On Relaxed Filtered Krylov Subspace Method for Non-Symmetric Eigenvalue Problems
本文通过引入一类松弛滤子Krylov子空间，提出了计算非对称矩阵具有最大实部的特征值及相应特征向量的松弛滤子Krylov子空间方法。作为副产品，还介绍了求解非对称本征值问题的滤波Krylov子空间方法和Chebyshev-Davidson方法的推广。本文给出了复切比雪夫多项式的收敛性分析，它在多项式加速技术中起着重要的作用。此外，数值实验表明，松弛滤波Krylov子空间方法的鲁棒性和它的巨大优势，比一些国家的最先进的迭代法。
2020-11-15 cs.NA math.NA
Fixed-point analysis of Ogita-Aishima's symmetric eigendecomposition refinement algorithm for multiple eigenvalues
最近，Ogita和Aishima提出了一个有效的特征分解细化算法的对称特征值问题。他们的基本算法包括除以两个近似特征值的差，并且当存在多个特征值时可能变得不稳定。为了解决这个问题，他们提出用不同的方程代替那些导致不稳定的方程，并给出了所得算法的收敛性证明。然而，这是不直观地理解为什么修改后的算法的作品，因为它删除了一些充要条件获得的特征分解。我们利用Banach不动点定理给出了这个问题的答案。
2019-11-13 cs.NA math.NA
The infinite Lanczos method for symmetric nonlinear eigenvalue problems
提出了求解大规模对称非线性本征值问题的一种新的迭代法。首先导出了非线性本征值问题的无穷维对称线性化，然后将不定Lanczos方法应用于该线性化，得到了一个短期递推公式.我们展示了如何，在特定的假设下的起始向量，这种方法可以进行有限的算术和如何利用的问题结构导致的计算时间方面的改进。特征对近似提取与非线性瑞利-里兹程序结合的投影空间的特定选择。我们说明了这种提取技术如何解决可能发生的不稳定性问题，由于在许多标准的Lanczos型方法的正交性损失。
2019-10-10 cs.NA math.NA
Higher-order derivatives of the QR and of the real symmetric eigenvalue decomposition in forward and reverse mode algorithmic differentiation
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）
本文结合单变量泰勒多项式算术和矩阵微积分，在算法微分的正向/反向模式下，推导了包含QR分解和实对称特征值分解的程序的高阶导数计算方法。
2010-09-30 cs.NA math.NA
Convergence analysis of the Newton-Schur method for the symmetric elliptic eigenvalue problem
本文考虑Hilbert空间中的Newton-Schur方法，得到了平方收敛.对于用标准有限元法和非重叠区域分解法离散的对称椭圆型本征值问题，我们利用Steklov-Poincaré算子将区域$Ω$上的本征值问题化为$Γ$上的非线性本征值子问题，即子域边界的并集.我们证明了Newton-Schur方法的收敛速度是$ε_{N}\leq CH^{2}(1+\ln(H/h))^{2}ε^{2}$，其中常数$C$与细网格尺寸$h$和粗网格尺寸$H$无关，$ε_{N}$和$ε$分别是一步迭代后和一步迭代前的误差.数值实验证实了我们的理论分析。
2022-05-04 cs.NA math.NA
The eigenvalue decomposition of normal matrices by the skew-symmetric part
ICTEAM Institute, UCLouvain（UCLouvain ICTEAM研究所）；Department of Mathematics, Florida State University（佛罗里达州立大学数学系）
本文提出通过分解斜反对称部分计算实正常矩阵特征值分解的新方法，利用已知高效算法如双对角SVD和对称特征值分解，针对具有少数实特征值的正常矩阵（如随机正交矩阵）具有优势，并分析了方法的稳定性与复杂度。
2026-03-30 cs.NA math.NA
An unconstrained optimization approach for finding real eigenvalues of even order symmetric tensors
University of Michigan-Flint（密歇根大学弗林特分校）
提出两种无约束优化问题，通过变分刻画偶阶弱对称张量的最小和最大B_r-特征值，扩展了Auchmuty的无约束变分原理，并用于寻找Z-、H-或D-特征值及判定正半定性。
2016-01-13 cs.NA math.NA
