Quasiconvex Subgroups of F_m x Z^n are Convex
Jordan Sahattchieve
本文分析了F_m x Z^n的拟凸子群在其轨道的凸包上的作用，证明了该作用是余紧的.进一步，利用我们的技巧，我们得到了F_m x Z^n的拟凸子群的完整刻画。
In this paper we analyze the action of a quasiconvex subgroup of F_m x Z^n on the convex hull of its orbit and we show that this action is cocompact. Further, using our techniques, we obtain complete description of the quasiconvex subgroups of F_m x Z^n.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On strongly quasiconvex subgroups
本文发展了任意有限生成群的\emph{strongly quasiconvex subgroups}理论。强拟凸性推广了双曲群中的拟凸性，并在拟等距下保持。我们证明了强拟凸子群比Durham-Taylor定义的稳定子群更自反于环境群几何，同时仍然具有许多类似于双曲群的拟凸子群的性质.我们用环境群相对于强拟凸子群较低的相对发散性来刻画强拟凸子群。我们还研究了相对双曲群、直角Coxeter群和直角Artin群中的强拟凸性和稳定性。给出了相对双曲群的强拟凸性和稳定性的完整刻画，刻画了二维直角Coxeter群的强拟凸特殊子群和稳定特殊子群.在直角Artin群的情形下，证明了当直角Artin群是单端的且子群具有无穷指数时，强拟凸性和稳定性两个概念是等价的.利用二次下相对散度刻画了直角Artin群中指数为无穷大的非平凡强拟凸子群（即非平凡稳定子群），推广了Koberda-Mangahas-Taylor关于刻画直角Artin群的纯斜驶子群的工作.
On Products of Quasiconvex Subgroups in Hyperbolic Groups
关于双曲群中的拟凸性的一个有趣的问题是寻找在有限交下闭的拟凸子集类。一个已知的例子是所有拟凸子群的类。然而，还没有太多的了解结构的任意拟凸子集。在这项工作中，我们研究产品的拟凸子群的性质，我们表明，这样的集合是拟凸的，他们的有限交叉有一个类似的代数表示，因此，也是拟凸的。
Combination of quasiconvex subgroups of relatively hyperbolic groups
对于相对双曲群，研究了由两个拟凸子群$Q$和$R$生成的子群是拟凸且同构于$Q \ast_{Q\cap R} R$的条件.我们的结果推广了字双曲群的拟凸子群的已知组合定理。一些应用。
On the quasiconvexity of the fixed subgroup of endomorphisms of relatively hyperbolic groups
证明了对任意的相对双曲群G和G的任意具有相对拟凸象的对称自同态f，Fixf是G的相对拟凸子群.
Notes on relatively hyperbolic groups and relatively quasiconvex subgroups
本文定义了Osin意义下的相对双曲群的相对拟凸子群，并证明了这类子群具有期望的性质。同时给出了与Osin意义下相对双曲群定义等价的几个定义。
Detecting Relatively Quasiconvex Subgroups and Their Induced Peripheral Structure
本文证明了在一定条件下存在一个算法，它能检测相对双曲群$(G,\mathbb{P})$的相对拟凸子群$H$.此外，该算法在$H$上输出$(G,\mathbb{P})$的诱导外围结构。
An example of a non-quasiconvex subgroup of a word hyperbolic group with exotic limit set
构造了一个无挠的自由不可分解的双曲群$G$的拟凸子群$H$的例子，使得$H$的极限集不是$G$的拟凸子群的极限集.特别地，这给出了G.Swarup猜想的一个反例：一个字双曲群的一个单端子群是拟凸的当且仅当它在其虚正规化子中有有限指标。
Stallings folds for CAT(0) cube complexes and quasiconvex subgroups
我们描述了CAT（0）立方体复合物上群作用的Stallings折叠序列的高维模拟。利用它，通过超平面稳定子的有限性，给出了双曲群的拟凸子群在CAT（0）立方复形上的共紧性的一个刻画。
On intersections of locally quasiconvex subgroups
该研究针对双曲群的无挠局部拟凸子群，证明了其交的秩可由原二子群的秩界定，补充了双曲群子群交的秩相关结论。
Strongly Quasiconvex subgroups in graphs of groups
给定一个图的群$\mathcal{G} = (Γ, \{G_v\}, \{G_e\})$，其顶点群满足一定的条件，并且$G$非圆柱地作用在其Bass-Serre树$T$上.令$H$是$G$的一个随机生成的子群。本文证明了下列命题等价：$H$有有限高，$(G, T, H)$是$A/QI$ -三元组，$H$在$G$中是强拟凸且几乎自由的.我们还给出了一个条件，以确定是否在一个群的强拟凸保持汞合金。
A notion of quasiconvex subgroups in acylindrically hyperbolic groups
本文在含双曲嵌入子群的有限生成群中提出拟凸性概念，证明其在锥化尖点空间有一致拟凸常数、长Dehn填充下保持不变，并推广了Groves-Manning关于CAT(0)立方复形群作用的定理。
The non-amenability of Schreier graphs for infinite index quasiconvex subgroups of hyperbolic groups
证明了如果$H$是非初等双曲群$G$中的无穷指数拟凸子群，则$G$相对于$H$的Schreier陪集图$X$是不顺从的（即$X$具有正的Cheeger常数）.给出了关于$X$的Martin边界和Martin紧化以及$H$在$G$中的共同生长的一些推论.
