A Primer on Geometric Mechanics
Christian Lessig
几何力学通常在应用数学中进行研究，因此大多数介绍性文本都是针对具有数学头脑的观众。本文试图提供几何力学的直观性，并说明几何力学与理解“力学”的关系。
Geometric mechanics is usually studied in applied mathematics and most introductory texts are hence aimed at a mathematically minded audience. The present note tries to provide the intuition of geometric mechanics and to show the relevance of the subject for an understanding of "mechanics".
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Causal Fermion Systems: A Primer for Lorentzian Geometers
我们简要介绍了因果费米子系统，重点是时空中的几何结构。
A primer on substitution tilings of the Euclidean plane
本文旨在介绍替代镶嵌理论。为了我们的目的，平铺替换规则分为两大类：几何和组合。几何替换镶嵌包括自相似镶嵌，如著名的彭罗斯镶嵌;这类有大量的研究文献。组合替换刚刚开始被检验，我们在这里提出的一些是新的。我们给出了许多例子，提到选定的主要结果，讨论两类替代之间的联系，包括当前的研究观点和问题，并提供了广泛的参考书目。虽然作者试图公平地代表作为一个整体，该文件不是一个详尽的调查，她道歉的任何重要遗漏。
Enhanced Quantization: A Primer
虽然经典力学和量子力学是独立的学科，但我们生活在一个普朗克常数\hbar >0的世界里，这意味着经典和量子世界观实际上必须{ \it共存}。传统上，规范量子化过程假定位于不相交领域中的各种c数和q数量之间存在直接联系，并且对每个领域给出了非常不同的解释。在本文中，我们提出了一个不同的协会的经典和量子量，使经典理论的自然子集的量子理论，让他们共存的需要。这个提议也照亮了经典量和量子量的替代链接分配，这些分配提供了量子化意义的不同视角。在本文中，我们专注于阐述的一般原则，而在其他地方，我们已经发表了几个例子，这种替代的观点可以实现什么，这些例子包括消除奇点的经典解决方案，某些模型，和替代量化的几个场论模型是平凡的量化时，传统的方法，但变得定义良好，从新的观点时，非平凡的。
The research program of Stochastic Deformation (with a view toward Geometric Mechanics)
我们给出了一个程序的概述随机变形的经典力学和变分法，强烈的量子化方法的启发。
Classical Mechanics and geometric Quantization on an Infinite Dimensional Disc and Grassmannian
本文讨论了格拉斯曼型的经典力学和理想L^（2，\infty）（H）上的圆盘.我们应用几何量子化的方法，这些系统。并讨论了它们与平坦辛空间的关系。
Geometric variational problems of statistical mechanics and of combinatorics
本文给出了统计力学和组合数学中各种极值问题的几何解。结合预测晶体形状的伍尔夫结构，我们讨论了呈现典型杨图和典型摩天大楼形状的结构。
Some geometric aspects of variational calculus in constrained mechanics
我们给出了力学中变分原理的几何描述，特别注意约束系统。对于非完整约束的一般情形，给出了统一的变分方法，得到了非完整和非完整框架的运动方程。我们专门研究在这两种情况下的无穷小变化的存在。当约束是可积的，这两种形式主义进行了比较，并证明了它们是一致的。作为例子，我们给出的最优控制的情况下，vakonomic和非完整力学的速度线性约束的运动方程的几何公式。
Star Products and Geometric Algebra
几何代数的形式可以描述为变形超分析。变形是用一个费米子星积完成的，它来自于伪经典力学的变形量子化。如果我们把变形扩展到超分析的玻色子系数部分，我们就得到了有自旋系统的量子力学。这种方法一方面阐明了几何代数中Grassmann结构与Clifford结构之间的关系，另一方面阐明了经典力学与量子力学之间的关系。此外，它给出了一个形式主义，允许处理经典和量子力学在一个一致的方式。
Electrodynamics and Geometric Continuum Mechanics