Randomized Implicitly Restarted Arnoldi method for the non-symmetric eigenvalue problem
本文提出随机隐式重启Arnoldi方法，通过sketch-正交基和重启策略高效求解非对称特征值问题，并验证其数值效率。
2024-07-03 cs.NA math.NA
High Performance Solution of Skew-symmetric Eigenvalue Problems with Applications in Solving the Bethe-Salpeter Eigenvalue Problem
提出了一种求解稠密反对称矩阵本征值问题的高性能算法。我们的工作的动机是在计算量子物理学中的应用，其中一个解决方案的方法来解决所谓的Bethe-Salpeter方程涉及到一个大的，密集的，斜对称的本征值问题的解决方案。计算出的本征对可以用来计算分子和晶体系统的光吸收光谱。一种用于对称矩阵的最先进的高性能求解器包是ELPA（Petascale应用的特征值求解器）库。我们扩展了ELPA中的方法，反对称矩阵。通过这种方式，所提出的解决方案方法可以受益于ELPA中可用的优化，使其成为一个完善的，高效的和可扩展的库，例如GPU支持。我们比较我们的方法的性能和可扩展性，唯一可用的高性能的方法，斜对称矩阵，间接路线涉及复杂的算术。总的来说，我们实现的性能比使用英特尔ScaLAPACK实现的参考方法高出3.67。求解Bethe-Salpeter-本征值问题的运行时间可以提高10倍。我们的方法在ELPA库的当前版本中免费提供。
2020-04-20 cs.DS cs.MS cs.NA
Decompositions and coalescing eigenvalues of symmetric definite pencils depending on parameters
本文研究双参数对称正定矩阵束的广义特征值问题，提出特征值与特征向量光滑性理论，并数值分析全矩阵与带状矩阵中特征值合并的统计性质，以服务工程应用。
2021-03-18 cs.NA math.NA
Riemannian Acceleration with Preconditioning for symmetric eigenvalue problems
本文提出黎曼流形预条件框架和主角度量，构建用于对称特征值问题的 RAP 方法，并证明其相较预条件最速下降法具有更快且指数尖锐的收敛率。
2024-10-24 cs.NA math.NA
Optimizing Rayleigh quotient with symmetric constraints and their applications to perturbations of the structured polynomial eigenvalue problem
对于埃尔米特矩阵$H \in \mathbb C^{n,n}$和对称矩阵$S_0, S_1,\ldots,S_k \in \mathbb C^{n,n}$，我们考虑了计算$\left\{ \frac{v^*Hv}{v^*v}:~v\in \mathbb C^{n}\setminus \{0\},\,v^TS_iv=0~\text{for}~i=0,\ldots,k\right\}$上确界的问题.为此，我们得到了一个估计的形式，最小化的第二大特征值的参数依赖埃尔米特矩阵，这是准确的，当在最佳的特征值是简单的。然后将结果应用于计算具有T-回文、T-反回文、T-偶、T-奇和反对称结构的高次矩阵多项式的特征值向后误差。数值实验结果说明了这一点。
2021-06-14 cs.NA math.NA math.OC
Computing the k-th Eigenvalue of Symmetric $H^2$-Matrices
本文提出一种结合线性时间广义LDL分解与二分法的算法，用于高效计算对称$H^2$-矩阵的第$k$个特征值，在电子结构计算中优于现有稠密求解器。
2023-11-15 cs.NA math.NA
Backward Stability of Explicit External Deflation for the Symmetric Eigenvalue Problem
Hotelling的紧缩，一个明确的外部紧缩过程，通过低秩更新计算的对称矩阵的许多特征对，一个彻底的向后稳定性分析。导出了计算特征向量的正交性损失和计算特征对的对称向后误差范数的可计算上界。给出了显式外部紧缩过程向后稳定的充分条件。基于这些理论结果，提出了通过动态选择位移实现数值向后稳定的策略。数值结果证实了理论分析，并证明了稳定的计算过程中产生的应用程序的大型对称矩阵的许多特征对。
2021-05-04 cs.NA math.NA
On complex eigenvalues of a real nonsymmetric matrix
该研究聚焦实非对称矩阵的对称矩阵乘积分解问题，证明了原矩阵复特征值的数量会对这类分解构成约束，丰富了矩阵分解理论。
2025-03-24 cs.NA math.NA
Numerical Approximation of Optimal Convex and Rotationally Symmetric Shapes for an Eigenvalue Problem arising in Optimal Insulation
