Colored knot polynomials. HOMFLY in representation [2,1]
本文从第一个非（反对）对称表示R=[2，1]出发，系统地描述了色纽结多项式。该项目涉及几个步骤：（一）参数化的大家庭的结一拉arXiv：1506.00339，（二）评估拉卡/混合矩阵的各种数量的股在各种表示一拉arXiv：1112.2654，（三）制表和收集的结果在www. knotebook.org。在本文中，我们只讨论表示R=[2，1]，并构建所有必要的成分，让一个评估结/链接所代表的三股封闭平行编织插入双脂肪手指。特别是，它是用来评估结从一个7参数的家庭：这个家庭包含超过80%的结与多达10个交叉点，但不包括突变体。
2015-08-12 hep-th math.GT math.QA
Colored HOMFLY polynomials of knots presented as double fat diagrams
S^3中的许多纽结和链环可以画成三个流形与一个或多个四穿孔S^2边界的粘合。我们称这些纽结图为双胖图，其不变量仅涉及四股编织物的融合和编织矩阵的知识。本文通过对WZNW模型中四点共形块的性质的研究，提出了这类双胖图的有色HOMFLY多项式，其中颜色可以是矩形或非矩形表示。随着Gu-Jockers最近的工作，非矩形[21]表示的融合矩阵，第一个涉及多重性的是已知的。我们通过与[21]作为三条辫子的封闭而得到的许多结的有色HOMFLY进行比较来验证我们的猜想。这种形式在计算上非常有效，导致为许多椒盐卷饼类型的结和非椒盐卷饼类型的结编写[21]着色HOMFLY多项式。特别是，我们发现一类椒盐卷饼突变体的区别和另一类突变体不能区分的[21]表示。两个突变体的[21]色HOMFLY之间的差异似乎具有一般形式，A依赖完全由莫顿和克伦威尔的旧猜想定义。特别是，我们检查它的一个完整的多参数家庭的突变结使用进化方法进行评估。
2015-07-12 hep-th math.GT math.QA
Multi-Colored Links From 3-strand Braids Carrying Arbitrary Symmetric Representations
从携带任意$SU(N)$表示的3股编织物获得结的有色HOMFLY-PT多项式仍然是繁琐的。对于一类秩$r$对称表示，$[r]$着色的HOMFLY-PT $H_{[r]}$求值变得更简单。最近，它表明，$H_{[r]}$，这种结从3股编织，可以使用量子拉卡系数（6 j-符号）的$U_q(sl_2)$。在本文中，我们将其推广到链接的组件进行不同的对称表示。我们说明了该技术通过评估多色链接多项式$H_{[r_1],[r_2]}$的两个组件的链接L7 a3的组件进行$[r_1]$和$[r_2]$颜色。
2018-05-10 hep-th math-ph math.GT
Colored HOMFLY polynomials as multiple sums over paths or standard Young tableaux
如果一个结由一个m股辫子表示，则表示R中的HOMFLY多项式是所有表示Q \in R^{ \otimes m}中字符的和。这个和中的系数是量子R-矩阵沿着辫子的乘积的迹，但是这些矩阵作用在交织空间中，并且它们的大小等于Q在R^{ \otimes m}中的重数M_{RQ}。若R是基本表示R=[1]，则M_{[1] Q}等于表示图中从基本顶点[1]到顶点Q的路的个数.在路径的基础上，m-1个相关R-矩阵的元素与路径对相关联，并且只有当两条路径重合或相差至多一个顶点时才是非零的;作为推论，R-矩阵仅由1x 1和2x2块组成，由非常简单的显式表达式给出。如果使用成缆方法来用表示R对结着色，则编织物具有m个|R|股，Q具有更大的尺寸m个|R|，但是仅通过顶点R的路径被包括在定义m个|R| -1相关R-矩阵的乘积和迹的路径上的和中。在SU（N）的情况下，这个路径和公式也可以解释为标准杨氏表上的多重和。目前，它提供了最有效的方法来评估有色HOMFLY多项式，传统的或扩展的，任意的辫子。
2013-04-04 hep-th math.GT math.QA
A relation between the HOMFLY-PT and Kauffman polynomials via characters
Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University（冲绳科学技术大学院大学）
通过特征研究HOMFLY-PT与Kauffman多项式在特定结类中的关系，揭示其与Harer-Zagier因子可分解性的联系，但四strand结的反例推翻了部分猜想。
2026-08-11 hep-th math-ph math.MP
