Intermediate modular curves with infinitely many cubic points over $\mathbb{Q}$
本文确定了所有在有理数域$\mathbb{Q}$上具有无穷多个三次点的中间模曲线$X_Δ(N)$。
2023-09-04 math.NT
Infinitely many elliptic curves of rank exactly two, II
在奇偶猜想下，构造了一类秩为2且扭子群为二阶或三阶循环群的椭圆曲线的无穷族.
2018-09-27 math.NT
Reciprocal polynomials and curves with many points over a finite field
设$\mathbb F_{q^2}$是具有$q^2$元素的有限域。本文给出了一种简单而有效的方法，即利用互反多项式构造具有多个有理点的$\mathbb F_{q^2}$上的代数曲线。所构造的曲线是射影直线的库默尔覆盖或库默尔覆盖的纤维积。此外，我们计算的确切数量的有理点的一些曲线。
2021-10-20 math.NT
Modular curves $X_0(N)$ with infinitely many quartic points
本研究确定了所有具有无穷多四次点的模曲线$X_0(N)$，通过定义诱导二次型的配对，刻画了从这类模曲线到正秩椭圆曲线的有理态射的所有可能次数。
2024-02-18 math.NT
There are infinitely many elliptic curves over the rationals of rank 2
本文利用显式模型、2-下降法以及 Tao–Ziegler 定理，证明了有理数域上存在无穷多条秩恰好为2的椭圆曲线。
2025-02-04 math.NT
Curves with many points over finite fields: the class field theory approach
有限域上多点曲线的构造问题近年来受到了广泛的关注。使用类域理论的方法，我们构造新的例子曲线改善一些已知的界限。更准确地说，我们提高了下界的最大点数$N_q(g)$为许多值的亏格$g$和基数$q$的有限域$\mathbb F_q$，通过寻找覆盖所有亏格三个光滑的射影曲线在$\mathbb F_q$，为$q$是一个奇素数小于19。
2016-11-15 math.NT
Intermediate modular curves with infinitely many quartic points
本文确定了所有在有理数域上具有无穷多个四次点的中间模曲线 $X_Δ(N)$，并开发了计算其到椭圆曲线的有理态射次数的方法。
2025-04-22 math.NT
Characterizing algebraic curves with infinitely many integral points
Siegel的一个经典定理证明了数域上的代数曲线C的S-整点集是有限的，除非C的亏格为0且在无穷远处至多有两个点。本文给出了C有无穷多个S-整点的充要条件。
2009-07-13 math.NT
Elliptic curves with large torsion and positive rank over number fields of small degree and ECM factorization
本文给出了几种构造小次数域上具有大扭群和正秩的椭圆曲线的方法。我们还讨论了这种曲线在椭圆曲线分解方法（ECM）中的潜在应用。
2011-12-31 math.NT
Binary Curves of small fixed genus and gonality with many rational points
本文给出了在小亏格的情况下，$\mathbb{F}_2$上具有固定角性的曲线上的最大有理点个数。
2022-08-08 math.NT
Criteria for p-ordinarity of families of elliptic curves over infinitely many number fields
设$K_i$是所有$i \in \mathbb{Z}_{> 0}$的数域，并且设$\mathcal{E}$是一族椭圆曲线，其包含定义在所有$i$的$K_i$上的无穷多个成员。修复一个有理素数$p$。我们给出了整数$i_0$存在的充分条件，使得对于所有$i > i_0$和所有椭圆曲线$E \in \mathcal{E}$在$K_i$中的所有$\mathfrak{p} \mid p$处都有好的约化，我们有$E$在所有素数$\mathfrak{p} \mid p$处都有好的普通约化.
