The Frobenius-Euler function and its applications
Serkan Araci, Deyao Gao, Mehmet Acikgoz
本文研究Frobenius-欧拉多项式的Fourier变换。我们将用无穷级数给出它的应用。我们的应用程序具有有趣的属性，我们在本文中的状态。
In the present paper, we deal with Fourier-transformation of Frobenius-Euler polynomials. We shall give its applications by using infinite series. Our applications possess interesting properties which we state in this paper.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Some identities of Frobenius-Euler polynomials arising from Frobenius-Euler basis
本文给出了由Frobenius-Euler基导出的几个新的有趣的恒等式。最近，Simsek等人（见[13]）给出了Frobenius-欧拉多项式与q-伯恩斯坦多项式的q-模拟的一些恒等式.从本文的方法中，我们还可以导出Simsek等人的结果和恒等式（cf. [13]）。
Higher-order Bernoulli, Frobenius-Euler and Euler polynomials
本文给出了由投影演算导出的高阶Bernoulli、Frobenius-Euler和欧拉多项式的一些有趣的恒等式。利用本文的方法，我们可以导出许多特殊多项式的有趣恒等式
Identities involving Frobenius-Euler polynomials arising from non-linear differential equations
本文考虑与Frobenius-欧拉多项式的母函数密切相关的非线性微分方程。本文从非线性微分方程出发，导出了Frobenius-欧拉多项式与高阶Frobenius-欧拉多项式乘积和之间的一些新的恒等式.
Umbral calculus and Frobenius-Euler polynomials
本文研究了与Appell序列有关的哑演算的一些性质。利用这些性质，我们得到了Frobenius-欧拉多项式的新的有趣的恒等式.
A note on the new q-extension of Frobenius-Euler numbers and polynomials
本文考虑Frobenius-欧拉数和多项式的新q-扩张，并利用Frobenius-欧拉多项式的新q-扩张的正交性性质得到了一些有趣的恒等式.最后，我们提出了一个公开的问题有关的正交多项式。
An Identity of the Symmetry for the Frobenius-Euler polynomials associated with the fermionic p-adic invariant q-integrals on Z_p
本文的主要目的是证明Frobenius-欧拉多项式的一个对称恒等式。
Representation by degenerate Frobenius-Euler polynomials
本文的目的是表示任何多项式的退化Frobenius-欧拉多项式和更一般的高阶退化Frobenius-欧拉多项式。我们推导出显式公式与阴影演算的帮助下，并说明我们的结果与一些例子。
Higher-order frobenius-Euler and poly-Bernoulli mixed type polynomials
本文考虑由多对数函数导出的与多伯努利多项式相联系的高阶Frobenius-Euler多项式。这些多项式被称为高阶Frobenius-Euler和poly-Bernoulli混合型多项式。本文的目的是给出由投影演算产生的多项式的各种恒等式。
A note on the Frobenius-Euler numbers and polynomials associated with Bernstein polynomials
本文讨论了伯恩斯坦多项式和Frobenius-欧拉数及多项式。我们应用Zp上的生成函数和费米子p-adic整表示的方法，导出了更多的伯恩斯坦多项式和Frobenius-欧拉数及多项式.更精确地说，我们将所得结果概括如下，得到了Frobenius-欧拉数与多项式之间的一些组合关系。进一步，我们得到了Zp上n次伯恩斯坦多项式的整表示.同时，我们还导出了不同次数n1，n2，.的乘积伯恩斯坦多项式的费米子p-adic整表示.并表明它可以用Frobenius-欧拉数来写，从而更深入地了解这种类型的推广的有效性。我们的应用程序具有一些有趣的属性，我们在本文中的状态。
Representations by probabilistic Frobenius-Euler and degenerate Frobenius-Euler polynomials
针对矩生成函数在原点邻域存在的随机变量Y，借助umbra微积分推导显式公式，实现用相关概率Frobenius-Euler多项式及其退化、高阶形式表示任意多项式，并举例说明。
The simultaneous multiplication formulas for Apostol-Bernoulli polynomials and generalized Frobenius-Euler polynomials
证明了Apostol-伯努利多项式和广义Frobenius-欧拉多项式的同时乘法公式。这些公式包括Dedekind-Rademacher和、Apostol-Dedekind和和以及Fourier-Dedekind和。
Twisted Dedekind Type Sums Associated with Barnes' Type Multiple Frobenius-Euler l-Functions
本文的目的是构造新的Dedekind型和。构造了Barnes型多重Frobenius-欧拉数和多项式的生成函数.通过对这些函数进行Mellin变换，我们定义了Barnes型重L函数，它对Frobenius-欧拉数进行负整数插值.利用Frobenius-Euler函数的推广，定义了广义Dedekind型和，并证明了相应的互反律。给出了Frobenius-欧拉多项式的扭曲形式和新的Dedekind型和及相应的互反律.利用p-adic q-Volkenborn积分和扭（h，q）-Bernoulli函数，构造了p-adic（h，q）-高阶Dedekind型和.利用Bernoulli函数与Frobenius-Euler函数之间的关系，我们还定义了Hardy-Berndt型和的类似函数.我们也给出了与这些和有关的一些新的关系式.
