A new generalization of the minimal excludant arising from an analogue of Franklin's identity
欧拉的经典恒等式指出，一个整数分成奇数部分和不同部分的个数是相等的。富兰克林通过考虑具有恰好$j$的不同倍数的$r$的分区给出了一个推广，其中$r$是正整数$r$。我们证明了一个类似的富兰克林的身份，通过研究分区的数量与$j$倍数的$r$在总的过程中，发现一个自然的推广的最小互斥（MEX），我们称之为$r$链MEX。此外，我们推导出生成函数为$σ_{rc} \textup{mex}(n)$，$r$链的总和mex采取所有分区的$n$，从而推导出一个组合的身份为$σ_{rc} \textup{mex}(n)$，这整齐地推广了安德鲁斯和纽曼的结果为$σ\textup{mex}(n)$，总和mex在所有分区的$n$。
2022-08-07 math.CO math.NT
Parity Considerations for Mex-Related Partition Functions of Andrews and Newman
本文研究了Andrews和Newman提出的整数分拆mex相关函数族$p_{t,t}(n)$，并给出了$p_{1,1}(n)$和$p_{3,3}(n)$的完整奇偶性刻画。
2020-04-05 math.CO math.NT
On $k$-color mex-related partition functions
Indian Institute of Technology, Roorkee（印度理工学院罗尔基分校）
研究一组$k$-色分拆及其子集与Andrews-Newman最小排除函数的关系，推广了Andrews和Bachraoui的分拆函数并定义了若干新函数。
2026-06-25 math.CO math.NT
Divisibility and distribution of $MEX$ related integer partitions of Andrews and Newman
Andrews和Newman为正整数$n$的整数划分$π$引入了最小互斥或"$mex$“函数，$mex(π)$，作为不是$π$的一部分的最小正整数。他们将$σmex(n)$定义为在$n$的所有分区$π$上获取的$mex(π)$的总和。我们证明了$σmex(n)$的同余和乘法公式的无限族。通过限制到$π$的一部分，Andrews和Newman还引入了$moex(π)$是不是$π$的一部分的最小奇数，而$σmoex(n)$是在$n$的所有分区$π$上取的$moex(π)$的和。在这篇文章中，我们证明了，对于任何足够大的$X$，所有正整数$n\leq X$，使$σmoex(n)$是一个偶数（或奇数）的数量至少是$\mathcal{O}(\log \log X)$。
2023-03-09 math.CO math.NT
Extending Andrews and Newman's refinement of the crank-mex theorem
本文基于 crank-mex 定理，研究偶数 mex 分拆与负 crank 和正 crank 分拆的关系，通过分析和组合方法证明了相关结果。
2025-11-24 math.CO math.NT
On Mex-related partition functions of Andrews and Newman
正整数集合$S$上的最小异数或“mex”函数是不在$S$中的最小正整数。在最近的一篇论文中，Andrews和Newman将mex函数扩展到整数分区，并发现了许多与这些函数相关的令人惊讶的分区恒等式。最近，达席尔瓦和塞勒斯提出奇偶性的考虑家庭的功能安德鲁斯和纽曼研究，即$p_{t,t}(n)$，并提供完整的奇偶性表征$p_{1,1}(n)$和$p_{3,3}(n)$。本文研究了当$t=2^α, 3\cdot 2^α$为所有$α\geq 1$时$p_{t,t}(n)$的奇偶性。证明了对于所有的$α\geq 1$，$p_{2^α,2^α}(n)$和$p_{3\cdot2^α, 3\cdot2^α}(n)$几乎总是偶数.利用Ono和Taguchi关于Hecke算子幂零性的结果，我们还找到了$p_{2^α,2^α}(n)$和$p_{3\cdot2^α, 3\cdot2^α}(n)$对所有$α\geq 1$满足的模$2$同余的无穷族.