Eigenvalue hypothesis for multi-strand braids
对于三股或多股编织的非树型结，计算有色HOMFLY-PT的多项式形式仍然是一个悬而未决的问题。针对三股编织物提出的有效方法之一依赖于本征值假设，该假设使用Yang-Baxter方程通过${\cal R}$ -矩阵的本征值来表达答案。在本文中，我们推广的假设，以更高的股在辫子的非相邻$\mathcal{R}$矩阵的交换关系也被纳入。通过求解这些方程，我们确定了显式形式的$\mathcal{R}$ -矩阵和包含Racah矩阵的编织特征值（矩阵的大小为6 × 6）。为了比较，我们简要地讨论了四股编织物进行基本和对称的秩二$SU_q(N)$表示的最高权的方法。具体地说，我们提出了所有的包容Racah矩阵表示$[2]$和比较矩阵特征值假设。
2018-01-25 hep-th
Closed 4-braids and the Jones unknot conjecture
针对Jones纽结猜想中4股辫子情形的未解问题，研究发现一族以拧数为参数、可能对应非平凡纽结的双变量HOMFLY-PT多项式（其Jones多项式平凡），探究其性质并提出检验方法与多股推广思路。
2024-04-18 hep-th math-ph math.GR
Colored HOMFLY-PT polynomials of quasi-alternating $3$-braid knots
从携带任意$SU(N)$表示的$3$ -股编织物中获得结的有色HOMFLY-PT多项式的封闭形式表达式是一个具有挑战性的问题。在本文中，我们将我们的兴趣局限于扭曲的广义混合编织结，我们表示为$\hat{Q}_3(m_1,-m_2,n,\ell)$。这类纽结不仅推广了著名的编织纽结，而且还包含了一个准交替纽结的无限族。有趣的是，我们得到一个封闭形式的表达式的HOMFLY-PT多项式的$\hat{Q}_3(m_1,-m_2,n,\ell)$使用修改后的版本的Reshitikhin-Turaev方法。此外，我们还计算了拟交错纽结$\hat{Q}_3(1,-1,n,\pm 1)$的Jones多项式和Alexander多项式的精确系数。对于这些同源薄结，这样的系数被称为是他们的Khovanov和链接Floer同源性的秩，分别。我们还表明，亚历山大多项式的系数的渐近行为是梯形的。另一方面，我们计算的$[r]$着色HOMFLY-PT多项式的准交替结的小值的$r$。值得注意的是，对某些扭曲编织结的决定因素的研究导致建立了与$m^{th}$卢卡斯数相关的枚举几何学的联系，以下表示为$L_{m,2n}$。最后，我们证明了重新表述的不变量满足Ooguri-Vafa猜想，并将某些BPS整数表示为超几何函数${}_2 {\bf F}_1\left[a,b, c;z\right]$。
2022-04-21 hep-th math-ph math.MP
Conformal Geometry and Invariants of 3-strand Brownian Braids
我们提出了一个简单的几何结构的拓扑不变量的3股布朗辫子视为世界线的3个粒子进行独立的布朗运动在复平面z。我们的构造是基于双穿孔平面z到泛覆盖曲面的共形映射的性质。特别注意的情况下，不可区分的粒子。我们的共形映射的方法，使我们能够调查的一束3股布朗辫子的拓扑复杂性的统计特性，并计算在非阿贝尔的情况下的不可约辫子长度的期望值。
2004-07-02 cond-mat.stat-mech hep-th
Colored HOMFLY polynomials for the pretzel knots and links
借助于演化方法，我们计算了一个庞大的（广义）椒盐卷饼链族的所有对称表示[r]中的所有HOMFLY多项式，该链族由g+1个平行或反平行的两股辫构成，并且依赖于g+1个整数。我们证明了它们具有一个明显的新结构：它们被分解为g+1个初等多项式的乘积之和，这些多项式是借助于重新标度的SU_q（N）Racah矩阵由演化特征值通过旋转得到的，我们给出了一个明确的表达式。广义椒盐卷饼家族包含许多突变体，不可区分的对称HOMFLY多项式，因此，我们的结果扩展到非对称表示R是一个具有挑战性的开放问题。最后，对于具有任意g和R的整个族，可以证明所建议的公式的非平凡推广。
2015-04-02 hep-th math.GT math.QA
Quantum Racah matrices and 3-strand braids in irreps R with |R|=4
本文描述了量子群U_q（sl_N）的第一非（反）对称矩形表示R=[2，2]的包含Racah矩阵.它们中的大多数具有大小2、3和4，并且由特征值假设完全描述。在两个6 × 6矩阵中，一个也是这样描述的，但另一个对应于退化特征值的情况，并通过最高权方法进行评估。结合arXiv：1605.02313中R=[3，1]的更难计算以及从包含矩阵中提取互斥矩阵S和\bar S的新方法，这完成了|R| \leq 4的Racah矩阵的故事，并允许计算和研究任意3股和树状结的相应有色HOMFLY多项式。
