Rank and Crank Moments for Partitions without Repeated Odd Parts
使用拟模形式关于$Γ_0(4)$，我们发现之间的确切关系的M2-秩的分区没有重复的奇数部分和三个剩余曲柄。从这些身份，我们能够推导出各种同余模3和5之间的秩和曲柄时刻。反过来，这些同余式给出了$M2spt(n)$的同余式，$n$的分区中最小部分的出现次数，其中最小部分为偶数，而没有重复的奇数部分，以及高阶模拟$M2spt_2(n)$。
2014-08-21 math.NT
Rank-Crank type PDEs and generalized Lambert series identities
我们展示了如何秩曲柄型偏微分方程的高阶Appell功能由于Zwegers可能会得到一个广义的兰伯特系列身份由于第一作者。特殊情况是Atkin和第三作者的Rank-Crank PDE，以及第三作者发现的第5级Appell函数的PDE。这两个特殊的偏微分方程分别与Watson和Jackson的广义Lambert级数恒等式有关。第一作者的朗伯级数恒等式是常见的推广。我们还展示了如何Atkin和Swinnerton-Dyer的证明使用椭圆函数可以扩展到证明这些广义兰伯特级数身份。
2012-01-08 math.NT
Deviation of the rank and crank modulo 11
本文基于 Garvan、Sarma 和 Berndt 的结果，建立了 rank 与 crank 偏差模 11 的 11-dissection，重新推导了已有结果，并利用 theta 函数商的正性条件证明了新的 rank-crank 不等式及多种同余。
2023-12-27 math.NT
Relations between the ranks and cranks of partitions
证明了包含分拆秩和曲柄的新恒等式和同余式。证明依赖于一个新的偏微分方程连接他们的生成函数。
2002-08-06 math.CO math.NT
A positivity conjecture related first positive rank and crank moments for overpartitions
最近，Andrews，Chan，Kim和Osburn介绍了一个$q$ -系列$h(q)$，用于研究第一正秩和曲柄力矩的过度划分。他们证明，对于所有整数$m \geq 3$，对于$q$的所有幂，\begin{equation*}\label{hqcon} \frac{1}{(q)_{\infty}} (h(q) - m h(q^{m})) \end{equation*}具有正的幂级数系数。Byungchan Kim，Eunmi Kim和Jeehyeon Seo提供了一种组合解释，并通过圆方法证明了它是渐近正确的。本文证明了当$m$是$2$的任意正幂时，这个猜想成立，并且证明了要证明这个猜想，只需对所有素数$m$证明它.此外，我们给出了一个更强的猜想。我们的方法非常简单，完全不同于Kim等人的方法。
2016-05-30 math.NT
Another proof of two modulo 3 congruences and another SPT crank for the number of smallest parts in overpartitions with even smallest part
通过考虑过划分和剩余曲柄的$M_2$ -秩，我们给出了同余$\overline{\mbox{spt}}_2(3n)\equiv \overline{\mbox{spt}}_2(3n+1)\equiv 0\pmod{3}$的另一种组合加细.这里，$\overline{\mbox{spt}}_2(n)$是$n$的超分区中最小部分的出现总数，其中最小部分是偶数并且没有上划线。我们的证明依赖于Bailey引理和Lovejoy和Osburn关于过划分的$M_2$ -秩的秩差公式。这个同余，以及一个模$5$同余，以前已经使用过分区的秩进行了细化。
2014-06-20 math.NT
Asymtotics for Moments of Higher Ranks
Bringmann、Mahlburg和Rhoades已经找到了分区统计秩和曲柄的所有矩的渐近表达式。在这项工作中，我们将他们的方法扩展到更高的级别。Garvan对奇数T=3引入的$T$ -秩是秩（T=3）和曲柄（T=1）的自然推广.
