Logic and Categories As Tools For Building Theories
Samson Abramsky
我们给一个简短的介绍范畴论针对哲学家。我们强调方法问题和哲学影响。
We give a short introduction to category theory aimed at philosophers. We emphasize methodological issues and philosophical ramifications.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Virtual double categories of relations relative to fibrations
本论文提出一种符合范畴逻辑原则的虚拟双范畴方法，在语义侧将其作为谓词逻辑模型以包含现有框架，在语法侧开发名为FVDblTT的类型理论作为其内部语言。
A simplified definition of logically distributive categories
在[Ben 13]中，引入了逻辑分配范畴的概念，为基于直觉主义逻辑的多类一阶逻辑理论提供了一个可靠而完备的语义。在本文中，我们将证明逻辑分配范畴的定义可以通过去掉两个要求来简化，一个要求是乘积必须分布在和上，另一个要求是乘积必须分布在存在量化上。
Representation theory of logics: a categorial approach
逻辑范畴研究的主要内容是描述元逻辑性质在逻辑组合方法下的保持条件。我们对该领域的补充方法是按照\cite{AFLM3}中研究的类别$\Ss, \Ls, \cA_s$的思路研究逻辑类别的“全局”方面。所有这些类别都具有良好的性质，但是逻辑$\cL$的类别不允许对逻辑（\cite{Bez}）的“恒等式问题”进行良好的处理：例如，“经典逻辑”的表示（例如，在签名$\{\neg, \vee\}$和$\{\neg',\rightarrow'\}$中）不是$\Ls$同构的。在这项工作中，我们勾勒出一个可能的方法来克服这个“缺陷”（和anothers）的数学设备：一个表示论的逻辑从范畴论方面（Blok-Pigozzi）代数逻辑。在这种情况下，我们提出的研究（左和右）“森田等价”的逻辑和变体。引入逻辑（左/右）-（稳定）-Morita-等价的概念，证明经典逻辑的表示是稳定的Morita-等价的，而经典逻辑和直觉主义逻辑不是稳定的Morita-等价的：它们只是稳定的Morita-伴随相关的.
Regular and relational categories: Revisiting 'Cartesian bicategories I'
正则逻辑是由$=$、$\top$、$\wedge$和$\exists$生成的一阶逻辑的片段。这种逻辑的一个关键特征是，它是表达二元关系的组合所需的最小片段;另一个特征是，它是正则范畴的内部逻辑。这两个事实之间的联系是，在任何正则范畴中，人们都可以用联合一元跨度来构造二元关系的概念;这导致了所谓的正则范畴的关系的二元范畴。在本文中，我们提供了一个直接的公理化的双范畴的关系，我们称之为关系PO范畴，重新解释早期的工作，卡尔博尼和沃尔特斯沿着这些路线。我们的主要贡献是一个明确的证明，2范畴的正则范畴是等价的关系PO范畴。贯穿全文，我们强调关系po范畴的图形本质。
A logic for categories
我们提出了一个范畴论的理论方法，通过抽象X在Cat中的左作用和右作用在X上的范畴中的索引包含（通过离散纤维化和opfibrations）而获得。也就是说，一个“弱时态原则”本质上由两个具有相同余域的索引函子组成，使得诱导函子具有满足某些正合性条件的左伴随和右伴随，这是范畴逻辑的精神。导出的逻辑规则包括一些类似于公理化的定律，涉及真值丰富的hom和张量函子，它们显示出良好的对称性并浓缩了几个基本的范畴性质。对称性变得更加明显，在稍强的背景下，“时间的学说”，我们最初治疗，其中包括作为一个例子，包括下集和上集的部分偏序集，以及包括左和右行动的一个图在它的图形。
Model Structures on Categories of Models of Type Theories
依赖类型理论的模型是具有一些附加结构的上下文范畴。我们证明了如果一个理论$T$有足够的结构，那么它的模型的范畴$T\text{-}\mathbf{Mod}$携带一个模型范畴的结构。我们还表明，如果$T$有$Σ$型，那么弱等价可以用模型的同伦范畴来刻画。
An outline of obstruction theories of extensions via track categories
