Counterexamples to a conjecture on matching Kneser graphs
设$G$是一个图，而$r\in\mathbb{N}$ .匹配Kneser图$\textsf{KG}(G, rK_2)$的顶点集是$G$中的$r$ -匹配的集合，如果两个顶点的对应匹配是边不交的，则两个顶点相邻.在[Alishahi，M.和Hajiabolhassan，H.，关于匹配Kneser图的色数。可能吧的Comput。29（2020），第1期，1- 21。]证明了对于任意连通图$G$和正整数$r\geq 2$，$\textsf{KG}(G, rK_2)$的色数等于$|E(G)|-\textsf{ex}(G,rK_2)$，其中$\textsf{ex}(G,rK_2)$表示$G$中避免$r$大小匹配的最大边数.在这篇文章中，我们证明了这个猜想对snarks是不成立的。
2021-07-11 math.CO
Conjecture of TxGraffiti: Independence, domination, and matchings
TxGraxlet是一个自动化的图形化程序，以图形化不等式的形式产生图论图形。自2017年以来，第二作者编写和维护的这个程序受到了以前自动化编程程序的成功的启发，包括Fajtlowicz的GRAFFITI和DeLaViña的GRAFFITI.pc。在本文中，我们证明和推广的TxGraffic生成的几个图形时，提示猜想的\emph{independence number}，\emph{domination number}，和\emph{matching number}（和推广这些图形不变量）。此外，在一些情况下，我们还表明，这些图不变量的建议的不等式是尖锐的。
2021-04-02 math.CO
Erdös's Matching Conjecture and $s$-wise $t$-intersection Conjecture via Symmetrical Smoothing Method
本研究借助经小幅修正的对称平滑法，推导出不含ℓ匹配的n元组族最大基数公式（可简化为Erdös匹配公式），并证明了k元子集的最大s-wise t-相交族基数猜想。
2025-06-14 math.CO
Minimal number of edges in hypergraph guaranteeing perfect fractional matching and MMS conjecture, complete version
本文证明了Ahlswede-Khachatrian猜想~ \cite{1}的有限个情形，这些情形可以用现代计算机来检验.从这个猜想引出了~ \cite{2}猜想和Manickam-Miklós-Singhi猜想。本文由文献~ \cite{09}、~ \cite{08}合并而成。
2017-03-14 math.CO
Proof of Grinblat's conjecture on rainbow matchings in multigraphs
组合数学中许多著名的问题都可以归结为在某个边色重图中寻找一个大的彩虹结构。两个著名的例子，这是林格尔的树包装猜想和莱瑟的猜想横在拉丁方。在本文中，我们回答了格林布拉特20年前提出的一个问题。设一个$(n,v)$ -重图是一个$n$ -边着色重图，其中每种颜色的边跨越一个非平凡团的不交并，这些团总共至少有$v$顶点. Grinblat指出，对于所有$n \geq 4$，每个$(n,3n-2)$ -多重图都包含大小为$n$的彩虹匹配。在这里，我们证明了所有足够大的$n$的猜想。
2021-10-04 math.CO
A proof of the Upper Matching Conjecture for large graphs
我们证明了Friedland、Krop和Markström的“上匹配猜想”以及Kahn关于正则图中独立集的类似猜想对于所有足够大的图都是度的函数。也就是说，对于每一个$d$和每一个足够大的$n$可被$2d$整除，完全$d$ -正则二部图的$n/(2d)$副本的并集最大化了$n$顶点上的所有$d$-正则图上的每个$k$的独立集和大小为$k$的匹配的数量。为了证明这一点，我们利用集团展开的统计物理自旋模型的正则系综，我们给出了一些进一步的应用，这种方法的最大化和最小化的独立集的数量和匹配的给定大小的正则图给定的最小围长。
2021-07-29 math.CO
Integrality in the Matching-Jack conjecture and the Farahat-Higman algebra
