Weighted estimates for commutators of multilinear Hausdorff operators on variable exponent Morrey-Herz type spaces
本文证明了多线性Hausdorff算子的算子在一类变指数加权Morrey-Herz型空间的乘积上的有界性，这些空间的符号同时属于Lipschitz空间和中心BMO空间.通过这些结果，我们推广和加强了已有的一些结果.
2017-10-03 math.CA
The strong geometric lemma for intrinsic Lipschitz graphs in Heisenberg groups
证明了当$n \geq 2$满足时，Heisenberg群$\mathbb{H}_n$的固有Lipschitz图的$β$ --数是局部Carleson可积的.我们的技术依赖于最近Dorronsoro不等式\cite{FO}以及一个新的切片参数。在我们的证明中的一个关键成分是一个欧几里得不等式边界的$β$-使用$β$的$\mathbb{R}^n$的立方体上的函数的数量-数量的限制的功能余维-1片的立方体。
2020-04-23 math.CA math.MG
A compact universal differentiability set with Hausdorff dimension one
我们给出了一个简短的证明，即任何非零欧几里得空间都有一个豪斯多夫维数为1的紧致子集，该子集包含定义在该空间上的每个实值Lipschitz函数的可微点。
2010-04-13 math.CA math.FA
A note on the Hausdorff dimension of uniformly non flat sets with plenty of big projections
使用Orponen最近的结果（发明。math.'21），我们证明了具有大量大投影（PBP）的集合承认分析师的旅行推销员定理。然后，我们表明，集PBP是一致的非平坦（或摆动）有大的豪斯多夫维数。我们还得到了一个推论解析/Lipschitz调和容量。
2021-12-02 math.CA
Mapping Borel sets onto balls and self-similar sets by Lipschitz and nearly Lipschitz maps
如果$X$是满足一个非常温和的加倍条件的解析度量空间，则对于$X$上的任何有限Borel测度$μ$，存在一个集合$N\subseteq X$使得$μ(N)>0$，一个超度量空间$Z$和一个其逆近似为Lipschitz的Lipschitz双射$ϕ:N\to Z$，即，$β$ -所有$β<1$的持有者。作为一个应用，证明了欧氏空间中的Borel集通过一个近似Lipschitz映射映射到$[0,1]^n$上当且仅当它不能被可数个Hausdorff维数严格小于$n$的集合覆盖.论证扩展到满足mild条件的解析度量空间。进一步的推广用自相似集代替立方体，用近Hölder映射代替近Lipschitz映射，用任意有限维代替整数维。
2018-02-22 math.CA
On $k$-antichains in the unit $n$-cube
单位$n$ -cube中的\emph{chain}是一个集合$C\subset [0,1]^n$，使得对于$C$中的每个$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$和$\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_n)$，我们或者具有用于所有$i\in [n]$的$x_i\le y_i$，或者具有用于所有$i\in [n]$的$x_i\ge y_i$。我们考虑满足\[ \text{card}(A \cap C) \le k, \, \text{ for all chains } \, C \subset [0,1]^n \, , \]的单位$n$ -立方体$[0,1]^n$的子集$A$，其中$k$是固定的正整数。我们把这样一个$A$集合称为$k$ -反链.我们发现，$(n-1)$ -维Hausdorff措施的$k$ -反链在$[0,1]^n$是最$kn$和边界是渐近尖锐的。此外，我们还猜想在$[0,1]^n$中存在$k$ -反链，其$(n-1)$维Hausdorff测度等于$kn$，并且当$n=2$时，我们验证了这一猜想的正确性.