Structure of quasiconvex virtual joins
本文研究了相对双曲群中相对拟凸子群的虚拟并结构，证明了此类并与极大抛物子群的交集可分解为因子子群与极大抛物子群交集的并，并为抛物子群几乎相容的拟凸子群提供了组合定理。
Quasiconvexity of virtual joins and separability of products in relatively hyperbolic groups
本文证明了在QCERF相对双曲群中，有限生成相对拟凸子群存在有限指数子群使虚拟联接保持拟凸性，并由此导出多类群中子群乘积的可分性。
Virtual Amalgamation of Relatively Quasiconvex Subgroups
对于相对双曲群，研究了由两个相对拟凸子群$Q_1$和$Q_2$生成的子群是相对拟凸的且同构于$Q_1 \ast_{Q_1 \cap Q_2} Q_2$的条件.主要定理推广了字双曲群的拟凸子群和双曲空间的等距离散子群的结果。
Ascending Chains of Free Quasiconvex Subgroups
本文证明了双曲群中不存在常秩自由拟凸子群的严格上升链，这一结果深化了对双曲群子群结构的理解。
Combination of fully quasiconvex subgroups and its applications
本文给出了相对双曲群中相对拟凸子群的两个组合定理。应用于某些相对拟凸子群的双陪集的可分性和相对双曲群中闭曲面子群的存在性。
Non-quasiconvex subgroups of hyperbolic groups via Stallings-like techniques
利用Stallings折叠的启发，给出了一种构造双曲群的非拟凸子群的新方法。所构造的双曲群属于直角Coxeter群（简称RACG）的自然类，并且可以选择为2维的。更具体地说，给定一个（可能是非双曲的）RACG的一个非拟凸子群，我们的构造给出了一个双曲RACG的一个相应的非拟凸子群。我们用它来构建显式的例子，非拟凸子群的双曲RACG，包括子群的发电机是尽可能短（长度两个字），生成的自由子群，non-quasiconpresentable子群，和子群的基本群的平方复杂的非正截面曲率。
Deciding if a hyperbolic group splits over a given quasiconvex subgroup
本文提出判定双曲群沿给定拟凸子群是否分裂的算法，并扩展至计算过滤端数与Schreier图端数，利用带标号有向图编码边界连通性信息。
Relative hyperbolicity and relative quasiconvexity for countable groups
为研究相对双曲群的相对拟凸子群奠定了基础。这些基础要求我们首先建立可数相对双曲群（不一定是双曲生成的）的相干理论。我们证明了Gromov，Osin和Bowditch的相对双曲性可数群的定义的等价性。然后利用相对双曲群上的各种自然几何给出了相对拟凸子群的几个等价定义。我们证明了每个相对拟凸子群本身是相对双曲的，并且两个相对拟凸子群的交集也是相对拟凸的。证明了非畸变子群是相对拟凸的，并计算了非畸变子群的畸变。
On subgroup conjugacy separability of hyperbolic QVH-groups
一个群$G$称为子群共轭可分群（SCS），如果$G$的任意两个非共轭子群在$G$的某个有限商中保持非共轭. SCS的入共轭版本缩写为SICS。证明了：若$G$是双曲群，$H_1$是$G$的拟凸子群，$H_2$是$G$的按元素共轭到$H_1$的子群，则存在$H_2$的共轭到$H_1$的有限指数子群.作为推论，我们得到了具有有限$C'(1/6)$或$C'(1/4)-T(4)$表示的闭双曲3-流形的基本群和无挠小消去群是遗传拟凸-SCS和遗传拟凸-SICS，以及曲面群是SCS和SICS.我们还表明，“准凸”一词不能删除至少小的取消组。
Malnormality and join-free subgroups in right-angled Coxeter groups