利用Jack多项式，Goulden和Jackson引入了二分映射生成序列的单参数变形$τ_b$，推广了随机矩阵$β$ -系综的分拆函数. Matching-Jack猜想表明，幂和基中的函数$τ_b$的系数$c^λ_{μ,ν}$是变形参数$b$的非负整数多项式。Doggeligga和Féray在2016年证明了匹配杰克猜想中的“多项式”部分，即系数$c^λ_{μ,ν}$在$\mathbb{Q}[b]$中。本文证明了“完整性”部分，即系数$c^λ_{μ,ν}$在$\mathbb{Z}[b]$中.这个证明是基于作者最近的一项工作，该工作从Chapuy和Doppauga在2020年建立的$b$ -猜想的模拟结果中推导出了边缘和的匹配杰克猜想。在证明的一个关键步骤涉及到一个新的连接与分次法拉哈特-Higman代数。
2022-11-30 math.CO
Upper bounds on the number of perfect matchings and directed 2-factors in graphs with given number of vertices and edges
给出了具有给定顶点数和边数的单图中完美匹配数的一个上界。我们应用这个结果给出了2n阶有向完全二部平衡图中2-因子个数的一个上界。当n为偶数时，上界是尖锐的。对于n奇数，我们提出一个关于一个尖锐的上界的猜想。
2014-07-31 math.CO
Lower matching conjecture, and a new proof of Schrijver's and Gurvits's theorems
Friedland的下匹配猜想断言，如果$G$是$v(G)=2n$-正则二部图，且$m_k(G)$表示$k$大小的匹配数，则有$$m_k(G)\geq {n \choose k}^2\left(\frac{d-p}{d}\right)^{n(d-p)}(dp)^{np},$$，其中$p=\frac{k}{n}$ .当$p=1$，这个猜想减少到Schrijver定理说，$d$-正则二部图的$v(G)=2n$顶点至少有$$\left(\frac{(d-1)^{d-1}}{d^{d-2}}\right)^n$$完美匹配。L. Gurvits证明了下匹配猜想的一个渐近版本，即他证明了$$\frac{\ln m_k(G)}{v(G)}\geq \frac{1}{2}\left(p\ln \left(\frac{d}{p}\right)+(d-p)\ln \left(1-\frac{p}{d}\right)-2(1-p)\ln (1-p)\right)+o_{v(G)}(1).$$在本文中，我们证明了下匹配猜想。事实上，我们将证明一个稍微更强的陈述，它给出了一个额外的$c_p\sqrt{n}$因子相比，如果$p$是分开的$0$和$1$的猜想，并紧到一个常数因子，如果$p$是分开的$1$。我们还将给出Gurvits和Schrijver定理的一个新的证明，并将这些定理推广到$(a,b)$ --双正…
2017-04-12 math.CO
Generalizations of the Erdős Matching Conjecture for the $t$-Matching Number
Renmin University of China（中国人民大学）；Tsinghua University（清华大学）
研究\(k\)-均匀超图中规定\(t\)-匹配数时超边的最大数量，给出埃尔德什匹配猜想的超图类似物，确定第二大最大结构，还得到广义克内泽尔图的极值\(G\)-自由诱导子图。
2026-07-14 math.CO
On some perfect matching conjectures in infinite, cubic, bridgeless graphs
本文研究Berge-Fulkerson等三个关于完美匹配的著名猜想在无限无割边立方图中的有效性，类比有限情形确立其蕴含关系，并证明各猜想的有限与无限版本等价。
2026-08-03 math.CO
Biregular bipartite labeled multigraphs and perfect matchings in bipartite tensor products
本文研究双部张量积中的完美匹配问题，证明了某些特殊情况，并将猜想1转化为矩阵不等式，进一步证明了该不等式的特殊情况。
2026-03-18 math.CO
Rainbow version of the Erd\H os Matching Conjecture via Concentration
我们说$[n]$的$k$元素子集的家族$\mathcal F_1,\ldots, \mathcal F_{s+1}$是交叉依赖的，如果没有成对不相交的集合$F_1,\ldots, F_{s+1}$，其中$F_i\in \mathcal F_i$对于每个$i$。彩虹版本的Erd \H os匹配猜想由于Aharoni和霍华德和独立的黄，Loh和Sudakov国家，$\min_{i} |\mathcal F_i|\le \max\big\{{n\choose k}-{n-s\choose k}, {(s+1)k-1\choose k}\big\}$为$n\ge (s+1)k$。本文对$n>3e(s+1)k$和$s>10^7$证明了这个猜想。证明的主要工具之一是Frankl和作者提出的一个浓度不等式。
