On the modularity of supersingular elliptic curves over certain totally real number fields
我们研究了起源于怀尔斯和泰勒-怀尔斯的方法对完全真实领域的概括。鉴于Skinner-Wiles关于椭圆曲线的一般约化的结果，本文主要讨论超奇约化的情形.结合这些结果，我们得到了半稳定椭圆曲线的模性问题的一些部分结果，并给出了这些结果的一些应用，例如证明了$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$上所有半稳定椭圆曲线的模性.
2007-08-29 math.NT
On Serre's uniformity conjecture for semistable elliptic curves over totally real fields
设$K$是一个全实数域，$S$是$K$的非阿基米德位置的有限集.从Merel、Momose和David的工作中可以看出，存在一个常数$B_{K,S}$，因此如果$E$是定义在$K$上的椭圆曲线，在$S$之外是半稳定的，那么对于所有的$p>B_{K,S}$，表示$\barρ_{E,p}$是不可约的。我们结合这与模块化和水平降低，以显示一个有效的可计算常数$C_{K,S}$的存在，和一个有效的可计算的椭圆曲线的集合在$K$与CM $E_1,\dotsc,E_n$，使以下成立。若$E$是$K$上的椭圆曲线，且$p>C_{K,S}$是素数，则要么$\barρ_{E,p}$是满射，要么对于某些$i=1,\dots,n$是$\barρ_{E,p} \sim \barρ_{E_i,p}$。
2016-04-11 math.NT
On totally split primes in high-degree torsion fields of elliptic curves
类似于素数在算术级数的大模，我们可以研究素数是完全分裂的$\mathbb{Q}$的高次扩张。出于一个问题的Kowalski，我们专注于扩展$\mathbb{Q}(E[d])$相邻的坐标$d$ -扭点的非CM椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$。一个素数$p$被称为$E$的外素数，如果它在$\mathbb{Q}(E[d])$中完全分裂，对于一些具有$p<|\text{Gal}(\mathbb{Q}(E[d])/\mathbb{Q})| = d^{4-o(1)}$的$d$（因此$p$不被切波塔列夫密度定理中预期的主项所解释）。我们证明了对于几乎所有的整数$d$都存在一个非CM椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$和一个素数$p<|\text{Gal}(\mathbb{Q}(E[d])/\mathbb{Q})|$，该素数在$\mathbb{Q}(E[d])$中完全分裂.进一步证明了对于几乎所有的适当分解的$d$，存在一个非CM椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$和一个素数$p$，其中$p^{0.2694} < d$在$\mathbb{Q}(E[d])$中完全分裂.为了表明这一点，我们使用的工作Kowalski有关的问题，以分配素数在某些剩余类模$d^2$。因此，势垒$p < d^4$与经典的Bjueri-Vinogradov定理中的极限有关。为了突破这一点，我们利用了$d$方便因式分解的假…
2021-10-01 math.NT
Totally positive elements with $m$ partitions exist in almost all real quadratic fields
本文证明几乎在所有实二次域中都存在具有任意固定 $m$ 种划分的全正元素，并给出相关范数上界及恰好两种表示情形的完整刻画，进而完成 $1 \leq m \leq 7$ 的域搜索。
2025-11-10 math.NT
Solving simultaneously Thue equations in the almost totally imaginary case
令$α$是至多具有一个实共轭的次数$d\ge 3$的代数数，并且令$K$是代数数域${\mathbf Q}(α)$。对于$K$的任何单位$ε$使得${\mathbf Q}(αε)=K$，我们考虑不可约多项式$f_ε(X)\in{\mathbf Z}[X]$使得$f_ε(αε)=0$ .设$F_ε(X,Y)\ = Y^df_ε(X/Y)\in{\mathbf Z}[X,Y]$为相关的二进制形式。对于每一个正整数$m$，我们展示了一个有效的计算界的解$(x,y,ε)$的丢番图方程$|F_ε(x,y)|\leq m$。
2015-05-25 math.NT
The modularity of elliptic curves over all but finitely many totally real fields of degree 5
研究了某些模曲线上低阶点的有限性及其Atkin-Lehner等价性，并作为应用证明了椭圆曲线在几乎所有$5$全实数域上的模性.同时，利用Abramovich-Harris和Faltings关于Jacobian子簇的结果，证明了数域上大亏格曲线上$5$次有理点有限的一个判别准则.