2014-04-12 math.NT
Infinitely many hyperelliptic curves of small genus and small fixed rank, and of any genus and rank two
Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）
本文证明了对于任何数域K和固定亏格g≥2，存在无穷多个非同构的亏格为g的双曲曲线，其雅可比曲线的秩为0、1或2。
2026-04-21 math.NT
Infinitely many elliptic curves over $\mathbb{Q}(i)$ with rank 2 and $j$-invariant 1728
本文证明$\mathbb{Q}(i)$上存在无穷多无法由$\mathbb{Q}$基变换得到、$j$-不变量为1728且秩恰好为2的椭圆曲线，其秩通过2-同源下降法确定，存在性由陶哲轩高斯素数星座定理推出。
2025-08-20 math.NT
Modular curves of prime-power level with infinitely many quadratic points
该研究确定了1085个素数幂水平的模曲线子群，这些子群对应的模曲线具有无限多个二次点。
2026-02-23 math.NT
Orders of reductions of elliptic curves with many and few prime factors
本文研究了$ω(E(\mathbb{F}_p))$的极值问题，其中$E/\mathbb{Q}$是具有复数乘法的椭圆曲线，$ω$是异素因子数函数.对于固定的$γ> 1$，我们证明了，\[ \#\{p \leq x : ω(E(\mathbb{F}_p)) > γ\log\log x\} = \frac{x}{(\log x)^{2 + γ\logγ- γ+ o(1)}}. \]相同的结果适用于数量$\#\{p \leq x : ω(E(\mathbb{F}_p)) < γ\log\log x\}$当$0 < γ< 1$。文中详细讨论了曲线$E : y^2 = x^3 - x$的参数，并讨论了该方法如何适用于其它CM椭圆曲线。
2015-11-07 math.NT
Modular curves $X_0(N)$ of density degree $5$
University of Zagreb（萨格勒布大学）；Department of Mathematics, and Institute of Pure and Applied Mathematics, Jeonbuk National University（全北国立大学数学系及纯应用数学研究所）；Department of Mathematics Education Kongju National University（公州国立大学数学教育系）
本文确定了所有密度次数为5的模曲线$X_0(N)$，并指出仅剩30个水平$N$的问题仍未解决。
2026-02-19 math.NT
On curves over finite fields with Jacobians of small exponent
我们表明，有限域，其中有一个曲线的一个给定的亏格g，其雅可比矩阵有一个小的指数，是非常罕见的。这推广了W. Duke在g=1的情况下。我们还表明，当g=1或g=2，我们的界限是最好的可能。
2008-09-21 math.NT
On the small cyclic torsion of elliptic curves over cubic number fields
Merel关于强一致有界性猜想的结果使得对定义在固定次数数域$d$上的所有椭圆曲线的Mordell-Weil群的扭部分进行分类变得有意义。本文讨论了立方数域上椭圆曲线的循环扭子群。对于$N=49,40,25$或$22$，证明了对于立方数域$K$上的任意椭圆曲线$E$，$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$不是$E(K)_{tor}$的子群.
2018-12-13 math.NT
An upper bound for the genus of a curve without points of small degree
在本文中，我证明了，对于任何总理$p$有一个常数$C_p>0$，使任何$n>0$和任何$p$ -权力$q$有一个光滑的，投影，绝对不可约曲线$\mathbb{F}_q$的属$g\leq C_p q^n$没有点的程度小于$n$。
2012-03-05 math.NT
Ternary and Quaternary Curves of Small Fixed Genus and Gonality with Many Rational Points
我们从我们以前的论文arXiv：2005.07054扩展计算，以确定最大数量的有理点的曲线上的$\mathbb{F}_3$和$\mathbb{F}_4$固定的角和小的亏格。例如，我们发现在有限域上不存在亏格为5且角度为6的曲线。根据我们的数据，我们提出了两种解决方案。首先，亏格$g$的最优曲线具有至多$\lfloor \frac{g+3}{2} \rfloor$的共性。第二，$γ$和$\mathbb{F}_q$上的大亏格的共性曲线具有$γ(q+1)$有理点。
2022-04-30 math.NT
Quickly constructing curves of genus 4 with many points
有限域上的曲线的“缺陷”是曲线上的有理点的数目与曲线的Weil-Serre界之间的差。给出了有限域上亏格为2的曲线的亏格为4的双覆盖的构造，使得双覆盖的亏格不比亏格为2的曲线的亏格多.我们给出了一个算法，使用这种结构来产生亏格为4的曲线与小缺陷。启发式地，对于所有足够大的素数和几乎所有的素数幂q，该算法预计将产生一个亏格为4的曲线在F_q上的时间q^{3/4}，最多为对数因子。作为算法分析的一部分，我们提出了一个重新解释的结果Hayashida上的一些亏格-2曲线的雅可比同构的平方给定的椭圆曲线的复乘的极大序模。我们证明了这样一条椭圆曲线的平方上的一类主极化等价于某个四元数阶的一类右理想。