2022-05-12 math.CO
Deranged matchings: proofs and conjectures
我们介绍，并部分解决，一个猜想，带来了一个三个世纪的错乱现象和它的年轻得多的二十年的老类似物在同一伞下。从图论的角度来看，无序是完全二部图$K_{n,n}$中的完美匹配，其中去除了不相交的完美匹配$M$。类似地，无序匹配是完全图$K_{2n}$中的完美匹配减去完美匹配$M'$。使用$\mathrm{pm}(\cdot)$计数完美匹配，老年现象的形式为$\mathrm{pm}(K_{n,n}-M)/\mathrm{pm}(K_{n,n})\to 1/e$作为$n\to\infty$，而其年轻的类似物为$\mathrm{pm}(K_{2n}-M')/\mathrm{pm}(K_{2n})\to 1/\sqrt{e}$。这些起始图都是$2n$ -顶点“平衡完全$r$ -部分”图$K_{r \times {2n}/{r}}$，分别具有$r=2$和$r=2n$ .我们猜想$\mathrm{pm}(K_{r\times{2n}/r}-M)/\mathrm{pm}(K_{r\times{2n}/r})\sim e^{-r/(2r-2)}$是$n\to\infty$，并建立了它的几个实质特例.仅举两个例子，$r=3$产生极限$e^{-3/4}$，而$r=n$再次产生$e^{-1/2}$。我们的工具将组合学和分析融合在一个混合体中，其中包含排斥和制革定理。
2022-10-30 math.CO
Splitting matchings and the Ryser-Brualdi-Stein conjecture for multisets
本文研究三个完美匹配之并的多重图，证明在a1+a2+a3≤n-2时存在与各匹配交为指定大小的匹配，并猜想二部图情形可将界改进为n-1，同时提出Ryser-Brualdi-Stein猜想的颜色重数推广。
2023-06-01 math.CO
Perfect Matchings in Claw-free Cubic Graphs
Lovasz和Plummer证明了存在一个固定的正常数c，使得每个无割边的三次n-顶点图至少有2^（cn）个完美匹配。Voorhoeve对二部图的猜想和Chudnovsky和Seymour对可平面图的猜想都得到了验证。证明了无爪立方n-顶点无割图的完美匹配数大于2^（n/12），从而验证了无爪图的猜想.
2009-11-09 math.CO
Remarks on the Erdős Matching Conjecture for Vector Spaces
在1965年，Paul Erdans提出了关于$\{ 1, \ldots, n \}$中$k$ -集的最大家族$Y$的问题，使得$Y$不包含$s+1$成对不交集。这个问题通常被称为Erdans匹配猜想。我们研究了这个问题的$q$ -类比，即我们想确定$\mathbb{F}_q^n$中$k$ -空间的最大族$Y$的大小，使得$Y$不包含$s+1$成对不相交的$k$ -空间.在这里，我们称两个子空间不相交，如果他们相交平凡。我们的主要结果是，稍微简化，如果$16 s \leq \min\{ q^{\frac{n-k}{4}},$ $q^{\frac{n-2k+1}{3}} \}$，那么$Y$是小的或相交的家庭的联合。因此，我们显示了这个范围的Erd \H{os}匹配猜想。证明使用的方法由于Metsch。我们也讨论建筑。特别是，我们表明，对于较大的$s$，有大的例子，这是在大小上接近相交的家庭联盟，但结构不同。作为一个应用，我们讨论了向量空间的Erdums匹配猜想和Cameron-Liebler线类（及其到$k$ -空间的推广）之间的密切关系，这是近30年来有限几何中的一个热门话题.更具体地说，我们提出了Erdés匹配猜想（向量空间）作为一个有趣的变化的经典研究Cameron-Liebler线类。
2020-07-20 math.CO
Covering a cubic graph by 5 perfect matchings
Berge猜想指出，每个无桥立方图都有5个完美匹配，使得每个边至少包含在其中一个中。本文证明了Berge猜想对两类三次图成立，一类是只缺一个顶点的圈的三次图，另一类是2-因子由两个圈组成的无桥三次图。这一结果的第一部分意味着Berge猜想对亚哈密尔顿三次图成立。
2016-02-29 math.CO
A proof for Padberg's conjecture on rank of matching polytope
Padberg介绍了（混合）整数有理多面体的几何秩的概念，并证明了匹配多面体的几何秩是1。在这项工作中，我们证明了这个猜想是正确的。
2013-09-05 cs.DS math.CO
The top-degree part in the Matchings-Jack Conjecture
