Solving Packing and Covering LPs in $\tilde{O}(\frac{1}{ε^2})$ Distributed Iterations with a Single Algorithm and Simpler Analysis
包装和覆盖线性规划属于线性规划的狭义类别，在并行和分布式计算模型中可有效求解，但在理论计算机科学，运筹学和许多其他领域中，它是一个强大的建模工具。在获得更快的分布式和并行算法包装和覆盖线性规划的最新进展，我们提出了一个简单的算法，其迭代计数匹配最知名的$\tilde{O}(\frac{1}{ε^2})$这类问题。该算法类似于[Allen-Zhu和Orecchia，2015]的算法，它可以被解释为Nesterov的对偶平均，并且它构造了原始（填充）和对偶（覆盖）问题的近似解。然而，分析依赖于一个近似的最优性差距和原始对偶视图的建设，导致更直观的解释。此外，我们的分析表明，所有现有的算法解决包装和覆盖线性程序的并行/分布式计算模型，事实上，unaccelerated，并提出了这类问题的加速算法设计的问题。
2017-10-24 cs.DS
Fast Approximation Schemes for Bin Packing
基于以下两种方法，我们提出了新的装箱问题的近似格式：（1）将给定问题分解为多个大小相同的子问题，然后将这些大小相同的子问题的解通过PTAS或精确方法组合起来构造一个解;（2）使用不规则尺寸的箱子解决装箱问题，这是装箱问题的一种推广，这有助于设计简单有效的递归算法，该算法根据较小的子问题来解决问题，使得由较早解决的子问题使用的箱中的未使用空间，问题可用于随后解决的子问题。
2019-02-09 cs.DS
Online Convex Covering and Packing Problems
研究了在线凸覆盖问题和在线凸填充问题。（离线）凸覆盖问题由以下凸程序建模：$\min_{x \in R_+^n} f(x) \ \text{s.t}\ A x \ge 1$，其中$f : R_+^n \mapsto R_+$是单调且凸的代价函数，并且$A$是具有非负条目的$m \times n$矩阵。约束矩阵$A$的每一行对应于覆盖约束。在在线问题中，$A$的每一行都在线，算法必须保持可行的分配$x$，并且只能随时间增加$x$。（离线）凸填充问题由以下凸程序建模：$\max_{y\in R_+^m} \sum_{j = 1}^m y_j - g(A^T y)$，其中$g : R_+^n \mapsto R_+$是单调且凸的成本函数。当$g$是$f$的凸共轭时，它是凸覆盖的Fenchel对偶规划.在在线问题中，每个变量$y_j$在线到达，算法必须在其到达时确定$y_j$的值。我们提出了简单的在线算法，这两个问题使用在线原始对偶技术，并获得近最佳的竞争比这两个问题的重要特殊情况下的多项式成本函数。对于任意非负系数的凸多项式代价函数和最大度$τ$，我们引入了一个$O(τ\log n)^τ$ -竞争在线凸覆盖算法和一个$O(τ)$ -竞争在线凸填充算法，分别匹配已知的$Ω(τ\log n)^τ$和$Ω(τ)$下界.有一个大家庭的在线资源分配问题，可以在这个在线凸覆盖和包装框架下建模，包括在…
2015-04-14 cs.DS
An Approximation Algorithm for Covering Linear Programs and its Application to Bin-Packing
我们给出了一个求解覆盖LP的$α(1+ε)$ -近似算法，假设对某个优化问题存在一个$(1/α)$ -近似算法.我们的算法是基于Plotkin-Shmoys-Tardos算法（MOR 1995）的一个简单的修改。然后，我们将我们的算法$α(1+ε)$ -近似解决的配置LP为一大类装箱问题，假设存在一个$(1/α)$ -近似算法为相应的背包问题（KS）。之前的结果为我们提供了使用KS的PTAS的配置LP的PTAS。这些结果并不延伸到KS是很差的近似的情况下。然而，我们的算法，即使是多项式大的$α$。
2020-12-17 cs.DS
Parameterized Approximation Algorithms for Packing Problems
在过去的十年中，许多参数化算法被开发出来解决布局问题。我们的目标是获得权衡，提高这些算法的运行时间在计算近似解的成本。考虑一个装箱问题，对于这个问题，没有已知的算法具有近似比$α$和参数$k$。如果最优解的值至少为$k$，则我们寻求值至少为$αk$的解;否则，我们寻求任意解。显然，如果找到值$t$的解的最著名的参数化算法在时间$O^*(f(t))$中运行，对于某些函数$f$，我们感兴趣的是比$O^*(f(αk))$更好的运行时间。我们提出了运行时间和近似比之间的权衡为$P_2$包装，$3$ -集$k$包装和$3$ -尺寸$k$ -匹配问题。我们的权衡是基于几个已知结果的组合，以及“近似不平衡全集”的计算。"
2015-05-04 cs.DS
Improved approximation for two dimensional strip packing with polynomial bounded width
我们研究了著名的二维带包装问题。给定一组平行于矩形轴的项和一个宽度为$W$、高度为无穷大的带。目标是找到将这些物品包装到条带中的包装，其最小化包装高度。最近，它已被证明，绝对逼近比的$3/2$的下限可以被击败时，我们允许一个伪多项式运行时间的类型$(n W)^{f(1/\varepsilon)}$。如果$W$由项目数多项式限制，则这是多项式运行时间。我们提出了一个具有逼近比$4/3 +\varepsilon$和运行时间$(n W)^{1/\varepsilon^{\mathcal{O}(2^{1/\varepsilon})}}$的伪多项式算法。
2017-12-13 cs.DS
A Tight Approximation for Fully Dynamic Bin Packing without Bundling
我们考虑一个变种的经典装箱问题，称为全动态装箱。在该变型中，尺寸为$(0,1]$的物品必须包装在单位尺寸的箱子中。在每个时间步中，一个项目要么到达要么离开包装。这个问题的算法必须保持一个可行的包装，而只有重新包装有限数量的项目在每个时间步。我们开发了一种算法，它只重新包装一个恒定数量的项目，每个时间步，不像以前的工作，不依赖于捆绑的小项目，允许这些解决方案移动无限数量的小项目作为一个。我们的算法有一个渐近近似比约为$1.3871$，这是由Balogh等人的下界补充，从而导致该问题的紧密近似比。作为一个直接的推论，我们也关闭的差距，只有插入的项目发生的放松在线装箱问题的下界。