阿贝尔轨范畴可以通过小范畴的第三Baues-Wirsching上同调来分类。本文用这种方法比较和分类了Cegarra，Garzón和Grandjean，Cegarra，Garzón和Ortega，Chen，Du和Wang对非阿贝尔群扩张的阻塞理论的不同推广。
Towards a good notion of categories of logics
我们认为（有限的，命题）逻辑通过原来的使用范畴论：研究“社会学的数学对象”，使我们与最近的，不断增长的，研究逻辑的趋势，通过其与其他逻辑的关系（例如，过程的组合逻辑带来[加布]和可能的翻译语义[车]）。逻辑的类也是研究的对象，即对象是逻辑系统的范畴（即，具有塔斯基推论关系的签名），并且态射与这些系统之间的翻译（的一些概念）有关。目前的工作提供了考虑同时满足某些自然要求的逻辑系统类别的项目的第一步：在文献中（[AFLM 1]，[AFLM 2]，[AFLM 3]，[BC]，[BCC 1]，[BCC 2]，[CG]，[FC]），这似乎只是部分实现。
Isoregular theories, accessible 2-categories, and free constructions
引入等则理论以表达唯一同构下的存在量化，建立函子语义并证明模型2-范畴具有可访问性和灵活极限，应用于范畴论、代数与逻辑中的多个2-范畴。
Introducción a la teoría de categorías, lógica y topos elementales para una mente curiosa
本文研究范畴论如何导致非经典逻辑系统的产生。特别是，图的基本拓扑的情况下，有三个其他的真假值不同的假和真。本文对范畴论的研究方法避免了为了理解范畴论而进行的专门的数学训练，因为它试图使这一数学分支的主要思想能够被其他学科的知识所理解。第二作者在哥斯达黎加大学哲学学院举办的第一次逻辑、认识论和方法论讨论会上以"逻辑和范畴"为题介绍了这项工作。
Cubical n-Categories and Finite Limits Theories
这篇笔记非正式地描述了一种通过迭代取某些有限极限理论的模型的过程来建立某些立方n-范畴的方法。我们将这个讨论建立在“双双范畴”的构造上，作为Bicat内部的双范畴，并看看如何将其扩展到n元组双范畴（以及类似的三范畴等）。我们简要地考虑如何从这些定义中再现弱三次n-范畴的“更简单”的定义。
$FI$-modules over preadditive categories and torsion theories
我们的工作与$FI$ -模块在一个小的preadditive类别$\mathcal R$，被视为一个环与几个对象。我们的目的是研究$FI$ -模的挠理论。我们特别感兴趣的挠理论上的移位生成的$FI$ -模和我们所说的“移位生成的”$FI$ -模的范畴。我们还应用这些方法研究了$\mathcal R$上$FI$ -模的归纳刻画.
Unification of Modal Logic via Topological Categories
本文通过拓扑范畴框架统一描述模态逻辑的不同语义，建立模态逻辑语法扩展（如模态依赖、群体智能体结构和逻辑动态）与拓扑范畴语义结构间的精确对应，深化了对模态逻辑抽象结构的理解。
A Logic of Injectivity
对象关于态射集$\ch$的内射性是代数、模型论和同伦论中的一个重要概念。这里我们研究了$\ch$的内射性后果的逻辑，通过它我们理解态射$h$，使得关于$\ch$的内射性蕴涵关于$h$的内射性。我们制定了三个简单的推理规则的注入性逻辑和其有限的版本，其中\mor之间的排名对象被认为是唯一的，并证明他们是健全的在所有类别，并完成在所有“合理”的类别。
Algebraizable Logics and a functorial encoding of its morphisms
本文给出了逻辑与其结构范畴之间范畴关系的一些结果。一个（命题的，有限的）逻辑是一个由它的公式代数上的签名和塔斯基推论关系给出的对。逻辑是我们的逻辑范畴中的对象;态射是某些签名态射，它们是逻辑之间的翻译（\cite{AFLM1}、\cite{AFLM2}、\cite{AFLM3} \cite{FC}）。可代数化逻辑之间的态射（\cite{BP}）是保持代数化对（\cite{MaMe}）的平移：它们可以完全由定义在与可代数化逻辑规范关联的准簇上的某些函子编码。这类结果将有助于发展一般逻辑表示论（\cite{MaPi1}，\cite{MaPi2}，\cite{AJMP}）的范畴方法.