1996年，Goulden和Jackson引入了一个系数族$( c_{π, σ}^λ ) $，该系数族由划分的三元组索引，这些划分出现在Jack对称函数$( J^{(α)}_π)$的某些Cauchy和的幂和展开中。系数$ c_{π, σ}^λ $可以看作是类代数和双陪集代数的结构常数之间的插值。Goulden和Jackson提出，系数$ c_{π, σ}^λ $是变量$β:= α-1$中的多项式，具有非负整数系数，并且在它们后面隐藏着匹配的组合学。此\emph{Matchings-Jack Conjecture}保持打开状态。Dogs \oldk{e} ga和Féray证明了联系系数$c^λ_{π,σ}$的多项式性，并给出了次数的上界.我们给出了多项式$ c_{π, σ}^λ$达到这一界的充要条件。我们证明了$ c_{π, σ}^λ$的首项系数是一个正整数，我们提出它的背景下的匹配杰克猜想的Goulden和Jackson。
2018-03-25 math.CO
Degree versions of the Erdos-Ko-Rado Theorem and Erdos hypergraph matching conjecture
我们用代数方法证明了著名的Erd \H os-Ko-Rado定理的一个度版本：给定$n>2k$，每个相交的$k$ -均匀超图$H$在$n$顶点上包含一个顶点，该顶点位于至多$\binom{n-2}{k-2}$边上。这个结果可以看作是一个特殊的情况下的度版本的一个著名的猜想Erdens超图匹配。改进了1976年Bollobás，Daykin和Erd \H os的工作，证明了给定整数$n, k, s$和$n\ge 3k^2 s$，每个$k$ -均匀超图$H$在$n$顶点上的最小顶点度大于$\binom{n-1}{k-1}-\binom{n-s}{k-1}$，包含$s$不交边.
2016-05-24 math.CO
Disjoint odd circuits in a bridgeless cubic graph can be quelled by a single perfect matching
设$G$是一个无桥三次图. Berge-Fulkerson猜想（1970年代）指出，$G$允许一个六个完美匹配的列表，使得$G$的每条边恰好属于这些完美匹配中的两个。如果答案是肯定的，那么最近的另外两个猜想也是正确的：Fan-Raspaud猜想（1994），它指出$G$允许三个完美匹配，使得$G$的每条边最多属于其中的两个; Mazzuoccolo猜想（2013），它指出$G$允许两个完美匹配，它们的删除产生$G$的一个二部子图。它可以表明，给定一个任意完美匹配的$G$，它并不总是可能将其扩展到一个列表的三个或六个完美匹配满足声明的Fan-Raspaud和Berge-Fulkerson的配置，分别。本文证明了：给定$G$的任意一个$1^+$ -因子$F$（$G$的一个生成子图，其顶点的度至少为1）和$G$的任意一条边$e$，总存在$G$的一个完美匹配$M$，其中包含$e$，使得$G\setminus (F\cup M)$是二部的.我们的结果暗示了Mazzuoccolo猜想，但不仅如此。它还意味着，给定$G$中不相交奇电路的任何集合，存在$G$的完美匹配，该完美匹配包含该集合中每个电路的至少一个边缘。
2022-12-29 math.CO
Near Perfect Matchings in $k$-uniform Hypergraphs II
设$k\nmid n$和$H$是一个$n$ -点$k$ -一致超图. $H$中的接近完美匹配是大小为$\lfloor n/k\rfloor$的匹配。我们给出了一个整除障碍的结构，以防止在$H$中存在的近完美匹配。这推广了完美匹配的可分性障碍。我们给出了一个猜想的最小$d$度阈值迫使（近）完美匹配$H$，推广了一个著名的猜想完美匹配。我们还验证了我们的猜想在各种情况下。我们的证明利用了作者最近使用的基于格的吸收方法来解决超图的匹配和平铺的其他两个问题。
2016-11-01 math.CO
Connected matching in graphs with independence number two
本文研究独立数为2的图中的连通匹配猜想，通过分析反例的结构性质，证明 Füredi 等人的猜想在 $t\leq22$ 时成立。
2024-09-08 math.CO
On the rainbow matching conjecture for 3-uniform hypergraphs