2018-05-24 cs.DS
Approximation schemes for the generalized extensible bin packing problem
我们提出了一个新的推广的可扩展装箱不等箱大小的问题。在我们的推广中，超过bin大小的成本取决于bin的索引，而不仅仅取决于bin大小被超过的量。这种推广不满足用于呈现具有不等箱大小的可扩展箱包装问题的现有多项式时间近似方案（PTAS）的关于成本函数的假设。在这项工作中，我们证明了存在一个有效的PTAS（EPTAS），这种新的推广，因此，特别是我们改进了早期的PTAS的可扩展装箱不平等的bin大小的问题到EPTAS。我们的新方案是基于使用的移位技术，其次是解决多项式数量的$n$倍编程实例。此外，我们提出了一个渐进的完全多项式时间近似计划（AFPTAS）的相关装箱类型的问题的变体。
2019-05-23 cs.DS
Online Weighted Degree-Bounded Steiner Networks via Novel Online Mixed Packing/Covering
针对边加权度有界Steiner森林问题及其推广问题，设计了第一个具有多对数竞争比的在线算法。我们得到我们的结果，演示了一个新的通用的方法来解决混合包装/覆盖整数规划的在线范例。在EW-DB-SF中，我们给出了一个边赋权图，每个顶点都有一个度界。预先给定一个根顶点，我们以在线方式接收一个终端顶点序列。在终端到达时，我们需要扩大我们的解子图，以将新终端连接到根。我们的目标是最小化解决方案的总权重，同时尊重顶点的度界限。在离线设置边加权度有界Steiner树（EW-DB-ST）和它的许多变种已被广泛研究，因为八十年代初。不幸的是，在线网络设计问题的最新进展本质上很难适应度有限的问题。与此相反，本文利用最优解的结构性质，将EW-DB-SF问题归结为一个指数规模的混合填充/覆盖整数规划，其中每个变量在覆盖约束中只出现一次，从而得到了我们的结果.然后，我们设计了一个通用的积分算法来解决这个限制家庭的IP。我们展示了一种新的技术解决混合包装/覆盖整数规划。定义一个程序的覆盖频率k为一个变量可以参与的覆盖约束的最大数目。令m表示包装约束的数量。针对混合填充/覆盖整数规划问题，设计了一个竞争比为O（klogm）的在线确定性积分算法.我们相信这种技术可以作为一个有趣的替代标准的原始对偶技术在解决在线问题。
2017-04-19 cs.DS
An Improved Approximation Algorithm for Metric Triangle Packing
本文研究了最大权度量三角形装箱问题，通过改进现有随机近似算法，将近似比从 $(0.66768-\varepsilon)$ 提升至 $(0.66835-\varepsilon)$，并提供了去随机化方法。
2024-02-13 cs.DS
Polynomial-Time Approximation Schemes for Circle and Other Packing Problems
我们给出了一个渐近逼近方案（APTAS）的问题包装成一组圆的最小数量的单位平方箱。为了获得合理的解决方案，我们使用的高度$1+γ$，一些任意小的数字$γ> 0$的增强箱。我们的算法是关于$\log 1/γ$的多项式，因此$γ$是问题输入的一部分。对于$γ$为常数的特殊情况，我们给出了一个（一维）资源扩充方案，即用不超过最优装箱中的箱数得到一个单位宽和单位高的箱$1+γ$的装箱.此外，我们得到了一个APTAS的圆带包装问题，其目标是包装成一个单位宽度和最小高度的带一组圆。这些是解决这些问题的第一近似和资源增加计划。我们的算法是基于新的想法，迭代分离小和大的项目，并可能会扩展到广泛的包装问题，满足一定的条件。这些扩展包括不同种类的项目的问题，如正多边形，或不同形状的箱子，如圆形和球形。作为一个例子，我们得到的APTAS的包装问题的d-维球成超立方体下的$L_p$ -范数。
2014-12-15 cs.DS
A Generalized Approximation Framework for Fractional Network Flow and Packing Problems
本文将Garg和Koenemann的分式包装框架推广到多面体锥上的线性分式包装问题。更确切地说，我们提供了近似算法的问题的形式$\max\{c^T x : Ax \leq b, x \in C \}$，其中矩阵$A$不包含负的条目和$C$是一个锥，是由一个有限的集$S$的非负向量。虽然锥可以要求指数大小的表示，但我们假设可以通过三种类型的预言机之一来访问它。对于这些预言，我们提出了积极的结果，包装问题的近似性。与其他框架相比，所提出的框架允许使用任意线性目标函数，并可以应用于一个大类的包装问题，没有太多的努力。特别是，我们的框架立即允许导出快速和简单的完全多项式时间近似算法（FPTAS）的一个大的网络流问题，如传统的网络流，多商品流，或广义流量的约束版本。其中一些FPTAS代表了同类中的第一个，而另一些则与现有结果相匹配，但提供了更简单的证明。
2016-12-16 cs.DS
Approximation Algorithms for Rectangle Packing Problems (PhD Thesis)
在矩形填充问题中，我们的任务是将轴对齐的矩形放置在给定的平面区域中，使它们彼此不重叠。在矩形的最大权独立集（MWISR）中，它们的位置是给定的，我们只能选择要选择的矩形，同时试图最大化它们的总重量。在条形包装（SP）中，我们必须将所有给定的矩形包装在一个固定宽度的矩形区域中，同时最小化其高度。在二维几何背包（2DGK）中，目标区域是给定大小的正方形，我们的目标是选择和包装给定矩形的最大权重的子集。我们研究了MWISR的推广，并使用它来提高近似的资源分配问题称为bagUFP。我们重新审视了SP和2DGK的一些经典结果，提出了一个框架，基于更小的容器，包装有更简单的规则;虽然这个计划的变化确实是在这方面的标准技术，我们抽象出一些特定问题的差异，获得更简单的算法，适用于不同的问题。我们得到了改进的近似SP在伪多项式时间，并为2DGK的一个变种，其中可以旋转90°的矩形。对于后者，我们提出了第一个算法的近似因子优于2。对于2DGK的主要变体（没有旋转），基于容器的方法似乎在近似因子中面临2的自然障碍。因此，我们考虑一种广义的包装，它将容器包装与另一个包装问题结合起来，我们称之为L-包装问题，其中我们必须在平面的L形区域中包装矩形。通过找到该问题的一个（1 + ε）-近似，并利用2DGK的组合结构，我们得到了第一个突破该问题的近似因子为2的障碍的算法.