本文研究了偏微分方程约束下凸区域的优化问题。由于$\mathbb{R}^3$难以逼近凸区域，因此使用对旋转对称域的限制将形状最优化问题简化为二维设置。对于最优绝缘问题中的特征值的优化，证明了最优域的存在性。提出了一种适用于一般形状最优化问题的凸性和旋转对称几何约束下的算法。讨论了最优绝缘中本征值问题的近似最优域。
2021-11-08 cs.NA math.NA math.OC
A mixed precision preconditioned Jacobi method for the symmetric eigenvalue problem
针对对称特征值问题，提出混合精度预条件雅可比方法，结合低精度特征分解与高精度正交化生成初始猜测，完成误差分析并拓展至奇异值问题，实验验证其效率优于原始雅可比方法。
2025-02-24 cs.NA math.NA
A communication-avoiding parallel algorithm for the symmetric eigenvalue problem
许多大规模的科学计算需要特征值求解器在缩放制度的效率是有限的数据移动。我们介绍了一个并行算法计算的密集对称矩阵的特征值，它执行渐近通信比以前已知的方法。我们提供了批量同步并行（BSP）模型的分析与本地内存和缓存之间的通信的额外考虑。给定足够的内存来存储对称矩阵的$c$副本，我们的算法需要$Θ(\sqrt{c})$少处理器间通信比以前已知的算法，任何$c\leq p^{1/3}$时，使用$p$处理器。该算法首先将稠密对称矩阵约简为具有相同特征值的带状矩阵。随后，该算法采用连续减少到$O(\log p)$更薄的带状矩阵。我们采用了两种新的并行算法，实现了较低的通信成本的全带和带到带的减少。这两种算法都利用了一种新的矩形矩阵QR分解算法。
2016-04-13 cs.DC cs.NA math.NA
Reduced basis method for non-symmetric eigenvalue problems: application to the multigroup neutron diffusion equations
本文提出参数化非对称特征值问题的约化基方法，推导特征值及左右特征向量后验误差界，并通过算子谱范数估计 prefactor，在多群中子扩散二维算例上验证有效。
2023-07-12 cs.NA math.NA
Calculating the minimal/maximal eigenvalue of symmetric parametrized matrices using projection
KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文研究了如何通过投影方法高效计算对称参数化矩阵的最小特征值，并提出了利用多个特征向量及其导数构建子空间以提高精度的方法。
2019-04-22 cs.NA math.NA
Multiple-rank Modification of Symmetric Eigenvalue Problem
University at Buffalo（布法罗大学）
本文提出了一种秩k修改算法以提高计算效率，通过秩2修改算法验证，并基于修改后的Sturm定理提出一般秩k更新算法，与直接特征值分解和扰动方法进行比较。
2017-06-02 cs.NA math.NA
Inexact Methods for Symmetric Stochastic Eigenvalue Problems
Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）；University of Maryland, Baltimore County（马里兰大学巴尔的摩分校）
本文研究了两种近似方法用于求解随机本征值问题，基于谱随机有限元方法，通过多项式混沌展开表示本征值和本征向量，并利用随机伽辽金方法的克罗内克积结构，提出了一种改进的随机逆子空间迭代方法和基于牛顿迭代的近似方法，通过数值实验验证了方法的准确性和有效性。
2018-11-02 cs.NA math.NA
Computing asymptotic eigenvectors and eigenvalues of perturbed symmetric matrices
本文针对具有重复特征值的对称矩阵扰动问题，提出利用逐次 Schur 补和广义核形式计算极限特征值与特征向量，并将结果应用于平坦极限下核矩阵问题，证明了一个联系核矩阵特征向量与多元正交多项式的猜想。
2025-07-07 cs.NA math.NA
The inverse eigenvalue problem for symmetric anti-bidiagonal matrices
研究形如对称反双对角矩阵的逆特征值问题，证明了其解的唯一性，并表明该问题等价于某类Jacobi矩阵的逆特征值问题。
2005-05-10 cs.NA math.CA math.NA
An a posteriori verification method for generalized real-symmetric eigenvalue problems in large-scale electronic state calculations