Aharoni和Howard，以及Huang、Loh和Sudakov分别提出了Erdabos匹配猜想的彩虹版本：对于正整数$n,k,m$和$n\ge km$，如果每个$F_1,\ldots, F_m\subseteq {[n]\choose k}$族的大小都大于$\max\{\binom{n}{k} - \binom{n-m+1}{k}, \binom{km-1}{k}\}$，则存在两两不相交的子集$e_1,\dots, e_m$，使得对于所有$i\in [m]$都有$e_i\in F_i$。我们证明了存在一个绝对常数$n_0$，使得这个彩虹版本对$k=3$和$n\geq n_0$成立。我们将彩虹匹配问题转化为一个特殊超图$H$上的匹配问题。然后，我们结合了几个现有的技术匹配均匀超图：找到一个吸收匹配$M$在$H$ ;使用阿隆等人的随机化过程。找到一个几乎正则子图的$H-V(M)$ ;并找到一个几乎完美的匹配在$H-V(M)$。为了完成这个过程，我们还需要证明一个关于3-一致超图中匹配的新结果，这个结果可以被看作是Jumuczak和Mieczkowska的结果的稳定性版本，并且可能是独立的。
2021-09-29 math.CO
Rainbow paths and large rainbow matchings
前两位作者的一个猜想是，在任何图中，大小为$n$的$n$匹配都有大小为$n-1$的彩虹匹配。证明了$\frac{2}{3}n-1$的一个下界，改进了平凡的$\frac{1}{2}n$，并对超图给出了类似的结果.对于$\{C_3,C_5\}$ -free图和不交匹配，我们得到了$\frac{3n}{4}-O(1)$的一个下界.我们还讨论了一个关于彩虹交替路径的猜想，如果这个猜想成立，将给出$n-\sqrt{2n}$的一个下界。我们证明了这个猜想的非交替（普通路径）版本。
2021-10-07 math.CO
A tris of perfect matchings in bridgeless claw-free cubic graphs
L-Università ta’ Malta（马耳他大学）
本文证明了Fan--Raspaud猜想对无桥无爪三次图成立，即存在三个完美匹配交集为空，并提供了与5-圈双覆盖猜想相关的信息。
2026-09-24 math.CO
Compatible Geometric Matchings
本文研究非交叉几何完美匹配。两个这样的完美匹配是\emph{compatible}，如果它们有相同的顶点集，并且它们的并集也是非交叉的。我们的第一个结果表明，对于同一组$n$点的任何两个完美匹配$M$和$M'$，对于某些$k\in\Oh{\log n}$，存在一个完美匹配序列$M=M_0,M_1,...,M_k=M'$，使得每个$M_i$与$M_{i+1}$兼容。这改进了$k\leq n-2$的先前最佳界。然后我们研究猜想：\emph{every perfect matching with an even number of edges has an edge-disjoint compatible perfect matching}。我们引入了一个序列的更强的代数，暗示这个猜想，并证明了最强的完美匹配的情况下，由垂直和水平段的这些代数。最后，我们证明了每一个完美匹配的$n$边缘有一个边缘不相交相容匹配的近似$4n/5$边缘。
2008-01-16 math.CO
A proof of the 3-Decomposition Conjecture
Renmin University of China（中国人民大学）
本研究证明3-分解猜想，通过次立方图匹配补集新定理，经归纳推导依次得到2-分解猜想等结论，解决相关图论分解问题。
2026-10-23 math.CO
Special Matchings, Brenti's Conjecture, and the Combinatorial Invariance Conjecture
Università degli Studi di Bologna（博洛尼亚大学）；Università Politecnica delle Marche（马尔凯理工学院）
本文完全刻画了A型Coxeter群中任意Bruhat区间的特殊匹配，并应用此结果证明了Brenti关于通过特殊匹配计算Kazhdan-Lusztig R-多项式的猜想，为组合不变性猜想提供了新证据。
2026-06-11 math.CO math.RT
On a conjecture for the signless Laplacian spectral radius of cacti with given matching number
一个连通图$G$是一个仙人掌，如果它的任何两个圈最多有一个公共顶点。设$\ell_n^m$是$n$顶点上的仙人掌的集合，其匹配数为$m.$ S. C。Li和M. J. Zhang用$n=2m$确定了$\ell_n^m$中所有仙人掌中具有最大无符号拉普拉斯谱半径的唯一图.在本文中，我们刻画的情况下$n\geq 2m+1$。这证实了Li和Zhang（S.C. Li，M. J. Zhang，On the signless Laplacian index of Cacti with a given number of pendant vetices，线性代数应用436，2012，4400--4411）.进一步，我们刻画了在$n$顶点上所有仙人掌中具有最大无符号拉普拉斯谱半径的唯一图.