On the degenerate Forbenius-Euler polynomials
本文考虑退化的Frobenius-欧拉多项式，研究了这类多项式的一些恒等式.
Identifying Frobenius elements in Galois groups
我们提出了一种方法来确定Frobenius元素的任意伽罗瓦扩展的全球领域，这可能被视为一个推广的欧拉准则。如何比较分裂域和确定伽罗瓦群中的共轭类是一般问题的一部分，我们也将讨论。
q-Analogue of Euler-Barnes Multiple Zeta Functions (= a note on q-zeta functions)
最近（见[1]），我介绍了一个有趣的Euler-Barnes多重zeta函数。本文构造了Euler-Barnes多重zeta函数的q-模拟，它是高阶Frobenius-欧拉数的q-模拟在负整数处的插值.
Euler factors determine local Weil representations
我们证明了局部域K上的Frobenius-半单Weil表示是由它在K的扩张上的Euler因子决定的.的建设是明确的，我们说明它的L-进表示附加到椭圆和亏格2曲线。作为应用，根据Birch-Swinnerton-Dyer猜想，我们构造了Q上的一个绝对简单的2维阿贝尔簇，它的二次扭必有正秩.
Weighted averages of $p$-adic hypergeometric functions and traces of Frobenius of elliptic curves
研究一类一参数椭圆曲线的弗罗贝尼乌斯迹及其与p-进超几何函数的关系，通过加权平均特殊值和特殊值表达，推导出p-进超几何函数的求和恒等式和p-进欧拉-普夫夫变换。
On p-adic Frobenius lifts and p-adic periods, from a Deformation Theory viewpoint
将p-adic数表示为有限域的{ \em变形}，可以更好地理解Frobenius提升及其与Buium \cite{Buium-Main}意义下的p-导子的联系。以这种方式“数字{ \em是}函数”，如在\cite{Manin:Numbers}之前所认识到的，允许将初始结构变形问题视为如在\cite{Buium-Manin}中的算术微分方程，并且通过控制代数结构的变形的Hochschild上同调来提供对Buium演算的上同调解释。从上同调的角度考虑了p-adic周期的应用，包括经典的Euler gamma和β函数及其p-adic类似物。计算散射振幅的各种方法之间的联系与模空间问题和周期域有关。
Representations of degenerate Hermite polynomials
我们引入退化埃尔米特多项式作为普通埃尔米特多项式的退化版本。然后，除其他事项外，通过使用关于将一个Bernarda-Sheffer多项式表示为其他Bernarda-Sheffer多项式的公式，我们将退化的Hermite多项式表示为高阶退化的Bernoulli、Euler和Frobenius-欧拉多项式，反之亦然。
Identities on the k-ary Lyndon words related to a family of zeta functions
本文的主要目的是研究和介绍K元Lyndon字的个数与Ozden等人定义的统一zeta型函数之间的关系。最后，我们给出了k元Lyndon字的个数与Apostol-Bernoulli数和多项式、Frobenius-欧拉数、欧拉数、Bernoulli数等特殊数和多项式的生成函数的一些恒等式.
The first p-jet space of an elliptic curve: global functions and lifts of Frobenius
证明了在椭圆曲线上的第一个$p$ -jet空间上不存在非常数全局函数和Frobenius提升，除非椭圆曲线本身具有Frobenius提升.