2015-06-15 math.NT
Modular curves of prime-power level with infinitely many rational points
对于${\rm GL}_2(\hat{\mathbb{Z}})$的每个开子群$G$包含具有全行列式的$-I$，令$X_G/\mathbb{Q}$表示松散参数化椭圆曲线的模曲线，其Galois表示由其扭点上的Galois作用产生，具有包含在$G$中的图像。直到共轭，我们确定了一个完整的列表$248$这样的群$G$的素数功率水平，其中$X_G(\mathbb{Q})$是无限的。对于每个$G$，我们还构造了从每个$X_G$到$j$ -线的显式映射。该列表由属$0$的$220$模曲线和属$1$的$28$模曲线组成。对于每一个素数$\ell$，这些结果提供了一个明确的分类可能的图像的$\ell$ -进伽罗瓦表示所产生的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$是完整的，除了一个有限的例外$j$ -不变量。
2021-04-02 math.NT
Nondegenerate curves of low genus over small finite fields
在以前的论文中，我们证明了在一个有限域$k$的足够大的基数，所有曲线的亏格最多为3的k可以模拟的二元劳伦多项式是非退化的关于它的牛顿多面体。本文证明了有限域上亏格至多为3的非退化曲线有两条，一条在F_2上，一条在F_3上。这两条曲线都具有关于各种扩域上有理点个数的显着极值性质。
2009-07-12 math.NT
Automorphism groups of smooth plane curves with many Galois points
给出了至少有两个Galois点的光滑平面曲线分类表中曲线的自同构群。其中之一是自同构群超过Hurwitz界的普通曲线。
2014-01-27 math.AG math.NT
Small Tamagawa numbers of elliptic curves with isogenies or torsion
本文研究定义在有理数上且具有同源或挠点的椭圆曲线的玉河数，旨在界定可整除其玉河数的素数集合，或寻找玉河数极小的无限子族，并探讨了椭圆曲面特化的玉河数。
2025-08-13 math.NT
Rational and isolated quadratic points on hyperelliptic curves of rank 0 and small genus
本文提出一种利用Kummer簇上Mordell-Weil群像来计算秩0超椭圆曲线有理点和孤立二次点的方法，并用Magma实现，在大量曲线上验证。
2025-09-24 math.NT
Sato--Tate, cyclicity, and divisibility statistics on average for elliptic curves of small height
我们得到了素数$p\le x$的数量的渐近公式，对于这些素数，椭圆曲线$$ \E_{a,b} : Y^2 = X^3 + aX + b $$的约化模$p$满足某些"自然“性质，平均在整数$a$和$b$上，具有$|a|\le A$和$|b| \le B$，其中$A$和$B$相对于$x$是小的。具体而言，我们调查行为相对于佐藤-泰特猜想，循环性，整除的点数由一个固定的整数$m$。
2007-11-26 math.NT
On the Identification of Elliptic Curves That Admit Infinitely Many Twists Satisfying the Birch-Swinnerton-Dyer Conjecture
Temple University（天普大学）
本文基于Burungale-Skinner-Tian-Wan的研究，提出一个显式算法，应用于LMFDB数据库，识别出所有导数不超过500,000的椭圆曲线，这些曲线有无限多个二次扭曲满足强Birch-Swinnerton-Dyer猜想，并提供了Radziwiłł和Soundararajan猜想的数值证据。
2026-06-04 math.NT
Unramified abelian covers with many points
本文通过代数曲线的非分歧阿贝尔覆盖，在4、9、16和25个元素的有限域上构造出点数创纪录的曲线。
2025-10-20 math.NT
Period and index of genus one curves over number fields
曲线的周期是Galois-不变因子类的最小正次数。该指数是有理因子的最小正度。我们构造了给定数域上具有指定周期和指数的亏格为1的曲线的例子。
2008-10-31 math.NT
On the infinitude of elliptic curves over a number field with prescribed small rank
Cornell University（康奈尔大学）
该研究证明了在数域上存在无限多个具有指定小秩的椭圆曲线，通过专门化非平凡椭圆曲线并利用Kai的结果实现对坏素数的控制和秩的计算。
2026-02-11 math.NT
Index calculus with double large prime variation for curves of small genus with cyclic class group
我们提出了一个指数演算算法与双大素数变化，这使得自己以及严格的分析。利用该算法，证明了对于固定亏格$g \geq 2$，在有限域$\mathbb{F}_q$上的非奇异曲线的0次类群的离散对数问题可以在期望时间$\tilde{O}(q^{2-2/g})$内求解，条件是曲线由有界次数的平面模型给出，且0次类群是循环的.这个结果推广了Gaudry，Jiée，Thériault和作者关于虚Weierstravel方程给出的超椭圆曲线的一个结果.