2015-11-21 math.CO
Generating series of non-oriented constellations and marginal sums in the Matching-Jack conjecture
Goulden和Jackson利用带匹配超映射的描述，给出了根二部映射生成列的带状多项式表示式。我们推广这种方法的情况下，最近推出的Chapuy和Doppelioga的星座上的非定向表面。证明中的一个关键步骤是用匹配元组对星座进行编码。我们考虑一个单参数变形的生成序列的星座使用杰克多项式，我们引入的系数$c^λ_{μ^0,...,μ^k}(b)$这些功能的扩展在幂和基础。这些系数由$k+2$整数分区和变形参数$b$索引，并且可以被认为是由Goulden和Jackson引入的连接系数的$k\geq1$的推广。我们证明，当我们采取一些边际和，这些系数枚举$b$加权$k$ -匹配元组。这可以被看作是Chapuy和Dopuzza最近关于星座的一个结果的“无根”版本。对于$k=1$，这给出了Goulden和Jackson匹配杰克猜想的部分答案。Lassale对系数$θ^{(α)}_μ(λ)$提出了一个正性猜想，定义为幂和基中Jack多项式$J_λ^{(α)}$的系数。我们利用本文的第二个主要结果，在剖分$λ$为矩形的情况下，给出了这个猜想的一个证明。
2021-06-29 math.CO
Erdős Matching Conjecture for almost perfect matchings
在1965年Erdibs问，什么是一个家庭的$k$-元素子集的$n$ -元素集，没有一个匹配的大小$s+1$？本文改进了Frankl最近的一个结果，并解决了$s>101k^{3}$和$(s+1)k\le n<(s+1)(k+\frac{1}{100k})$的这个问题.
2022-12-18 cs.DM math.CO
Three matching intersection property for matching covered graphs
该研究在匹配覆盖图上探讨三匹配交集性质（3PM性质），给出充要条件，并应用于刻画Halin图和4-正则图等特殊图类。
2018-01-07 math.CO
Short proofs of rainbow matching results
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的研究可以追溯到欧拉关于拉丁方的工作，并一直是广泛研究的焦点。这方面的许多著作大致说，“某种类型的每一个边着色图都包含一个使用每一种颜色匹配的彩虹”。在本文中，我们介绍了一个通用的“抽样技巧”，它使我们能够获得简短的证明旧的结果，以及解决渐近一些众所周知的programmures。- 我们给出了Pokrovskiy的渐近版本的Aharoni-Berger猜想的一个简单的证明，大大改善了误差项。- 我们给出了“非二分”Aharoni-Berger猜想的第一个渐近证明，解决了Aharoni，Berger，Chudnovsky和Zerbib的两个猜想。- 我们给一个很短的渐近证明格林布拉特猜想（首先获得克莱门斯，Eschermüller，和Pokrovskiy）。此外，我们还得到了Grinblat问题的一个新的渐近紧界作为相应的重图的边重数的函数。- 我们给第一个渐近证明的一个30岁的猜想Alspach。
2021-09-02 math.CO
Large matchings in bipartite graphs have a rainbow matching
令$g(n)$为使得二部图中的每个$n$匹配集合（每个的大小至少为$g(n)$）具有全彩虹匹配的最小数。Aharoni和Berger \cite{AhBer}证明了每个$n>1$的$g(n)=n+1$。这概括了Ryser，Brualdi和Stein的着名作品。最近，Aharoni，Charbit和Howard \cite{ACH}证明了$g(n)\le\lfloor\frac{7}{4}n\rfloor$。我们证明了$g(n)\le\lfloor\frac{5}{3} n\rfloor$ .
2013-10-21 math.CO
On a conjecture of Stein
Stein提出了如下猜想：如果将$K_{n,n}$的边集划分为$n$集，每个集的大小为$n$，则存在大小为$n-1$的部分彩虹匹配。他证明了存在大小为$n(1-\frac{D_n}{n!})$的部分彩虹匹配，其中$D_n$是$[n]$的排列数。这意味着存在大小约为$(1- \frac{1}{e})n$的部分彩虹匹配。使用拓扑版本的霍尔定理，我们改进了这个界$\frac{2}{3}n$。
2016-05-06 math.CO
A generalization of Erdős' matching conjecture
设$\mathcal{H}=(V,\mathcal{E})$是一个$n$-一致超图，且固定一个正整数$k$使得$1\le k\le r$ . $\mathcal{H}$的$k$ - \emph{matching}是边$\mathcal{M}\subset \mathcal{E}$的集合，使得基数等于$k$的$V$的每个子集最多包含在$\mathcal{M}$的一个元素中。$\mathcal{H}$的$k$匹配数是$k$匹配的最大基数。一个著名的问题，由Erdens提出，要求在一个$r$ -一致超图的$1$ -匹配数的约束下，它的边的最大数目.在这篇文章中，我们研究了在$k$ -匹配数严格小于$a$的约束下，确定$n$上的$r$ -一致超图的最大边数的更一般的问题.这个问题也可以看作是一个推广，众所周知，$k$交叉问题。我们提出了解决这个问题的候选超图，并证明了当$n\ge 4r\binom{r}{k}^2\cdot a$。
2017-10-12 math.CO
Maximum matchings in regular graphs
Mkrtchyan，Petrosyan，and Vardanyan证明了每个具有$Δ(G)-δ(G) \le 1$的图$G$都有一个最大匹配$M$使得任意两个$M$ -不饱和顶点不共享一个邻居。本文对所有的$k$ -正则单图和具有$k\le 4$的$k$ -正则重图证明了猜想.
