特殊有色超多项式及其表示依赖性

HOMFLY与所有对称和反对称表示中8字形纽结的超多项式

HOMFLY and superpolynomials for figure eight knot in all symmetric and antisymmetric representations

给出了任意对称表示R=[p]中8字形纽结$4_1$的HOMFLY多项式的显式解.它推广了p=1和2的旧结果和最近导出的p= 3，4的结果，这些结果与Ooguri-Vafa猜想完全一致.答案可以被认为是“特殊”多项式的σ_R = σ_{[1]}^{ |R| }恒等式的量子化（它们定义了HOMFLY在q=1时的主要渐近性），并以便于与琼斯多项式表示为双对数比之和进行比较的形式出现。特别地，我们在表示变量p中构造了一个差分方程（“非交换A-多项式”）。简单的对称变换也提供了一个任意反对称（基本）表示R=[1 ^p]的公式，它也通过了一些明显的检查。同样简单的是从HOMFLY到超多项式的变形。进一步的推广似乎可以任意杨图R，但这些表达式是难以测试，因为缺乏替代的结果，甚至部分。

A new symmetry of the colored Alexander polynomial

We present a new conjectural symmetry of the colored Alexander polynomial, that is the specialization of the quantum $\mathfrak{sl}_N$ invariant widely known as the colored HOMFLY-PT polynomial. We provide arguments in support of the existence of the symmetry by studying the loop expansion and the character expansion of the colored HOMFLY-PT polynomial. We study the constraints this symmetry imposes on the group theoretic structure of the loop expansion and provide solutions to those constraints. The symmetry is a powerful tool for research on polynomial knot invariants and in the end we sugge…

色纽结多项式在单位根处的因式分解

Factorization of colored knot polynomials at roots of unity

通过对大量不同纽结的分析，我们得出结论：在单位根q，q^{2 m}=1处，对称表示[r]中的HOMFLY多项式满足递归恒等式：对任意A，H_{r+m} = H_r H_m，这是q=1处特殊多项式的性质H_r =（H_1）^r的推广。我们猜想一个自然的推广到任意表示R，然而，只检查环面结。接下来，由H_R在q=exp（iπ/ |R|）处产生的Kashaev多项式变成等于用A^ |R|代替A的特殊多项式，假设R是单钩表示（例如任意对称）-这提供了与Alexander多项式类似的性质的q-A对偶。所有这些都意味着微分展开式系数的非平凡关系，据信这些关系在结空间中提供了合理的坐标--这种普遍关系的存在意味着这些变量仍然不是不受约束的。

Implications for colored HOMFLY polynomials from explicit formulas for group-theoretical structure

We have recently proposed arXiv:2105.11565 a powerful method for computing group factors of the perturbative series expansion of the Wilson loop in the Chern-Simons theory with $SU(N)$ gauge group. In this paper, we apply the developed method to obtain and study various properties, including nonperturbative ones, of such vacuum expectation values. First, we discuss the computation of Vassiliev invariants. Second, we discuss the Vogel theorem of not distinguishing chord diagrams by weight systems coming from semisimple Lie (super)algebras. Third, we provide a method for constructing linear recu…

Macdonald算子与有色Hopf链的同调不变量

Macdonald operators and homological invariants of the colored Hopf link

使用幂和（玻色子）实现的Macdonald算子，我们调查的Gukov，Iqbal，Kozcaz和Vafa（GIKV）的建议的同调不变量的彩色Hopf链接，其中包括Khovanov-Rozansky同源作为一个特殊情况。我们证明了多项式的不变量得到GIKV的建议任意表示。我们导出了反对称表示的有色Hopf链的不变量的闭公式。我们认为，GIKV的建议是需要一个小的修改，使多项式的所有系数非负整数。

Nahm和、稳定性与有色Jones多项式

Nahm sums, stability and the colored Jones polynomial

Nahm和是一种特殊超几何类型的$q$ -级数，它出现在共形域论的特征公式中，并产生Bloch群的元素，具有有趣的模性质。在本文中，我们展示了量子纽结理论中Nahm和是如何自然产生的，即我们证明了交替环的有色Jones多项式的系数的稳定性，并给出了交替环的简化图所定义的幂级数的Nahm和公式. Nahm和公式附带计算机实现，在$q$系列中已证明或推测的恒等式的许多示例中得到说明。

Chern-Simons perturbative series revisited

A group-theoretical structure in a perturbative expansion of the Wilson loops in the 3d Chern-Simons theory with $SU(N)$ gauge group is studied in symmetric approach. A special basis in the center of the universal enveloping algebra $ZU(\mathfrak{sl}_N)$ is introduced. This basis allows one to present group factors in an arbitrary irreducible finite-dimensional representation. Developed methods have wide applications, the most straightforward and evident ones are mentioned. Namely, Vassiliev invariants of higher orders are computed, a conjecture about existence of new symmetries of the colored…

广义纽结-箭图对应

Generalized knots-quivers correspondence

提出广义纽结-箭图对应，计算多类纽结的箭图，并给出彩色HOMFLY-PT多项式的紧凑类箭图形式，解释箭图非唯一性。