Coherence in Linear Predicate Logic
相关的Kelly-Mac巷图证明的类别对应的乘法片段没有常数命题的经典线性一阶谓词逻辑没有或混合。为了获得这一结果，一致性首先建立的类别对应的乘法合取-析取片段与一阶量词的经典线性逻辑，一个片段缺乏否定。这些结果推广了作者在前两本书中发表的结果，其中对命题经典线性逻辑的相应片段的范畴建立了一致性，这些片段与证明网有关，并且可以被描述为没有单位对象的星自治范畴。
On the lack of colimits in various categories arising in pointfree topology and algebraic logic
研究证明McKinsey-Tarski代数范畴不等价于代数品种，反驳了Peter Jipsen的问题。各类BAO、Heyting代数及框架的范畴不完整，因此不等价于预品种。
Quantum Logic in Dagger Kernel Categories
本文从范畴逻辑的角度研究量子逻辑，从最小假设出发，即对合/匕首和核的存在性。由此产生的结构（1）包含许多感兴趣的例子，如关系的类别，部分注入，希尔伯特空间（也模相位）和布尔代数，（2）具有有趣的分类/逻辑属性，在核纤维化方面，如拉回，因子分解和正交模的存在。例如，Sasaki hook和and-then连接词作为伴随词，通过纤维之间的存在拉回连接而获得。
Towards Theory and Applications of Generalized Categories to Areas of Type Theory and Categorical Logic
出于潜在的应用理论计算机科学，特别是那些领域的Curry-Howard对应起着重要的作用，以及正在进行的搜索在纯粹数学的可行方法，高阶范畴理论，我们进行了详细的研究一个新的数学抽象，广义范畴。它是一个部分定义的幺半群，配备有定义任意元素上的源和目标的自同态映射，可能允许关于组合的邻近行为。本文首先对广义范畴理论作了一个正式的介绍。我们描述函子，等价，自然变换，伴随，并在广义设置的限制。接下来，我们指出单子理论如何扩展到广义范畴。接下来，我们提出了一个变种的演算的演绎系统开发的Lambek，并给出了一个推广的Curry-Howard-Lambek定理之间的范畴类型的类间演算和范畴的Carnival闭范畴和指数保持态射，利用广义范畴的理论。接下来，我们开发的基本拓扑理论的理想拓扑的广义设置，利用Curry-Howard-Lambek定理开发的形式主义。特别是，我们证明了理想的拓扑具有相同的海廷代数结构和平方的伴随，普通的拓扑做。最后，我们发展了广义层，并证明了这样的范畴形成理想的拓扑。本文将Lawvere和Tierney关于$j$ -层和Grothendieck层的定理推广到广义情形。
Categories with families and first-order logic with dependent sorts
具有依赖排序的一阶逻辑，例如Makkai的具有依赖排序的一阶逻辑（FOLDS），或Aczel和Belo的依赖类型（直觉）的一阶逻辑（DFOL），可以被视为逻辑丰富的依赖类型理论。有族范畴（英语：Categories with families，cwfs）是一种已被建立的语义结构，用于依赖类型理论，如马丁-洛夫类型理论。在这篇文章中，我们介绍了一个概念的hyperdoctrine超过cwf，并显示如何在这个语义框架中的FOLDS和DFOL适合。证明了DFOL的可靠性和完备性定理。语义是函的意义上的Lawvere，并使用依赖版本的Lindenbaum-Tarski代数的DFOL理论。协议与标准的一阶语义建立。给出了DFOL在构造数学和范畴基础中的应用。一个关键特征是局部命题类型原则。
Covers, envelopes, and cotorsion theories in locally presentable abelian categories and contramodule categories
证明了局部可表示的阿贝尔范畴上的余挠理论的完备性和覆盖与包络的存在性的一般结果，推广了模范畴和Grothendieck范畴的完备性理论.这些结果被应用到拓扑环上的逆模范畴，提供了例子和反例。
Clones, closed categories, and combinatory logic
本文用多元结构阐释简单类型λ演算的语义，引入外延SK-克隆并证明其可靠完备，进而证明不含产品的简单类型λ演算是SK-范畴的内部语言。
Logical systems I: Lambda calculi through discreteness