2019-08-13 math.CA math.CO
Potpourri, 9
这些笔记，与一个主题课程，是关于豪斯多夫措施和李普希兹函数的度量空间。
2004-10-30 math.CA
From Lipschitz embedding to Lipschitz equivalence between dust-like self-similar sets
本文研究具有相同Hausdorff维数的尘状自相似集，证明在特定条件下Lipschitz嵌入蕴含Lipschitz等价，并给出反例，回答了Balka和Keleti的两个问题。
2025-09-08 math.CA math.MG
A beginner's guide to analysis on metric spaces
这些非正式的笔记简要地讨论了一些基本议题，涉及李普希兹函数，连通性，特别是豪斯多夫内容。
2004-08-02 math.CA
Variation for singular integrals on Lipschitz graphs: L^p and endpoint estimates
设0<n<d是整数，H表示R^d中的n维Lipschitz图的n维Hausdorff测度，且斜率严格小于1.当r>2时，我们证明了具有奇核的Calderón-Zygmund奇异积分的r-变差和振动是L^p（H）中的有界算子，其中1<p是有限的，从L^1（H）到弱L^1（H），从有界H-可测函数空间到BMO（H）.关于第一端点估计，我们实际上证明了这样的算子从R^d中的有限复Radon测度空间到弱L^1（H）是有界的。
2011-10-04 math.CA
The dimension of planar elliptic measures arising from Lipschitz matrices in Reifenberg flat domains
Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；ICREA（加泰罗尼亚高级研究院）
该研究针对小常数平面Reifenberg平坦区域上实值一致椭圆Lipschitz系数散度型算子的椭圆测度，证明其Hausdorff维数不超过1，且存在满椭圆测度的σ-有限一维Hausdorff测度边界子集，推广了Wolff关于调和测度的结果。
2025-04-30 math.AP math.CA
Notes on metrics, measures, and dimensions
这些说明处理度量空间，豪斯多夫措施和尺寸，Lipschitz映射，以及相关的主题。假定读者对基本分析有一定的熟悉程度，这也是回顾。
2003-03-08 math.CA
Tangents to Lipschitz and Sobolev images
University of Connecticut（康涅狄格大学）；University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）；The University of Tennessee（田纳西大学）
本文研究了Lipschitz和Sobolev映射像的切线性质，证明了在特定条件下图像具有唯一的切集或切线，并展示了如何通过包装内容有限性来升级近切线。
2026-01-30 math.CA math.MG
Lipschitz images and dimensions
本文研究紧度量空间何时可由 Cantor 集或一般紧集经 Lipschitz、α-Hölder 映射得到，并利用 Hausdorff 维数与上盒维数给出存在性、等价性及刻画。
2024-04-08 math.CA math.MG
Cheeger's differentiation theorem via the multilinear Kakeya inequality
设$(X,d,μ)$是一个有限豪斯多夫维数的度量测度空间，对每个Lipschitz $f \colon X \to \mathbb R$，$\operatorname{Lip}(f,\cdot)$被$f$的每个上梯度支配.证明了$X$是一个Lipschitz可微空间，且$X$的可微结构的维数至多为$\dim_{\mathrm{H}} X$ .由于只要$X$是加倍的且满足Poincaré不等式，我们的假设就得到满足，因此我们得到了Cheeger推广Rademacher定理的一个新证明.我们的方法使用Guth的多线性Kakeya不等式的Lipschitz图的邻域显示，任何非平凡的措施与$n$独立的Alberti表示具有豪斯多夫维数至少$n$。
2023-03-17 math.CA math.MG
Full measure universality for Cantor Sets
The University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
本文研究了康托集的全测度普遍性，证明在特定维度假设下，康托集不是全测度普遍的，并给出了相关结论。
2025-12-19 math.CA
Bi-Lipschitz Pieces between Manifolds