2017-11-21 cs.DS
Covering and packing mixed-integer linear programs with a fixed number of constraints: Approximation and convex hull
Research Center for Operations Research & Statistics, KU Leuven（鲁汶大学运筹学与统计学研究中心）
本文提出了一种针对固定数量约束的覆盖混合整数线性规划问题的近似算法，并改进了背包覆盖问题的近似算法。
2026-02-11 cs.DS
An Improved Approximation Algorithm for Maximum Weight 3-Path Packing
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Kyung Hee University（庆熙大学）
本文提出了一种改进的10/17近似算法，用于解决最大权重3路径打包问题，通过三种算法的权衡提升近似比。
2025-12-16 cs.DS
Online Packing and Covering Framework with Convex Objectives
我们考虑在线分数覆盖问题的凸目标，覆盖约束随着时间的推移。形式上，我们想要求解$\min\,\{f(x) \mid Ax\ge \mathbf{1},\, x\ge 0\},$，其中目标函数$f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$是凸的，并且约束矩阵$A_{m\times n}$是非负的。$A$的行随着时间的推移而在线，并且我们希望始终保持可行的解决方案$x$，同时仅增加$x$的坐标。我们还考虑“对偶”包装问题的形式$\max\,\{c^\intercal y - g(μ) \mid A^\intercal y \le μ,\, y\ge 0\}$，其中$g$是一个凸函数。在在线设置中，变量$y$和$A^\intercal$的列随时间到达，我们希望保持非递减解$(y,μ)$。我们提供了一个在线的原始-对偶框架，这两类问题的竞争比取决于某些“单调性”和“平滑性”参数的$f$ ;我们的结果匹配或改进的保证，为一些特殊的功能类$f$考虑以前。使用这个分数求解器与问题相关的随机舍入程序，我们获得了以下问题的竞争算法：在线覆盖LP最小化$\ell_p$ -规范的任意包装约束，集覆盖多个成本函数，容量约束的设施位置，容量限制的组播问题，集覆盖与集请求，和利润最大化与不可分离的生产成本。其中一些结果是新的，其他的提供了一个统一的观点，以前的结果，匹配或稍差的竞…
2014-12-29 cs.DS
Solving Packing Problems with Few Small Items Using Rainbow Matchings
组合优化的一个重要领域是研究装箱和覆盖问题，如装箱问题、多背包问题和装箱覆盖问题。这些问题已经从近似算法的角度得到了广泛的研究，但它们的参数化复杂性却很少被研究。对于不包含“小”项的问题实例，经典的匹配算法在多项式时间内产生最优解。在本文中，我们接近他们的距离，从平凡，测量问题的复杂性的小项目的数量$k$。我们的主要成果是固定参数的矢量版本的装箱，多背包，箱覆盖$k$参数化的算法。这些算法是随机的，具有单侧误差，并在时间$4^{k} \cdot k! \cdot n^{O(1)}$中运行。为了实现这一点，我们引入了一个彩色匹配的问题，我们减少所有这些包装问题。颜色匹配问题本身是自然的，我们希望它对其他应用程序是有用的。我们还提出了一个确定性的固定参数装箱运行时间$(k!)^{2}\cdot k \cdot 2^{k}\cdot n\cdot \log(n)$。
2020-07-06 cs.DS
Approximation Algorithms for Demand Strip Packing
在需求带包装问题（DSP）中，我们给出了一个时间间隔和一个任务集合，每个任务的特征是处理时间和对给定资源（如电力，计算能力等）的需求。一个可行的解决方案包括在上述时间间隔内的任务的时间表。我们的目标是最小化峰值资源消耗，即在任何时间点执行的任务的最大总需求。众所周知，DSP在因子3/2以下是NP难近似的，并且用于相关问题的标准技术意味着（多项式时间）2近似。我们的主要结果是一个（5/3+eps）-近似算法的任何常数eps>0。我们还实现了一些相关的特殊情况下的最佳可能的近似因子。
2021-05-19 cs.DS
Dynamic Matroids: Base Packing and Covering
TU Graz（格拉茨工业大学）；Department of Computer Science, University of Salzburg（萨尔茨堡大学计算机系）
本文提出动态Matroid中基集打包和覆盖的高效算法，以(1±ε)精度近似基集相关参数，适用于动态更新场景。
2026-02-09 cs.DS
Iterative Packing for Demand and Hypergraph Matching
迭代舍入在优雅地解决由覆盖约束主导的问题的近似性方面取得了巨大的成功。虽然迭代舍入方法已被应用于包装问题，没有一个单一的方法已经出现，匹配的有效性和简单性所提供的覆盖情况。我们提供了一个简单的迭代包装技术，保留功能的Jain的开创性的方法，包括属性，即在每次迭代过程中舍入的元素的分数值的大小有一个直接影响的近似保证。我们将迭代填充应用到广义匹配问题中，包括需求匹配和$k$ -列-稀疏列-限制填充（$k$ -CS-PIP），并得到了近似算法，基本上解决了这些问题的完整性缺口。我们提出了一个简单的确定性$2k$ -近似的$k$-CS-PIP，其中一个$8k$ -近似是最好的确定性算法先前已知的。在这种情况下，完整性间隙至少为$2(k-1+1/k)$。我们还给出了一个确定性的$3$ -近似的需求匹配的推广，解决其自然的完整性差距。