该文以光滑场为对象引入几何连续介质力学核心概念，基于度规不变应力理论将电动力学场与Maxwell方程组推广到任意维可微流形，把广义电动力学归为连续介质力学特例，明确了势与应力的微分形式表示。
Application of Geometric measure Theory in Continuum Mechanics: The Configuration Space, Principle of Virtual Power and Cauchy's Stress Theory for Rough Bodies
在这项工作中，同调积分理论的原则适用于连续介质力学的数学公式。目前可接受的连续介质力学公式的一个中心准则是，一个可容许的物体由一组有限周长表示。所提出的框架，使列入一类广义机构，相应的应力理论制定适当的和广义的虚功率原理。
A survey about framing the bases of Impulsive Mechanics of constrained systems into a jet-bundle geometric context
我们说明了如何不同种类的约束作用于一个脉冲力学系统可以清楚地描述在几何设置所给出的配置空间-时间束$π_t:\mathcal{M} \to \mathbb{E}$和它的第一个喷气扩展$π: J_1 \to \mathcal{M}$的方式，确保总符合公理和不变性要求的经典力学。我们指定的几何和本构表征的约束之间的差异。我们指出的参考框架的概念所发挥的作用的相关性，强调框架的独立性是强制性要求时，一个框架的选择是一个不可避免的需要。彻底的合理化允许引入不寻常但有意义的约束，如单边动力学约束或可破约束，以及新的理论方面，如作用在系统上的主动力对脉冲反应的可能依赖性。
Fibre bundle formulation of time-dependent mechanics
我们在任意时间相关变换的一般设置中处理经典力学和量子力学。经典非相对论力学被表述为时间轴上光滑纤维束的特定场论。这些束上的连接描述了参考系。量子含时力学是用几何术语来表述的，包括巴拿赫和希尔伯特丛以及这些丛上的连接。一种表达这种语言的量化方案是逐叶几何量化（leafwise geometric quantization）。
The geometric semantics of algebraic quantum mechanics
在本文中，我们将提出一个正在进行的项目，其目的是使用模型理论作为一个合适的数学设置，研究形式主义的量子力学。我们将认为，这种方法提供了一个几何语义，这种形式主义通过建立一个（非交换）的对偶性之间的某些代数和几何对象。
Geometric Formulation of Combined Conservative Dissipative Mechanics via Contact Hamiltonian Dynamics Symmetries, Reduction, and Variational Integrators
本文提出了一种基于接触哈密顿动力学的几何框架，用于统一描述混合保守耗散力学系统，并设计了结构保持的变分积分器以实现数值稳定性。
Geometric formulation of quantum mechanics
量子力学是描述我们的物理现实的最重要和最成功的数学模型之一。传统的量子力学表述是线性的和代数的。相比之下，经典力学是定义在辛流形上的几何和非线性理论。然而，在广义相对论发明之后，我们确信几何是物理的，并且在所有尺度上影响我们。因此，量子力学的几何表述试图根据其基础几何结构给出物理系统的统一图像，例如，现在，状态由具有相容黎曼度量的辛流形的点表示，可观测量是流形上的实值函数，并且量子演化由哈密顿函数生成的辛流控制。本文简要介绍了量子力学几何表述的主要思想。我们将为读者提供纯态和混合量子态的几何结构的细节。我们也将讨论和回顾几何量子力学的一些重要应用。
A geometric approach to a generalized virial theorem
维里定理是由克劳修斯在统计力学中提出的，后来在经典力学和量子力学中都得到了应用。本文利用辛形式主义研究了哈密顿系统和拉格朗日系统的维里定理。本文分析了由非严格正则变换的单参数群建立维里类定理的可能性，并讨论了质量依赖于位置的系统的情形。利用现代辛方法的量子力学，我们达到了量子维里定理在完全类似的经典情况。
Geometric Properties of Paths in Relativistic Lagrangian Mechanics
考虑扩展的协变原理的相对论性拉格朗日力学沿路径的行动，我们鼓励使用几何-即协变和参数不变-拉格朗日函数。然后，我们研究了几何拉格朗日量的一些性质，并引入了偏差的概念，这是一个协变的测量有多少路径偏离测地线。最后，我们应用这个概念的孪生悖论，并提供了一个严格的解决方案。
Geometric quantization of mechanical systems with time-dependent parameters