2006-06-23 math.NT
Elliptic curves of large rank and small conductor
对于r= 6，7，.，[11]我们发现一条椭圆曲线E/Q的秩至少为r，是已知的最小导体，比以前的记录提高了1.0136（r=6）到100以上（r=10和r=11）。我们描述了我们的搜索法，并列表，对于每个r= 5，6，.，11，最低导体的五条曲线，以及（除了r=11）我们发现的最低绝对判别式的五条曲线。
2004-05-11 math.NT
Small rational points on elliptic curves over number fields
设E/k是数域上的椭圆曲线。我们得到了Hindry-Silverman结果的一些定量改进，给出了k-有理挠点个数的上界和非挠k-有理点的标准高度的下界，并给出了明确依赖于k的度和E/k的Szpiro比的表达式.边界只表现出多项式依赖于这两个量。
2005-08-10 math.NT
Conductor and discriminant of Picard curves
我们描述了规范形式和皮卡德曲线的极小模型，讨论这些的各种算术方面。我们确定所有所谓的特殊皮卡德曲线在$\mathbb{Q}$与好约化以外的2和3，并使用它来确定最小的可能导体的特殊皮卡德曲线可能有。我们还收集了一个数据库的皮卡曲线超过$\mathbb{Q}$的小导体。
2019-02-25 math.NT
An Elliptic Curve Analogue to the Fermat Numbers
费马数有许多值得注意的性质，包括序普适性、互质性和递归关系的定义。我们使用任意的椭圆曲线和无穷阶的有理点来生成类似于费马数的序列。我们证明了这些序列有许多相同的性质的费马数，我们讨论的结果，由特定的曲线和点生成的序列的素因子。
2017-08-12 math.NT
Infinitely many hyperelliptic curves with exactly two rational points: Part II
在前一篇文章中，Hirakawa和作者确定了由素数$p$和整数$i$，$j$参数化的某个无限族超椭圆曲线$C^{(p;i,j)}$的有理点集。在证明中，我们使用了标准的$2$ -下降论证和由Grant证明的Lutz-Nagell定理。在本文中，我们扩展了上述工作。利用下降定理，将对$j=2$的证明归结为秩$0$的椭圆曲线与$p$无关.另一方面，对于奇$j$，我们考虑另一条超椭圆曲线$C'^{(p;i,j)}$，其Jacobi簇与$C^{(p;i,j)}$的Jacobi簇同构，并通过$2$ -下降证明了$C'^{(p;i,j)}$的Jacobi簇的Mordell-Weil秩是$0$.然后利用Lutz-Nagell型定理确定了$C^{(p;i,j)}$的有理点的集合.
