对称定值参数相关矩阵束的分解与特征值合并
Decompositions and coalescing eigenvalues of symmetric definite pencils depending on parameters
AI总结：
本文研究双参数对称正定矩阵束的广义特征值问题，提出特征值与特征向量光滑性理论，并数值分析全矩阵与带状矩阵中特征值合并的统计性质，以服务工程应用。
摘要：
本文考虑依赖于两个参数的对称正定矩阵束。即，我们关注广义特征值问题 $A(x)-\lambda B(x)$，其中 $A$ 和 $B$ 是 ${\mathbb R}^{n\times n}$ 中对称矩阵值函数，光滑地依赖于参数 $x\in \Omega\subset {\mathbb R}^2$；此外，$B$ 也是正定的。通常，该多参数问题的特征值不光滑，不光滑性源于在某些参数值处特征值相等（锥形交叉）。我们首先给出当前广义特征值问题特征值和特征向量光滑性的一般理论结果，进而给出相应投影的光滑性，然后对 $A$ 和 $B$ 为全矩阵或带状矩阵（多种带宽）的矩阵束中合并特征值的统计性质进行数值研究。我们的数值研究将基于一个随机矩阵系综进行，该系综尊重了推动我们研究的底层工程问题。
英文摘要：
In this work, we consider symmetric positive definite pencils depending on two parameters. That is, we are concerned with the generalized eigenvalue problem $A(x)-λB(x)$, where $A$ and $B$ are symmetric matrix valued functions in ${\mathbb R}^{n\times n}$, smoothly depending on parameters $x\in Ω\subset {\mathbb R}^2$; further, $B$ is also positive definite. In general, the eigenvalues of this multiparameter problem will not be smooth, the lack of smoothness resulting from eigenvalues being equal at some parameter values (conical intersections). We first give general theoretical results on the smoothness of eigenvalues and eigenvectors for the present generalized eigenvalue problem, and hence for the corresponding projections, and then perform a numerical study of the statistical properties of coalescing eigenvalues for pencils where $A$ and $B$ are either full or banded, for several bandwidths. Our numerical study will be performed with respect to a random matrix ensemble which respects the underlying engineering problems motivating our study.
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