2022-10-13 math.AG math.NT
Heavenly Elliptic Curves over Cubic Number Fields
Wesleyan University（韦斯利安大学）
本文研究三次数域上的天椭圆曲线，引入完全平衡概念，证明其挠表示迹非满射，给出平衡性素数界，并与CM曲线比较。
2026-09-29 math.NT
Base change for Elliptic Curves over Real Quadratic Fields
设E是实二次域K上的椭圆曲线，F/K是全实有限Galois扩张.我们证明了E/F是模的。
2014-10-14 math.NT
Global discrepancy and small points on elliptic curves
设E是定义在数域k上的椭圆曲线。本文定义了E上代数点的有限集Z的“整体离散”，它在精确意义上度量了该集离等距分布有多远。然后，我们证明了一个上界的整体差异的平均正则高度Z。我们从这个不等式中推导出一些结果。例如，我们给出了椭圆曲线的Szpiro-Ullmo-Zhang等分布定理的一个新的简单证明。我们还证明了一个非阿基米德版本的Szpiro-Ullmo-Zhang定理，它发生在与E.然后，我们证明了一些定量的“非等分布”定理完全真实或完全p-adic小点。全实点的结果暗示了定义在全实域的最大割圆扩张上的点的类似界。
2005-07-11 math.AG math.NT
Points of order 13 on elliptic curves
我们拾起Mazur和Tate在45年前停止的椭圆曲线中的13-挠的研究。本文考虑了定义在第13阶分圆域的极大全实子域上的椭圆曲线（其中J_1（13）处处获得好约化）和二次扩张上的各种问题。
2016-10-15 math.NT
Almost Rational Torsion Points on Semistable Elliptic Curves
若P是交换群概型A/K上的代数点，则P是几乎有理的，如果没有两个非平凡的Galois共轭σ（P），τ（P）的和等于2 P.本文对Q上半稳定椭圆曲线的几乎有理扭点进行了分类。
2003-11-20 math.NT
Ramified Approximation and Semistable Reduction
本文研究完备离散赋值域上的分歧扩张问题，改进Ax的结果证明Galois不变圆盘含可分弱全分歧扩张生成元，并应用于椭圆曲线和动力系统的半稳定约化，得到相关数论推论。
2025-01-16 math.NT
A survey on the generalized Fermat equation of various signatures over totally real fields
本文综述了在完全实数域上使用模性方法研究不同签名的推广费马方程的最新研究成果。
2025-12-04 math.NT
Almost all elliptic curves are Serre curves
使用多维大筛不等式，我们得到了一个界的均方误差的切波塔列夫定理划分领域的椭圆曲线，这是强大的广义黎曼假设所隐含的。作为应用，我们证明了一个定理，大意是，根据高度，几乎所有的椭圆曲线是Serre曲线，其中Serre曲线是一个椭圆曲线，其挠子群，粗略地说，有尽可能多的伽罗瓦对称性。
2006-11-03 math.NT
Bounding cubic-triple product Selmer groups of elliptic curves
设$E$是全实三次域上的模椭圆曲线.我们有一个由$E$通过乘法归纳构造的$\mathbb{Q}$上的三重积动机;它的秩为$8$。我们表明，在一定的假设下，$E$，非零的中心临界值的$L$ -功能连接到动机意味着相关的Bloch-Kato Selmer群的维数是$0$。
2017-01-31 math.NT
Almost all elliptic curves with prescribed torsion have Szpiro ratio close to the expected value
该论文证明几乎所有具有给定挠子群的有理椭圆曲线，其 Szpiro 比值接近期望值，并给出单参数族中的上下界，方法基于多元多项式绝对值的根幂界。
2024-07-18 math.NT
Extreme central $L$-values of almost prime quadratic twists of elliptic curves
该研究证明椭圆曲线殆素数二次扭曲的中心 $L$-函数极值，并在 BSD 猜想下推出其二次扭曲族中 Tate--Shafarevich 群的极值。
2023-10-07 math.NT
Root numbers and parity of ranks of elliptic curves
本文的目的是完成几个关于椭圆曲线秩的奇偶性的整体和局部结果。首先，证明了Shafarevich-Tate猜想对数域上的所有椭圆曲线都蕴涵奇偶猜想，给出了椭圆曲线的局部根数和整体根数的计算公式，并完成了Kramer和Tunnell关于特征0的一个猜想的证明.该方法是通过将局部域变形为全实数域，再利用整体宇称结果来求解局部公式。
2009-06-09 math.NT