2016-11-19 math.CO
Results and open problems in matchings in regular graphs
本文研究了正则图中关于$N$顶点的$k$ -匹配数的上下界.对于上界，我们回顾了上匹配猜想，这是已知的完美匹配。对于下界，我们首先调查了二部图的已知结果，以及它们的连续版本，如van der Waerden和Tverberg永久图及其变体。然后我们讨论非二部图。除了最近证明的关于立方无桥图中完美匹配的指数增长性的Lovász-Plummer猜想之外，我们所知甚少。讨论了矩阵凸集上的最小哈夫尼数问题，其极值点是完美匹配所对应的完全图的子图的邻接矩阵。我们还考虑了无限正则图。$k$ -匹配的类似物是$p$ -单体熵，其中$p\in [0,1]$是匹配数的密度.
2012-01-05 math.CO
The Erdős Matching Conjecture for 4-uniform hypergraphs
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
通过有限棋盘归约和精确证书验证，证明了对于匹配数s≥6961的4一致Erdős匹配猜想。
2026-09-15 math.CO
Hegedus' Conjecture and Tighter Upper Bounds for Equidistant Codes in Hamming Spaces
本文研究Hamming空间中等距码的上界问题，围绕Hegedus猜想展开，旨在给出比已有结果更紧的界。
2025-04-09 math.CO
Improved Bound on Vertex Degree Version of Erdős Matching Conjecture
对于$k$ -一致超图$H$，令$δ_1(H)$表示$H$的最小顶点度，$ν(H)$表示$H$中最大匹配的大小.本文证明了对任意的$k\geq 3$和$β>0$，存在一个整数$n_0(β,k)$使得对正整数$n\geq n_0$和$m\leq (\frac{k}{2(k-1)}-β)\frac{n}{k}$，如果$H$是一个$n$ -顶点$k$ -图且有$δ_1(H)>{{n-1}\choose {k-1}}-{{n-m}\choose {k-1}},$，则有$ν(H)\geq m$ .这改进了Bollobás、Daykin和Erdibs（1976）对范围$n> 2k^3(m+1)$的早期结果，以及Huang和Zhao（2017）对范围$n\geq 3k^2 m$的早期结果。
2022-09-20 math.CO
Covering Bridgeless Claw-Free Cubic Graphs with Perfect Matchings
School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University（郑州大学数学与统计学院）
本文证明Berge猜想对无桥无爪三次图成立，并给出四个完美匹配覆盖至少299/315边数的结果。
2026-10-12 math.CO
The perfect 1-factorisation conjecture holds asymptotically
Universität Passau（帕绍大学）
研究Anton Kotzig关于完全图Kn的完美1-因子分解猜想，通过证明Kn可分解为n - 1个完美匹配，其中(1 - o(1))n个匹配中任意一对都能形成哈密顿圈，得出该猜想渐近成立的结论。
2026-07-13 math.CO
The Erdős Matching Conjecture and concentration inequalities
50多年前，Erd \H os提出了以下问题：如果$n$ -元素集没有$s+1$成对不相交集，那么$n$ -元素集的$k$ -元素子集的家族$\mathcal F$的最大大小是多少？这个问题最近引起了很多关注，特别是由于它与各种组合，概率和理论计算机科学问题的联系。改进了第一作者的最佳界，证明了在$n\ge \frac 53sk -\frac 23 s$和$s$足够大的条件下，$|\mathcal F|\le {n\choose k}-{n-s\choose k}$是最佳的.我们得到了几个关于狄拉克阈值和随机变量和偏差的推论。我们也得到了一些相关的结果。
2021-09-12 math.CO
Graphs with the Fewest Matchings
近年来，人们对图的参数极值问题的研究越来越感兴趣。例如，Kahn-Zhao定理给出了$d$ -正则图中独立集个数的上界。在同样的精神下，上匹配猜想要求一个关于$d$ -正则图中$k$ -匹配数的上界.在这里，我们考虑匹配和匹配的固定大小的图与一个给定的数量的顶点和边。我们证明了具有最少匹配的图是lex图或colex图。类似地，对于固定的$k$，具有最少$k$匹配的图是lex或colex图。为了证明这些结果，我们首先证明了lex二部图在具有固定部分大小和给定边数的二部图中具有所有大小的最少匹配。
