Constructions of Strongly Regular Cayley Graphs Using Index Four Gauss Sums
Gennian Ge, Qing Xiang, Tao Yuan
利用分圆类的并和指数为4的Gauss和构造了有限域$\F_q$上的强正则Cayley图.特别地，我们得到了两个具有新参数的强正则图无限族。
We give a construction of strongly regular Cayley graphs on finite fields $\F_q$ by using union of cyclotomic classes and index 4 Gauss sums. In particular, we obtain two infinite families of strongly regular graphs with new parameters.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Constructions of Strongly Regular Cayley Graphs using Even Index Gauss Sums
本文推广了\cite{GXY}中的结果，利用$\F_q$的分圆类与指标$w$的高斯和的并构造了强正则Cayley图，其中$w\geq 2$是偶数.特别地，我们得到了三个具有新参数的强正则图的无限族。
Unimodular covers of 3-dimensional parallelepipeds and Cayley sums
本文证明了三维空间中平行六面体、中心对称多胞体及特定Cayley和类具有幺模覆盖，改进了先前IDP结果。
Cayley sums and Minkowski sums of lattice polytopes
本文以 Minkowski 和刻画 Cayley 和的整数分解性质，并据此研究 2-凸正规格多面体两类和的该性质，同时讨论其 level 性质。
Strongly Regular Cayley Graphs, Skew Hadamard Difference Sets, and Rationality of Relative Gauss Sums
本文给出了强正则Cayley图和斜Hadamard差集的构造。这两种构造都是基于有限域上分圆类的选择，我们的结果将Schmidt和White [24]给出的11个分圆强正则图的散例中的10个和几个子域例子推广到无限族中.这些强正则图的无限族具有新的参数。我们采用的主要工具是相对高斯和，而不是明确的评价高斯和。
Flows that are sums of hamiltonian cycles in Cayley graphs on abelian groups
如果X是任意有限阿贝尔群上的连通Cayley图，我们精确地确定了X上的哪些流可以写成哈密顿圈的和。(This Brian Alspach的回答）。特别地，如果X的次数至少为5，并且X具有偶数个顶点，则可以这样写的流恰好是偶数流，即流f，使得f的边流之和可被2整除。另一方面，也有4次的例子，其中不是所有的偶流都可以写成哈密顿圈的和。类似的结果是已知的，从工作的阿尔斯帕奇，洛克和维特，为情况下，X是立方的，或有一个奇数的顶点。
Random Cayley graphs and random sumsets
该研究证明有限阿贝尔群存在特殊结构子集族，由此改进了稀疏随机凯莱图等的独立数、非和集最小规模的界，并得到稀疏随机子集和集算术级数最大长度的紧界。
Algebraic Cayley Graphs over Finite Fields
利用有限域构造了一个新的代数Cayley图。利用特征和的Weil估计研究了它的连通性和直径界。这些图提供了一个新的扩张图的来源，推广了Chung的经典结果。
Integer decomposition property for Cayley sums of order and stable set polytopes
具有整数分解性质的格多面体出现在数学的许多领域。已知如果格多面体的Cayley和具有IDP，则它们的Minkowski和也具有IDP。本文研究了有限偏序集的序多面体与有限单图的独立集多面体的Cayley和。证明了序多面体的Cayley和与完美图的独立集多面体具有正则幺模三角剖分和IDP，从而它们的Minkowski和也具有正则幺模三角剖分和IDP.此外，还证明了对于图的序多面体和独立集多面体，下列条件是等价的：（i）Cayley和是Gorenstein;（ii）Minkowski和是Gorenstein;（iii）图是完美的.
Construction of strongly regular Cayley graphs based on three-valued Gauss periods
本文给出了有限域的可加群上基于三值高斯周期的强正则Cayley图的构造。作为结果，我们得到了两个新的强正则凯莱图的无限族和一个零星的例子。这种构造可以看作是\cite{BLMX}中强正则Cayley图构造的推广.