本文展示了多态lambda演算的内模是如何在任何具有离散性概念的2-范畴中产生的。我们推广到一个2-范畴设置著名的定理彼得Freyd说，有没有充分（共）完整的非退化范畴。作为一个简单的推论，我们得到了Freyd定理的一个变种，范畴内部的任何张量范畴。此外，借助相关范畴的概念，我们证明了一个表示定理，我们的内模与研究良好的纤维模型多态性。
Realizability Categories
这是作者的博士学位。论文它包含了四年来对可实现性和范畴逻辑的研究结果。主要的主题是可实现命题的公理化，以及作为伪初始对象的可实现性范畴的表征。可实现性是构造性逻辑研究中的一系列技术。某些形式的可实现性归纳出可实现性范畴，这些范畴是海廷范畴，因此具有一阶直觉主义逻辑作为内部语言。论文的公理化章节解释了如何以及在何种程度上我们可以公理化这一内部语言中的有效命题集。可实现性范畴章节解释了如何从可实现性范畴到其他范畴中找到正则函子。
An Internal Logic of Virtual Double Categories
本文提出纤维化虚拟双范畴类型论（FVDblTT），作为形式范畴论的内在语言，通过语法-语义对偶性（双伴随）验证其与虚拟双范畴的等价性，从而支持范畴论中的同构推理。
Relativized universal algebra via partial Horn logic
本文基于部分Horn理论，将传统代数理论等价关系推广至任意局部可呈现范畴，提出相对代数理论概念，并推广Birkhoff定理构建相对普遍代数框架。
Logical Structure on Inverse Functor Categories
本文研究了依存积和子对象分类子等逻辑结构何时从范畴诱导至图范畴，给出了多种条件，并探讨了配备弱等价类的索引范畴在局部化映射下于预层范畴间诱导保结构函子的条件。
Pretorsion theories in prenormal categories
本文将经典指向 torsion 理论结果扩展到非指向 torsion 理论，基于固定平凡对象的核和余核。在预正规范畴框架内，恢复 torsion 子范畴和 torsion-free 子范畴的特征，以及 torsion 理论与闭包算子的对应关系。
Coherence for Categorified Operadic Theories
给定一个代数理论，它可以描述一个（可能是对称的）操作$P$，我们提出了一个定义的\emph{weakening}（或\emph{categorification}）的理论，其中严格为$P$ -代数的方程只持有到相干同构。推广了幺半范畴和对称幺半范畴的理论以及文献中定义的几个相关概念。利用这个定义，我们推广了所有幺半范畴都与严格幺半范畴等价的结果，并证明了严格化函子具有一个有趣的泛性质，即从严格$P$ -范畴到弱$P$ -范畴的遗忘函子的左伴随.我们进一步表明，得到的分类是独立的，我们选择的介绍$P$，并扩展我们的一些结果，许多排序的理论，使用multicategories。
Dagger linear logic for categorical quantum mechanics
本文针对范畴量子力学中无限维过程推理的局限，提出以*-自伴和线性分配范畴推广匕首紧致闭范畴，并发展乘法匕首线性逻辑的范畴语义，最终定义混合酉范畴以扩展关键特征。
Foundations of Algebraic Theories and Higher Dimensional Categories
泛代数通过将各种代数结构表示为方程理论或抽象克隆来统一地捕捉它们。代数结构在数学和相关领域中的普遍存在已经产生了泛代数的几个变体，例如对称运算、非对称运算、广义运算和单子。这些泛代数的变体称为代数理论的概念。在本论文的第一部分，我们开发了一个统一的框架，包括所有上述例子的概念代数理论。我们的关键观察是，代数理论的每个概念都可以被识别为一个幺半范畴，以这样一种方式，理论对应于其中的幺半群对象。我们引入了一个范畴结构称为元模型，这是理论模型定义的基础。我们还考虑代数理论的概念之间的态射，这是一个monoidal版本的profunctors。每一个强么半群函子都会产生一对这样的态射，并且提供了一种统一的方法来建立代数理论中不同概念的模型范畴之间的同构。一个一般的结构-语义伴随性结果和一个双范畴的泛性质泛属性的范畴的模型。在本文的第二部分，我们从一般的代数结构研究转移到一个特殊的代数结构：高维范畴。在几个现有的定义更高的维度范畴，我们选择看一个由Batanin提出，后来由Leinster完善。我们表明，广泛的范畴的概念在Batanin和Leinster的定义中起着核心作用。利用这一点，我们概括了他们的定义，允许丰富的任何本地可呈现的广泛的范畴。
Relative categories: Another model for the homotopy theory of homotopy theories
我们提升查尔斯Rezk的完整Segal空间模型结构的范畴上的单纯空间的Quillen等价的范畴上的相对范畴。