2012-05-13 math.NT
The first positive rank and crank moments for overpartitions
2003年，Atkin和Garvan开始研究普通分区的秩矩和曲柄矩。这些时刻满足严格的不等式。我们证明了一个严格的不等式也适用于第一秩和曲柄时刻overpartitions，并考虑在此设置一个新的组合解释。
2014-11-21 math.CO math.NT
Asymptotics for rank and crank moments
矩的分区排名和曲柄统计已研究其连接到组合对象，如杜尔菲符号，以及其连接到谐波马斯形式。本文证明了Bringmann和Mahlburg提出的一个猜想，该猜想改进了Garvan的一个猜想. Garvan猜想指出曲柄函数的矩总是大于秩函数的矩，即使这两个矩具有相同的主渐近项。证明使用的Hardy-Ramanujan方法，以提供精确的渐近估计的秩和曲柄力矩及其差异。
2009-03-06 math.CO math.NT
Rank-Crank type PDE's and non-holomorphic Jacobi forms
在本文中，我们将展示如何秩曲柄型偏微分方程（首先发现的Atkin和Garvan）自然发生在非全纯Jacobiforms的框架，并找到一个无限的家庭这样的微分方程。作为一个应用程序，我们展示了一个无限家庭的同余奇数Durfee符号，分区统计乔治安德鲁斯介绍。
2008-07-23 math.CO math.NT
Asymptotics of crank generating functions and Ramanujan congruences
本文给出了曲柄母函数无限族的傅里叶系数的渐近公式。此外，我们还利用这个结果证明了曲柄服从一定的不等式。这意味着曲柄不能解释任何分区同余在通常的方式旁边的三个拉马努金推断。
2013-11-18 math.CO math.NT
On an spt function for the $4$-th symmetrized crank function
本文找到了与第4对称曲柄函数相关的最小部分函数，建立了与Garvan二阶最小部分函数的直接关系，并获得了同余式、渐近性和不等式。
2025-11-08 math.NT
The spt-crank for overpartitions
Bringmann，Lovejoy和Osburn证明了spt-超配分函数spt（n），spt1（n），spt2（n）和M2spt（n）的母函数是拟拟θ函数，并且满足一些简单的Ramanujan-like同余。Andrews，Garvan，and Liang定义了一个spt曲柄在加权向量分区的组合解释简单的同余模5和7的spt（n）。Chen、Ji和Zang能够根据普通分区来定义这个spt-crank。在本文中，我们定义了SPT曲柄的向量分区，组合解释所有的SPT-overpartition函数，以及新的简单的同余已知的简单的同余。对于除M2spt（n）之外的所有过划分函数，我们能够纯粹根据标记的过划分来定义spt-crank。同余式的证明依赖于Bailey引理和关于超划分的Dyson秩和无重奇部分划分的M2-秩的差分公式。
2014-12-11 math.NT
Rank and crank moments for overpartitions
我们研究了两种类型的曲柄力矩和两种类型的秩矩的超分区。我们表明，曲柄力矩及其衍生物，以及某些线性组合的秩矩及其衍生物，可以写在quasimodular形式。然后，我们使用这一事实来证明确切的关系，涉及的时刻，以及同余性质模3，5，和7的一些组合功能，可以表示在第二时刻。最后，我们建立了一个模3的同余关系，涉及一个这样的组合函数和Hurwitz类数H（n）。
2008-07-30 math.CO math.NT
On the distribution of rank and crank statistics for integer partitions
设$k$为正整数，$m$为整数。Garvan的$k$ -秩$N_k(m,n)$是$n$划分成至少$(k-1)$连续Durfee正方形的数量，其中$k$ -秩等于$m$。本文给出了以$|m|\ge \sqrt{n}$为$n\rightarrow \infty$的$N_k(m,n)$的一些渐近性质。作为推论，我们给出了Dyson曲柄分布猜想的一个更完整的答案。我们还建立了$N_k(m,n)$关于$m$与$m\gg \sqrt{n}\log n$的有限差分的渐近公式。
2019-10-02 math.CO math.NT
Infinite families of crank functions, Stanton-type conjectures, and unimodality