2016-04-01 cs.DS
Geometry Meets Vectors: Approximation Algorithms for Multidimensional Packing
本文研究了广义多维装箱问题（GVBP），它是几何装箱和向量装箱的推广。这里，我们给出了$n$矩形项，其中$i^{\textrm{th}}$项具有宽度$w(i)$、高度$h(i)$和$d$非负权重$v_1(i), v_2(i), \ldots, v_{d}(i)$。我们的目标是得到一个轴平行的非重叠包装的项目到方形箱，使所有$j \in [d]$，在每个箱中的项目的$j^{\textrm{th}}$重量的总和是最多为1。这是物流、资源分配和调度中出现的自然问题。尽管在实践中得到了很好的研究，令人惊讶的是，这个问题的近似算法很少被探索。我们首先得到两个简单的算法GVBP具有渐近逼近比$6(d+1)$和$3(1 + \ln(d+1) + \varepsilon)$。然后，我们扩展了Round-and-Approx（R&A）框架[Bansal-Khan，SODA'14]到更广泛的算法类别，并展示了它如何适应GVBP。使用更复杂的技术，我们得到更好的近似算法GVBP，我们得到进一步的改进，通过将它们与R&A框架相结合。这给出了GVBP的$2(1+\ln((d+4)/2))+\varepsilon$的渐近逼近比，对于$d=1$的特殊情况，它改进为$2.919+\varepsilon$。当项目被允许旋转时，我们得到了进一步的改进。我们还提出了一个推广的GVBP的项目是高维长方体的算法。
2021-06-26 cs.DS
A Fully Polynomial Time Approximation Scheme for Packing While Traveling
了解不同的组合优化问题在现实世界中的应用之间的相互作用是一项具有挑战性的任务。最近，旅行小偷问题（TTP），作为一个经典的旅行推销员问题和背包问题的组合，已被引入到研究这些相互作用的一个系统的方式。我们调查的基本非线性包装，而旅行（PWT）问题的TTP项目必须选择沿固定的路线。我们给出了一个精确的动态规划方法，这个问题和一个完全的多项式时间近似计划（FPTAS）时，最大限度地提高效益，可以获得超过基线旅行成本。我们的实验研究表明，我们的新方法优于目前国家的最先进的方法在广泛的基准实例。
2017-02-17 cs.DS
On the 2D Demand Bin Packing Problem: Hardness and Approximation Algorithms
本文研究二维需求装箱问题，证明短高度任务和正方形任务变体在优于2的因子内近似是NP困难的，并基于通用框架结合First-Fit推广给出最优近似算法及一般情形的3近似算法。
2025-08-18 cs.DS
Moving intervals for packing and covering
研究了带运动的几何填充与覆盖的几个问题。给定$κ$不同长度的$n$区间族$\mathcal{I}$和另一个区间$B$，我们是否可以通过移动$τ$区间而保持其他$σ= n - τ$区间不变，将$\mathcal{I}$中的区间打包在$B$中（分别用$\mathcal{I}$中的区间覆盖$B$）？我们证明了当$κ$、$τ$和$σ$中的任何一个作为单参数时，填充和覆盖都是W[1]-hard的，而当$κ$和$τ$作为组合参数时，填充和覆盖都是FPT的.当$\mathcal{I}$中的所有区间具有相同的长度时，我们还得到了改进的多项式时间的填充和覆盖算法，包括一个$O(n\log^2 n)$时间的覆盖算法。
2021-09-01 cs.CC cs.CG cs.DS
Approximation Algorithms for Packing Cycles and Paths in Complete Graphs
本文针对完全图中的k-环/路径打包问题，提出了改进的近似算法，在多个参数设置下显著提升了近似比，如度量5-环从3/5提升到7/10，度量4-路径从3/4提升到14/17。
2024-05-27 cs.DS
Bin packing with general cost structures
根据Anily等人的工作，我们考虑了装箱的一种变体，称为“具有一般代价结构的装箱”（GCBP），并设计了用于该问题的渐近完全多项式时间近似方案（AFPTAS）。在经典的装箱问题中，一组一维物品被分配到总尺寸至多为1的子集中，也就是说，被包装到单位尺寸的箱子中。然而，在GCBP中，箱子的成本不像经典的箱子包装那样是1，而是其中包装的物品数量的非减凹函数，其中空箱子的成本为零。AFPTAS的建设需要新的技术来处理小项目，这是在这项工作中开发的。此外，我们开发了一个快速的近似算法，该算法对所有非减函数和凹函数都具有相同的作用，并且对所有函数同时具有1.5的渐近逼近比。
2009-06-27 cs.DS
Approximating Bin Packing with Conflict Graphs via Maximization Techniques
本文对带冲突装箱问题进行了全面的研究。输入是项目、大小$s:I \rightarrow [0,1]$和冲突图$G = (I,E)$的集合$I$。我们的目标是找到一个分区的$I$到一个最小数目的独立集，每个总大小最多$1$。作为图着色难题的推广，BPC主要研究多项式可着色冲突图。一个有趣的开放性问题是，BPC在这样的图上是否承认与经典装箱相同的最佳近似保证。我们回答这个问题是否定的，通过显示（与装箱相反），有没有渐近多项式时间近似计划（APTAS）的BPC已经在看似简单的图形类，如二分和分裂图。我们补充这一结果与改进的近似保证BPC几个突出的图形类。最值得注意的是，我们得到了一个渐近$1.391$ -近似的二分图，$2.445$ -近似的完美图，和$\left(1+\frac{2}{e}\right)$ -近似的分裂图。为此，我们引入了一个通用的框架，依赖于一个新的解释BPC，使我们能够通过最大化技术来解决问题。我们的框架可能会发现用于解决BPC在其他图形类中出现的应用程序。