On the vanishing of almost all primary components of the Shafarevich-Tate group of elliptic curves over the rationals
Shafarevich-Tate和Selmer群是在椭圆曲线的Kummer理论的背景下出现的。关于有理数域上椭圆曲线$E$的Shafarevich-Tate群的有限性，Birch和Swinnerton-Dyer定理都包含了这一问题，至今仍是一个未解决的问题.本文在Galois上同调的框架下，对椭圆曲线的Shafarevich-Tate群和Selmer群进行了研究.提到了Shafarevich-Tate群的有限性的已知结果，包括Coates和Wiles，Rubin，Gross和Zagier以及Kolyvagin的结果。然后，我们证明了消失的$\ell$ -主要成分的Shafarevich-Tate群几乎所有的素数$\ell$，任何椭圆曲线$E$的有理数没有复乘。
2018-05-23 math.NT
Integrals on $p$-adic upper half planes and Hida families over totally real fields
Bertolini-Darmon和Mok证明了Hida族上的模椭圆曲线的二元$p$ -adic $L$ -函数关于整体点的像通过某种$p$ -adic对数映射的二阶导数公式. $p$ -adic上半平面上的$p$ -adic不定积分和$p$-adic乘性积分理论在他们的工作中起着重要的作用。本文将这些积分推广到不一定是$\mathbf{Z}$值的$p$ -adic测度，并证明了与权为2的Hilbert模形式相关联的${\rm GL}(2)$型交换簇的二元$p$ -adic $L$ -函数的二阶导数的一个公式.
2016-04-15 math.NT
Explicit height bounds for $K$-rational points on transverse curves in powers of elliptic curves
令$C$是横向嵌入椭圆曲线$E$的幂$E^N$中的代数曲线。本文给出了包含在$E^N$的所有真代数子群之并中的$C$上所有代数点的高度的一个很好的显式界。该方法给出了一个完全明确的版本的Manin-Dam'janenko定理在椭圆形的情况下，它是以前的结果证明时，$E$没有复乘的推广。
2020-06-03 math.NT
Torsion of elliptic curves over cyclic cubic fields
本研究明确了循环三次域、非循环全实三次域与复三次域上椭圆曲线的全部可能挠群，填补了相关数论研究的空白。
2018-04-18 math.AG math.NT
Proof of Serge Lang's Heights Conjecture and an almost optimal Bound for the Torsion of Elliptic Curves
本文主要讨论了SergeLang的Heights猜想的完全有效证明。作为一个补充结果，作者给出了关于椭圆曲线挠率界的Mazur-Merel定理的一个新的证明，并改进了已知结果，给出了一个关于基域阶的小多项式界.（已提交）
2018-09-08 math.NT
Torsion of rational elliptic curves over different types of cubic fields
设$E$是定义在$\Q$上的椭圆曲线，$G$是某个不出现在$\Q$上的三次域$K$的扭群$E(K)_{tors}$.本文确定了在哪些类型的立方数域（循环立方、非Galois全实立方、复立方和纯立方）上$G$可能出现，如果可能，它是否可能无限频繁地出现.此外，如果它发生，我们提供椭圆曲线$E/\Q$与三次域$K$，使$G= E(K)_{tors}$。
2019-12-16 math.NT
A $p$-part Birch and Swinnerton-Dyer Formula over Totally Imaginary Quadratic Extension of Totally Real Fields
Jiangsu Police Institute（江苏警官学院）
本文在Iwasawa主猜想及其他假设下，证明了全实域的全虚二次扩域上，模半稳定椭圆曲线$E$的Birch和Swinnerton-Dyer公式的$p$部分变体，给出了相关$p$进单位范围内的等式关系。
2026-08-13 math.NT
Selmer groups of CM-twists of elliptic curves
本文在全实数域上证明存在大量椭圆曲线的CM-twist使其Selmer群平凡，从而秩为零且Shafarevich-Tate群平凡，推广了James-Ono方法并融合Morrow与Takai的结果。
2026-10-12 math.NT
On the algebraicity of polyquadratic plectic points
本文给出了任意大秩椭圆曲线上plectic Stark-Heegner点算术意义的直接证据。本文的主要贡献是证明了全实数域的多二次CM扩张所对应的plectic点的代数性。此外，我们还将顶点的非零性与椭圆曲线的解析秩和代数秩联系起来。
2022-03-30 math.NT