The Frobenius twists of elliptic curves over global function fields
对于定义在特征p>0的整体函数域K上的椭圆曲线A，A的Frobenius扭的p-Selmer群的阶往往比A的p-Selmer群的阶大.本说明的目的就是讨论这一现象。
p-adic Gamma function and traces of Frobenius of elliptic curves
在\cite{mccarthy2}中，McCarthy利用有限域的Teichmüller特征标和$p$ -adic Γ函数的导数定义了一个函数$_{n}G_{n}[\cdots]$，并用$_{2}G_{2}[\cdots]$的特殊值表示了椭圆曲线的Frobenius迹.利用函数$_{2}G_{2}[\cdots]$建立了椭圆曲线的Frobenius迹的两种不同的表达式。结果得到了函数$_{2}G_{2}[\cdots]$在不同参数下的特殊值之间的两种关系。
Frobenius map and the $p$-adic Gamma function
本文研究了Dwork指数的幂级数展开与$p$ Γ函数的Mahler展开之间的关系。我们利用这种关系来证明，在我们以前的计算中出现的Frobenius映射的某些数量可以表示在$p$ -adic Γ函数在0的衍生物。这是用来证明一个猜想的非平凡的非对角项的Frobenius矩阵的镜像五次三倍。
Hypergeometric functions over $\mathbb{F}_q$ and traces of Frobenius for elliptic curves
本文给出了某些椭圆曲线族的Frobenius自同态的迹与$\mathbb{F}_q$上的${_{2}}F_1$ -超几何函数的特殊值之间的显式关系，其中${_{2}}F_1$是$q \equiv 1 (\text{mod} 6)$和$q \equiv 1 (\text{mod} 4)$ .
The trace of Frobenius of elliptic curves and the $p$-adic gamma function
我们定义了一个函数的$p$ -adic的Γ函数，推广了作者早期的工作，在有限域上扩展超几何函数的$p$ -adic设置。证明了对于素数$p > 3$，$\mathbb{F}_p$上任何椭圆曲线的Frobenius迹，只要其$j$ -不变量不等于0或1728，都是该函数的一个特殊值.这推广了Fuselier和Lennon的结果，当$p \equiv 1 \pmod {12}$时，他们用$\mathbb{F}_p$上的超几何函数来评价Frobenius的迹。
Frobenius Coin-Exchange Generating Functions
我们研究变种的\emph{Frobenius coin-exchange problem}：鉴于$n$积极互素参数，什么是最大的整数，不能表示为一个非负整数线性组合的给定整数？这个问题和它的兄弟可以通过根据整数是否可表示来生成具有0/1系数的函数来理解。在2参数的情况下，这个生成函数有一个优雅的封闭形式，从它可以得出许多推论，包括弗罗贝纽斯问题的公式。我们建立了一个类似的封闭形式的生成函数，表明所有的整数正好$k$表示，具有类似的广泛的推论。
Realizing cyclic linear transformations as Frobenius elements in the Galois groups of $q$-polynomials over function fields
我们利用特定的1次理想在$\mathbb{F}_q(t)$上的某些$q$ -多项式的伽罗瓦群中实现了Frobenius共轭类.我们结合初等线性代数和群论的方法来实现某些线性伽罗瓦群中的transvection。这使得伽罗瓦群在几个相当一般的情况下被识别为已知的典型群。
On The Degenerate Poly-Frobenius-Genocchi Polynomials Of Complex Variables
本文的主要目的是借助于多指数函数定义和研究一类新的退化多Frobenius-Genocchi多项式。本文定义了由修正的多指数函数产生的复变数的退化多Frobenius-Genocchi多项式。我们推导出这些多项式和数字的显式表达式。同时，我们还得到了这些多项式与其他一些特殊数和多项式的隐式关系。
Moments of Traces of Frobenius of Higher Order Dirichlet $L$-functions over $\mathbb{F}_q[T]$
研究了当$χ$遍历定义在固定阶$r$的$\mathbb{F}_q[T]$上的Dirichlet特征标时$\mbox{Tr}(Θ_χ)$的矩.特别是，我们表明，经过适当的规范化，$q$ -限制的权力和时刻的行为就像一组的酉矩阵乘以一个权函数的权力和时刻。