2023-02-21 cs.DS
A parallel approximation algorithm for mixed packing and covering semidefinite programs
对一类混合填充和覆盖半定规划问题提出了一种并行近似算法，该算法推广了Jain和Yao [2011]所考虑的半正定规划问题.作为推论，我们得到了一个更快的近似算法的半正定程序与更好的依赖于并行运行时间的近似因子，相比，Jain和姚[2011]。我们的算法和分析与Young [2001]的算法和分析类似，Young [2001]考虑了类似的线性规划。
2012-01-29 cs.DC cs.DS
On Polynomial Kernels for Integer Linear Programs: Covering, Packing and Feasibility
本文研究了整数线性规划的可行性判定问题，以及寻找覆盖和填充整数线性规划的好解问题的多项式核的存在性。我们的主要结果如下：首先，我们表明，ILP可行性问题承认没有多项式核化时，参数化的变量和约束的数量，除非NP \subseteq coNP/聚。这扩展到有限的情况下，有界变量的程度和有限数量的变量，每个约束，并覆盖和包装的ILP。其次，我们给出了覆盖ILP问题的多项式核化，当A是行稀疏的时，要求解Ax >= b，c^Tx <= k，由k参数化;这推广了具有0/1-变量和系数的特殊情况（d-命中集）的已知多项式核化。
2013-02-15 cs.CC cs.DS
AFPTAS results for common variants of bin packing: A new method to handle the small items
我们考虑两个著名的自然变种箱包装，并表明，这些包装问题承认渐近充分多项式时间近似计划（AFPTAS）。在装箱问题中，一组尺寸至多为1的一维物品被分配（打包）到总和至多为1的子集（箱）。一段时间以来，人们已经知道，最基本的问题是承认一个AFPTAS。在本文中，我们开发的方法，允许扩展这一结果的其他变种装箱。具体来说，我们在本文中研究的问题，我们设计的渐近完全多项式时间逼近计划，如下。第一个问题是“具有基数约束的装箱”，其中给定参数k，使得一个bin可以包含多达k个项目。目标是最小化使用的箱数。第二个问题是“带拒收的装箱”，其中每件物品都有一个与之相关的拒收惩罚。一件物品要么被装箱，要么被拒收，目标是最小化使用的箱子数量加上未装箱物品的总拒收惩罚。这解决了装箱问题的两个重要变体的复杂性。我们的近似方案使用一种新的方法包装的小项目。这种新方法的核心是改进的运行时间的我们的计划比以前的结果，这只是渐近多项式时间近似计划（APTAS）的运行时间。
2009-06-27 cs.DS
Approximation Algorithms for Norm-Budgeted Packing Problems
Univ. Waterloo（滑铁卢大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
研究范数预算打包问题，通过涉及单调、对称范数的范数预算约束建模资源，将多种经典打包问题纳入框架，开发框架获得常数因子近似保证及相关问题的PTAS，并为子模版本开发常数因子近似算法。
2026-07-15 cs.DS
Partial Degree Bounded Edge Packing Problem with Arbitrary Bounds
本文研究了文献[5]中提出的偏度有界边装箱问题。他们已经证明，即使是一致度约束，这个问题也是NP难的。对于顶点的度约束分别为1和2，逼近比分别为2和32=11的情况，给出了近似算法。在这项工作中，我们研究了一般的度约束的情况下（任意度约束的每个顶点），并提出了两个组合近似算法的近似因子为4和2。我们还研究了整数规划的求解问题，并给出了一个迭代舍入算法，对于任意正的ε，逼近因子为3/（1 - ε）^2。接下来，我们研究加权边的相同问题。在这种情况下，我们提出了一个O（log n）的近似算法。Zhang在一致度约束下给出了一个精确的O（n^2）复杂度的树算法。我们改进了他们的结果，给出了一般度约束下树的O（nlog n）复杂性的精确算法.
2012-12-17 cs.DS
Approximation Algorithms for Perfect Fair-Triangle Packing
Gianforte School of Computing, Montana State University（蒙大拿州立大学 Gianforte 计算机学院）；Division of Information System Design, Tokyo Denki University（东京电机大学信息系统设计系）
本文针对首个被研究的NP难问题完美公平三角形打包（PFTP），提出了基于匹配的确定性1/3近似算法与含最大权[1,2]-因子等技术的随机(16/47-ε)近似算法。
2026-08-24 cs.DS
Representative families for matroid intersections, with applications to location, packing, and covering problems
我们展示了算法计算代表家庭的拟阵交叉点，并使用它们在固定参数的算法集包装，集覆盖，和设施的位置问题与多个拟阵约束。我们用硬度结果来补充我们的易处理性结果。
2021-02-28 cs.DM cs.DS math.OC
A Linear Approximation Algorithm for 2-Dimensional Vector Packing
我们研究的二维向量装箱问题，这是一个推广的经典装箱问题，其中每个项目有2个不同的权重，每个箱子有2个相应的容量。目标是将项目分组到最小数量的箱子中，而不违反箱子容量约束。我们提出了一个O（n^2）时间的近似算法，该算法是由Chang，Hwang和Park提出的.
