发表机构
Jain (Deemed-to-be University); Pondicherry University（贾因（视为大学）; 本地治里大学）
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本文研究超划分上奇数最小缺失项之和，推导其生成函数，建立无限同余族，并给出模4与完全平方数的关系及渐近公式。
AI 中文摘要
Andrews 和 Newman 引入了整数划分 λ 的最小缺失项 mex(λ)，并研究了求和函数 σmex(n)；Baruah 等人将其细化为奇数限制函数 σ_o mex(n) 和偶数限制函数 σ_e mex(n)。在本文中，我们引入并研究超划分的类似物 σ_o mex(n) 的上划线，定义为 n 的所有超划分上奇数最小缺失项之和。我们首先推导出 σ_o mex(n) 的上划线的精确生成函数，并将其与 Aricheta 和 Donato 的超划分最小缺失项的双变量生成函数联系起来。利用初等 q-级数论证，以及通过 Gordon--Hughes--Newman--Ligozat 准则验证的 φ(q)^2 的权重一 eta-商恒等式，我们建立了 σ_o mex(n) 的上划线满足的无限同余族。因此，我们得到 σ_o mex(n) 的上划线在 n=0 时等于 1，并且对于 n≥1，σ_o mex(n) 的上划线模 4 同余于 0 当且仅当 n 是完全平方数。我们进一步获得了 σ_o mex(n) 的上划线的部分和与自卷积的同余式；特别是，自卷积模 8 的无限同余族，用除数函数 d_1(n) 和 d_3(n) 表示。我们通过 Wright 圆法建立了 σ_o mex(n) 的上划线的 Hardy--Ramanujan 型渐近公式来结束本文。
英文摘要
Andrews and Newman introduced the minimal excludant $\mathrm{mex}(λ)$ of an integer partition $λ$ and studied the summatory function $σ\mathrm{mex}(n)$, and Baruah et al. refined this to the odd- and even-restricted functions $σ_o\mathrm{mex}(n)$ and $σ_e\mathrm{mex}(n)$. In this paper, we introduce and study the overpartition analogue $\overline{σ_o\mathrm{mex}}(n)$, defined as the sum of odd minimal excludants over all overpartitions of $n$. We first derive the exact generating function for $\overline{σ_o\mathrm{mex}}(n)$, and relate it to the bivariate generating function of Aricheta and Donato for the overpartition minimal excludant. Using elementary $q$-series arguments, together with a weight-one eta-quotient identity for $φ(q)^2$ verified via the Gordon--Hughes--Newman--Ligozat criterion, we establish an infinite family of congruences satisfied by $\overline{σ_o\mathrm{mex}}(n)$. Consequently, we obtain that $\overline{σ_o\mathrm{mex}}(0)=1$ and, for $n\ge1$, $\overline{σ_o\mathrm{mex}}(n) \equiv 0 \pmod{4}$ if and only if $n$ is a perfect square. We further obtain congruences for the partial sums and self-convolution of $\overline{σ_o\mathrm{mex}}(n)$; in particular, an infinite family of congruences modulo $8$ for the self-convolution, expressed in terms of the divisor functions $d_1(n)$ and $d_3(n)$. We conclude the paper by establishing a Hardy--Ramanujan-type asymptotic formula for $\overline{σ_o\mathrm{mex}}(n)$ via the Wright circle method.