戴森的秩函数和安德鲁斯-加文曲柄函数著名的组合证人拉马努金的分拆函数同余模5，7和11。虽然这些函数可以用来显示对应的分区集合被分成5、7或11个大小相等的集合，但人们可能会问，如何使由秩或曲柄组合显式组织的分区之间的结果双射。斯坦顿最近做了一些尝试，旨在揭示沿着这些路线的更深层次的组合结构，事实证明，需要对秩和曲柄进行微小的修改。在这里，我们证明了其中的两个命题。基于单峰性和对称性，我们还给出了某些分圆多项式的多项式导数具有非负系数的抽象判据。此外，我们将Stanton猜想推广到曲柄的无限族。这表明进一步应用到其他组合对象。我们还讨论了数值证据，我们的结构，连接与其他分析结构，如分配的分区排名。
2022-03-22 math.CO math.NT
Higher order spt functions for overpartitions, overpartitions with smallest part even, and partitions without repeated odd parts
我们认为对称时刻的三个职级和曲柄，类似的工作Garvan的职级和曲柄的分区。通过使用贝利对和初等重排，我们能够找到有用的表达式，这些时刻。然后，我们推导出相应的普通时刻之间的不等式。特别是我们证明了曲柄时刻overpartitions总是大于rank时刻overpartitions;最近的渐近这是已知的，以保持足够大的值n为每个固定的k。最后，我们提供了高阶SPT函数的overpartition，overpartition与最小的部分甚至，分区与最小的部分甚至没有重复的赔率。
2014-12-11 math.NT
Andrews-Beck Type Congruences Related to the Crank of a Partition
本文讨论了George Beck最近提出的几个与划分的秩和曲柄有关的定理。Andrews利用Atkin和Swinnerton-Dyer关于一个合适的生成函数的结果证明了一个划分的秩，而Shane Chern利用加权划分矩研究了与曲柄相关的秩。通过分解相应的生成函数，我们重新讨论了划分曲柄上的结构，并进一步探讨了它与Apple-Lerch级数和十阶模拟θ函数的关系.
2021-01-26 math.CO math.NT
Nearly Equal Distributions of the Rank and the Crank of Partitions
令$N(\leq m,n)$表示具有不大于$m$的秩的$n$的分区的数目，并且令$M(\leq m,n)$表示具有不大于$m$的曲柄的$n$的分区的数目。Bringmann和Mahlburg观察到$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)\leq N(\leq m+1,n)$用于$m<0$和$1\leq n\leq 100$。他们还指出，这些不等式可以被重述为在$n$的分区集合上存在重排序$τ_n$，使得对于$n$的所有分区$λ$，$|\text{crank}(λ)|-|\text{rank}(τ_n(λ))|=0$或$1$，即秩和曲柄在$n$的分区上几乎相等分布。Andrews，Dyson和Rhoades在研究spt-函数时提出了一个关于spt-曲柄单峰性的猜想，并证明了这个猜想等价于不等式$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)$（$m<0$）和不等式$n\geq 1$）.我们用组合论证证明了这个猜想。本文证明了关于$m<0$和$n\geq 1$的不等式$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)$.此外，我们定义了一个重排$τ_n$的$n$的分区$λ$，并表明，这种重排$τ_n$导致几乎相等的分布的秩和曲柄。使用重新排序的$τ_n$，我们给出了Andrews、Chan和Kim定义的函数ospt $(n)$的新组合解释，这立即导致了Ch…
2017-04-04 math.CO math.NT
Proof of the Andrews-Dyson-Rhoades Conjecture on the spt-Crank
向量划分的spt-crank或$S$ -划分的概念是由Andrews，Garvan和Liang提出的。令$N_S(m,n)$表示具有spt-crank $m$的$n$的$S$ -分区的数目。Andrews，Dyson和Rhoades证明了$\{N_S(m,n)\}_m$对任何$n$都是单峰的，并且证明了这个猜想等价于普通划分的秩和曲柄之间的不等式。他们得到了一个渐近公式之间的差异秩和曲柄的普通分区，这意味着$N_S(m,n)\geq N_S(m+1,n)$充分大的$n$和固定的$m$。在本文中，我们介绍了一个表示的普通划分，称为$m$ -Durfee矩形符号，这是一个矩形推广的Durfee符号由安德鲁斯介绍。通过考虑两种情况，证明了Andrews、Dyson和Rhoades的猜想。对于$m\geq 1$，我们构造了一个注入从$n$的普通分区的集合，使得$m$出现在秩集合中的$n$的普通分区的集合，秩不小于$-m$。$m=0$的病例需要再注射5次。我们还表明，这一猜想意味着一个不等式之间的正秩和曲柄时刻得到的安德鲁斯，陈和金。