On superspecial abelian surfaces and type numbers of totally definite quaternion algebras
本文确定了$\mathbb{F}_p$上奇次域$\mathbb{F}_q$上超特殊交换曲面在Weil $q$数$\pm\sqrt{q}$对应的同构类中的自同态环的个数.这扩展了T. C. Yang等关于这类交换曲面的同构类的结果，推广了Deuring关于超奇椭圆曲线的自同态环个数的经典公式.我们的方法是探讨有关的四元数阶的类型和类数之间的关系。研究了全定四元数代数中任意$\mathbb{Z}$ -阶中心在该阶理想类集上的Picard群作用，并给出了该作用的轨道数公式.这使我们能够证明Vignéras [Enseign]的完整性断言。（2），1975年）。设$F$是$\mathbb{Q}$上的偶数次全实域，$D$是在$F$的所有有限位置上无分歧的（直到同构唯一）全定四元数$F$ -代数.则类号的商$h(D)/h(F)$是整数。
2018-09-12 math.NT
Modular elliptic curves and hyperbolic uniformization
University of Sheffield（谢菲尔德大学）
研究将椭圆曲线双曲均匀化概念从有理数域扩展到奇数次完全实域，利用志村曲线，证明算术型双曲均匀化的存在意味着几何模性。
2026-08-28 math.NT
Almost all quadratic twists of an elliptic curve have no integral points
本文证明了在短 Weierstrass 形式下，椭圆曲线的几乎所有二次扭曲都没有整点，在部分 2-挠群情况下条件依赖于 Hall-Lang 猜想的弱形式，核心方法是通过 Mordell 对应与二元四次型约化理论转化问题，并利用特征和估计的抵消性质完成证明。
2024-01-09 math.NT
Modularity of nearly ordinary 2-adic residually dihedral Galois representations
我们证明了模的一些二维，2-adic伽罗瓦表示在全实领域，几乎是普通的，这是剩余二面角。我们这样做是通过采用斯金纳和怀尔斯的战略，使用Hida家庭，连同2-adic修补方法的哈雷和Wintenberger。作为一个应用，我们推导了一些在2以上的位置具有良好的普通或乘性约化的全实数域上的椭圆曲线的模性。
2013-09-11 math.NT
Anticyclotomic p-adic l-functions and the exceptional zero phenomenon
设A是全实域F上的模椭圆曲线，E/F是全虚二次扩张。在异常零现象的情况下，利用Hasse-Weil L-函数和相应的自守形式上的p-adic周期，证明了（A，E）上的多元反分圆p-adic L-函数的导数公式.我们的方法是基于一个新的构造的反分圆p-adic L-函数通过相应的自守表示。
2018-06-28 math.NT
The 2-parity conjecture for elliptic curves with isomorphic 2-torsion
Birch和Swinnerton-Dyer猜想著名地预言椭圆曲线的秩可以从它的$L$ -函数计算出来。在本文中，我们考虑该猜想的一个较弱版本，称为宇称猜想，并证明以下内容。设$E_1$和$E_2$是定义在数域$K$上的两条椭圆曲线，其2-挠群同构于Galois模.假设$E_1$和$E_2$的Shafarevich-Tate群是有限的，我们证明了Birch和Swinnerton-Dyer猜想正确地预言了$E_1\times E_2$的秩的奇偶性.利用这个结果，我们完成了全实域上椭圆曲线的$p$ -宇称猜想的证明。
2022-08-05 math.NT
On the number of quadratic twists with a rational point of almost minimal height
我们研究了给定椭圆曲线的二次扭曲族中具有几乎最小高度的有理点的曲线的数量。这个问题的起源在工作的胡利，谁问这个问题的设置实二次域。特别是，他显示了一个渐近估计的数量等领域几乎最小的基本单位。我们的主要结果建立了固定椭圆曲线的二次扭曲的模拟渐近公式。
2020-11-05 math.NT
Growth of the analytic rank of modular elliptic curves over quintic extensions
给定$F$是全实域，$E_{/F}$是模椭圆曲线，我们用$G_5(E_{/F};X)$表示$F$的五次扩展$K$的数量，使得相对判别式的范数最多为$X$，并且$E$的分析秩超过$K$，即，$r_\mathrm{an}(E/K)>r_\mathrm{an}(E/F)$。本文证明了当椭圆曲线$E_{/F}$具有奇导体且至少有一个乘法约化素数时，$G_5(E_{/F};X)\asymp_{+\infty} X$是可约化的. Bhargava，Shankar和Wang \cite{BSW}证明了对于某些正的常数$c_{5,F}$，相对判别式的范数至多为$X$的$F$的五次扩张的数目渐近于$c_{5,F} X$，我们的结果揭示了分析秩的增长是五次扩张的一个非常常见的情况.