一类著名的问题问如下：如果$X$和$Y$是度量测度空间和$f:X\rightarrow Y$是一个Lipschitz映射的形象有积极的措施，那么必须$f$有大片上，它是双Lipschitz？建立在方法的大卫（谁不是本作者）和塞姆斯，我们回答这个问题的肯定Lipschitz映射之间的某些类型的Ahlfors $s$ -定期，拓扑$d$ -流形。一般来说，这些流形不需要在任何欧几里得空间中是双李普希茨可嵌入的。为了证明这一结果，我们利用了流形的格罗莫夫-豪斯多夫收敛和Bonk和Kleiner的一个拓扑定理.这也给出了一些度量流形的一致求长性的一个新证明。
2013-12-13 math.CA math.MG
Bi-Lipschitz Decomposition of Lipschitz functions into a Metric space
我们证明了以下陈述的定量版本。给定一个从k维单位立方体到一般度量空间的Lipschitz函数f，可以将f分解为有限个BiLipschitz函数f|_{F_i}，使得f（[0，1]^k \setminus \cup F_i）的k-Hausdorff容度小.因此，我们将P. Jones（1988）的一个定理从R^d的设定推广到一般度量空间的设定。这肯定地回答了G. David和S. Semmes，或者等价地，问题9来自J. Heinonen和S.塞姆斯。我们的陈述扩展到{ \it coarse} Lipschitz函数的情况。
2008-06-12 math.CA math.MG
Lipschitz mappings, metric differentiability, and factorization through metric trees
给出了从立方体到度量空间的Lipschitz映射$f$，得到了$f$通过度量树有Lipschitz分解的几个等价条件.作为应用，我们证明了David和Schul最近提出的一个猜想.为证明因式分解的结果而开发的技术产生了其他几个新的和看似无关的结果。证明了若$f$是从$\mathbb{R}^n$中的开集到度量空间$X$的Lipschitz映射，则$X$的拓扑维数等于$n$当且仅当$X$有正的$n$ -维Hausdorff测度.我们还证明了度量空间之间保长映射的面积公式，特别是给出了Heisenberg群中可数可求长集上积分的一个新公式。
2022-03-18 math.CA math.MG
A Fubini-type theorem for Hausdorff dimension
众所周知，经典的关于豪斯多夫维数的富比尼定理不能成立;也就是说，一个固定集合与一个平行平面族的交集的维数不决定该集合的维数。在这里，我们证明了一个Fubini定理的豪斯多夫维数不持有模集是所有Lipschitz图小。我们说$G\subset \mathbb{R}^k\times \mathbb{R}^n$是$Γ_k$ -null，如果对于每个Lipschitz函数$f:\mathbb{R}^k\to \mathbb{R}^n$，集合$\{t\in\mathbb{R}^k\,:\,(t,f(t))\in G\}$的测度为零。证明了对于每一个具有$\dim (\text{proj}_{\mathbb{R}^k} E)=k$的Borel集$E\subset \mathbb{R}^k\times \mathbb{R}^n$，存在一个$Γ_k$ -空子集$G\subset E$，使得$$\dim (E\setminus G) = k+\text{ess-}\sup(\dim E_t)$$，其中$\text{ess-}\sup(\dim E_t)$是$E$的垂直截面$\{E_t\}_{t\in \mathbb{R}^k}$的豪斯多夫维数的本质上确界.此外，我们还证明，只要$E$不是$Γ_k$ -空，就存在$Γ_k$ -空子集$G\subset E$，使得对于$F=E \setminus G$，…
2022-09-15 math.CA math.MG
Inequalities in Fourier analysis on binary cubes
本文刻画了二元立方体上离散函数的 Hausdorff-Young 不等式与等指数 Young 卷积不等式尖锐成立的 Lebesgue 指数精确范围，并由此导出广义加性能量上界、熵不确定性原理的二元变体及 Fourier 限制的无维数估计。
2025-07-02 cs.IT math.CA math.CO
The Riesz transform, rectifiability, and removability for Lipschitz harmonic functions
我们证明了，给定一个具有有限$n$ -Hausdorff测度$H^n$的集合$E\subset \mathbb R^{n+1}$，如果$n$ -维里斯变换$$R_{H^n|E} f(x) = \int_{E} \frac{x-y}{|x-y|^{n+1}} f(y) dH^n(y)$$在$L^2(H^n|E)$中有界，则$E$是$n$ -可求积的.从这个结果我们推出了一个紧集$E\subset\mathbb R^{n+1}$与$H^n(E)<\infty$是Lipschitz调和函数可去的当且仅当它是纯粹的$n$ -不可求长的，从而证明了Vitushkin猜想在高维的类比.