2013-05-09 math.CO math.NT
Congruences modulo powers of $5$ and $7$ for the crank and rank parity functions and related mock theta functions
本文拓展了秩奇偶函数模5的幂的同余式至模7的幂的情形，推导了相关三阶仿theta函数ω(q)系数的同余式，并证明了曲柄奇偶函数的一族模7的幂的同余式。
2024-06-24 math.CO math.NT
Exotic Bailey-Slater SPT-Functions III: Bailey Pairs from Groups B, F, G, and J
我们继续调查SPT型功能，产生贝利对。在这第三篇论文的主题，我们着手介绍额外的spt型函数。我们证明了这些函数的简单Ramanujan型同余，这些函数可以用spt-crank型函数来解释。spt曲柄类型函数实际上是首先定义的，其中spt类型函数来自于在spt曲柄类型函数中设置$z=1$。我们发现一些spt曲柄型函数有有趣的表示为单一的系列，其中一些减少到无穷乘积。此外，我们发现解剖的其他spt曲柄型功能时，$z$是一个特定的单位根。这两种方法都用来解释spt型函数的同余式。我们的级数公式需要贝利引理和共轭贝利对。我们的解剖公式遵循贝利引理和解剖已知的行列和曲柄。
2015-12-22 math.NT
Exotic Bailey-Slater SPT-Functions I: Group A
我们介绍了几个SPT型函数，产生于贝利对。我们证明了简单的Ramanujan型同余这些功能，可以解释的spt曲柄型功能。spt曲柄型函数是通过在母函数中增加一个额外的变量$z$而构造的。当$z$是某个单位根时，我们发现了解剖，就像对各种分区类型对象的许多秩和曲柄差公式所做的那样。我们的公式需要广义Lambert级数的Chan恒等式。
2014-11-13 math.NT
Cranks for Ramanujan-type congruences of $k$-colored partitions
University of Tennessee, Knoxville（田纳西大学诺克斯维尔分校）
本文为分拆函数同余族的不变量提供研究框架，利用θ块理论找到一族曲柄函数，可解释多数已知k着色分拆函数同余，具理论价值。
2026-09-04 math.NT
Moments of ranks and cranks, and Quotients of Eisenstein Series and the Dedekind Eta Function
Atkin和Garvan介绍了函数$N_k(n)$和$M_k(n)$，它们表示划分理论中秩和曲柄的$k$阶矩。令$e_{2r}(n)$为$E_{2r}(τ)/η(τ)$的$n$阶傅立叶系数，其中$E_{2r}(τ)$为权$2r$的经典Eisenstein级数，$η(τ)$为戴德金η函数.利用拟模形式理论，我们发现对于$k \leq 5$，$N_k(n)$和$M_k(n)$可以用$e_{2r}(n)$（$2\leq r \leq k$），$p(n)$和$N_2(n)$表示.对于$k>5$，此类表达式需要附加函数。对于$r\in \{2, 3, 4, 5, 7\}$，通过研究Hecke算子在$E_{2r}(τ)/η(τ)$上的作用，给出了$e_{2r}(n)$的模素数任意幂的显式同余.此外，对于$\ell \in \{5, 7, 11, 13\}$和任何$k\geq 1$，我们提出了统一的方法来找到很好的表示$\sum_{n=0}^\infty e_{2r}\left(\frac{\ell^{k}n+1}{24}\right)q^n$，它适用于每个$r\geq 2$。这些表示使我们能够证明同余模幂的$\ell$，我们已经这样做了$e_4(n)$和$e_6(n)$作为例子。基于$e_{2r}(n)$所满足的同余关系，我们建立了$\ell$的秩和曲柄的矩和对称化矩以及高阶$\mathrm{…
2020-03-29 math.CO math.NT
Higher Order SPT-Functions
安德鲁斯的spt函数可以写成第二对称曲柄和秩矩函数之间的差。利用贝利对的机械组合解释高阶对称曲柄和秩矩函数之间的差异。这意味着曲柄和秩矩之间的不平等，以前只知道足够大的n和固定的顺序。这种组合解释是根据分区的加权和。导出了高阶spt-函数的一些同余式。
2010-10-30 math.CO math.NT
Transformation and symmetries for the Andrews-Garvan crank function
本文推导了双变量曲柄生成函数$C(z,q)$基于广义η乘积的变换结果，通过群$Γ_0(p)$对其$p$-分拆元素的作用得到新对称性，给出了曲柄定理的新证明并针对特定素数给出相关恒等式。