具有绝热经典参数的量子系统被广泛研究，例如，在现代完整量子计算中。在这里，我们提供了完整的几何量子化的哈密顿系统与时间相关的参数，没有绝热假设。这样一个系统的哈密顿量是仿射的参数函数的时间导数。这导致了几何Berry因子现象。
Comparison between Geometric Quantisation and Covariant Quantum Mechanics
我们比较了弯曲时空上的量子力学的协变表述与标准几何量子化。
New developments in geometric mechanics
我们回顾的概念，分次丛，这是一个广义的向量丛，其线性化，和这种双重结构。然后，我们提出了这些结构在几何力学中的应用，包括高阶拉格朗日系统和高原问题。
Geometric quantization of relativistic Hamiltonian mechanics
相对论性哈密顿力学系统被看作伪黎曼流形余切丛上的保守狄拉克约束系统。我们提供了几何量子化的余切丛的量子约束作为一个相对论量子方程。
Geometric quantization of non-relativistic and relativistic Hamiltonian mechanics
我们证明了位形空间Q上的非相对论性和相对论性力学系统可以看作是在同一余切丛T^*Q的不同子丛上具有零哈密顿量的保守Dirac约束系统。这种余切丛在垂直极化下的几何量子化导致非相对论和相对论哈密顿力学的相容的协变量子化。
Stochastic geometric mechanics with diffeomorphisms
诺特的著名定理相关联的对称性和守恒定律在经典的场论是适应允许对称性破缺的几何力学，并显示出发挥核心作用，在推导和理解通过开尔文-诺特定理与随机平流的理想流体与李输运（盐）的流体循环的产生。
Geometrical Mechanics on algebroids
基于W. M. Tulczyjew，一般代数体上的动力学结构。一个得到的形式主义类似的拉格朗日和哈密顿的。与最近研究的李代数体上的分析力学概念相比，这种方法需要的比向量丛上的李代数体结构少得多，但它仍然再现了分析力学的主要特征，如欧拉-拉格朗日型方程，超正则情况下拉格朗日函数和哈密顿函数（勒让德变换）之间的对应关系，以及诺特定理的一个版本。此外，结构似乎更自然，更简单。
Prolongations vs. Tulczyjew triples in Geometric Mechanics
在科学文献中，基本上有两个学校制定拉格朗日（或汉密尔顿）力学在（李）代数体设置：在条款的简化和条款的Tulczyjew三元组。尽管事实上，在这两种方法中，我们描述了相同的现象，到目前为止，还没有进行比较，并Tulczyjew三元组。本说明旨在填补这一空白。更准确地说，我们将剥离延长方法，以揭示隐藏在里面的Tulczyjew三重现实，从而证明后一种方法是更基本的方法。
From Geometric Quantum Mechanics to Quantum Information
我们考虑量子力学的几何化。然后，我们专注于拉回的Fubini研究度量张量场从投影希尔伯特空间的轨道的本地酉群。这些张量场的内积使我们能够得到的功能下所考虑的当地酉群不变。这个过程铺平了道路的算法方法来识别纠缠单调候选人。最后，Fubini研究度量和量子版本的Fisher信息度量之间的联系进行了讨论。
Stochastic Geometric Mechanics for Fluid Dynamics
本研究介绍了可在全球气候建模中量化不确定性且保留理想流体平流输运特性的随机几何力学（SGM）框架，阐述了其基于李群不变变分原理、面向流体流动与波动动力学的数学构建内容。
Geometric Mechanics of the Vertical Slice Model
本研究利用Vertical Slice Models（VSMs）的几何力学研究海洋锋生动力学，并通过推导波-流相互作用模型变体，展示了确定性与随机变分方法在描述内波传播效应方面的通用性与实用性。
Geometric integrators and nonholonomic mechanics
本文基于生成函数方法，针对非完整系统的特殊性，发展了几何积分器的几何推导，得到了与以往不同的积分器。
Covariant geometric quantization of non-relativistic Hamiltonian mechanics
我们给出了具有正则泊松结构的垂直余切丛V^*Q的几何量子化。这是一个非相对论性力学的动量相空间，组态丛Q -> R。目标是V^*Q的薛定谔表示。我们证明，这种量子化等价于V^*Q -> R的辛纤维的纤维量子化，这使得非相对论力学的量子代数成为瞬时代数。经典演化方程的量子化定义了这个瞬时代数上的一个连接，它提供了非相对论力学中的量子演化作为沿时间的并行传输。
