问题，提出了比非正曲率更通用的微局部Kakeya-Nikodym平均改进条件，利用相空间变换与高斯束近似拓展了相关理论。
A new bound on partial sum-sets and difference-sets, and applications to the Kakeya conjecture
设$A, B$是阿贝尔群的有限子集，且$G \subset A \times B$使得$# A, # B, # \{a+b: (a,b) \in G \} \leq N$。我们考虑估计量$# \{a-b: (a,b) \in G \}$的问题。最近Bourgain将$N^2$的平凡上界改进为$N^{2-1/13}$，并将其应用于Kakeya猜想.进一步改进了Bourgain的估计，得到了$N^{2-1/6}$的进一步改进，如果我们也知道$# \{a+2b: (a,b) \in G\} \leq N$ .我们得出结论，$\R^n$中的Besicovitch集的Hausdorff维度至少为6 n/11+5/11，Minkowski维度至少为$4n/7 + 3/7$。这是$n > 8$的新功能。
Curved Kakeya sets for generic phases in odd dimensions
本文将有限接触阶条件推广至任意奇数维，利用多项式方法证明了一般Hörmander相位下弯曲Kakeya集的Hausdorff维度超过经典压缩阈值，并改进了相关振荡积分估计。
Dimension estimates for Kakeya sets defined in an axiomatic setting
本文定义了一类度量空间中Kakeya集的推广。欧几里得空间中的Kakeya集是零勒贝格测度的集合，它在每个方向上都包含一个长度为1的线段。一个著名的猜想，被称为挂谷猜想，指出任何挂谷集的豪斯多夫维数应该等于空间的维数。它只在平面上得到了证明，而在高维上，几何和算术组合方法都被用来获得部分结果。本文的第一部分定义了满足一定公理的度量空间中的广义Kakeya集。这些使我们能够证明一些下界的豪斯多夫维数的广义Kakeya集使用两种方法介绍了在欧几里得上下文中的Bourgain和Wolff。有了这个抽象的设置，我们可以处理许多特殊情况下，在一个统一的方式，恢复一些已知的结果和证明新的。在第二部分中，我们介绍了各种应用。我们恢复一些已知的估计经典Kakeya和Nikodym集和弯曲Kakeya集。此外，我们证明了包含一段在一条直线上通过一个超平面的每一个点的集和（n-1）-可求长集的维数的下界。然后，我们显示尺寸估计Furstenberg型集（已经知道在平面上）和经典Kakeya集相对于一个度量，是均匀的非各向同性膨胀下，其中球是矩形盒的两侧平行于坐标轴。最后，我们证明了下界的经典有界Kakeya集和一个自然的修改，他们在卡诺群的步骤二，其第二层具有一个维度，如海森堡群。另一方面，如果维数大于1，我们表明我们不能使用这种方法。
$(n,k)$-Besicovitch sets do not exist in $\mathbb{Z}_p^n$ and $\hat{\mathbb{Z}}^n$ for $k\ge 2$
本文证明了在 $p$-进数和射有限整数空间中，任何包含所有方向 $2$-平坦的集合必具有正测度，从而否定了相应 Besicovitch 型零测度构造的存在性。
A note on Kakeya sets of horizontal and $SL(2)$ lines
我们考虑$\mathbb{R}^{3}$中$SL(2)$线的并集。这些是$$L = (a,b,0) + \mathrm{span}(c,d,1),$$形式的行，其中$ad - bc = 1$。证明了如果$\mathcal{L}$是$SL(2)$线的Kakeya集，则其并集$\cup \mathcal{L}$具有豪斯多夫维数$3$ .这回答了王和Zahl的一个问题。$SL(2)$线可以与第一海森堡群中的水平线等同，并且我们得到的主要结果是关于水平线并的更一般陈述的推论.这种说法是建立通过一个点线之间的对偶原则水平和圆锥线在$\mathbb{R}^{3}$，结合最近的工作限制家庭的投影到飞机，由于GAN，郭，古斯，哈里斯，马尔达格，王。我们的结果也有一个推论的Nikodym集与水平线，这回答了一个特殊情况下的问题金。
A discretized Severi-type theorem with applications to harmonic analysis
在1901年，塞维里证明，如果$Z$是一个不可约超曲面在$\mathbb{P}^4(\mathbb{C})$，其中包含一个三维的一组线，那么$Z$是一个二次超曲面或涡卷的飞机。我们证明了一个离散化版本的超曲面在$\mathbb{R}^4$。作为应用，我们证明了$\mathbb{R}^4$中低次超曲面的$δ$ -邻域中至多包含$δ^{-2-\varepsilon}$方向分离的$δ$ -管.这一结果导致改进的限制和Kakeya问题在$\mathbb{R}^4$的界限。结合Guth和作者以前的工作，这个结果意味着在维数$3+1/28$上的Kakeya极大函数估计，这是对Wolff以前的$3$界的改进.证明了$\mathbb{R}^4$中的Besicovitch集的豪斯多夫维数至少为$3+1/28$ .最近，德米特表明，任何改进沃尔夫界的Kakeya极大函数产生新的界限上的限制问题的抛物面$\mathbb{R}^4$。
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