2024-12-06 math.NT
Asymptotics of higher order ospt-functions for overpartitions
本文给出了正曲柄矩和正秩矩的渐近公式。此外，我们证明了曲柄和秩矩是渐近相等的，而差是渐近正的。这表明，存在类似的更高的ospt函数的超分割，我们定义。
2014-03-26 math.CO math.NT
Some inequalities for Garvan's bicrank function of 2-colored partitions
为了给2色分拆函数的模$5$同余提供一个统一的组合解释，Garvan引入了一个加权向量划分的双秩统计量.本文利用$q$ -级数技巧和渐近公式，得到了$m=2$，$3$和$4$的双秩计数$M^{*}(r,m,n)$之间的一些不等式.这些不等式与Andrews和Lewis关于普通分拆的秩和曲柄数的结果是平行的。
2018-05-17 math.CO math.NT
Unimodality of ranks and a proof of Stanton's conjecture
近年来，分拆函数之间的各种不等式得到了广泛的关注。例如，Nicolas {和后来的DeSavlvo-Pak}证明了$p(n)$最终是对数凹的，Ji-Zang证明了曲柄最终是单峰的。这导致了最近的一系列活动，从不同的方向概括了这些结果。与此同时，斯坦顿最近对与分区的秩和曲柄相关的某些多项式的正性进行了深入的研究，其最终目标是为“更深”的结构细化秩和曲柄指明方向。这些已被证明是强大的，在最近的作品，这已经确定了进一步的无限家庭的情况下，着色分区的这种apturtures。本文利用圆方法证明了秩的单峰性。作为推论，我们证明了斯坦顿的原始猜想。这指向未来的研究，积极的，整系数斯坦顿假设存在，暗示在新的组合结构尚未被发现。
2022-09-25 math.CO math.NT
Combinatorial Interpretations of Cranks of Overpartitions and Partitions without Repeated Odd Parts
本文为过划分的两个剩余曲柄及无重复奇数部分划分的 $M_2$-曲柄提供组合解释，给出无调整权重的新定义，并揭示其与秩统计量和 Ramanujan 十阶伪 theta 函数的联系。
2024-10-26 math.CO math.NT
Untrodden pathways in the theory of the restricted partition function $p(n, N)$
我们得到一个有限的模拟最近推广的身份在拉马努金的笔记本。微分它关于一个参数导致一个结果，其极限情况下给出了一个有限的模拟安德鲁斯著名的身份$\textup{spt}(n)$。后者促使我们扩展理论的限制分拆函数$p(n, N)$，即分区的数量$n$与最大部分小于或等于$N$，通过获得有限的类似物的秩和曲柄向量分区以及秩和曲柄时刻。作为对有限模拟函数$\textup{spt}(n, N)$恒等式的应用，我们证明了有限二阶矩与曲柄矩之间的一个不等式.所获得的其他结果包括有限的类似物最近的身份Garvan，身份有关$d(n, N)$和lpt $(n, N)$，即有限的类似物的除数和最大部分的功能，分别和有限的模拟贝克-陈省身定理。我们还推测之间的不等式有限类似物的$k^{\textup{th}}$秩和曲柄力矩。
2018-12-04 math.CO math.NT
Eventual log-concavity of $k$-rank statistics for integer partitions
令$N_k(m,n)$表示具有Garvan $k$ -秩$m$的$n$的分区的数目。众所周知，Andrews-Garvan-Dyson的曲柄和Dyson的秩分别是$k=1$和$k=2$的$k$秩。本文证明了序列$\{N_k(m,n)\}_{|m|\le n-k-71}$对所有充分大的$n$和每个整数$k$都是对数凹的.特别地，我们部分地解决了由Bringmann-Jennings-Shaffer-Mahlburg和Ji-Zang独立提出的Andrews-Garvan-Dyson曲柄和Dyson秩的对数-对数猜想。
2022-06-01 math.CO math.NT
A proof of some conjectures of Mao on partition rank inequalities
基于Atkin和Swinnerton-Dyer关于划分秩差函数的工作，以及Lovejoy和Osburn最近的工作，毛泽东证明了划分秩模$10$之间的几个不等式，以及关于没有重复奇数部分的划分的$M_2$秩的模$6$和$10$的额外结果。毛泽东提出了一些额外的不平等。本文用初等方法证明了Mao关于秩和模$10$的$M_2$秩的秩不等式.