Frobenius structure on hypergeometric equations, p-adic polygamma values and p-adic L-values
本文研究了超几何方程上的弗罗贝尼乌斯结构，通过p进polygamma函数推广了Kedlaya的公式，并将其与p进L值联系起来，应用于p进上同调的研究。
Counting Frobenius extensions over local function fields
研究局部函数域在特征p下扩展的渐进行为，特别考虑伽罗瓦群为AGL_1(p)子群的情况，并解决更一般情况下的计数问题，包括非阿贝尔群如S_3、二面体群和许多弗罗贝尼乌斯群。
Higher dimensional Frobenius problem: Maximal saturated cone, growth function and rigidity
考虑$m$的半空间中的整向量$X_1,...,X_m \in \mathbb{Z}^s$（$m\ge s\geq 1$），并研究其加性半群$X_1 \mathbb{N} +... + X_m \mathbb{N}$的结构.引入并研究了描述半群结构的极大饱和锥和方向增长函数。当向量$X_1, ..., X_m$位于一个固定的超平面，我们得到了一个明确的公式的方向增长函数，我们表明，这个功能完全特征的定义数据$(X_1, ..., X_m)$的半群。最后一个结果将应用于Cantor集的Lipschitz等价的研究（见[H. Rao和Y. Zhang，Higher dimensional Frobenius problem and Lipschitz equivalence of Cantor sets，Preprint 2014]）。
Arithmetic properties of generalized Frobenius partitions
本文研究了广义m色Frobenius分拆函数cϕ_m在m为5、7、11时的同余性质，结合模形式理论与计算证明了仅有六个类似Ramanujan的同余式存在。
Gaussian Hypergeometric Evaluations of Traces of Frobenius for Elliptic Curves
给出了满足$j(E)\neq 0,1728$和$q\equiv 1 \pmod{12}$的椭圆曲线$E$在$\mathbb{F}_q$上的Frobenius自同态的迹用高斯超几何级数的特殊值表示的公式.本文利用Fuselier的单参数曲线族的工作中介绍的方法，将$E$的Frobenius迹表示为曲线的$j$ -不变量和判别式的函数，而不是曲线的一个参数，这是曲线更内在的特征。
Old Meets New: Connecting Two Infinite Families of Congruences Modulo Powers of 5 for Generalized Frobenius Partition Functions
本文在与层级 20 模曲线相关的两类广义 Frobenius 分拆函数同余族之间建立模函数环同构，并借助 Atkin–Lehner 对合提出研究复合层级同余的新策略。
Congruences for Generalized Frobenius Partitions with an Arbitrarily Large Number of Colors
在1984年的AMS Memoir中，George Andrews定义了$k$ --着色广义Frobenius分拆函数。这些由$cϕ_k(n)$表示，其中$k\geq 1$是所讨论的颜色的数量。在这本回忆录中，安德鲁斯证明了（除其他事项外），对于所有的$n\geq 0,$ $cϕ_2(5n+3) \equiv 0\pmod{5}.$不久之后，许多作者证明了各种$k$ -有色广义Frobenius分拆函数的同余性质，通常具有少量的颜色。工作拉马努金-一样的同余属性满足的职能$cϕ_k(n)$继续进行，最近的作品完成巴鲁阿和Sarmah以及作者。不幸的是，在所有情况下，作者限制他们的注意力小值的$k.$这往往是由于难以找到一个“好”的表示生成函数的$cϕ_k(n)$为大$k.$因为这一点，没有拉马努金-一样的同余式是已知的地方$k$大。本文证明了$cϕ_k(n)$的几个无穷族同余，其中允许$k$任意增长，从而纠正了这种情况.证明是真正的小学，依赖于生成函数表示出现在安德鲁斯的回忆录，但已经相对忽视。
Traces of high powers of the Frobenius class in the hyperelliptic ensemble