2016-05-10 hep-th math.GT math.QA
Torus HOMFLY as the Hall-Littlewood Polynomials
我们证明了环面结T[m，n]的HOMFLY多项式在所有基本表象中都等于Hall-Littlewood多项式在依赖于m的表象中，并且具有依赖于n的量子参数.这使得期待已久的威尔逊平均值的解释在三维陈-西蒙斯理论作为字符精确，至少对于环面结，并呼吁在这个方向上进一步研究。这个事实与arXiv：1201.3339中超多项式的特征展开的Hall-Littlewood-MacDonald对偶性有很深的关系。事实上，对于扩展多项式，这个关系仍然成立，但是m和n之间的对称性被破坏了，那么m是辫子中的股数。除了q=t的HOMFLY情形外，环面超多项式在另外两种不同的情形（q=0和t=0）中被简化为单个Hall-Littlewood特征标。
2012-03-03 hep-th
Evolution method and HOMFLY polynomials for virtual knots
根据arXiv：1407.6319的建议，将虚拟结和链接的结多项式从Jones提升到HOMFLY，我们应用进化方法来计算一个无限系列的扭曲虚拟结和反平行2链链接。在这个族中，人们可以检查拓扑不变性，并了解如何在虚拟情况下修改微分层次。这开辟了一条通往有色（不仅有线）结多项式的定义的道路，虽然问题仍然存在超越第一对称表示。
2014-11-10 hep-th math-ph math.GT
Colored HOMFLY polynomials that distinguish mutant knots
我们从WZNW共形块上的编织操作的角度说明了具有多重结构的有色HOMFLY多项式如何检测突变。作为一个例子，我们明确评估（2，1）色HOMFLY多项式区分一个著名的突变对，木下寺坂和康威结。
2017-11-19 hep-th math-ph math.GT
On the block structure of the quantum R-matrix in the three-strand braids
量子$\mathcal{R}$ -矩阵是有色HOMFLY多项式的构建块。在三股编织物具有与每一股相关联的$SU_q(N)$的相同有限维不可约表示$T$的情况下，需要两个矩阵：$\mathcal{R}_1$和$\mathcal{R}_2$。它们通过Racah矩阵$\mathcal{R}_2 = \mathcal{U} \mathcal{R}_1 \mathcal{U}^{\dagger}$相关。由于我们总是可以选择基使得$\mathcal{R}_1$是对角的，所以问题被简化为计算$\mathcal{R}_2$ -矩阵。本文是简化此类计算的又一步。发现并证明了$\mathcal{R}_2$ -矩阵可以变换为块对角矩阵。其必要条件是$\mathcal{R}_1$ -矩阵的特征值之间存在一对偶然重合的特征值。对应于从由Racah矩阵定义的基到其中$\mathcal{R}_2$是块对角的基的偶然重合的本征值的扇区中的旋转角度是$\pm \fracπ{4}$。
2017-12-19 hep-th
Evolution method and "differential hierarchy" of colored knot polynomials
我们认为编织物内的任意结，提供了一个多参数的家庭结的重复模式，这取决于“进化”参数，它控制的重复次数。结（超）多项式对这样的演化参数的依赖性是很容易找到的。我们应用这种演化方法来研究的家庭的结和链接，其中包括的情况下，只有两个平行和反平行股的编织，像普通的扭曲和2股环面结/链接和反向2股链接。当答案之前可用时，它们立即被复制，并且添加了一个基本上新的“双编织物”的例子，这是平行和反平行2股编织物的组合。这项研究有助于我们完全清晰地揭示并部分研究有色HOMFLY多项式的神秘层次结构，至少在（反）对称表示中，它将8字形结的原始观察扩展到许多（大概是所有）结。我们证明，这种结构是典型的尊重的t-变形的超多项式。
2013-06-13 hep-th math.GT math.QA
Quantum Racah matrices and 3-strand braids in representation [3,3]