2011-03-01 cs.DM cs.DS
Distributed algorithms for covering, packing and maximum weighted matching
本文给出了具有次模代价和单调覆盖约束的复盖问题的多对数轮分布D-近似算法。近似比D是任何约束中的最大变量数。特殊情况包括覆盖混合线性规划（CMIP）和加权顶点覆盖（D=2）。通过对偶性，本文还给出了分数包装线性规划（其中D是变量出现的最大约束数）和超图中的最大加权c-匹配（其中D是任意超边的最大尺寸，对于图D=2）的多对数轮分布D-近似算法。本文还给出了每个约束两个变量和加权顶点覆盖的CMIP的并行（RNC）2-近似算法。算法是随机的。所有的近似比完全匹配可比的集中式算法。
2020-05-27 cs.DC cs.DS
Tight Approximation Algorithms for Two Dimensional Guillotine Strip Packing
在带式装箱问题中，我们给出一个垂直半带$[0,W]\times[0,\infty)$和一组宽度至多为$W$的$n$轴对齐矩形。目标是找到所有矩形到条带中的非重叠填充，使得填充的高度最小化。一个被充分研究和经常使用的实际约束是只允许那些可截断分离的填料，即，可以通过递归地应用一系列边到边的轴平行切割（截断切割）来获得填充中的每个矩形，所述切割不与解的任何项相交。在本文中，我们研究的近似算法的断头台带包装问题（GSP），即，带包装的问题，我们还要求包装需要是切纸机分离。该问题推广了经典装箱问题和同类机器最大完工时间最小化问题，因此它已经是强NP-困难的。此外，由于从分区问题的减少，它是NP-难获得多项式时间$(3/2-\varepsilon)$ -近似算法的GSP的任何$\varepsilon>0$（完全作为带包装）。我们提供了一个匹配的多项式时间$(3/2+\varepsilon)$近似算法的GSP。在此基础上，我们提出了一个伪多项式时间的$(1+\varepsilon)$ -近似算法.这是令人惊讶的，因为在伪多项式时间内获得用于（一般）条带包装的$(5/4-\varepsilon)$近似算法是NP难的。因此，我们的结果基本上解决了GSP的多项式和伪多项式设置的逼近性。
2022-05-06 cs.CG cs.DS
A Simple Distributed Algorithm for Sparse Fractional Covering and Packing Problems
本文提出一种简单的CONGEST模型分布式算法，对RS-FCP和CS-FPP实现$(1+ε)$-近似，较已知最佳算法更简单且显著改善了对$ε$的依赖。
2024-09-24 cs.DC cs.DS
An Improved Approximation for Maximum Weighted $k$-Set Packing
我们考虑加权$k$ -集装箱问题，其中我们给定一个加权集的集合，每个加权集最多有$k$元素，并且必须返回一个具有最大总权重的成对不相交集的集合。对于$k = 3$，这个问题推广了经典的三维匹配问题，被列为卡普的原始21个NP完全问题之一。本文给出了加权3-集Packing的逼近因子$1.786$的一个算法，改进了Neuwohner的$2-\frac{1}{63,700,992}$的最近最好结果.我们的算法是基于Berman的局部搜索过程，试图提高平方权重的总和，而不是问题的目标。当使用最多$k$大小的交换时，该算法获得近似因子$\frac{k+1}{2}$。使用大小$k^2(k-1) + k$的交换，我们提供了一个相对简单的分析，当$k = 3$。然后，我们表明，我们开发的工具，可以适应更大的交换大小$2k^2(k-1) + k$给一个近似因子为1.786。虽然我们主要关注的是$k = 3$的情况下，我们的方法实际上给所有$k > 3$的因素$\frac{k+1}{2}$稍强的改进。在以前的作品中，我们的保证也举行了更一般的问题，找到一个最大的重量独立的一个$(k+1)$爪免费图。
2023-01-18 cs.DS
An Absolute 2-Approximation Algorithm for Two-Dimensional Bin Packing
我们考虑的问题包装矩形箱是单位平方，其中的目标是最小化使用的箱子的数量。所有的矩形必须是非重叠和正交的，即，轴平行。我们提出了一个算法，这个问题的绝对最坏情况下的比率为2，这是最佳的提供P！NP.
2009-03-13 cs.CC cs.DS
A 3/2--approximation for big two-bar charts packing
本文考虑一个双条形图装箱问题（2-BCPP），其中需要将双条形图（2-BC）装箱成一个最小长度的单位高度条。该问题是装箱问题（BPP）的推广。在此之前，我们提出了一个$O(n^2)$ -时间算法，该算法构造了长度最多为$2\cdot OPT+1$的包装，其中$OPT$是$n$ 2-BC包装的最小长度.在本文中，我们提出了一个$O(n^4)$ -时间3/2-近似算法时，每个BC至少有一个酒吧大于1/2。
2020-06-18 cs.DM cs.DS
Improved Pseudo-Polynomial-Time Approximation for Strip Packing
我们研究了带包装问题，一个经典的包装问题，推广了装箱和最大完工时间最小化。在这里，我们给出了一组轴平行的矩形在二维平面和目标是包装他们在一个固定宽度的垂直带，使所获得的包装的高度最小化。包装必须不重叠，矩形不能旋转。从划分问题的简化表明，在多项式时间内，对于条带填充，没有比3/2更好的近似是可能的（假设P $\neq$ NP）。Nadiradze和Wiese [SODA 16]通过提出伪多项式时间（PPT）中的$(\frac{7}{5}+ε)$ -近似算法克服了这一障碍。由于该问题是强NP-难的，不允许有精确的PPT算法。本文进一步研究了条形排样的PPT逼近问题，提出了一种$(\frac43+ε)$ -近似算法。我们的结果基于Nadiradze和Wiese的构造所留下的\emph{empty space}中的一些矩形的非平凡重新包装，并且在某种意义上将他们的方法推向了极限。我们的PPT算法可以适应的情况下，我们被允许旋转矩形$90^\circ$，实现相同的近似因子和打破多项式时间的近似障碍3/2的情况下，旋转。
2018-01-23 cs.CG cs.DS
Hardness and Tight Approximations of Demand Strip Packing