Number of sets with small sumset and the clique number of random Cayley graphs
设$G$是$n$阶的有限阿贝尔群.对于$G$的任何子集$B$与$B=-B$，Cayley图$G_B$是顶点集$G$上的图，其中$ij$是边当且仅当$i-j\in B.$本·格林证明，当$G$是有限域$Z/pZ$上的向量空间时，则存在Cayley图，该图既不包含完全子图，也不包含大小大于$clog nloglog n,$的独立集，其中$c$是绝对常数。在这篇文章中，我们观察到，他的论点的修改表明，对于一个任意的有限交换群的顺序$n$，有一个凯莱图既不包含一个完整的子图，也不包含一个独立的集的大小超过$c(omega^3(n)log omega(n) +log nloglog n)$，其中$c$是一个绝对常数和$omega(n)$表示的数量不同的素因子的$n$。
Counting sets with small sumset, and the clique number of random Cayley graphs
给定Z/NZ中的一个集合A，通过连接i和j，我们可以在顶点集合Z/NZ上形成一个Cayley和图G_A当且仅当i + j在A中.我们研究了用一个随机集A进行这种构造在多大程度上模拟了一个随机图的生成，证明了G_A的团数是a. s。O（log N）。这表明Cayley和图可以作为Ramsey图的一个很好的例子。为了证明这一结果，我们必须研究Z/NZ上集合加法的特殊结构。事实上，我们还证明了（Z/2 Z）^n，2^n = N上的随机Cayley和图的团数几乎肯定不是O（log N）。尽管标题是图论，但这是一篇数论论文。我们的主要结果本质上是对{1，...，N}，其中|A| = k，|A + A| = m，对于k和m的各种值。
Constructions of Strongly Regular Cayley Graphs and Skew Hadamard Difference Sets from Cyclotomic Classes
本文给出了强正则Cayley图和斜Hadamard差集的构造。这两个构造都是基于有限域上分圆类的选择，推广了Feng和Xiang \cite{FX111,FX113}的构造.得到了三个具有新参数的强正则图无限族。我们采用的主要工具是指数2高斯和，而不是分圆数。
On expander Cayley graphs from Galois rings
本文研究Galois环的加群上的新Cayley图。首先，我们证明了它们是扩张图，通过使用Weil-Carlitz-Uchiyama型估计的特征和的伽罗瓦环。我们还表明，凯莱图从伽罗瓦环的特征4形成一个新的无限族的拉马努金图的初等特征值估计。此外，还讨论了图的其它谱性质。
Hamilton cycles in generalized dihedral Cayley graphs and digraphs
本文证明了广义二面体群上连通Cayley有向图存在有向Hamilton圈，证实了1978年的猜想，关键新工具是三次Haar图的三重和集覆盖定理。
Random Cayley sum hypergraphs and $k$-fold sumsets
本文研究有限阿贝尔群中$k$重和集的阈值，给出随机Cayley和超图独立数的新上界，从而改进并推广了Alon-Pham及Balogh等人的结果。
Perfect state transfer on Cayley graphs over dihedral groups: A complete and practical characterization
该文针对二面体群上Cayley图的完美态转移问题，通过数学方法完成完整实用表征，为识别构建此类图及确定最小转移时间提供准则。
H-integral and Gaussian integral normal mixed Cayley graphs
如果一个混合图的Hermitian邻接矩阵的所有特征值都是整数，则称该混合图为\emph{H-integral} .如果一个混合图的（0，1）-邻接矩阵的所有特征值都是\emph{Gaussian integers}，则称该混合图为\emph{Gaussian integral} .对任意有限群$Γ$，刻画了正规混合Cayley图$\text{Cay}(Γ, S)$为H-整的集合$S$.进一步证明了正规混合Cayley图是H-积分的当且仅当它是Gaussian积分。
A combinatorial proof of the trace Cayley-Hamilton theorem
本文利用方阵对应的加权有向图，通过线性有向子图上的符号加权和解释行列式与特征多项式，并据此给出迹凯莱-哈密顿定理的组合证明，建立特征多项式系数与矩阵幂的迹之间的显式恒等式。
On the chromatic number of structured Cayley graphs
本文主要研究由代数构造而产生的代数群的Cayley图的色数。利用Lie型有限单群的Lang-Weil界和表示论，我们将建立这类图的色数的下界。这为与有限域上的$n\times n$矩阵环相关的正则图的Cayley图的色数提供了一个下界.利用Kloosterman和的Weil界，我们也将证明有限环上$\mathrm{SL}_2$的类似结果。