本文是从arXiv：1506.00339开始的系统描述有色结多项式项目的下一步。在本文中，我们设法显式地找到$\textit{inclusive}$拉卡矩阵，即在通道$R^{\otimes 3}\longrightarrow Q$与所有可能的$Q$，为$R=[3,3]$混合矩阵的整个集合。病例$R=[3,3]$与arXiv：1605.03098中获得的$R=[2,2]$一样，均为无多重性病例。利用Gelfand-Tseitlin表，采用最高权法进行计算。结果允许一个评估和调查$[3,3]$着色多项式为任意3股结，这证实了许多以前的各种分解，普遍性，和微分展开。在arXiv：1605.04881中开发的方法的帮助下，我们设法计算$R=[3,3]$中的{ \it exclusive} Racah矩阵$S$和$\bar S$。我们的结果证实了arXiv：1606.06015中对这些矩阵的计算，该计算是基于扭曲结的微分展开的显式形式的猜想。对于多达10个交叉点的3股结，Racah矩阵和$[3,3]$着色多项式的明确答案可在http://knotebook.org上获得。
2021-05-05 hep-th math.GT math.QA
Link polynomial calculus and the AENV conjecture
使用最近提出的差分层次（Z-展开）技术，我们得到了一个一般表达式的HOMFLY多项式在两个任意对称表示的链接家庭，包括Whitehead和Borromean链接。除此之外，这使我们能够检查和确认最近的猜想arXiv：1304.5778，即这个量的大表示极限（与结体积猜想中考虑的相同）与镜像对称考虑的预测相匹配。我们还提供了，使用进化方法，HOMFLY多项式在两个任意对称表示的任意成员的单参数家庭的2-组件3-链链接，其中包括霍普夫和怀特黑德链接。
2014-03-27 hep-th math.GT math.QA
Evolution properties of the knot's defect
证明了有色HOMFLY-PT多项式的微分（分圆）展开式的缺陷在任何反平行方向上都是不变的，并随任何平行方向上的演化而线性变化.换句话说，每个${\cal R}$ -矩阵可以用两种不同的方式被整个2股编织物替代：当编织物反平行时，缺损保持完整，当编织物平行时，缺损改变增加长度的一半。
2022-04-12 hep-th math-ph math.GT
Knot polynomials for twist satellites
我们开始系统的研究结的扭曲卫星的结多项式，当它的股被替换为2股扭结。这是一个推广的电缆（环面卫星），当替代股是一个环面结。我们描述了一个一般的卫星的彩色HOMFLY分解在那些原来的结，贡献是伴随和其他表示从“$E_8$部门”，是什么使故事密切相关的沃格尔的普遍性。我们还指出了一个问题，解除分解规则的超多项式的水平-它看起来像这样的规则，如果有的话，应该是不同的积极和消极的扭曲。
2018-01-08 hep-th math-ph math.GT
Planar decomposition of the HOMFLY polynomial for bipartite knots and links
本文提出了一种适用于由反平行锁缠结构成的二部纽结图的全新平面分解方法，将Kauffman括号理论从sl(2)推广到任意sl(N)，从而为HOMFLY多项式的计算提供了与树状演算互补的新途径，并开辟了通向同调技术的新方向。
2024-10-04 hep-th math-ph math.GT
Divisor braids
研究了可定向闭曲面$Σ$上一类新的辫群.这些是某些流形的基本群，它们是$Σ$上的点的对称乘积和位形空间之间的混合;在规范理论中自然出现了一类例子，如$Σ$上复曲面纤维丛中涡旋的模空间。这些辫子群的元素，我们称之为除数辫子，有彩色的线，可以根据图$Γ$指定的规则相交。在有一个以上的每种颜色的链的情况下，我们表明，相应的辫子群承认作为一个中心的自由阿尔贝群$H_1(Σ;\mathbb{Z})^{\oplus r}$，其中$r$是颜色的数量，并描述其阿贝尔交换子的亚阿贝尔介绍。该计算关键地依赖于为每个图$Γ$在三流形$S^1 \times Σ$中产生（闭合除数辫子的）链接不变量。我们还描述了冯诺依曼代数与这些群体的环，熟悉的非交换几何。
2016-05-25 hep-th math-ph math.AT
Special colored Superpolynomials and their representation-dependence
我们通过在约化超多项式的公式中加入q=1引入了“特殊超多项式”的概念。这样我们得到了依赖于一个额外参数t的特殊HOMFLY多项式的推广。已知特殊HOMFLY以特别简单的方式依赖于表示R：作为基本项的|R|次幂。我们表明，同样的依赖仍然存在我们的特殊超多项式的对称表示的情况下，至少对于2股环面和图8结。对于反对称表示，同样的情况也成立，但对于t=1和任意q。找到这两个关系之间的插值以进行任意表示会很有趣，但在这种情况下还没有超多项式可用。
2012-08-17 hep-th math-ph math.GT