本文证明了单端直角Coxeter群的所有非正则生成的反常子群都是强拟凸的，特别是当周围群是双曲群时，它们是拟凸的.其核心思想是证明单端直角Coxeter群的所有无穷真反常子群都是并自由的，然后证明这些子群的强拟凸性和虚自由性。我们还研究了直角Coxeter群中的Join-free子群的子群发散性，并与直角Artin群中的类似子群进行了比较。利用几乎反常抛物子群的定义图刻画了几乎反常抛物子群的性质，并根据Genevois和Russell-Spriano-Tran最近的工作证明了几乎反常抛物子群是强拟凸子群.最后，我们讨论了直角Coxeter群中双曲嵌入子群的一些结果。
Separation of Relatively Quasiconvex Subgroups
假设所有双曲群都是剩余有限的。以下声明如下：在相对双曲群中，拟凸子群是可分的，其外围结构由非均匀生成的幂零子群组成;在秩1对称空间中，非均匀格的几何有限子群是可分的; Kleinian群是子群可分的。我们还证明了有限体积双曲3-流形的LERF将遵循闭双曲3-流形的LERF。方法是通过组合定理和填充定理将相对双曲群G的拟凸子群的可分性约化为双曲商G/N的拟凸子群的可分性。然后应用Agol、Groves和Manning的结果。
Decomposing groups by codimension-1 subgroups
本文讨论了Kropholler关于余维1子群上的有限生成群的分裂猜想.对于群G的子群H，我们定义了“有限分裂高度”的概念，它推广了有限高度性质。通过研究G中余维为1的子群H的对偶CAT（0）立方复形，证明了当H在G中具有有限分裂高度时，Kropholler-Roller猜想成立.有限高子群的例子是稳定子群或更一般的强拟凸子群。有限分裂高度的子群的例子包括相对双曲群的相对拟凸子群，其具有几乎多环的外围子群。特别地，我们的结果扩展了Stallings定理，推广了Sageev关于拟凸子群分解双曲群的定理。
Quasiconvexity in the Relatively Hyperbolic Groups
研究了相对双曲群$G.$的子群$H$的拟凸性的不同概念。第一个结果建立了$H$是相对拟凸的等价条件。作为推论，我们得到相对拟凸性等价于动力学拟凸性。这回答了D. Osin \cite{Os06}。本文第二部分证明了一个双曲生成的相对双曲群$G$的子群$H$在其极限集外作余紧当且仅当它是（绝对）拟凸的，并且它与$G$的抛物子群的每一个无穷交在抛物子群中有有限指数。因此，我们得到一个列表的不同的子群属性，并建立它们之间的关系。
On the existence of weakly malnormal quasiconvex subgroups of hyperbolic groups
本文证明了任意非初等双曲群中弱法正规、几乎自由、拟凸子群的存在性，推广了Ilya Kapovich关于无挠双曲群中法正规拟凸子群的结果。
A combination theorem for hierarchically quasiconvex subgroups, and application to geometric subgroups of mapping class groups
本文提出层次超几何群子群生成 amalgamated 自由积的条件，并探讨其在映射类群几何子群中的应用及凸性保持问题。
Growth of quasiconvex subgroups
证明了非初等双曲群的指数增长比其无穷指数拟凸子群的指数增长快。证明使用自动结构和Perron-Frobenius理论的经典工具。我们还将主要结果推广到相对双曲群和相对双曲群。这些扩展使用了增长紧密性的概念以及Dahmani，Guirardel和Osin关于旋转家族的工作。
Commensurability and separability of quasiconvex subgroups
我们表明，两个均匀的格子的一个规则的直角Fuchsian建筑是可折叠的，提供的室是一个多边形，至少有六个边缘。我们证明了在任意Gromovv-双曲正则直角建筑中，如果一个均匀格的拟凸子群是可分的，那么它与一个有限群的图积是可分的.对于Gromov-双曲二维Coxeter群的Davis复形的一致格，我们得到了类似的结果。我们还证明了CAT（0）平方复形的一致格被有限群的每个扩张实际上是平凡的，只要格的每个拟凸子群是可分的。
Packing subgroups in relatively hyperbolic groups