Non-abelian finite groups whose character sums are invariant but are not Cayley isomorphism
设$G$是一个群，$S$是$G\setminus \{1\}$的逆闭子集. Cayley图$Cay(G,S)$是指其顶点集是$G$的元素集并且两个顶点$x$和$y$相邻的图，如果$x^{-1}y\in S$。一个群$G$称为CI-群，如果对于$G\setminus \{1\}$的逆闭子集$S$和$T$有$Cay(G,S)\cong Cay(G,T)$，则对于$G$的自同构$α$有$S^α=T$.一个有限群$G$称为BI-群，如果对于$G\setminus \{1\}$的某些逆闭子集$S$和$T$有$Cay(G,S)\cong Cay(G,T)$，则对于所有正整数$ν$有$M_ν^S=M_ν^T$，其中$M_ν^S$表示集合$\big\{\sum_{s\in S}χ(s) | χ(1)=ν, χ\text{ is a complex irreducible character of } G \big\}$。László Babai [ \textit{J. Combin. Theory Ser. B}，{ \bf 27}（1979）180-189]问到是否每个有限群都是BI-群;有限非BI-群的各种例子在[ \textit{Comm. Algebra}，{ \bf 43}（12）（2015）5159-5167]中给出。在后一篇文章中指出，每个有限CI-群是BI-群，所有交换有限群都是…
Pure Gauss sums and skew Hadamard difference sets
Chowla~（1962），McEliece~（1974），Evans~（1977，1981）和Aoki~（1997，2004，2012）研究了高斯和，其中某些整数幂是在有理数的范围内。这种高斯和称为{ \it pure}。特别地，Aoki（2004）给出了一个高斯和是纯的充要条件，这个充要条件是关于Dirichlet特征标模所涉及的乘法特征标的阶。本文研究了具有奇扩张度的纯高斯和$f$，并基于Aoki定理对它们进行了$f=5,7,9,11,13,17,19,23$的分类.此外，我们刻画了一个特殊的子类的纯高斯和鉴于应用程序的斜阿达玛差集。在此基础上，我们给出了有限域分圆类的斜Hadamard差集的一种新构造。
Enumeration of cubic Cayley graphs on dihedral groups
设$p$是奇素数，$D_{2p}=\langle a,b\mid a^p=b^2=1,bab=a^{-1}\rangle$是$2p$阶二面体群.本文利用谱方法对$D_{2p}$上的三次Cayley图进行了同构的完全分类.另外，我们证明了$D_{2p}$上的两个三次Cayley图同构的充要条件是它们是共谱的。利用高斯著名的二次互反律，我们得到了$D_{2p}$上三次Cayley图的同构类数.
The energy of a family of mirror di-Cayley (sum) graphs: equienergy and moments
本文计算镜像双Cayley（和）图的能量与谱k-矩，研究其亚能量、序能量和超能量性质，并给出非同构等能量对存在的条件。
Evaluation of the weight distribution of a class of cyclic codes based on index 2 Gauss sums
具有两个零点的循环码的重分布已得到广泛的研究，最近在某些情况下，它们的权重分布也得到了估计。本文利用指数为2的高斯和的计算方法，确定了一类新的码的权重分布。
Strongly Regular Graphs From Unions of Cyclotomic Classes
利用分圆类的并和指数为2的高斯和，给出了有限域$\F_q$上强正则Cayley图的两个构造.特别地，我们得到了12个具有新参数的强正则图无限族。
Cyclic arcs of Singer type and strongly regular Cayley graphs over finite fields
在\cite{M18}中，第一作者利用三值Gauss周期构造了有限域的可加群上的强正则Cayley图。特别地，结合\cite{BLMX}中的结果，证明了存在一个具有负拉丁方型参数$(q^6,r(q^3+1),-q^3+r^2+3r,r^2+r)$的强正则Cayley图，其中$r=M(q^2-1)/2$满足下列条件：（i）$M=1$和$q\equiv 3\,(\mod{4})$ ;（ii）$M=3$和$q\equiv 7\,(\mod{24})$;（iii）$M=7$和$q\equiv 11,51\,(\mod{56})$ .对于奇$M>7$，具有上述参数的强正则Cayley图的存在性是开放的.本文证明了：如果存在$h$，$1\le h\le M-1$，使得$M\,|\,(h^2+h+1)$和$2$在$({\bf Z}/M{\bf Z})^\times$中的阶为奇数，则存在无穷多个素数$q$，使得存在具有上述参数的强正则Cayley图.