2013-12-05 math.AP math.CA
Size of the zero set of solutions of elliptic PDEs near the boundary of Lipschitz domains with small Lipschitz constant
该研究针对小Lipschitz常数Lipschitz区域上的椭圆型偏微分方程解，分析其边界附近零集的维数与测度性质，证明了边界唯一延拓原理及零化阶的有界性结论。
2023-06-09 math.AP math.CA
Hausdorff dimension of unions of affine subspaces and of Furstenberg-type sets
证明了对任意$1 \le k<n$和$s\le 1$，${\mathbb R}^n$的任意非空$k$维仿射子空间的$s$-Hausdorff维族的并有豪斯多夫维数$k+s$ .更一般地，我们表明，对于任何$0 < α\le k$，如果$B \subset {\mathbb R}^n$和$E$是一个非空的集合${\mathbb R}^n$的$k$维仿射子空间，使每个$P \in E$相交$B$在一组豪斯多夫维数至少$α$，然后$\dim B \ge 2 α- k + \min(\dim E, 1)$，其中$\dim$表示豪斯多夫维数。因此，我们推广了著名的Furstenberg型估计：每个$α$ -Furstenberg集至少有豪斯多夫维数$2 α$，加强了Falconer和Mattila的一个定理;并且我们证明了对于任何$0 \le k<n$，如果集合$A \subset {\mathbb R}^n$包含围绕${\mathbb R}^n$的每个点旋转的单位立方体的$k$骨架，或者如果$A$在距${\mathbb R}^n$的每个点的固定正距离处包含$k$维仿射子空间，则$A$的豪斯多夫维数至少为$k + 1$。
2018-03-06 math.CA math.MG
Hausdorff dimension of caloric measure
本文研究一般时空区域上 caloric 测度的抛物 Hausdorff 维数，证明其下界为 n、上界为 n+2−β_n，并建立 Bourgain 二择一与强 Markov 性质版本。
2023-07-12 math.AP math.CA
An implicit function theorem for Lipschitz mappings into metric spaces
本文证明了Lipschitz映射$f:\mathbb{R}^{n+m}\supset A \to X$到任意度量空间的隐函数定理。只要Hausdorff内容$\mathcal{H}_{\infty}^n$被$f$拉回在正Lebesgue测度集上具有正的上$n$ -密度，则存在$\mathbb{R}^{n+m}$中的局部同构$G$和Lipschitz映射$π:X\to \mathbb{R}^n$，使得当被限制到正测度的$A$的某个子集时，$π\circ f\circ G^{-1}$是$\mathbb{R}^{n+m}$在第一个$n$ -坐标上的正交投影.这可以看作是一个类似的结果阿扎姆和舒尔定性版本。我们证明的主要工具是Hajlasz和Malekzadeh的论文中引入的变量的度量变化。
2019-03-24 math.CA math.GT
Inhomogeneous and simultaneous Diophantine approximation in beta dynamical systems
本文研究β动力系统中的非齐次同时丢番图逼近。对于$β>1$，让$T_β$是$[0,1]$上的$β$ -转换。我们确定了集合\[\left\{(x,y)\in [0,1]^2: |T_β^nx-f(x,y)|<φ(n)\text{ for infinitely many }n\in\mathbb{N}\right\},\]的Lebesgue测度和Hausdorff维数，其中$f:[0,1]^2\to [0,1]$是Lipschitz函数，$φ$是$\mathbb{N}$上的正函数.设$β_2\geq β_1>1$，$f_1,f_2:[0,1]\to [0,1]$是两个Lipschitz函数，$τ_1,τ_2$是$[0,1]$上两个正连续函数.我们还确定了集合\[\left\{(x,y)\in [0,1]^2: \begin{aligned}&|T_{β_1}^nx-f_1(x)|<β_1^{-nτ_1(x)}\\ &|T_{β_2}^ny-f_2(y)|<β_2^{-nτ_2(y)}\end{aligned}\text{ for infinitely many }n\in\mathbb{N}\right\}.\]的Hausdorff维数在某些附加的假设下，还确定了集合\[\left\{(x,y)\in [0,1]^2: \begin{aligned}&|T_{β_1}^nx-g_1(…
2022-11-11 math.CA math.DS