引入了可数离散群G的子群的有界填充性质。这个性质给出了G中两两闭子群的左陪集个数的有限上界。我们建立了有界填充的基本性质，并给出了许多例子;例如，可数的，虚幂零群的每个子群都有界填充。我们解释了CAT（0）立方体复形上有界填充和群作用之间的几种自然联系。我们的主要结果建立了相对双曲群的相对拟凸子群的有界填充，在温和的假设。作为一个应用，我们证明了相对拟凸子群有有限的高度和宽度，属性，强烈限制家庭的不同共轭的子群可以相交。本文证明了相对双曲群的无穷非抛物相对拟凸子群在它的扩张子中具有有限指数。我们还证明了一个虚拟malnormal定理可分离，相对拟凸子群，这是新的，即使在字双曲的情况下。
Quasiconvex Subgroups and Nets in Hyperbolic Groups
考虑一个双曲群G和一个无穷指数的拟凸子群H。我们构造了从G到G/H的商映射的集论截面s，使得s（G/H）是G中的网;即G的任何元素都是到s（G/H）的有界距离。这一部分自然出现，作为一组点，最小化每个固定陪集gH中的字长。G在G/H上的左作用诱导了S（G/H）上的作用，利用它证明了H不含G中正规的无限子群.
Quasiconvexity in $3$-manifold groups
本文研究了一个广义生成的$3$ --流形群$π_1(M)$中的强拟凸子群.我们证明了，如果$M$是一个紧凑的，定向$3$ -流形，没有一个被加数支持溶胶几何在其球盘分解，然后一个ESTA生成的子群$H \le π_1(M)$有有限的高度当且仅当$H$是强拟凸。另一方面，如果$M$有一个被加数支持溶胶几何在其球-盘分解，然后$π_1(M)$包含生成的，有限高度的子群不是强拟凸。利用图流形群的有限高、Morse元及其在$π_1(M)$的Bass-Serre树上的作用，刻画了图流形群的强拟凸子群.这个结果加强了直角Artin群和映射类群中的类似结果。最后，利用双曲强拟凸子群的非畸变性质和Morse元刻画了双曲生成的$3$ -流形群$π_1(M)$的双曲强拟凸子群.
Stable subgroups and Morse subgroups in mapping class groups
对于一个有限生成群，字双曲群的拟凸子群的概念有两个最近的推广，即稳定子群和Morse或强拟凸子群。Durham和Taylor定义了稳定性，并证明了稳定性等价于映射类群中的凸余紧性.拟凸性的另一个自然推广是由一个有限生成群的Morse或强拟凸子群的概念给出的，最近由Tran和Genevois研究。一般来说，子群是稳定的当且仅当子群是Morse和双曲的。本文证明了具有负欧拉示性数的定向连通有限型曲面的映射类群中无穷指数子群的Morse和稳定两个性质是一致的。
Subgroups of right-angled Coxeter groups via Stallings-like techniques
我们将立方复形称为完备化与直角Coxeter群（RACG）的每个子群相关联。完备化刻画了子群的许多性质，例如它是否是拟凸的、正规的、有限指标的或无挠的。我们使用完成表明，反射子群是拟凸的，是一个2维RACG的一端Coxeter子群。我们提供了一种算法，可以确定给定的一端、2维RACG是否同构于另一个给定RACG的某个有限指数子群。此外，我们回答了几个算法的问题，关于拟凸子群。最后，我们给出了Haglund关于RACG的拟凸子群是可分的结果的一个新的证明。
Propagating quasiconvexity from fibers
设$1 \to K \longrightarrow G \stackrelπ\longrightarrow Q$是双曲群的正合列.设$Q_1 < Q$是拟凸子群，令$G_1=π^{-1}(Q_1)$ .在相对较弱的条件下（如$K$是闭曲面群或自由群，$Q$是凸余紧的），证明了$G_1$的无穷指数拟凸子群在$G$中是拟凸的.相关结果证明了度量丛，可发展的复杂的群体，和图形的群体。
Separable Subsets of GFERF Negatively Curved Groups
一个字双曲群$G$称为GFERF，如果每个拟凸子群与包含它的有限指数子群的交重合.我们证明了在任何这样的群中，n个拟凸子群的乘积在$G$上的profinite拓扑中是封闭的.