Butson Hadamard Matrices from Pairs of Gauss Sums
本文提出一种利用两个高斯和构造 Butson Hadamard 矩阵的新方法，适用于素数幂 $q$ 及 $q-1$ 的任意因子 $d$，并通过 Butson-Jacobsthal 函数推广了 Jacobsthal 矩阵构造。
Powers of Gauss sums in quadratic fields
在过去的二十年中，许多研究者研究了高斯和的{ \it指标$2$ }，其中由下面有限域的特征$p$生成的群在${\mathbb Z}/m{\mathbb Z}$的单位群中具有指标$2$，其中所涉及的乘法特征标的阶为$m$. Yang和Xia~（2010）给出了评价指标$2$ Gauss和问题的完整解决方案。特别地，已知在这种情况下高斯和的某些非零整数幂在二次域中。另一方面，Chowla~（1962），McEliece~（1974），Evans~（1977，1981）和Aoki~（1997，2004，2012）研究了{ \it纯}高斯和，其中某些非零整数幂在有理数域上。本文研究了某些整数幂在二次域上的高斯和。这类高斯和是指标$2$高斯和的推广，也是纯高斯和在二次域上的推广。
Gauss sums over some matrix groups
在本文中，我们分别给出了一般情形下高斯和的显式表达式。特殊的）有限域上的线性群，它涉及高斯和（分别为Kloosterman求和）。关键成分是平均这样的总和超过博雷尔子群。作为应用，我们计算了有限域上零迹可逆矩阵的个数，并改进了Ferguson，Hoffman，Luca，Ostafe和Shparlinski在[ Some additive combinatorics problems in matrix rings，Rev. Mat.完成(23)2010，501- 513]。
Sandpile Groups of Cayley Graphs of $\mathbb{F}_2^r$
本研究聚焦ℱ₂ʳ的Cayley图沙堆群中研究不足的Sylow-2分量，借助表示理论的环结构与进位组合学计算二项式和2进赋值，得出一般图Sylow-2循环因子数量、非一般图对应界值及最大循环因子精确上界，还给出超立方体情形下最大n-1个Sylow-2循环因子的精确公式。
Gauss sums and the maximum cliques in generalized Paley graphs of square order
设$GP(q,d)$是定义在有限域$\mathbb{F}_q$上的$d$ -Paley图.众所周知，提高$GP(q,d)$的团数的平凡上界$\sqrt{q}$是非常困难的。本文研究了有限域上的高斯和与其对应的广义Paley图的最大团之间的关系。我们证明了$GP(q,d)$的团数的平凡上界是紧的当且仅当$d \mid (\sqrt{q}+1)$，从而加强了Broere-Döman-Ridley和Schneider-Silva的相关结果.我们还得到了关于半本原高斯和的Stickelberger定理的一个新的简单证明。
Gauss Sums, Jacobi Sums, and $p$-ranks of Cyclic Difference Sets
本文研究了$2^d$元的有限域$F_{2^d}$的乘法群中的二次剩余差集、GMW差集和单式超椭圆差集，它们都是$(2^d-1, 2^{d-1}-1, 2^{d-2}-1)$循环差集，并利用$d \geq 2$ .我们发现，除了少数情况下，小$d$，这些差集都是两两不等价的。这部分是通过检查他们的两个等级来完成的。除了与Segre和Glynn超椭圆相关的那些，所有这些差集的2秩都是以前已知的。我们确定由Segre和Glynn超椭圆产生的差集的2-秩，如下所示。Stickelberger的高斯和定理是用来减少这些2-秩的计算的问题，计数某些循环二进制字符串的长度$d$。这个计数问题，然后解决组合，与援助的转移矩阵法。我们给出了2秩公式的进一步应用，包括确定某些二元循环码的非零值，以及当$d$为奇数时，根据迹函数判定多项式$x^6 + x + β$在$F_{2^d}$中对$F_{2^d}^*$中的哪个$β$有零值的准则.
Cayley Digraphs of Matrix Rings over Finite Fields
利用矩阵环上的\emph{unit-graphs}和\emph{special unit-digraphs}证明了当$n>1$时，$\Bbb F_q$上的每个$n \times n$非零矩阵都可以表示为两个$\operatorname{SL}_n$ -矩阵之和.我们计算这些图的Kloosterman和的特征值，并研究其谱性质，并证明，如果$X$是$\operatorname{Mat}_2 (\Bbb F_q)$的大小为$|X| > \frac{2 q^3 \sqrt{q}}{q - 1}$的子集，那么$X$包含至少两个不同的矩阵，其差异有行列式$α$任何$α\in \Bbb F_q^{\ast}$。利用这个结果，我们还证明了一个和积型结果：如果$A,B,C,D \subseteq \Bbb F_q$满足$\sqrt[4]{|A||B||C||D|}= Ω(q^{0.75})$为$q \rightarrow \infty$，则$(A - B)(C - D)$等于$\Bbb F_q$的全部.特别地，如果$A$是具有基数$|A| > \frac{3} {2} q^{\frac{3}{4}}$的$\Bbb F_q$的子集，则子集$(A - A) (A - A)$等于全部$\Bbb F_q$。我们还恢复了一个经典的结果：任何奇数阶的有限环中的每个元素都可以写成两个单位的和。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。