2015-09-20 math.NT
Exotic Bailey-Slater SPT-Functions II: Hecke-Rogers-Type Double Sums and Bailey Pairs From Groups A, C, E
我们调查的spt曲柄型函数所产生的贝利对。我们回顾了四个spt型函数对应的贝利对$A1$，$A3$，$A5$，和$A7$的斯莱特，并给出了四个新的spt型函数对应的贝利对$C1$，$C5$，$E2$，和$E4$。这些函数中的每一个都可以被认为是对某些整数分区中最小部分出现的次数的计数。我们证明了简单的Ramanujan型同余这些功能，解释了一个spt曲柄型功能。spt曲柄型函数是由Bailey对确定的两个变量$q$ -级数，当$z=1$约化为spt型函数时.我们发现spt曲柄型函数有有趣的表示，无论是无限的产品或赫克-罗杰斯型双级数。当$z$是一个确定的单位根时，这些级数很好地减少，并允许我们推导出同余。此外，我们发现解剖时$z$是一个特定的根的单位给出另一个证明的同余。我们的双和和积公式需要贝利引理和共轭贝利对。我们的解剖公式遵循贝利引理和解剖已知的行列和曲柄。
2016-07-06 math.NT
k-Marked Dyson Symbols and Congruences for Moments of Cranks
通过引入$k$标记的Durfee符号，Andrews找到了$n$的划分秩的$2k$次对称化矩$η_{2k}(n)$的组合解释.最近，Garvan在研究高阶spt函数$spt_k(n)$时，引入了$n$分块曲柄的$2k$次对称矩$μ_{2k}(n)$.本文给出了$μ_{2k}(n)$的组合解释。本文在Dyson给出的普通划分表示的基础上引入了$k$标记的Dyson符号，并证明了$μ_{2k}(n)$等于$n$的$(k+1)$标记的Dyson符号的个数.然后，我们引入了一个$k$标记的Dyson符号的满曲柄，并证明了对于$k$标记的Dyson符号的满曲柄函数，存在一个无穷族的同余，这意味着对于固定素数$p\geq 5$和正整数$r$和$k\leq (p-1)/2$，存在无穷多个非嵌套算术级数$An+B$，使得$μ_{2k}(An+B)\equiv 0\pmod{p^r}$ .
2013-12-07 math.CO math.NT
Ranks of overpartitions: Asymptotics and inequalities
在本文中，我们计算了一个无限类的超划分秩生成函数的系数的渐近性。利用这些结果，我们证明了$ \overline{N}(a,c,n), $，对于任何$ c\ge2, $作为$ n\to\infty $，$ n $的秩与$ a $模$ c, $全等的$ n $的超划分数关于$ 0\le a< c, $是等分布的，此外，我们证明了Ji，Zhang和Zhao（2018）以及Wei和Zhang（2018）对于$ n=6 $和$ n=10. $的超划分秩之间的一些不等式
2019-09-30 math.NT
Asymptotic formulae for partition ranks
利用Wright圆方法的推广，我们得到了类似于F.戴森和最近证明的第一作者和K。布林曼
2014-06-26 math.CO math.NT
Inequalities between overpartition ranks for all moduli
在本文中，我们给出了一个完整的描述之间可能发生的不平等的过度划分的行列。如果$ \overline{N}(a,c,n) $表示$ n $的满分个数，其秩与$ a $模$ c,$全等，我们证明了对于任何$ c\ge7 $和$ 0\le a<b\le\left\lfloor\frac{c}{2}\right\rfloor $，我们都有足够大的$n$的$ \overline{N}(a,c,n)>\overline{N}(b,c,n) $。秩差$ \overline{N}(a,c,n)-\overline{N}(b,c,n) $的符号取决于在小模数的情况下$ n $模$ c $的剩余类，例如$ c=6, $，这是由于Ji，Zhang和Zhao（2018）和Ciolan（2020）的工作而已知的。我们表明，同样的行为适用于$ c\in\{2,3, 4,5\}. $
2020-11-05 math.NT
Convexity and log-concavity of the partition function weighted by the parity of the crank
本文利用 crank 奇偶分拆函数差的渐近公式及其显式界，证明 $M_0(n)$ 与 $M_1(n)$ 的凸性，并进一步得到其对数凹性及高阶 Turán 不等式，细化了经典分拆函数 $p(n)$ 的凸性结果。