Stature and separability in graphs of groups
引入群$G$的子群族$\{H_i\}$的有限身材的概念。研究了一类群$G$的子群的可分性，该群可分裂为具有拟凸棱道群的双曲特殊群的图。证明了当$G$的顶点群具有有限高度时，$G$的顶点群的拟凸子群在$G$中是可分的.我们在一个相对双曲的框架中提出了一些部分结果。
On Growth of Double Cosets in Hyperbolic Groups
设$H$是双曲群，$A$和$B$是$H$的子群，$gr(H,A,B)$是双陪集$AhB, h \in H$的增长函数.我们证明了$gr(H,A,B)$的行为分为两种不同的情况。如果$A$和$B$不是拟凸的，则我们得到了一个拟凸群的每一个增长函数都可以表现为$gr(H,A,B)$ .我们甚至可以拿$A=B$。相反，对于指数为无穷大的拟凸子群A和B，$gr(H,A,B)$是指数的。此外，存在一个常数$λ> 0$，使得对于所有足够大的$r$，$gr(H,A,B)(r) >λf_H(r)$，其中$f_H(r)$是群$H$的增长函数。所以，我们有一个明确的双切之间的拟凸和非拟凸的情况。
Boundary convex cocompactness and stability of subgroups of finitely generated groups
一个Kleinian群$Γ< \mathrm{Isom}(\mathbb H^3)$称为凸余紧群，如果$Γ$在$\mathbb H^3$中的任何轨道是拟凸的，或者等价地，$Γ$在$\partial \mathbb H^3$中的极限集的凸包上作用余紧.子群稳定性是有限生成群中的一个强拟凸性条件，它是环境群几何的固有条件，推广了上述经典拟凸性条件。重要的是，它与双曲群中的拟凸性和映射类群中的凸余紧性一致。利用Morse边界，我们发展了子群稳定性的一个等价刻画，它推广了Kleinian群的上述边界刻画。
Quasiconvexity and Dehn filling
我们定义了一个新的条件相对双曲Dehn填充，使我们能够控制的行为相对拟凸子群，不需要是满的。作为应用，结合Cooper和Futer最近的一个结果，我们给出了非紧有限体积双曲三维流形虚扩张的一个新的证明，该结果首先由Wise证明.此外，我们解释了[2，附录A]的结果如何可以推广到相对设置，以控制相对拟凸子群在适当的Dehn填充下的相对高度。
Algorithms detecting stability and Morseness for finitely generated groups
有限生成群的稳定子群和Morse子群的概念推广了字双曲群的拟凸子群的概念。对于字双曲群$G$，Kapovich提供了一个部分算法，在输入$G$的有限集$S$时，如果$S$生成$G$的拟凸子群，则停止，否则永远运行。本文给出了映射类群、直角Artin群、环面相对双曲群和由局部拟凸无挠双曲群判别的有限生成群（例如普通极限群）的稳定性和Morseness的各种检测和判定算法.
Two Algorithms in Group Theory
给出了判定负曲群的拟凸子群与共轭的交是否有限的一个新算法。我们还利用可判定字问题给出了有限生成群的拟凸子群的隶属问题的可判定性的一个简短证明。
The geometry of relative Cayley graphs for subgroups of hyperbolic groups
证明了如果H是双曲群G的拟凸子群，则G/H的相对Cayley图Y（也称为Schreier陪集图）是Gromovv-双曲的.我们还观察到，在这种情况下，如果G是无挠的和非初等的，H在G中有无穷大的指数，那么Y上的简单随机游动是瞬态的。
Random groups contain surface subgroups
一个随机群包含许多拟凸曲面子群。
Pattern Rigidity in Hyperbolic Spaces: Duality and PD Subgroups
对于$i= 1,2$，设$G_i$是实维数为$n$，$n \geq 3$的双曲空间$\Hyp^n$的等距的余紧群.设$H_i \subset G_i$是满足下列条件之一的无穷指数拟凸子群：1）$H_i$的极限集是余维1拓扑球面. 2)$H_i$的极限集是一个偶维拓扑球面。3)$H_i$是余维1对偶群.这推广了（1）。特别地，如果是$n = 3$，则$H_i$可以是$G_i$的任何自由不可分解的子群。4)$H_i$是一个奇维庞加莱对偶群$PD(2k+1)$。这推广了（2）。我们证明了这种对的模式刚性，扩展了Schwartz证明模式刚性时，$H_i$是循环的工作。所有这些推广到秩一对称空间中一致格的拟凸子群满足条件（1）-（4）之一，以及某些特殊的具有不连通极限集的子群。特别地，模式刚性对非虚自由的双曲3-流形的所有拟凸子群成立。结合Mosher-Sageev-Whyte的结果，我们得到了群的拟等距刚性结果，其中顶点群是秩为1的对称空间中的一致格，而边群是上述类型中的任何一种。