Generalised Proof-Nets for Compact Categories with Biproducts
正如传统的函数程序可以被理解为直觉主义逻辑中的证明一样，量子过程也可以被视为合适逻辑中的证明。我们描述这样一个逻辑，紧凑的闭范畴和biproducts的逻辑，提出了作为一个微积分和作为一个系统的证明网。这种逻辑捕捉了在经典控制下表示量子过程所需的大部分必要结构，同时对细节保持不可知论。我们演示了如何表示量子过程的证明网，并表明量子过程的动态行为被捕获的逻辑的削减消除过程。我们表明，削减消除程序是强烈规范化：也就是说，每一个法律的简化证明网络的方式导致相同的，唯一的，正常的形式。最后，采取一些初始的操作作为非逻辑公理，我们表明，由此产生的类别的证明网是一个表示的自由紧凑的闭范畴与这些操作所产生的双产品。
Towards "dynamic domains": totally continuous cocomplete Q-categories
在理论计算机科学和理论物理中，通常的做法是通过完全格来描述系统的（静态）逻辑。当形式化这样一个系统的动力学时，该系统的更新会很自然地组织成一个quantale，或者更一般地说，quantaloid。事实上，我们被引导去考虑共完全的量子富集范畴作为计算机科学和物理学共同的动态逻辑的基本数学结构。在这里，我们把全连续余完备范畴理论解释为著名的全连续超格理论的推广。也就是说，我们向“动态域”理论迈出了第一步。
The Kim-Pillay theorem for Abstract Elementary Categories
我们介绍了AECats（抽象基本范畴）的框架，概括了某些一阶理论的模型范畴和模型子集范畴。任何AEC和任何紧凑抽象理论（“猫”，由本-雅科夫介绍）形成一个AECat。特别是，我们发现应用程序在积极的逻辑和连续逻辑：一类（子集）模型的积极或连续的理论是一个AECat。一阶逻辑的Kim-Pillay定理通过划分独立性的性质来表征简单的理论。我们证明了一个版本的金-皮莱定理AECats的合并属性，推广一阶版本和现有的版本的积极逻辑。
Some remarks on multicategories and additive categories
范畴通过“离散上锥”结构共反射地嵌入到多范畴中，右伴随由么半群结构给出。此外，附加升降机的“carling-level”：preadditive范畴是coreflectively嵌入（作为理论的许多排序模块）carling-multicategories（一般代数理论）。特别是，人们可以在两种考虑钻机上的模块的方式之间建立直接联系，即作为交换幺半群中的加性函子或作为钻机本身生成的理论模型。
Pretorsion theories in lextensive categories
我们提出了一个在伸缩范畴中任意预挠理论的稳定范畴的构造。我们证明了稳定范畴的泛性质，推广了以前关于预拓扑中内部预序的稳定范畴的结果。在拓扑空间范畴和（小）范畴中提供了一些例子。
Homotopy torsion theories
本文在零同伦结构范畴中引入同伦挠理论，统一了预挠理论及多点、预点范畴中的挠理论，并利用伴随串给出正交因子分解系统与同伦挠理论对应关系的新证明，且推广至弱情形。
Rectangular torsion theories
本文引入并研究了矩形挠曲理论，并证明这些理论恰好是指向范畴的2-范畴中的内部矩形带。
Lawvere theories, finitary monads and Cauchy-completion
从Endf（Set）-丰富范畴论的角度考虑了Lawvere理论与Set上的有限单子的等价性，其中Endf（Set）是Set的有限内函子范畴.我们识别具有单对象Endf（Set）-范畴的有限单子，以及允许有限幂的普通范畴（即，n倍产品的每个对象本身）与Endf（集）范畴承认一定类φ的绝对colimits;然后，我们表明，从这个角度来看，通过从有限单子相关的Lawvere理论是由完成下φ colimits。我们还占其他现象从丰富的观点：等价的代数有限单子与相应的Lawvere理论的模型;函子语义在任意范畴的有限权力;和存在的左伴随代数函子。
Discrete equational theories
该研究引入离散等式理论，刻画了对应保持满射的单子，证明了离散理论代数范畴的Birkhoff型定理，将相关结果从度量空间推广到一般对称幺半闭范畴。
Monads on Categories of Relational Structures