2023-10-30 math.CO math.NT
On the Andrews-Stanley Refinement of Ramanujan's Partition Congruence Modulo 5 and Generalizations
Stanley在最近对符号平衡的标号偏序集的研究中，引入了一个新的整数划分统计量srank（pi）= O（pi）- O（pi '），其中O（pi）表示划分pi的奇数部分的个数，pi'是pi的共轭。Andrews证明了Ramanujan的分划同余mod 5的以下改进：p[0]（5 n +4）= p[2]（5 n + 4）= 0（mod 5），p（n）= p[0]（n）+ p[2]（n），其中p[i]（n）（i = 0; 2）表示n的srank = i（mod 4）的分划数，p（n）是n的无限制分划数。安德鲁斯要求一个分区统计，将划分分区枚举的p[i]（5 n + 4）（i = 0，2）到五个equinumerous类。本文讨论了三个这样的统计量：St-曲柄统计量、2-秩统计量和5-核-曲柄统计量。第一个，虽然新的，是密切相关的安德鲁斯-加文曲柄。第二个是关于划分的2-商。第三个是由Garvan，Kim和Stanton介绍的。我们使用它在我们的组合证明安德鲁斯细化。值得注意的是，安德鲁斯的结果是一个简单的后果更强的细化拉马努金的同余模5。这种更一般的改进使用了一种新的分区统计，我们称之为BG秩。我们采用BG-秩证明新的划分同余模5。最后，我们讨论了一些新的公式划分是5-核心，并讨论了一个有趣的关系3-核心和Andrews-Garvan曲柄。
2004-02-26 math.CO math.NT
Proof of a Limited Version of Mao's Partition Rank Inequality using a Theta Function Identity
拉马努金的同余$p(5k+4) \equiv 0 \pmod 5$导致戴森\cite{dyson}猜想存在的措施“秩”，使$p(5k+4)$分区的$5k+4$可以分为子类具有相等的基数，以直接证明拉马努金的同余。阿特金和斯温纳顿-戴尔\cite{atkin}将秩的概念扩展到秩差，并证明了戴森的猜想。最近，毛泽东证明了几个等式和不等式，留下一些作为插图，为秩差分区模10 \cite{mao10}和$M_2$秩差分区没有重复奇数部分模$6$和$10$ \cite{maom2}。Alwaise et.等人证明了四个毛泽东的固定不等式\cite{swisher}，而留下三个开放。在这里，我们证明了一个有限版本的不等式毛泽东。
2016-05-19 math.NT
Congruences modulo powers of 5 for the rank parity function
众所周知，Ramanujan证明了分拆函数的模5、7和11的幂同余.这一点后来被Watson（1938）和Atkin（1967）证明。在2009年，Choi，Kang和Lovejoy证明了曲柄奇偶函数的模5幂的同余。秩奇偶函数的生成函数是f（q），这是Ramanujan在给Hardy的最后一封信中提到的模拟θ函数的第一个例子。我们证明了同余模幂5的秩奇偶函数。
2021-01-04 math.CO math.NT
Some Observations on Dyson's New Symmetries of Partitions
我们利用戴森的概念的伴随的分区，以获得一个无限的家庭新的多项式类似的欧拉的五边形数定理。我们简化了Dyson的双射与crank <= k的分区和那些k在分区的秩集。此外，我们扩展戴森的伴随分区的麦克马洪的“模块”分区模2。这样我们就找到了高斯著名恒等式的一个新的组合证明。我们给出了一个直接的组合证明，当n>1时，n的曲柄k分拆与n的曲柄-k分拆是等距的。
2002-04-23 math.CO math.NT math.QA
Asymptotic Formulas Related to the $M_2$-rank of Partitions without Repeated Odd Parts
给出了$M_2$秩生成函数和$M_2$秩生成函数在单位根处的矩的渐近展开式。为此，我们应用Hardy-Ramanujan圆方法扩展到模拟模形式。我们的公式为$M_2$ -秩在根的单位导致渐近的某些组合的$N2(r,m,n)$（分区的数量没有重复奇数部分的$n$与$M_2$秩全等的$r$模$m$）。这使我们能够推导出不等式之间的某些组合的$N2(r,m,n)$。特别地，解决了毛泽东的几个不等式.