Constant Curvature Coefficients and Exact Solutions in Fractional Gravity and Geometric Mechanics
我们研究了引力理论和拉格朗日力学中的分数位形。该方法是基于Caputo分数阶导数，使零常数的行动。我们阐述了物理相互作用的分数几何模型，我们制定了其他类型的分数导数的非完整变形的方法。本文的主要结果包括在一个证明，相应的类的非完整分布的一个大类的物理理论建模为非完整流形与常数矩阵曲率。这使我们能够将相互作用和约束的分数动力学编码到曲线流和孤子层次的几何结构中。
Geometric Quantum Mechanics in a Symplectic Framework: Metric-Affine Extensions and Deformed Quantum Dynamics
本文基于项目ive希尔伯特空间的辛结构，提出量子力学的几何形式化，引入度量-仿射背景几何扩展，导致哈密顿流变形，并通过实例展示曲率和仿射结构对量子动力学的影响。
On the role of geometry in statistical mechanics and thermodynamics I: Geometric perspective
本文包含一个完整的几何公式的一般方程的非平衡可逆-不可逆耦合（通用）。GENERIC是哈密顿力学和梯度动力学的总和，是一个统一了非平衡态热力学中大量模型的框架，但由于哈密顿力学和梯度动力学的几何起源不同，GENERIC的几何结构并不清晰。这种差异可以通过动力学的余切提升来克服，例如，这导致了梯度动力学的哈密顿形式。此外，提升矢量场可以分解为完整矢量场和垂直矢量场，这为动力学降阶提供了一种几何方法。提升的动力学也可以被赋予物理意义，这里称为速率通用。最后，升降机可以制定内接触几何，其中热力学第二定律是明确包含在演化方程。
Geometric Calculus and the Fibre Bundle description of Quantum Mechanics
本工作的目的是将几何微积分（Clifford代数）的概念应用于量子力学的纤维丛描述。因此，我们打算以一种更自然的方式将该公式推广到弯曲时空（所讨论的纤维丛的基空间）。
Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics
在过去的十年中，量子理论中新思想的发展，包括几何和变形量子化，非阿贝尔Berry因子，超对称性和BRST对称性，非交换性，已经调用了基于代数，微分几何和拓扑学之间深刻相互作用的几何技术。本书的目的是指导先进的微分几何和拓扑方法在量子力学。它们的主要特点在于，量子理论中的几何主要使用环、模、层和范畴的代数语言。几何绝不是这本书的主要范围，但它是现代量子物理学中许多思想的基础，并提供了最先进的量子化方案。
Deterministic and Stochastic Geometric Mechanics for Hall MHD
本文通过对称约化的随机 Euler-Poincaré 变分原理建立随机 Hall MHD 新模型，为空间等离子体和太阳物理中的不确定性量化与数据同化提供坐标无关的几何力学框架。
Stochastic Geometric Mechanics in Nonequilibrium Thermodynamics: Schrödinger meets Onsager
我们描述薛定谔变分问题和昂萨格的方法之间的关系，非平衡统计力学。虽然第二次工作互惠关系和细致平衡已出版在同一年（1931年）的第一个，影响薛定谔的想法尚未被认为是在古典背景下的Onsager。
Mechanics of Tunable Helices and Geometric Frustration in Biomimetic Seashells
螺旋结构在自然界和工程中无处不在，从DNA分子到植物卷须，从海螺壳到纳米带。虽然自然和工程系统中的螺旋形状通常表现出几乎均匀的半径和螺距，但具有变化的半径和螺距的螺旋壳结构，例如贝壳和一些植物卷须，增加了这个美学美家族的多样性。在这里，我们开发了一个全面的理论框架可调螺旋形态，并报告第一个仿生贝壳状结构的几何挫折力学。在以往的研究中，当系统达到平衡时，总势能处处最小。然而，在这项工作中，由于几何不相容性，局部能量最小化不能实现，因此整个系统变形为具有全局能量最小值的形状，由此每个段中的能量不一定是局部优化的。这种新的方法可以应用于开发可调几何形状的材料和器件，在纳米/生物技术中具有一系列应用。
Fractional Curve Flows and Solitonic Hierarchies in Gravity and Geometric Mechanics
非完整流形和拉格朗日-芬斯勒空间的几何方法应用于分数阶微积分与Caputo导数，并阐述分数阶引力和分数阶拉格朗日力学模型。这些模型的几何数据被编码成（分数）双哈密顿结构和相关的孤子层次。当相应的曲线分数流的层次结构由分数波映射和类似的薛定谔映射以显式形式描述时，该结构产生分数向量sine-Gordon方程和分数向量mKdV方程的水平/垂直对。