本文研究了Demand Strip Packing (DSP)问题的伪多项式复杂度，证明其近似比低于5/4时是强NP难的，并提出了近似比为(5/4+ε)的伪多项式时间近似算法，在P≠NP假设下几乎最优。
2025-07-01 cs.DS
A Tight Approximation for Submodular Maximization with Mixed Packing and Covering Constraints
受机器学习中子集选择和数据汇总等应用的启发，我们考虑了混合填充和覆盖约束下的单调子模函数最大化问题。我们提出了一个紧密的近似算法，对于任何常数$ε>0$实现了$1-\frac{1}{\mathrm{e}}-ε$的保证，同时违反覆盖约束的乘法因子$1-ε$。我们的算法是基于一种新的枚举方法，它不同于以前已知的枚举技术，可以处理包装和覆盖约束。我们扩展了上述主要结果，另外处理拟阵的独立性约束，以及寻找（近似）帕累托集最优解时，多个子模块化的目标。最后，我们提出了一种新的和纯粹的组合动态规划方法，可以应用到几个特殊情况下的问题产生不仅{ \em确定性}，但也相当快的算法。例如，对于仅填充约束的充分研究的特殊情况（Kulik { \em et. al.} [数学。Res. `13]和Chekuri { \em et. al.} [FOCS 10]），我们能够提出第一个确定性的非平凡的近似算法。我们相信我们的新组合方法可能是独立的利益。
2018-12-19 cs.DM cs.DS
Submodular Maximization with Matroid and Packing Constraints in Parallel
我们考虑的问题，最大限度地提高多线性扩展的子模函数受一个单一的拟阵约束或多个包装约束与少量的自适应轮的评估查询。我们获得了第一个算法与低适应性的子模极大化与拟阵约束。我们的算法实现了$1-1/e-ε$近似的单调函数和$1/e-ε$近似的非单调函数，这几乎匹配的最佳保证已知的完全自适应设置。自适应轮数为$O(\log^2{n}/ε^3)$，这是一个指数加速比现有的算法。我们得到了第一个并行算法的非单调子模极大化包装约束。我们的算法实现了一个$1/e-ε$近似使用$O(\log(n/ε) \log(1/ε) \log(n+m)/ ε^2)$并行轮，这又是一个指数级的加速比在现有的算法的并行时间。对于单调函数，我们在$O(\log(n/ε)\log(m)/ε^2)$并行循环中得到了一个$1-1/e-ε$近似。我们的算法的并行轮数匹配的最先进的算法解决包装LP与线性目标。我们的结果适用于更普遍的问题，最大化的递减收益次模（DR-次模）功能。
2018-11-09 cs.DS
Faster exact and approximation algorithms for packing and covering matroids via push-relabel
拟阵是组合优化的一个基本研究对象。涉及拟阵的三个密切相关的重要问题是最大化$k$独立集的并（即$k$ -fold拟阵并），计算$k$不相交基（又称不相交基），以及如何计算不相交基。拟阵基包装），以及用$k$基覆盖元素（a.k.a.拟阵基覆盖）。这些问题自然地推广到元素上的积分和实值容量。这项工作开发更快的精确和/或近似问题，这些和其他一些密切相关的问题，如最佳加固和拟阵成员。我们得到改进的运行时间一般拟阵的独立预言模型和图形拟阵。我们改进的主要动力来自于为这些问题的整数容量版本开发一个更快和统一的push-relabel算法，建立在Frank和Miklós以前的工作基础上[FM 12]。然后，我们在两个方向上建立这个算法。首先，我们开发了一个更快的增广路径子程序$k$折叠拟阵联盟，当附加到一个近似版本的推重新标记算法，给出了一个更快的精确算法的一些参数的$k$。特别是，我们得到了一个子二次查询运行时间在无容量限制的设置为上面列出的三个基本问题。我们还获得了更快的近似算法，这些问题的实值容量减少到小的整数容量，通过随机舍入。为此，我们开发了一个新的随机舍入技术的基础覆盖问题拟阵，也可能是独立的利益。
2023-03-02 cs.DS
A PTAS for Packing Hypercubes into a Knapsack
研究了d维超立方体背包问题，其中给定一组具有相关利润的d维超立方体，以及一个单位d维超立方体的背包。我们的目标是找到一个轴对齐的非重叠包装的一个子集的超立方体，使包装的超立方体的利润最大化。对于这个问题，Harren（ICALP'06）给出了一个近似比为（1+1/2 ^d + n）的算法。对于d=2，Jansen和Solis-Oba（IPCO'08）表明该问题允许多项式时间近似方案（PTAS）; Heydrich和Wiese（SODA'17）进一步改进了运行时间并给出了有效的多项式时间近似方案（EPTAS）。这两个结果都使用了2-D填充的结构性质，但不能推广到更高的维度。当d>2时，仍然有可能得到PTAS，事实上，自Harren的结果以来，没有任何改进。我们通过提供PTAS来解决这个问题。我们的主要技术贡献是一个结构引理，它表明，任何包装的超立方体可以转换成另一个结构化包装，使一个高利润的子集的超立方体包装成一个常数的特殊超立方体，称为V盒和N盒。作为一个侧面的结果，我们给出了一个几乎最优的算法在更高的维度带包装问题的一个变种。这可能有其他多维几何包装问题的应用。
2022-04-26 cs.DS
Bin Packing Problem: A Linear Constant-Space 3/2-Approximation Algorithm
装箱问题（BPP）是NP难问题之一，已有许多近似算法被提出，证明了当P=NP时，最佳算法的近似比为3/2，时间阶为O（n）。本文提出了一种线性3/2-近似算法。该算法不仅具有最佳的理论因子、逼近比、空间阶数和时间阶数，而且实验结果表明，该算法优于其它近似算法，因此，我们可以得出结论，该算法是迄今为止针对该问题提出的最佳近似算法。关键词：近似算法，装箱问题，近似比，NP难。
2016-01-09 cs.DM cs.DS
Approximation Algorithms for Drone Delivery Packing Problem