提出了一种广义实对称本征值问题的后验验证方法，并将其应用于大规模电子态计算中的密集簇本征值问题。所提出的方法是实现了一个两阶段的过程中，近似的解决方案是由现有的数值库计算，然后在一个温和的计算时间进行验证。该过程返回在每个区间中包含一个精确特征值的区间。对有机器件材料进行了测试计算，验证方法证实所有精确的本征值在所获得的区间内分离良好。这种验证方法将被集成到EigenKernel（https：//github.com/eigenkernel/）中，EigenKernel是用于广义特征值问题的各种并行求解器的中间件。这种后验验证方法在未来的计算科学中具有重要意义。
2020-02-26 cond-mat.mtrl-sci cs.NA math.NA
The discontinuous Galerkin method for the Oseen eigenvalue problem
Guizhou Medical University（贵州医科大学）；Guizhou Normal University（贵州师范大学）
研究对称和非对称间断Galerkin方法求解Oseen特征值问题，推导先验和后验误差估计，证明对称方法的最优收敛阶，并发现非对称方法在固定小惩罚参数下产生更少伪特征值。
2026-06-29 cs.NA math.NA
Solving generalized eigenvalue problems by ordinary differential equations on a quantum computer
在实际中出现的许多特征值问题通常具有广义形式$A\x=λB\x$。一个特别重要的情况是对称的，即$A, B$是埃尔米特的，而$B$是正定的。求解这类特征值问题的标准算法是将它们归结为厄米特特征值问题。在量子计算机中，量子相位估计是解决厄米特本征值问题的一种有效方法。在这项工作中，我们提出了一个新的量子算法的对称广义本征值问题使用常微分方程。该算法比基于量子相位估计的标准算法具有更低的复杂度。此外，它适用于比对称更广泛的情况：$B$是可逆的，$B^{-1}A$是对角化的，所有的特征值都是实数。
2021-10-19 cs.NA math.NA quant-ph
Spectral Transformation for the Dense Symmetric Semidefinite Generalized Eigenvalue Problem
本文针对稠密对称半定广义特征值问题，提出谱变换方法，通过约束移位条件，保证计算的特征值接近真实值，并给出误差界和相对残差分析，实现可靠求解。
2024-11-05 cs.NA math.NA
A finite element method preserving the eigenvalue range of symmetric tensor fields
本文提出一种保持张量场特征值范围的有限元方法，通过投影和隐式欧拉方法实现稳定性与精度，验证了在对流主导情况下维持特征值约束的有效性。
2026-01-08 cs.NA math.NA
An Accelerated DC Programming Approach with Exact Line Search for The Symmetric Eigenvalue Complementarity Problem
在本文中，我们有兴趣开发一个加速的差分凸（DC）规划算法的基础上的精确线搜索，有效地解决对称特征值互补性问题（SEiCP）和对称二次特征值互补性问题（SQEiCP）。我们首先证明了任何SEiCP都等价于仅具有对称正定矩阵的SEiCP。在此基础上，建立了SEiCP的两种等价形式（对数形式和二次形式）的DC规划公式，并将经典的DC规划与寻找二项式的实根的廉价精确线搜索相结合，提出了加速DC算法（BDCA）。我们证明了SQEiCP和SEiCP之间的等价性，并将BDCA扩展到SQEiCP。数值模拟的建议BDCA和DCA对KNITRO，FILTERED和MATLAB FMINCON的SEiCP和SQEiCP的合成数据集和矩阵市场NEP存储库的报告。BDCA表现出显着的加速收敛DCA得到更好的数值解，并优于KNITRO，FILTERED，和FMINCON求解器的平均CPU时间和平均解决方案的精度，特别是对于大规模的情况下。
2023-01-22 cs.NA math.NA math.OC
A Two-Level Additive Schwarz Method for Computing Interior Multiple and Clustered Eigenvalues of Symmetric Elliptic Operators
Tongji University（同济大学）；Key Laboratory of Intelligent Computing and Applications (Tongji University), Ministry of Education（教育部智能计算与应用重点实验室（同济大学））