Convex cocompactness and stability in mapping class groups
我们引入了一个强的概念，拟凸性的生成群，我们称之为稳定性。在双曲群中稳定性与拟凸性一致，并且在双曲生成群的拟等距下保持稳定。证明了映射类群的稳定子群恰是凸余紧子群。这推广了Behrstock的一个著名结果，并与Farb-Mosher和Farb提出的问题有关。
Some Properties of Subsets of Hyperbolic Groups
给出了无穷指数拟凸子群及其乘积的一些结果。之后，我们推广了标准的概念，一个小组的任意子集的一个小组，推广了一些以前已知的结果。
Actions of maximal growth of hyperbolic groups
证明了非初等双曲群$G$以极大增长作用在某个集合$X$上，使得任意元$g \in G$的轨道都是有限的.作为本文方法的一个副产品，我们证明了：如果$G$是非初等双曲的，$\HH \leq G$是无穷指数拟凸的，那么存在$g \in G$使得$<\HH,g>$是无穷指数拟凸的且同构于$\HH*<g >$当且仅当$\HH \cap E(G)= \{e\} $，其中$E(G)$是$G$的极大有限正规子群.
Doubles of groups and hyperbolic LERF 3-manifolds
证明了某些负曲群的对偶中的拟凸子群在profinite拓扑中是闭的。这使我们能够构造第一个已知的大家庭的双曲3-流形，使任何一个家庭成员的基本群的任何生成子群是封闭的profinite拓扑。
A Generalization of a Power-Conjugacy Problem in Torsion-Free Negatively Curved Groups
设H和K是负曲无挠无挠的群G的拟凸子群.我们给出了判定H中的一个元素是否在G中共轭到K中的一个元素的算法。
Solutions to two open problems in geometric group theory
本文通过分析非正曲率分段欧几里得复形中的凸包，证明了Fm x Zn的拟凸子群为凸集，并探讨了多项式递归群中的有界打包与余集增长问题。
Commensurating HNN-extensions: non-positive curvature and biautomaticity
证明了双自动群中任意拟凸阿贝尔子群的抽象算子的有限象是小的。使用这个标准，我们展示了CAT（0）但不是双自动的组。这些工作组还解决有关《禁止酷刑和其他残忍、不人道或有辱人格的待遇或处罚公约》（0）组的其他一些问题。
Convexity of parabolic subgroups in Artin groups
证明了任意Artin群的任意标准抛物子群关于标准生成集是凸的。
Geometric invariants of spaces with isolated flats
我们研究了那些在CAT（0）空间上具有孤立平坦和相对同路性质的不连续、余紧和等距作用的群。所讨论的群包括字双曲CAT（0）群以及几何有限的Kleinian群和许多二维CAT（0）群。对于这样一个群体，我们表明，有一个内在的概念，拟凸子群是等价的包含是一个拟等距嵌入。我们还证明了CAT（0）空间的视觉边界实际上是群的不变量。更一般地说，我们证明了这样一个群的每个拟凸子群都有一个标准极限集，它与上群的选择无关。本文的主要结果是由Gromov和Short在双曲条件下建立的，并不推广到任意的CAT（0）群。
Largest acylindrical actions of free-by-cyclic groups
该研究证明了自由-循环群存在最大的酰柱形作用，并刻画了其Morse测地线、稳定子群及Morse边界。
Convex-cocompact subgroups of the Goeritz group
证明了亏格2 Goeritz群的有限生成的纯伪Anosov子群在亏格2映射类群中是凸余紧的.
Some examples of separable convex-cocompact subgroups
里德问是否所有凸余紧子群的映射类群是可分的。使用曼宁-Mj-Sageev的构造，我们给出了可分凸余紧子群的例子，这些子群不含任意有限秩，而之前的例子似乎都是几乎循环的。
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