有限域上曲线的zeta函数可以用酉辛矩阵的特征多项式表示，称为曲线的Frobenius类。在大亏格极限下，计算了有限域上亏格为g的超椭圆曲线的集合的Frobenius类的n次幂迹的期望值，并将结果与酉辛群USp（2g）上相应的平均值进行了比较.我们能够计算幂n的平均值几乎高达4g，发现与随机矩阵结果一致，除了小n和n=2g。作为一个应用，我们计算的zeta函数的曲线，包括低阶项，检验函数的傅里叶变换支持（-2，2）的零点的一级密度。结果部分证实了Katz和Sarnak的一个猜想，即这个系综的低阶零点具有辛统计。
Geometric Gamma values and zeta values in positive characteristic
与经典的Euler Gamma函数在有理数上的值和黎曼ζ函数在正整数上的值类似，我们考虑Thakur的几何Gamma函数在有理数上的值和Carlitz zeta值在正整数上的值。我们证明，当考虑在一起，所有这些特殊值之间的代数关系产生的标准函数方程的伽玛函数和从欧拉-Carlitz关系和Frobenius的zeta函数的p次幂关系。
Denominators in the Farey Sequence, the Stern Sequence, and the Frobenius Problem with Relatively Prime Multipliers
该研究针对带系数互素限制的弗罗贝尼乌斯开放问题，证明此类问题仍存在无法表示的最大整数，并探究其与斯特恩序列等的关联及相关性质。
Frobenius' theta function and Arakelov invariants in genus three
给出亏格为3的紧致连通Riemann曲面的Kawazumi-Zhang不变量和Faltings δ-不变量的显式表达式。这些公式是在两个积分相关的雅可比，一个积分涉及标准黎曼θ函数，另一个涉及θ函数特别是亏格三是发现的弗罗贝纽斯。我们回顾Frobenius的工作的一部分，他的θ函数和连接我们的结果与公式由于布洛赫，海恩和博斯特描述阿基米德高度配对的Ceresa周期属三。
Gamma functions, monodromy and Frobenius constants
本文建立弗罗贝尼乌斯常数与广义伽马函数泰勒系数的关系，证明 Picard–Fuchs 算子的弗罗贝尼乌斯常数是周期，并将其推广到一般正则奇点情形，给出超几何连接的生成函数。
Formulas for Jacobi forms and generalized Frobenius partitions
自从安德鲁斯提出广义弗罗贝纽斯分拆以来，引起了许多作者的兴趣，其中许多人已经推导出了特定情况下其母函数的显式公式。这揭示了有趣的组合结构，并导致证明了一些同余。在本文中，我们展示了如何安德鲁斯的生成函数可以在Eichler和Zagier的雅可比形式的框架内铸造。这种重新表述使我们能够计算广义Frobenius分区生成函数的显式公式（实际上提供了潜在的组合感兴趣的进一步功能的公式），它导致了一个递推公式来计算它们的无限$q$ -产品。
Congruences for an arithmetic function from 3-colored Frobenius partitions
设$a(n)$定义为$\sum_{n=1}^{\infty}a(n)q^n := \prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{3n})(1-q^n)^3}.$本文证明了对每个非负整数$n$，a（15 n +6）\equiv 0 \pmod{5}，a（15 n +12）\equiv 0 \pmod{5} .作为推论，我们得到了Ono的一些结果
English translation of Frobenius' and Stickelberger's "On the theory of elliptic functions"
本文翻译并数字化了弗罗贝尼乌斯和斯蒂克尔伯格1877年发表的椭圆函数理论论文，推导了弗罗贝尼乌斯和斯蒂克尔伯格行列式公式，并推广了赫尔米特和基佩特的行列式。
The polynomial part of a restricted partition function related to the Frobenius problem
给定一组正整数A = {a_1，.，a_n}，研究了方程组的非负整数解（m_1，.，m_n）到m_1a_1 + ... m_n a_n = t.我们导出了p_A的多项式部分的一个显式公式。
The Parametric Frobenius Problem
给定互素的正整数a_1，.，a_n，Frobenius数是不能写成a_i的非负整数组合的最大整数。我们研究这个问题的参数版本：给定a_i=a_i（t）作为t的函数，计算作为t的函数的Frobenius数。一个函数f是拟多项式，如果存在一个周期m和多项式f_0，.，f_{m-1}使得对于所有正整数t，f（t）= f_{t mod m}（t）。我们猜想，如果a_i（t）是关于t的多项式（或拟多项式），那么对于足够大的t，Frobenius数与拟多项式一致。我们在a_i（t）是线性函数的情况下证明了这一点，并且在n（生成元个数）至多为3的情况下也证明了这一点。