2020-12-22 math.NT
Infinitely many primes with a fixed Frobenius field for an elliptic curve over $\mathbb{Q}$
Concordia University（康科迪亚大学）；Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）
该研究针对有理数域上特定非复乘椭圆曲线与虚二次域，证明存在无穷多素数使得椭圆曲线在该素数处的弗罗贝尼乌斯域等于给定虚二次域，建立了相关计数函数的下界与上界，方法涉及复乘理论等。
2026-08-19 math.NT
Genus 3 curves with many involutions and application to maximal curves in characteristic 2
设k=F_q是特征为2的有限域.亏格为3的曲线C/k有许多对合，如果k-自同构群允许C_2 \times C_2子群H（如果C是超椭圆的，则不包含超椭圆对合）.则C是三条椭圆曲线的Artin-Schreier覆盖，C的Jacobian与这三条椭圆曲线的乘积k-同构.本文给出了具有多个对合的亏格为3的曲线的显式模型，并计算了椭圆曲线的显式方程。然后，我们刻画了三组（E_1，E_2，E_3）椭圆曲线允许亏格为3的曲线的Artin-Schreier覆盖，并将这个结果应用于极大曲线的构造.当q为非平方数且m= \lfloor 2 sqrt（q）\rfloor = 1，5，7 mod 8时，得到N_q（3）=1+q+3 m.我们还表明，这发生在无限数量的q nonsquare值。
2009-05-05 math.AG math.NT
Quadratic Twists of Elliptic Curves with Small Selmer Rank
给定有理域上的椭圆曲线E，不存在有理2-扭点，证明了E的2-Selmer秩小于或等于1的二次扭的存在性.利用作者的结果，建立了扭转E（D）具有2-Selmer秩<= 1的D的个数的一个下界.我们在引言中包括我们的（简短）意见，为什么它应该是很难推动我们的技术，使塞尔默组微不足道。
2009-06-10 math.NT
Fast algorithms for computing isogenies between ordinary elliptic curves in small characteristic
计算F_q上两条给定椭圆曲线之间的显式等距的问题，最初是由点计数引起的，最近由于Teske和Rostovstev & Stolbunov的工作，在密码学界引起了新的兴趣。虽然大特征的情况下是很好地理解，只有次优算法是已知的小特征;他们是由于Couveignes，Lercier，Lercier & Joux和Lercier & Sirvent。在本文中，我们讨论了它们之间的差异，并进行了一些比较实验。我们还提出了第一个完整的实现Couveignes的第二个算法，并提出了改进，使其算法具有最好的渐近复杂度的isqueries。
2010-02-12 math.NT
Construction of an infinite family of elliptic curves of 2-selmer rank 1 from heron triangles
给定任意正整数n，众所周知，总存在有理边为a、b、c的三角形，使得三角形的面积为n。假设有限的Shafarevich-Tate群，我们首先构造一族无穷多的Heron椭圆曲线的秩正好为1从某种类型的Heron三角形。我们还明确地产生一个单独的家庭的无限多Heronian椭圆曲线与2-Selmer秩介于1和3之间。
2022-06-06 math.NT
Zeta functions of a class of Artin-Schreier curves with many automorphisms
本文描述了一类Artin-Schreier曲线，将Van der Geer和Van der Vlugt的结果推广到奇特征。这些曲线的自同构群包含一个大的超特殊群作为子群。这个子群的精确知识使得有可能在子群中所有自同构的定义域上计算该类中曲线的zeta函数。因此，我们得到了新的极大曲线的例子。
2015-06-26 math.AG math.NT
Hasse principle violations in twist families of superelliptic curves
在$abc$猜想的基础上，我们推广了Clark和作者以前的工作，证明了亏格足够大的超椭圆曲线$C: y^n = f(x)$有无穷多个违反Hasse原理的twists当且仅当$f(x)$没有$\mathbb Q$ -有理根.我们还无条件地证明了由$C: y^{pN}=f(x)$定义的曲线在任意数域$k$上有无穷多个违反Hasse原理的扭曲，使得$k$包含$p$的单位根，而$f(x)$没有$k$ -有理根.
2021-03-09 math.NT
Coverings of curves with asymptotically many rational points
数A（q）是定义在$\Fq$上的曲线的最大点数与亏格之比的上极限。通过构造具有好参数的类域塔，我们给出了A（q）的下界的改进，其中q是素数的奇次幂.