2019-02-11 math.NT
Almost prime values of the order of elliptic curves over finite fields
设$E$是$\Q$上的椭圆曲线，不需要复乘，且与具有非平凡有理挠率的曲线不同构.对于每个良好约化的素数$p$，令$|E(\F_p)|$为$\F_p$上约化曲线的点群的阶。本文证明了在GRH下，至少存在$2.778 C_E^{\rm twin} x / (\log{x})^2$素数$p$，使得$|E(\F_p)|$至多有8个素因子（重数）.这改进了Steuding & Weng和Murty & Miri以前的结果。这也是第一个结果，其中的依赖性出现在孪生素数猜想椭圆曲线（也被称为Koblitz猜想）的几何常数$C_E^{\rm twin}$是明确的。这是通过筛选与先前作者使用的序列略有不同的序列来实现的。通过对同一序列进行筛选，并利用Selberg线性筛选，我们还可以改进素数$p$个数上界中出现的常数，使得$|E(\F_p)|$是素数.最后，我们注意到，我们的结果仍然成立的假设弱于GRH。
2008-12-15 math.NT
Irreducibility of mod p Galois representations of elliptic curves with multiplicative reduction over number fields
本文证明了对于每一个整数$d \geq 1$，存在一个显式常数$B_d$，使得下列成立.令$K$是次数为$d$的数域，令$q > \max\{d-1,5\}$是在$K$中完全惰性的任意有理素数，而$E$是定义在$K$上的任意椭圆曲线，使得$E$在$q$之上的素数$\mathfrak q$处具有潜在的乘性约化。则对每一个有理素数$p> B_d$，$E$都有一个不可约模$p$伽罗瓦表示。这个结果在“模块化方法”中有丢番图应用。我们提出了一个这样的应用程序的形式的渐近版本的费马最后定理，还没有被覆盖在现有的文献。
2021-04-14 math.NT
Higher rank elliptic sieve via CM endomorphisms
University of Warwick（华威大学）；Warwick Mathematics Institute（华威数学研究所）
本文针对带复乘的椭圆曲线，将椭圆筛法应用于椭圆网，证明几乎所有非挠点倍点的y坐标不属于阿贝尔扩张的范数群，拓展了椭圆筛法的应用场景。
2026-10-14 math.NT
Heegner points and the rank of elliptic curves over large extensions of global fields
设k是全局域，$\bar{k}$是k的可分闭包，$G_k$是k上$\bar{k}$的绝对伽罗瓦群$\Gal(\bar{k}/k)$.对于$G_k$中的每个g，令$\bar{k}^g$是g下$\bar{k}$的固定子字段。设E/k是k上的一条椭圆曲线。我们证明了对于$G_k$中的每个g，Mordell-Weil群$E(\bar{k}^g)$在以下两种情况下具有无穷秩.首先当k是奇特征的整体函数域且E由Drinfeld模曲线参数化时，其次当k是全实数域且E/k由Shimura曲线参数化时.在这两种情况下，我们的方法使用的非平凡的一系列Heegner点E上定义的环类字段。
2006-04-06 math.NT
Metric decomposability theorems on sets of integers
一个集合$\mathcal{A}\subset \mathbb{N}$被称为可加分解的（分别是）。渐近加法可分解），如果存在基数集合$\mathcal{B},\mathcal{C}\subset \mathbb{N}$，每个集合至少为2，使得$\mathcal{A}=\mathcal{B}+\mathcal{C}$（分别$\mathcal{A}Δ(\mathcal{B}+\mathcal{C})$是有限的）。如果这些属性都不成立，则将集合$\mathcal{A}$称为完全基元。我们类似于$\mathbb{Z}$的子集$\mathcal{A,B,C}$定义$\mathbb{Z}$ -可分解性。Wirsing表明几乎所有的$\mathbb{N}$子集都是完全原始的。在本文中，在Wirsing的精神，我们研究可分解性从概率的观点。首先，我们证明了几乎所有的对称子集的$\mathbb{Z}$是$\mathbb{Z}$ -可分解。然后，我们表明，几乎所有的小扰动的集合的素数产生一个完全原始集。此外，当素数集合被两个平方和的集合所取代时，最后一个结果仍然成立，这是根据定义可分解的。