本文提出一种两级加性Schwarz方法，用于高效计算对称椭圆算子的大规模本征值问题中的内部多重和聚类本征值，通过并行求解子问题和小维本征值问题，理论分析证明收敛因子受子域直径和重叠大小影响，且随子域增多收敛性提升。
2026-04-15 cs.NA math.NA
Efficient solution of symmetric eigenvalue problems from families of coupled systems
研究了一类具有共同$2\times 2$块结构的相关本征值问题的最低本征模的有效解。假设上对角块在不同版本之间变化，而下对角块和耦合块的范围保持不变。当研究子系统对整个系统的本征模的影响时，自然会出现这种块结构。所提出的方法是基于插值的预解函数后，它的一些奇异性已被删除的光谱投影。奇异值分解可用于进一步降低计算问题的维数。误差分析的方法表明，指数收敛的插值点的数量。理论结果说明了两个数值例子有关的有限元离散拉普拉斯算子。
2020-06-18 cs.NA math.NA
Largest and Least H-Eigenvalues of Symmetric Tensors and Hypergraphs
本文研究对称张量与一致超图的最大和最小 H-特征值界限问题，给出了主子张量及顶点或边移除后超图特征值的交错不等式与尖锐下界，并刻画了相关极值超图条件。
2023-06-25 cs.NA math.NA
On the spectral structure of Jordan-Kronecker products of symmetric and skew-symmetric matrices
受Tunçel等人2003年提出的建议的启发，我们研究了逐$n$矩阵$A, B$对的$A\otimes B + B\otimes A$的特征值的交织特性。我们证明了对每对对称矩阵（和反对称矩阵），其中一个最多秩2，\emph{odd spectrum}（由反对称特征向量确定的特征值）的$A\otimes B + B\otimes A$交错的\emph{even spectrum}（由对称特征向量确定的特征值）。利用这一结果，我们还表明，当$n \leq 3$时，$A\otimes B + B\otimes A$的奇谱交错其偶谱的每一对$A, B$。交织结果还指定了对应于极端特征值的特征向量的结构。此外，我们确定的猜想（S）和一些交错性质举行的一些结构化矩阵。我们解决了Tunçel等人的问题，并证明了当$n\geq 4$和$A$与$B$的秩至少为$3$时，对于某些对称矩阵对$A, B$，它们是失效的.
2020-08-08 cs.NA math.NA math.OC
A Shift Selection Strategy for Parallel Shift-Invert Spectrum Slicing in Symmetric Self-Consistent Eigenvalue Computation
大规模本征值问题在科学计算中的核心重要性要求开发大规模并行算法来求解。稠密数值线性代数的最新进展使得在世界上最大的超级计算机上能够常规处理具有数十万量级尺寸的本征值问题。在稠密处理不可行的情况下，Krylov子空间方法提供了一个有吸引力的替代方案，因为它们不需要存储问题矩阵。然而，这些类的特征值算法的计算架构能够表达大规模的并行性的可扩展性的演示是不平凡的，由于通信要求和串行瓶颈，分别。在这项工作中，我们介绍了SISLICE方法：一个并行移位-反演算法的对称自洽场（SCF）本征值问题的解决方案。SISLICE方法通过基于状态密度估计和k-均值聚类的各种移位选择和迁移技术，分别大大降低了当前并行移位-反转特征值算法的通信要求。这项工作证明了一组有代表性的SCF本征值问题的SISLICE方法的鲁棒性和并行性能，并概述了研究方向，将在未来的工作中探索。
2020-05-07 cs.DC cs.NA math.NA
A thick-restart Lanczos type method for Hermitian $J$-symmetric eigenvalue problems
针对Hermitian $J$ -对称矩阵提出了一种厚重启动Lanczos型算法.由于Hermitian $J$ -对称矩阵具有双重退化谱或双重重特征值，且退化特征向量之间具有简单的关系，我们可以通过将Krylov子空间的搜索空间限制在由每对退化特征向量对中的一个构成的搜索空间来改善Lanczos算法的收敛性.我们表明，Lanczos迭代是兼容的$J$ -对称性，使子空间可以分为两个子空间是相互正交的。该算法在两个子空间中的一个子空间中搜索特征向量，而不需要重数。与它们配对的其他特征向量可以通过$J$ -对称性的简单关系容易地重构。我们测试我们的算法随机生成的小密集矩阵和稀疏的大矩阵源自量子场论。
2020-09-11 cs.NA hep-lat math.NA
Comparison theorems for the extreme eigenvalues of a random symmetric matrix
Caltech（加州理工学院）
本文建立了一种随机对称矩阵和的极大规模特征值比较定理，强化了此前结果，并应用于谱图理论、量子信息理论等领域，首次完整证明了稀疏随机降维映射的单射性质。
2026-09-10 cs.NA math.NA math.PR