1999-08-28 math.AG math.NT
Uniform dual approximation to Veronese curves in small dimension
该研究改进了3至9维Veronese曲线上线性形式一致逼近经典指数的上界，通过参数化数论几何与最佳逼近多项式几何性质分析，证明三维下既有界非最优，得到与Poels同期结果一致的条件性界。
2024-05-16 math.NT
There are genus one curves of every index over every infinite, finitely generated field
弱Mordell-Weil定理成立的希尔伯特域上的每个非平凡阿贝尔簇都允许无穷多个Torsor，其周期为任何不能被特征整除的$n > 1$。用“指数”代替“期间”的相应说法似乎合理，但更具挑战性。我们证明了对于每一个无穷大的非线性生成场$K$，存在一条椭圆曲线$E_{/K}$，它允许无穷多个指标为任意$n > 1$的扭振子.
2014-05-08 math.NT
Location of small points on an elliptic curve by an equidistribution argument
设$E$是定义在数域$K$上的一条椭圆曲线，无需复乘。如果$Γ\subset E(\overline{K})$是一个子群的有限秩，一个非常特殊的情况下猜想的雷蒙预测，点的小高度在$E(K(Γ))$谎言的司群$Γ$。使用一个等分布的参数，我们将证明这个猜想是真实的，为集团的排名任意大。
2023-03-28 math.NT
Effective Siegel's theorem for modular curves
我们证明了在除1/2个模曲线外的所有模曲线上，以及在除1个素幂水平的模曲线外的所有模曲线上，都可以有效地确定整点。
2010-02-25 math.NT
Torsion of $\mathbb Q$-curves over number fields of small odd prime degree
Faculty of Science, Department of Mathematics（理学院数学系）
本文研究了小奇素数次数数域上$\mathbb Q$-曲线的torsion子群，证明其与有理$j$-invariant椭圆曲线的torsion子群等价，并完成相关分类。
2026-02-24 math.NT
Integrality properties in the Moduli Space of Elliptic Curves: CM Case
Habegger的一个结果表明，使得$j$或$j-α$是代数单位的奇异模只有1/2个.该结果使用了杜克等分布定理，因此是无效的。对于椭圆曲线的固定的$j$ -不变量$α\in \bar{\mathbb{Q}}$，我们证明了只有2个奇异模$j$使得$j-α$是一个代数单位.与Habegger的工作不同的是，我们给出了明确的界限。
2019-06-25 math.NT
Ranks of elliptic curves over $\mathbb{Q}(T)$ of small degree in $T$
研究了$\mathbb{Q}(T)$上的椭圆曲面，其中Weierstrass模型的系数是$\mathbb{Q}[T]$中次数至多为2的多项式。我们推导出一个明确的表达式，他们的排名$\mathbb{Q}(T)$取决于某些多项式的因式分解和其他简单的性质。最后，我们给出了所考虑的家庭的秩的尖锐估计，我们提出了几个应用，其中有列表的有理点，一般家庭的最大秩和推广以前的结果。
2021-09-02 math.NT
Modular Curves with many Points over Finite Fields
该研究提出一种计算有限域上模曲线点数的算法，应用于上万条曲线，发现百余条破纪录曲线，并推广了 Chen 同源到复合水平 Cartan 模曲线。
2022-10-26 math.NT
Motivic local systems on curves and Maeda's conjecture
我们证明了只有200多个复亏格的两条曲线和四个穿孔球面允许秩为2的局部几何原点系统，而且每一个都带有200多个复亏格。这给出了进一步的反例的猜想埃斯诺特和Kerz：反例非常一般的曲线最近获得的Landesman和利特。在第二部分中，我们证明了这个结果的一个类似的正特征，即在$\overline{\mathbb{F}}_p$上，只有200多个亏格的两条曲线允许从固定的四元数Shimura簇拉回的非平凡秩二局部系统，并且对于$\mathbb{P}^1$减去四个点也是如此;实际上，每个秩二局部系统都是这样一个拉回。这提供了结果对前田的猜想伽罗瓦轨道的本征形的功能领域。证据利用思想的工作Landesman和利特，如isomonodromy，以及至关重要的描述Goren-Oort地层由于田和肖。
2022-11-11 math.NT