A Geometric Theory of Growth Mechanics
在本文中，我们制定了几何理论的力学增长固体。批量增长是由一个不断发展的度量材料歧管。度量的时间依赖性代表了身体无应力（自然）配置响应质量密度和“形状”变化的演变。我们发现，时间依赖性的物质度规会影响能量平衡和熵产生不等式，能量平衡和熵产生不等式都必须修改。然后，我们得到的控制方程协变的能量平衡下的时间依赖的空间同态假设的不变性。我们利用最大熵产生原理导出了物质度规的发展方程。在各向同性生长的情况下，我们发现这些生长分布不会导致残余应力。然后，我们看看拉格朗日域论的增长弹性固体。我们将使用拉格朗日-达朗贝尔原理和瑞利耗散函数来推导所有的控制方程。我们的几何理论和传统的乘法分解的变形梯度$\mathbf{F}=\mathbf{F}_e\mathbf{F}_g$到增长和弹性部分之间的显式连接。我们将非线性理论线性化，导出了线性化的生长力学理论。最后，我们得到了线性化理论下的无应力生长分布。
Networks of Coadjoint Orbits: from Geometric to Statistical Mechanics
在几何力学的框架下，推广了统计力学中经典的Heisenberg模型，导出了一类具有对称群$G$的Lie-Poisson系统网络模型.我们考虑了两种自旋耦合方式：一种是通过动量耦合，另一种是通过位置耦合，并利用能量Casimir方法详细研究了平衡解及其相应的非线性稳定性。然后，我们以$G=SO(3)$为例，看到动量耦合系统简化为具有大质量自旋的经典海森堡模型，位置耦合情况简化为具有类似于重顶的破缺对称群$SO(3)/SO(2)$的新系统。在后一个系统中，我们在数值上观察到了一个有趣的同步现象，为某一类初始条件。添加一种类型的噪声和耗散，保持网络模型的余伴随轨道，我们发现不变测度由吉布斯测度给出，温度的概念由此定义。然后，我们观察到一个令人惊讶的"三峰"相变在重顶状晶格模型，自旋从一个平衡位置切换到另一个之前失去磁化，因为我们增加了温度。这项工作只是连接几何力学与统计力学和几个有趣的问题是开放的进一步调查的第一步。
A mathematical formalism of non-Hermitian quantum mechanics and observable-geometric phases
本文在量子力学的Dirac-von Neumann形式的基础上，给出了非厄米量子力学的数学形式.在这种形式主义中，状态公设与狄拉克-冯·诺依曼形式主义中的状态公设相同，但可观测公设应该被改变为包括代表可观测的准厄米算符（具有实谱的标量型谱算符），因此测量公设和演化公设都必须相应地修改。这是基于斯通型定理证明，非厄米量子系统的动力学是由para-unitary时间演化。在非厄米特条件下给出了关于某个状态下可观测量的期望的玻恩公式，证明了对于每个厄米特可观测量，玻恩公式都等于通常的玻恩定则，但对于非厄米特可观测量，玻恩定则可能依赖于测量，通过选择与被测非厄米特可观测量相关联的度量算子。我们的形式既不是哈密顿依赖的，也不是基依赖的，但可以恢复PT对称和双正交的量子力学，并且它在厄米特背景下简化为量子力学的Dirac-von Neumann形式.作为应用，我们研究了非厄米量子系统的可观测几何相位。
Hamel's Equations and Geometric Mechanics of Constrained and Floating Multibody and Space Systems
本文通过Hamel原始形式体系推导约化Euler-Lagrange方程与联络曲率，利用锁定速度实现内蕴分解与惯性解耦，填补了Hamel表述与几何方法在局部坐标下联系的空白。
From Second-Order Differential Geometry to Stochastic Geometric Mechanics
本文借助Schwartz–Meyer二阶随机微分几何，重建随机情形下的辛、Lagrangian、Hamiltonian、HJB与Noether等结构，并以最优传输中的Schrödinger问题为贯穿示例。
Geometric Time and Causal Time in Relativistic Lagrangian Mechanics
在这篇文章中，我们认为两种不同类型的时间应该考虑在相对论物理学：几何时间，它源于时空的结构和它的度量，和因果时间，表明从过去到未来的流动。因果时代的一个特殊性是，它的价值没有内在的意义，因为它们的演变本身是有意义的。在相对论性拉格朗日力学的背景下，因果时间对应于允许的路径参数化，我们表明，为了一个拉格朗日不依赖于任何特定的因果时间（因为它的值没有内在的意义），它必须是均匀的速度参数。我们以势场中的自由粒子为例来说明这一性质。然后，使用几何拉格朗日量（即参数化独立的拉格朗日量，这也是明显的协变），我们介绍的概念，年龄的一条路径的措施，在何种程度上的路径是远离测地线，并显示如何使用的概念可以在双胞胎悖论区分两个双胞胎遵循的路径。