我们在由有限关系签名和有限或无限Horn理论给出的关系结构类别中引入了泛代数的框架，其中Horn理论的元数$λ$被理解为其公理中前提数量的严格上界;关键示例包括偏序（$λ=ω$）或度量空间（$λ=ω_1$）。我们建立了一个双射之间的$λ$ -访问丰富的单子上的关系结构和$λ$ -ary代数理论的概念（即与操作的arity $<λ$），与语法的代数理论引起的关系签名（例如不等式或方程高达$ε$）。我们提供了一个通用的声音和完整的推导系统，这样的关系代数理论，因此特别是恢复（扩展）最近的系统，这种类型的单子偏序和度量空间的实例。特别地，我们提出了度量完备化的$ω_1$ -元代数理论。我们对应的理论到单子的方向对于$κ$ -ary代数理论和$κ$ -accessible单子对于$κ<λ$，例如对于度量空间上的有限理论仍然是正确的。
Homotopy theories of $(\infty, \infty)$-categories as universal fixed points with respect to enrichment
本文证明了具归纳与余归纳等价的$(\infty, \infty)$-范畴满足弱富化泛性质，分别构成局部可表示不动点子范畴的始对象与富化不动点范畴的终对象。
Particles of generalized statistics, quantum logic and categories
Wladyslaw Marcinek（1952-2003）在粒子相互作用、广义统计的分类方法、量子比特和量子逻辑、包围算子、配边和非对易Fock空间方面的辉煌和原始未完成的想法的集合。
Differential torsion theories on Eilenberg-Moore categories of monads
本文证明了在正合且保持余极限的monad的Eilenberg-Moore范畴上，所有遗传挠理论均为微分的，且U-模上的δ-导子可唯一扩张至其商模。
The Biequivalence of Locally Cartesian Closed Categories and Martin-Löf Type Theories
Seely的论文“Locally Carnival closed categories and type theory“包含了范畴类型论中一个著名的结果：局部Carnival closed categories等价于Martin-Löf类型论中的Pi-类型、Sigma-类型和外延恒等式。然而，Seely的证明依赖于一个有问题的假设，即类型中的替换可以通过回调来解释。在这里，我们证明了西利定理的一个修正版本：马丁-洛夫类型论的Bénabou-Hofmann解释在局部范畴闭范畴中产生2-范畴的双等价。为了促进技术的发展，我们采用了具有族的范畴来代替句法的马丁-洛夫类型论。作为第二个结果，我们证明了，如果我们删除PI型所产生的类别与家庭是双等价的左正合范畴。
Comonadic approach to pretorsion theories
本文提出了一种基于 comonadic 方法的预 torsion 理论研究，通过伪 coalgebras 扩展了预 torsion 理论的范畴，并揭示了其广义性质。
n-Relative Categories
我们介绍，对于每一个正整数n，一个n-相对范畴的概念，并表明，小n-相对范畴的范畴是一个模型的同伦理论的n倍同伦理论，即同伦理论的.同伦理论
Homotopy limits of model categories and more general homotopy theories
推广了模型范畴的同伦纤维积的定义，给出了模型范畴间左Quillen函子图的同伦极限的定义。正如前面已经表明的同伦纤维积，我们证明，这样的同伦极限实际上对应于通常的同伦极限，当我们在一个更一般的模型同伦理论，其中它们可以被视为一个模型范畴的对象。
Graded Differential Categories and Graded Differential Linear Logic
本文提出了分级微分线性逻辑（GDiLL）的矢列演算及其范畴语义（分级微分范畴），利用余关系和推导变换构建理论框架，证明对称幂可生成此类范畴，并探讨多种模态的分级版本及其实际应用。
Dagger linear logic and categorical quantum mechanics
本文发展了非紧乘法匕首线性逻辑的范畴证明论，并研究了它在范畴量子力学中的应用。现有的CQM框架是紧致匕首线性逻辑的范畴证明论，其动机是在有限维希尔伯特空间范畴内解释量子系统。本文描述了一个新的非紧框架，称为混合酉范畴，它可以容纳无限维系统，并建立了模型的框架。为此，它建立在线性分配范畴和$*$ -自治范畴，这是（非紧）乘法线性逻辑的范畴证明论。非紧匕首-线性逻辑的证明论是在一个匕首-线性逻辑的基础上，通过增加一个满足适当凝聚性的匕首函子，得到一个匕首-线性逻辑。从每一个（isomix）dagger-LDC中可以提取一个规范的“酉核”，它等价于传统的dagger-幺半范畴的CQM框架。这导致了混合酉范畴（MUC）的框架：每个MUC包含一个（紧）酉核，它被一个（非紧）isomix dagger-LDC扩展。基于连续性空间、Chu空间、Hopf模等的MUC的各种模型，在本论文中开发。本文还将CQM中的关键代数结构，如可观测量、可测量性、互补性等推广到MUC框架中。在此基础上，利用MUC框架，建立了量子力学的互补可观量与线性逻辑的指数模态之间的联系。