2022-04-25 math.NT math.PR
On points of small height in infinite extensions
本文提出渐近正无限扩张概念，证明此类扩张上对数Weil高度和椭圆曲线典范高度的下界，推广Bombieri-Zannier及Baker的Bogomolov性质结果。
2025-09-07 math.NT
Bogomolov Property of some infinite nonabelian extensions of a totally $v$-adic field
本文研究数域上椭圆曲线在由挠点生成的无限非阿贝尔扩张中的高度下界，证明了绝对对数 Weil 高度与 Néron-Tate 高度的 Bogomolov 性质，并在有理基域的环面情形给出显式下界。
2023-04-21 math.NT
Constructing elliptic curves in almost polynomial time
本文给出了一个算法，该算法在输入一个正整数N及其素因子分解时，构造一个有限域F和F上的一条椭圆曲线E，其中E（F）的阶为N.虽然没有证明对所有N都可以这样做，但启发式分析表明，该算法的预期运行时间是2^omega（N）log N的多项式，其中omega（N）是N的不同素因子的数量。在密码学相关的情况下，N是素数，可以实现预期的运行时间O（（log N）^{4+ n}）。通过构造阶数为N= 10 ^{2004}且N=nextprime（10^{2004}）=10^{2004}+4863的点群的椭圆曲线来说明算法的有效性。
2005-11-30 math.AG math.NT
Moduli of abelian covers of elliptic curves
对任意有限阿贝尔群G，研究了椭圆曲线的交换$G$ -覆盖的模空间，特别是确定了模空间的不可约分支.证明了在完全分歧的情形下，模空间具有平凡有理Picard群，并且它对于模空间M_{1,n}是双有理的，其中n是分支点的个数.在双椭圆曲线模的特殊情况下，我们还证明了边界因子是模空间的容许覆盖紧化的有理Picard群的基.我们的方法完全是代数几何的。
2015-05-29 math.AG math.AT math.NT
Almost all sets of nonnegative integers and their small perturbations are not sumsets
修复$α\in (0,1/3)$。我们表明，从拓扑的角度来看，几乎所有的集合$A\subseteq \mathbb{N}$的属性，如果$A^\prime=A$的所有，但$o(n^α)$元素，那么$A^\prime$不是一个非平凡的和集$B+C$。特别是，几乎所有的$A$都是完全不可约的。此外，我们还证明了测度模拟与$α=1$的相似性.
2022-12-28 math.GN math.NT math.PR
Supersingular locus of Hilbert modular varieties, arithmetic level raising and Selmer groups
本文有三个目标。首先，我们将Deuring和Serre关于模曲线超奇异轨迹的刻画的结果推广到全实数域上的全不定四元数代数的所有Shimura簇.其次，我们推广Ribet的算术水平提升的结果，在惰性的情况下，这样的Shimura品种。第三，作为数论的应用，我们利用前面的结果研究了在Bloch-Kato猜想的背景下，椭圆曲线的某些三重积动机的Selmer群。
2018-03-11 math.AG math.NT