2019-02-22 math.NT
Universal mock theta functions and two-variable Hecke-Rogers identities
得到了三个泛模拟θ函数的二元Hecke-Rogers恒等式.这意味着许多拉马努金的模拟θ函数，包括所有的三阶函数，有一个赫克-罗杰斯型双和表示。我们发现了Dyson秩函数、过划分秩函数、M2秩函数和相关的spt-crank函数的新的母函数恒等式。利用基本超几何函数理论证明了结果。
2014-02-08 math.CO math.NT
Asymptotics, Turán inequalities, and the distribution of the BG-rank and 2-quotient rank of partitions
令$j,n$是偶正整数，并且令$\overline{p}_j(n)$表示具有BG秩$j$的分区的数量，并且令$\overline{p}_j(a,b;n)$是具有BG秩$j$和$2$ -商秩与$a \pmod{b}$全等的分区的数量。我们给这两个统计量的渐近性，并表明，$\overline{p}_j(a,b;n)$是渐近等分布的同余类模$b$。我们还证明了$\overline{p}_j(n)$和$\overline{p}_j(a,b;n)$都渐近满足所有高阶Turán不等式。
2022-09-23 math.CO math.NT
Inequalities for full rank differences of 2-marked Durfee symbols
在本文中，我们获得了无穷多个非平凡的身份和2-标记的Durfee符号之间的满秩差不等式，推广的安德鲁斯介绍的划分。一个严格的不等式，这几乎总是成立，表明身份戴森的排名，类似于那些证明阿特金和斯温纳顿戴尔，是相当罕见的。通过显示一个类似的严格不等式，我们表明，这种非平凡的身份也是罕见的满秩，但另一方面，我们得到了一个无限的家庭的非平凡身份，对比分区理论的情况。
2011-09-27 math.CO math.NT
Asymptotics for rank partition functions
本文得到了一类无限秩生成函数的渐近公式。作为应用，我们解决了Andrews和Lewis关于秩间不等式的一个猜想.
2007-08-05 math.NT
Congruences for Andrews' Smallest Parts Partition Function and New Congruences for Dyson's Rank
设spt（n）表示n的划分中最小部分出现的总数。最近，Andrews证明了spt（n）与二阶矩的关系，并证明了一些令人惊讶的Ramanujan型模5，7和13同余。我们证明了这些同余式的推广使用已知的秩和曲柄矩之间的关系。我们得到了spt（n）mod p（p = 11，17，19，29，31和37）的显式Ramanujan型同余.最近，Bringmann和Ono证明了Dyson秩函数有无穷多个Ramanujan型同余。他们的证明是非构造性的，并利用弱Maass形式理论。我们构造两个显式的非平凡的例子模11使用之间的秩矩和半整数权重Hecke特征形的初等同余。
2008-06-11 math.CO math.NT
A partition identity connected to the second rank moment
本说明的目的是提供与第二个Atkin-Garvan时刻相关的$q$系列的一些分区含义。不等式和除数和分区的数量之间的关系提供的后果。
2019-04-12 math.NT
Generalization of the Extended Minimal Excludant of Andrews and Newman
本文推广Andrews与Newman的扩展mex分拆函数，建立其与任意rank、crank界分拆数的联系，给出最小部分函数的有限和表达式及受限分拆恒等式，并引入overpartition的新mex。
2024-01-26 math.CO math.NT
Restricted divisor functions and half Appell sums in higher-level
本文研究高阶半Appell和相关q-级数系数的值分布，证明其等于限制除数函数且可取任意非负整数，并证实了两个相关猜想。
2025-09-07 math.NT
Moments of partition statistics, Bell polynomials and Eisenstein-type series
Kangwon National University（江原国立大学）；Seoul National University of Science and Technology（首尔科学技术大学）
本文通过完全Bell多项式及其反演公式和Faà di Bruno公式，发展了一种将组合统计量矩的生成函数表示为划分迹的系统方法，并应用于整数划分的最大部分、划分crank和rank以及单峰序列rank等统计量。
2026-05-29 math.CO math.NT