The geometry of real reducible polarizations in quantum mechanics
几何量子化的公式包含几个公理和假设。我们表明，对于真正的极化，我们可以推广标准的几何量子化过程中引入的任意连接的极化束。可约量子结构的存在导致考虑刘维尔辛流形类。我们将这种改进的几何量子化方案应用于黎曼流形上的量子力学。用这种方法，我们得到了一个能量算子没有出现在标准公式中的标量曲率项，从而同意在物理文献中找到的通常表达式。
Relational bundle geometric formulation of non-relativistic quantum mechanics
本文提出非相对论多粒子量子力学的束几何表述，通过将波函数视为配置时空上的复值cocyclic张量0-形式，并基于协变导数推导薛定谔方程，同时利用动作函数提供平坦的cocyclic连接1-形式，从而实现一种几何化的量子力学路径积分。
Contact geometric descriptions of vector fields on dually flat spaces and their applications in electric circuit models and nonequilibrium statistical mechanics
切触几何已经被应用到各种数学科学中，并且已经提出切触流形和严格凸函数诱导用于信息几何的对偶平坦空间。在这里，这样的对偶平坦空间与接触流形中的勒让德子流形有关。本文在切触Hamilton向量场理论的基础上，给出了对偶平坦空间上向量场的切触几何描述。在此基础上，给出了勒让德子流形上的向量场提升到切触流形的两种方法。对于某些类提升向量场，给出了切触流形上的不变测度和勒让德子流形上的稳定性分析。在本文中，勒让德对偶是明确规定的。此外，为了说明如何将这些一般方法应用到应用数学学科中，本文还分析了电路模型和非平衡统计力学中的一些例子。
Time-Dependent Hilbert Spaces, Geometric Phases, and General Covariance in Quantum Mechanics
我们调查的后果，允许量子系统的希尔伯特空间有一个依赖于时间的度量。对于一个给定的可能是非平稳的量子系统，我们表明，要求有一个单一的Schreodinger时间演化标识度规与正定（Ermakov-Lewis）动力学不变量的系统。因此，几何相位由度量确定。我们构造了一个酉映射，将一个给定的与时间无关的希尔伯特空间与由正定动力学不变量定义的与时间相关的希尔伯特空间联系起来。这个映射定义了一个变换，它改变了希尔伯特空间的度量，但保留了系统的哈密顿量不变。我们建议用广义相对论的广义协变性原理的量子力学模拟来识别这种现象。我们评论的影响，这一原则的几何等效的量子系统和调查的基本对称群。
Deformation Quantization of Geometric Quantum Mechanics
考虑了经典非相对论单粒子系统的二次量子化作为薛定谔无自旋场的形变量子化。在薛定谔场的相空间为$C^{\infty}$的假设下，讨论并比较了Weyl-Wigner-Moyal和Berezin形变量子化.在相空间为赋Fubini-Study Kahlerian度规的$CP^{\infty}$的条件下，利用Berezin方法对几何量子力学进行量子化.最后，得到了任意粒子态的Wigner函数及其演化方程。如图所示，这种新的“第二次量化”导致与前一次量化基本不同的结果。例如，每个态都是粒子总数算符的本征态，相应的本征值总是${1 \over \hbar}$。
Time-Dependent Pseudo-Hermitian Hamiltonians and a Hidden Geometric Aspect of Quantum Mechanics
定义在Hilbert空间中具有内积$\langle\cdot|\cdot\rangle$的非厄米算符$H$可以作为幺正量子系统的哈密顿量，如果它对于度量算符（正定自同构）$η$是$η$ -伪厄米算符.后者定义了系统的物理希尔伯特空间$\mathscr{H} _η$的内积$\langle \cdot|η\cdot\rangle $。对于$H$的某些本征态依赖于时间的情况，$η$变为依赖于时间。因此，系统具有非平稳的希尔伯特空间。这样的量子系统，这也遇到了在宇宙学背景下的量子力学的研究中，遭受的时间演化的么正性和哈密顿量的不可观测性之间的冲突。它们的正确处理需要一个几何框架，澄清的概念，可观察到的能量，并导致几何扩展的量子力学（GEQM）。我们提供了一个一般性的介绍这个问题，回顾了一些最近的发展，提供了一个简单的描述的海森伯图片制定的动力学量子系统具有时间依赖的希尔伯特空间，并概述了海森伯图片制定的动力学GEQM。
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