LNL polycategories and doctrines of linear logic
本文定义并研究了抽象经典线性逻辑判断结构的 LNL polycategories，并提出 LNL doctrine 概念以统一表示多种现有结构，证明其自由代数可由序列演算呈现且态射能诱导伴随关系。
Introduction to Categories and Categorical Logic
这些笔记的目的是为范畴论和范畴逻辑的一些基本思想提供一个简明易懂的介绍。这些笔记是根据过去几年在牛津大学的一个讲座课程编写的。它们包含了大量的练习，并希望将证明对那些寻求第一次介绍该主题的人的自学有用，前提条件相当少。覆盖面决不是全面的，但应该为进一步研究提供一个良好的基础;包括进一步阅读的指南。主要的先决条件是基本熟悉离散数学的元素：集合，关系和函数。附录包含了我们需要的内容的摘要，首先回顾一下可能会有所帮助。此外，一些先前接触抽象代数-向量空间和线性映射，或群和群同态-将是有帮助的。
Building pretorsion theories from torsion theories
本文展示了预挠理论在阿贝尔范畴中的自然出现，提出了两种从挠理论构造预挠理论的方法，并给出从预挠理论获取挠理论的通用方法，应用于模范畴、内部群胚、回忆和表示理论。
Thomason cohomology of categories
本文从单形范畴出发，引入了具有一般系数系的小范畴的上同调和同调论。这些理论同时推广了Baues-Wirsching上同调和同调以及其他更经典的理论。我们分析了这些理论的自然性和函性性质，并构造了小范畴之间函子的关联谱序列。
Extending homotopy theories across adjunctions
对称幺半范畴的谱的构造对于严格的结构保持映射通常是函子的，但是通常感兴趣的映射仅仅是松弛monoidal的。我们描述的条件下，人们可以运输弱等价从一个类别到另一个具有相同的对象和更广泛的一类地图。在温和的假设下，这个过程产生同伦理论的等价。我们描述的例子包括代数运算，如对称幺半范畴和$n$倍幺半范畴;和图类别，如$Γ$ -范畴。
Coherence of Proof-Net Categories
本文定义的证明网范畴的概念与线性逻辑中无常数命题的乘法片段的证明网中隐含的图密切相关。类似的图形出现在凯利和麦克莱恩的相干定理对称monoidal闭范畴。证明了证明网范畴的相干定理。这种一致性定理也证明了相应的线性逻辑的混合原则的箭头的存在。证明网范畴的概念抓住了星自治范畴概念的单位自由片段，星自治范畴是一类特殊的对称monoidal闭范畴。
Combinatorial skeletons of 2-cobordism and annular categories with applications to equational logic
本文提出编码所有2-cobordism类的组合数据，并证明其局部monoids无有限公理化等式理论，同时构造了该范畴的von-Neumann-正则扩展。
(Op)lax natural transformations, twisted quantum field theories, and "even higher" Morita categories
在高阶范畴的背景下定义扭曲的量子场论的挑战的动机，我们开发了一个一般的框架宽松和oplax变换和它们的更高的类似物之间的强$(\infty, n)$ -函子。我们构造了一个双$(\infty,n)$ -范畴，它是由控制所需语义的目标$(\infty, n)$ -范畴构建的。我们定义（op）lax变换为函子到它的部分，并且（op）lax扭曲场论是域论之间的对称monoidal（op）lax自然变换。证明了松弛平凡扭曲相对域论与绝对域论是相同的。作为第二个应用，我们利用$\mathcal{C}$中的高阶态射将对称Monoidal $(\infty, n)$范畴$\mathcal{C}$中的$E_d$ -代数的高阶Morita范畴推广到$(\infty, n+d)$ -范畴.
Two Models for the Homotopy Theory of Cocomplete Homotopy Theories
证明了上纤维化范畴的同伦理论与上完备拟范畴的同伦理论是等价的。这是通过将同伦理论作为纤维化范畴并在它们之间构建一个明确的等价性来实现的。
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