Distinct dimensions for attractors of bi-Lipschitz iterated function systems
本文构造了双Lipschitz迭代函数系统，其吸引子具有五种不同维数，并证明了正熵遍历测度前推非精确维数及吸引子内部空但正Lebesgue测度的例子。
2025-09-26 math.CA math.DS math.MG
Topological diagonalizations and Hausdorff dimension
乘积XxY的豪斯多夫维数可以严格大于Y的维数，即使X的豪斯多夫维数为零。但当X可计数时，Y和XxY的豪斯多夫维数相同。覆盖的对角化定义了比"可数“弱而比"具有豪斯多夫维数为零”强的性质的自然层次。弗雷姆林问它是否足以为X有最强的财产在这个层次结构（即，是一个伽玛集），以确保豪斯多夫维数的Y和XXY是相同的。我们给出否定的答案：假设CH，存在实数X的伽玛集和实数Y的豪斯多夫维数为零的集合，使得X+Y（XxY的Lipschitz像）的豪斯多夫维数最大，即1。然而，我们表明，对于一个_strong_ gamma-set的概念，答案是肯定的。一些相关问题仍然悬而未决。
2007-05-17 math.CA math.CO math.DS
Purely unrectifiable metric spaces and perturbations of Lipschitz functions
通过研究所有有界1-Lipschitz函数$f\colon X \to \mathbb R^m$的集合的元素关于上确界范数的任意小扰动，证明了完备度量空间$X$的具有有限Hausdorff $n$ -测度的纯$n$ -不可求长子集$S$.在一个这样的表征，它表明，如果$S$具有积极的低密度几乎无处不在，然后设置所有的$f$与$\mathcal H^n(f(S))=0$是剩余的。相反，如果$E\subset X$是$n$ -可与$\mathcal H^n(E)>0$求正的，则所有具有$\mathcal H^n(f(E))>0$的$f$的集合是剩余的。这些结果为任意度量空间中的Besicovitch-Federer投影定理提供了一个替代，该定理在欧氏空间之外是错误的。
2020-03-09 math.CA math.MG
Hausdorff dimension of images and graphs of some random complex series
San Francisco State University（旧金山州立大学）；Southwest Jiaotong University（西南交通大学）
本文研究了某些随机复级数图像和图的豪斯多夫维数，通过分析随机变量序列和函数条件，得出了几乎处处的维数结果，并扩展了Weierstrass和Riemann函数的理论框架。
2026-09-04 math.CA math.PR
Hausdorff and Fourier dimension of graph of continuous additive processes
加性过程是一个具有独立增量的随机过程，并且在概率上是连续的。本文研究了均值为零的连续可加过程图的几乎处处Hausdorff维数和Fourier维数。这样的过程可以表示为$X_t = B_{V(t)}$，其中$B$是布朗运动，而$V$是连续的增函数。我们表明，这些尺寸依赖于当地的统一Hölder指数。特别地，如果$V$是局部一致双Lipschitz的，则图的豪斯多夫维数将是3/2。我们还表明，傅立叶维数几乎肯定是积极的，如果$V$承认至少有一个点具有正的下Hölder正则性。还可以通过$V$的$L^q$谱来估计图的豪斯多夫维数。证明了如果$V$是由${\mathbb R}^{1}$上的一个自相似测度在凸开集条件下生成的，则图的豪斯多夫维数可以由它的$L^q$谱精确计算. Cantor Devil Staircase函数的一个示例，图的豪斯多夫维数是$1+\frac12\cdot\frac{\log 2}{\log 3}$。此外，我们将证明布朗阶梯的图形令人惊讶地具有傅立叶维数为零几乎肯定。
2022-06-30 math.CA math.PR
Intermediate dimensions of Bedford-McMullen carpets with applications to Lipschitz equivalence
本文利用大偏差速率函数给出了 Bedford-McMullen 地毯中间维数的精确公式，揭示其可数多个相变及严格凹性，并证明中间维数相等等价于均匀 Bernoulli 测度的 Hausdorff 多重分形谱相等，从而为 Lipschitz 等价性提供必要条件。
2024-05-13 math.CA math.DS math.MG
Tangents of invariant sets
本文研究弱不变集的精细尺度性质，证明一般双李普希茨迭代函数系统吸引子的Assouad维数等于某点切空间的Hausdorff维数，并在自共形条件下将该结果推广到满维子集。
2024-10-23 math.CA math.DS math.MG