Congruences modulo powers of $3$ for $6$-colored generalized Frobenius partitions
本文研究6色广义弗罗贝尼乌斯划分函数cϕ_6(n)的同余性质，采用Banerjee和Smoot发展的方法验证了Gu等人提出的猜想。
Congruences modulo powers of $3$ for generalized Frobenius partitions $CΨ_{6,0}$
本文研究了$(6,0)$彩色弗罗贝尼乌斯划分函数$cψ_{6,0}(n)$，通过阿特金-勒文纳逆运算建立生成函数关系，并证明其对3的幂次的同余式。
Proof of a Conjecture on 6-colored Generalized Frobenius Partitions
设$cϕ_{k}(n)$是$k$ -着色的广义Frobenius配分函数。利用Hirschhorn给出的$cϕ_{6}(3n+1)$的生成函数，证明了$cϕ_{6}(27n+16)\equiv 0$（mod 243）.这证实了E.X.W.夏我们还发现了一个同余关系$cϕ_{6}(81n+61) \equiv 3 cϕ_{6}(9n+7)$（mod 243）。此外，我们还证明了$cϕ_{6}(81n+61) \equiv 0$（mod 81）、$cϕ_{6}(243n+142) \equiv 0$（mod 243）和$cϕ_{6}(729n+ 547) \equiv 0$（mod 243）。我们进一步推测，对于$n\ge 0$，$cϕ_{6}(243n+142) \equiv 0$（mod 729）。
Generalized Frobenius partitions, Motzkin paths, and Jacobi forms
我们展示了如何安德鲁斯的生成函数的广义Frobenius分区可以理解的理论Eichler和Zagier作为特定系数的某些Jacobi形式。这种重新导致一个递归的过程，产生明确的公式广义Frobenius分区生成函数的无限$q$产品。特别是，我们表明，我们的结果的具体例子很容易重新建立以前已知的公式，我们描述了新的同余式，无论是authorical和证明，在其他情况下。Jacobi形式的模结构表明，形式的系数的\emph{all}是感兴趣的。我们给出了这些“同伴系列”的组合定义，并通过Motzkin路径的计数来探索它们的组合学。
Decidability of the theory of addition and the Frobenius map in rings of rational functions
证明了加法理论的模型完备性和有理函数的某些正特征子环的Frobenius映射。更准确地说：设$p$为素数，$\mathbb{F}_{p}$为含有$p$元素的素域，$F$为$\mathbb{F}_p$上的代数域，$z$为变量.我们证明了环$R$的结构，它是在$F[z]$上通过邻接$F[z]$的不可约多项式的逆的有限集而生成的（例如，$R=\mathbb{F}_p[z, \frac{1}{z}]$），此外，Frobenius映射$x\mapsto x^p$和谓词“$\in F$”--连同允许构建$\mathbb{F}_p[z]$的所有元素的函数符号和常数--是模型完备的，即，每个公式等价于一个存在公式。此外，我们表明，在这些结构中，所有的问题，即，\emph{first order sentences}，关于环$R$可以，建设性地，转化为有关$F$的问题。
On the distribution of the of Frobenius elements on elliptic curves over function fields
设$C$是$\mathbb{F}_q$上的光滑射影曲线，函数域为$K$，$E/K$是非常数椭圆曲线，$ϕ:\mathcal{E}\to C$是它的极小正则模型.对于每个$P\in C$，使得$E$在$P$处具有良好的减少，即，纤维$\mathcal{E}_P=ϕ^{-1}(P)$是光滑的，$\mathcal{E}_P$在$P$的剩余域$κ_P$上的ζ函数的特征值具有$q_P^{1/2}e^{iθ_P},q_{P}e^{-iθ_P}$的形式，其中$q_P=q^{°(P)}$和$0\leθ_P\leπ$。本说明的目的是确定给定一个整数$B\ge 1$，$α,β\in[0,π]$的$P\in C$的数量，其中减少$E$是好的，这样$°(P)\le B$和$α\leθ_P\leβ$。
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