无人驾驶飞行器（也称为无人机）的最新进展促使物流部门使用无人机进行多种操作。无人机和卡车在最后一英里交付系统中的合作有许多好处，并减少了许多挑战。在本文中，我们介绍了\textit{drone-delivery packing problem}（DDP），其中我们有一组交付和各自的客户，他们的规定位置，交付时间间隔，相关的交付成本，以及一组具有相同电池预算的无人机。DDP的目标是通过使用受电池预算和每个无人机分配的兼容性影响的最小数量的无人机来为所有交付无人机找到分配。证明了DDP是NP-Hard问题，给出了DDP的整数线性规划（ILP）形式，并提出了DDP的两种贪婪近似算法。第一种算法最多使用$2OPT + (Δ+ 1)$无人机。第二种算法最多使用$2OPT + ω$无人机，其中OPT是DDP的最优解，$ω$是最大团大小，$Δ$是由交付时间间隔构造的间隔图$G$的最大度。
2022-08-30 cs.DS
Improved approximation for 3-dimensional matching via bounded pathwidth local search
最自然的优化问题之一是k-Set Packing问题，其中给定一个大小至多为k的集合族，应该选择一个最大大小的成对不相交集合子族。3-Set Packing的一个特例是众所周知的3-Dimensional Matching问题。这两个问题都属于卡普的21个NP完全问题。最著名的多项式时间近似比k-集合包装是（k + eps）/2，并回到工作的Hurkens和Schrijver [SIDMA '89]，它给出了（1.5 + eps）-近似的三维匹配。这些结果是通过一个简单的局部搜索算法获得的，该算法使用恒定大小的交换。本文的主要结果是一种新的方法，局部搜索的k-集包装，只考虑一种特殊类型的交换，我们称之为交换有界的路径宽度。我们发现，对于一个固定的k值，可以搜索的空间r-大小的交换恒定的路径宽度在c^r聚（|F|）的时间。此外，我们提出了一个分析证明，一个本地搜索最大值相对于O（log |F|）的大小交换恒定的路径宽度产生一个多项式时间（k + 1 + eps）/3-近似算法，提高了已知的最佳近似比k-集包装。特别是，我们提高了3-维匹配的近似比从3/2 + eps到4/3 + eps。
2013-08-20 cs.DS
Bin Packing Problem: Two Approximation Algorithms
装箱问题是最重要的优化问题之一。近年来，由于它的NP难性质，已经提出了几种近似算法。证明了当P=NP时，求解装箱问题的最佳算法的逼近比为3/2，时间复杂度为O（n）。本文首先提出了一种3/2-近似算法，然后对FFD算法进行了改进，使其时间阶数降为线性。最后，将这些近似算法与其它几种近似算法进行了比较。实验结果表明，本文提出的算法是有效的.总之，研究的主要目标是提出不仅具有最佳理论标准，而且在实践中表现出相当有效的方法。
2015-08-06 cs.DM cs.DS
Hardness of approximation for strip packing
条形包装是一个经典的包装问题，其目标是将一组矩形物体包装成给定宽度的条带，同时最小化包装的总高度。该问题有多种应用，例如在调度和库存切割，并已被广泛研究。当允许对象的维度在总输入大小中为指数时，已知问题不能在比$3/2$更好的因子内近似，除非$\mathrm{P}=\mathrm{NP}$。然而，对于多项式有界的输入数据没有相应的下限。事实上，Nadiradze和Wiese [SODA 2016]最近针对该变体提出了一种$(1.4 + ε)$近似算法，从而表明，与允许输入数据中的指数大值相比，可以更好地近似多项式有界数据的条带填充。他们的结果随后被两个独立的研究小组改进为$(4/3 + ε)$近似值[FSTTCS 2016，arXiv：1610.04430]。这就提出了一个问题是否带包装多项式有界的输入数据承认准多项式时间近似计划，是相关的二维包装问题，如最大独立集的矩形或二维背包的情况。在本文中，我们回答这个问题的否定证明，它是NP-困难的近似带包装内的一个因素优于$12/11$，即使只允许多项式有界的输入数据。特别地，这表明，带包装问题不允许准多项式时间近似方案，除非$\mathrm{NP} \subseteq \mathrm{DTIME}(2^{\mathrm{polylog}(n)})$。
2016-10-25 cs.CC cs.DS
Approximate the k-Set Packing Problem by Local Improvements
我们研究了基于局部改进的$k$ -集合装箱问题的算法。Hurkens和Schrijver的著名局部改进算法已经被Sviridenko和Ward从$\frac{k}{2}+ε$改进为$\frac{k+2}{3}$，并且对于任何$ε>0$由Cygan改进为$\frac{k+1}{3}+ε$。本文在Sviridenko和Ward提出的方法的基础上，利用一个简单的多项式时间算法得到了$k$ -Set Packing问题的逼近比$\frac{k+1}{3}+ε$.在相同的近似保证下，我们的算法在$\frac{1}{ε^2}$中的时间是单指数的，而Cygan的算法在$\frac{1}ε$中的时间是双指数的.另一方面，我们构造了一个具有局部间隙$\frac{k+1}{3}$的实例，用于任何使用大小为$O(n^{1/5})$的局部改进的算法，这里$n$是集合的总数。因此，我们的近似保证是最佳的结果可实现的算法的基础上局部改进。
2014-06-10 cs.DS
A Dense Hierarchy of Sublinear Time Approximation Schemes for Bin Packing
装箱问题是要找到最小数量的尺寸为1的箱子，以将尺寸为$a_1,..., a_n$的物品列表装入$(0,1]$中。使用均匀抽样，每次从输入列表中选择一个随机元素，我们开发了一个随机$O({n(\log n)(\log\log n)\over \sum_{i=1}^n a_i}+({1\over ε})^{O({1\overε})})$时间$(1+ε)$近似计划装箱问题。我们发现，每一个均匀随机抽样的随机算法需要$Ω({n\over \sum_{i=1}^n a_i})$时间给出一个$(1+ε)$近似。对于每个函数$s(n): N\rightarrow N$，将$\sum(s(n))$定义为所有装箱问题的集合，其中项目大小之和等于$s(n)$。对于一个常数$b\in (0,1)$，$\sum(n^{b})$中的每个问题都有一个$O(n^{1-b}(\log n)(\log\log n)+({1\over ε})^{O({1\overε})})$时间$(1+ε)$ -近似，用于任意常数$ε$。另一方面，对于某些常数$ε>0$，$\sum(n^{b})$中的装箱问题没有$o(n^{1-b})$时间$(1+ε)$ -近似方案。
2011-02-24 cs.CC cs.DS