2013-10-07 math.CO
The Matching Kneser Graph Conjecture For High Chromatic Numbers
本文证明了在满足特定参数条件下，存在连通图使得其团数、色数、$rK_2$-染色数及边数减去 $rK_2$-极值边数满足给定等式，从而支持高色数情形的匹配 Kneser 图猜想。
2024-02-06 math.CO
An Improvement to the Upper Bound for Marton's Covering Conjecture
该研究针对马尔顿覆盖猜想，将其已证指数从9进一步提升至8.873，推动了该组合数学问题上界的改进。
2026-09-16 math.CO
On the maximum fraction of edges covered by t perfect matchings in a cubic bridgeless graph
Berge和Fulkerson（1971）的一个猜想指出，每个立方无桥图包含6个完美匹配，每个完美匹配精确地覆盖每条边两次，这很容易地暗示每个立方无桥图有3个完美匹配，它们的交集是空的（这个较弱的说法是由Fan和Raspaud在1994年提出的）。设$m_t$是所有实数$α\le 1$的上确界，使得对于每个三次无桥图$G$，存在$G$的$t$完美匹配覆盖$G$的边的至少$α$的一部分.已知Berge-Fulkerson猜想等价于$m_5=1$的陈述，并暗示了$m_4=\tfrac{14}{15}$和$m_3=\tfrac45$。在本文的第一部分中，我们证明了$m_4=\tfrac{14}{15}$蕴涵$m_3=\tfrac45$，而$m_3=\tfrac45$蕴涵Fan-Raspaud猜想，加强了Tang，Zhang，和Zhu最近的一个结果。本文的第二部分证明了：对于任意$2\le t \le 4$和任意位于适当区间内的实$τ$，决定是否有一个大于（或等于）的分数.最少）$τ$可以被$t$完美匹配覆盖是一个NP完全问题。这解决了唐、张、朱的一个猜想。
2015-03-10 math.CO
A better bound on the size of rainbow matchings
Aharoni和Howard证明了，对于正整数$n,k,t$与$n\ge k$和$n\ge t$，如果$F_1,\ldots, F_t\subseteq {[n]\choose k}$使得$|F_i|>{n\choose k}-{n-t+1\choose k}$对于$i\in [t]$，则存在$e_i\in F_i$对于$i\in [t]$使得$e_1,\ldots,e_t$是成对不相交的。Huang、Loh和Sudakov为$t<n/(3k^2)$证明了这个猜想。在本文中，我们证明了这个猜想成立的$t\le n/(2k)$和$n$足够大。
2021-02-19 math.CO
Upper bounds for perfect matchings in pfaffian and planar graphs
本文给出了pf图中加权完美匹配的上界。这些上界比Bregman的上界更好的完美匹配的数量。我们证明了我们的一些上界对于3-和4-正则pf-图是尖锐的。我们将我们的结果应用到富勒烯图。
2012-12-31 math-ph math.CO math.MP
A Spectral Confirmation of the Erdős Matching Conjecture
Shanghai University（上海大学）
研究埃尔德什匹配猜想的谱对应问题，通过移位方法、超图分解等确定匹配数小于\(s\)的\(n\) - 顶点\(r\) - 均匀超图最大谱半径，刻画极值超图，推广结果到一般超图，得出相关定理及推论。
2026-07-09 math.CO
The matching energy of random graphs
图的匹配能量是由Gutman和Wagner提出的，定义为图的匹配多项式的根的绝对值之和。对于具有固定概率$p\in (0,1)$的$n$阶随机图$G_{n,p}$，Gutman和Wagner [I. Gutman，S. Wagner，The matching energy of a graph，Discrete Appl.Math.160（2012），2177- 2187]提出了$G_{n,p}$的匹配能量几乎必然收敛于$\frac{8\sqrt{p}}{3π}n^{\frac{3}{2}}$的猜想。本文用分析的方法证明了这个猜想是成立的。
2014-12-30 math.CO