2020-09-24 math.NT
On the sum of odd minimal excludants over overpartitions
Jain (Deemed-to-be University)（贾因（视为大学））；Pondicherry University（本地治里大学）
本文研究超划分上奇数最小缺失项之和，推导其生成函数，建立无限同余族，并给出模4与完全平方数的关系及渐近公式。
2026-09-29 math.NT
Multiplicative congruences for Andrews's even parts below odd parts function and related infinite products
本文证明了Andrews的奇部之下偶部分拆函数$\overline{\mathcal{EO}}(n)$及相关无穷乘积模$2^{12}$的乘法同余，核心方法结合了Fricke对合与Newman的半整数权Hecke算子技术。
2025-05-02 math.CO math.NT
Mex-related partitions and relations to ordinary partition and singular overpartitions
在最近的一篇论文中，安德鲁斯和纽曼介绍了某些家庭的分区功能使用最小excludant或“mex”功能。在这篇文章中，我们研究了Andrews和Newman引入的两个函数族，即$p_{t,t}(n)$和$p_{2t,t}(n)$。我们建立身份连接的普通配分函数$p(n)$ $p_{t,t}(n)$和$p_{2t,t}(n)$的所有$t\geq 1$。利用这些恒等式，我们证明了对于$t$的无穷多个值，$p_{t,t}(n)$和$p_{2t,t}(n)$也满足$p(n)$的Ramanujan著名同余.最近，da Silva和Sellers给出了$p_{1,1}(n)$和$p_{3,3}(n)$的完全奇偶性刻画。我们证明了对所有的$n\geq 0$和$t\geq 1$，都有$p_{t,t}(n)\equiv \overline{C}_{4t,t}(n) \pmod{2}$，其中$\overline{C}_{4t,t}(n)$是Andrews的奇异超配分函数.利用这个同余式，da Silva和Sellers给出的$p_{1,1}(n)$的宇称刻画可以从$\overline{C}_{4,1}(n)$的宇称刻画中得到。我们还给出了一些已经由达席尔瓦和塞勒斯证明的同余式的初等证明。
2020-09-24 math.NT
On the number of missing integers in partitions
Pt. Chiranji Lal Sharma Government College（Pt. Chiranji Lal Sharma 政府学院）；Birla Institute of Technology and Science Pilani（比拉理工科学研究所皮拉尼分校）
本文研究了分区中缺失正整数的整体情况，探讨了给定缺失整数数量的分区数目，并提出了三个关于相关函数的偏差不等式猜想。
2026-04-14 math.CO math.NT
A bijective proof of a generalization of the non-negative crank--odd mex identity
Andrews-Newman和Hopkins-Sellers最近的工作揭示了两个划分统计量，曲柄和mex之间的有趣关系。他们指出，对于正整数$n$，具有非负曲柄的$n$的分区与具有奇数mex的$n$的分区一样多。在本文中，我们给出了一个双射证明的推广，这个身份提供的霍普金斯，塞勒斯和斯坦顿。我们的方法使用了另一种定义的Durfee分解，其组合链接到曲柄最近研究了霍普金斯，塞勒斯和Yee。
2022-05-24 math.CO math.NT
Dyson's Crank and the Mex of Integer Partitions
Andrews和Newman最近引入了划分的mex的概念，即不是部分的最小正整数。这个概念至少从2011年开始使用，与Frobenius符号有关。最近，mex的奇偶性与Dyson在1944年命名的crank统计有关。在这份说明中，我们扩展和加强曲柄和墨西哥（随着一个新的广义的墨西哥）之间的连接，通过证明一些性质，自然涉及这些分区统计。
2020-09-23 math.CO math.NT
Finding Modular Functions for Ramanujan-Type Identities
本文研究了Radu引入的一类用η-因子定义的配分函数$a(n)$.利用Newman，Schoeneberg和Robins的变换律和Radu算法，给出了一个求$a(mn+t)$的Ramanujan型恒等式的算法.虽然这种算法不能保证成功，但它适用于许多情况。例如，我们推导出具有整数系数的$p(11n+6)$的见证恒等式。我们的算法还导致Ramanujan型身份的过度分区功能$\overline{p}(5n+2)$和$\overline{p}(5n+3)$和安德鲁斯-Paule的破碎$2$钻石分区功能$\triangle_{2}(25n+14)$和$\triangle_{2}(25n+24)$。它也可以扩展到更一般的一类配分函数上的拉马努金型恒等式。例如，它产生的Ramanujan型恒等式安德鲁斯的奇异超分割函数$\overline{Q}_{3,1}(9n+3)$和$ \overline{Q}_{3,1}(9n+6)$由于沈，$2$ -解剖公式的Ramanujan和$8$ -解剖公式由于Hirschhorn。
2019-11-17 math.CO math.NT
On the Moments of Least $s$-Gaps of Partitions and a Conjecture of Baruah and Talukdar
National Institute of Technology, Raipur（印度理工学院赖布尔分校）
本文研究分拆的最小 $r$-间隙的 $k$ 阶矩，给出精确公式，并证明 Baruah 与 Talukdar 关于奇偶最小 $r$-间隙和渐近等价的猜想，同时推广了相关恒等式。
2026-10-12 math.CO math.NT
Parity distribution and divisibility of Mex-related partition functions
Andrews和Newman为正整数$n$的整数划分$λ$引入了mex-函数$\text{mex}_{A,a}(λ)$，该正整数$n$是与$a$模$A$全等的最小正整数，该正整数不是$λ$的一部分。然后他们将$p_{A,a}(n)$定义为$n$满足$\text{mex}_{A,a}(λ)\equiv a\pmod{2A}$的分区数$λ$。他们针对任何正整数$t$找到了$p_{t,t}(n)$和$p_{2t,t}(n)$的母函数，并研究了它们对于$t$的一些小值的算术性质。本文研究了配分函数$p_{mt,t}(n)$对所有正整数$m$和$t$的配分函数.我们证明了对于足够大的$X$，使得$p_{mt,t}(n)$是偶数的所有正整数$n\leq X$的个数对于所有正整数$m$和$t$至少是$\mathcal{O}(\sqrt{X/3})$.我们还证明了，对于足够大的$X$，所有正整数$n\leq X$，使$p_{mp,p}(n)$是一个奇数的数量至少是$\mathcal{O}(\log \log X)$对所有$m\not \equiv 0\pmod{3}$和所有素数$p\equiv 1\pmod{3}$。最后，我们建立了连接普通配分函数到$p_{mt,t}(n)$的恒等式。
2023-03-07 math.NT
