Nordhaus-Gaddum for Treewidth
Gwenaël Joret, David R. Wood
我们证明了对于每个顶点为$n$的图$G$，$G$的树宽加上$G$的补图的树宽至少为$n-2$ .这个界限很紧.
We prove that for every graph $G$ with $n$ vertices, the treewidth of $G$ plus the treewidth of the complement of $G$ is at least $n-2$. This bound is tight.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Nordhaus-Gaddum Theorem for the Distinguishing Chromatic Number
Nordhaus和Gaddum证明了，对任意图G，G的色数加上G的补图的色数等于或小于G的顶点数加1.芬克的特点是一类图，满足平等在这个界限。在本文中，我们提供了这类图的一个新的特征，顶点度的基础上，这产生了一个新的多项式时间识别算法和有效的计算这类图的色数。我们的动机来自于我们的定理，该定理将Nordhaus-Gaddum定理推广到可区别色数：对于任何图G，G的可区别色数加上G的补图的可区别色数小于小于或等于G的顶点数加上G的可区别色数。最后，我们的特点，这些图实现平等的总和上界同时为色数和我们区别色数模拟的Nordhaus-Gaddum不等式。
Eigenvalue problems of Nordhaus-Gaddum type
1970年Nosal给出了上界和下界的总和谱半径的一个图和它的补充。我们将这个问题推广到其他特征值，并给出了一些界限。我们基本上解决了第二特征值的相应问题。
Nordhaus-Gaddum and other bounds for the sum of squares of the positive eigenvalues of a graph
Terpai [22]证明了$μ(G) + μ(\overline{G}) \le 4n/3 - 1$的Nordhaus-Gaddum界，其中$μ(G)$是具有$n$顶点的图$G$的谱半径.令$s^+$表示$G$的正特征值的平方和。我们证明了$\sqrt{s^{+}(G)} + \sqrt{s^+(\overline{G})} < \sqrt{2}n$和猜想，$\sqrt{s^{+}(G)} + \sqrt{s^+(\overline{G})} \le 4n/3 - 1.$我们已经使用AutoGraphiX和Wolfram Mathematica搜索反例。我们还考虑了$s^+$的Nordhaus-Gaddum界和Randić指数的界。
Nordhaus-Gaddum inequality for the spectral radius of a graph of order $n$
本研究确定了$n$阶极图中使图与其补图谱半径之和最大的结构，解决了Stevanović在2007年提出的相关猜想，推进了图论中Nordhaus-Gaddum型谱不等式的研究。
Nordhaus--Gaddum relations for degrees and connectivities under the $δ$-complement
本文研究了图及其δ-补图的度数和连通性，推导了Nordhaus-Gaddum型界，但某些界无法达到。
Multi-part Nordhaus-Gaddum type problems for tree-width, Colin de Verdière type parameters, and Hadwiger number
图参数$β$的传统Nordhaus-Gaddum问题是找到$β(G)$和$β(\bar{G})$的和或积的（紧）上界或下界（其中$\bar{G}$表示$G$的补）。完全图$K_n$的$r$ -分解$G_1,\dots,G_r$是$K_n$的边在$r$生成子图$G_1,\dots,G_r$之间的划分.一个传统的Nordhaus-Gaddum问题可以看作是一个更一般的$r$ -部分和或积Nordhaus-Gaddum型问题的$r=2$的特殊情况。我们确定的值的$r$部分和和产品的上界渐近$n$走向无穷大的参数树宽度和它的变种largeur d '树形，路径宽度，和适当的路径宽度。我们还建立了这些参数的下限范围，以及参数Hadwiger数、用于表征平面性的Colin de Verdière数$μ$及其变体$ν$和$ξ$的$r$部分Nordhaus-Gaddum型问题的上限和下限范围。
Note on Nordhaus-Gaddum problems for power domination
所有图的幂控制数的Nordhaus-Gaddum上界和下界是由已知的控制数的界和例子得出的。本文对具有图及其补图必连通性质的图的幂控制数的上和界进行了改进。对于这些图，我们的界是紧的，也明显优于相应的控制数的界。对于具有某些性质的图，我们还改进了幂控制数的乘积上界。
Nordhaus-Gaddum upper bounds for graph connectivity parameters
研究图连通性相关参数的Nordhaus-Gaddum型上界，证明对于n个顶点且图及其补图均连通的图，代数连通度之和不超过n-3（有限个顶点数较小的图例外），并得到等周数、Cheeger常数和正规化拉普拉斯矩阵第二特征值的类似结果。
Nordhaus-Gaddum type inequalities for multiple domination and packing parameters in graphs
研究了图$G$的$(k-1,k,j)$和$k$ -控制数的Nordhaus-Gaddum型结果，并研究了图的$k$ -限制填充数和$k$ -全限制堆积数的界.作为$(k-1,k,j)=(1,2,0)$的特例，我们给出了比Harary和Haynes（1996）给出的更强的关于$dd(G)+dd(\overline{G})$的上界.此外，我们还建立了填充数和开堆积数的和与积的上界，并刻画了所有达到这些上界的图。
Hereditary Nordhaus-Gaddum Graphs
该研究对Nordhaus-Gaddum图进行遗传性推广，探究所有诱导子图均满足色数和不等式的图类，刻画其禁用诱导子图、与常见图类的交集，并讨论χ-有界性与算法结果。
Nordhaus-Gaddum bounds for locating domination
图G的一个控制集S称为度量定位控制集，如果它也是定位的，即如果每个顶点v都由它到S中顶点的距离向量唯一确定。此外，如果每个不在S中的顶点v也由v属于S的邻居集唯一确定，则称它是定位控制的。最小基数的定位、度量定位控制和定位控制集分别称为b-码、e-码和l-码。Nordhaus-Gaddum界是图G与其补图G的参数之和或乘积的紧下界或上界。本文给出了位置数b、度量位置数e和位置控制数l的Nordhaus-Gaddum界。此外，在每种情况下，图族达到相应的界限的特点。
Nordhaus-Gaddum-type theorem for the rainbow vertex-connection number of a graph
一个顶点有色图$G$是彩虹点连通的，如果任意一对不同的顶点通过一条内部顶点具有不同颜色的路相连。$G$的彩虹顶点连接数，用$rvc(G)$表示，是使$G$彩虹顶点连接所需的最小颜色数。本文给出了彩虹点连通数的一个Nordhaus-Gaddum型结果。证明了当$G$和$\bar{G}$都连通时，则$2\leq rvc(G)+rvc(\bar{G})\leq n-1$ .给出的例子表明，上界和下界是最好的可能所有$n\geq 5$。
Sharp Nordhaus-Gaddum bounds for throttling
研究图论中throttling问题的Nordhaus-Gaddum界，给出标准零强制、半正定强制、功率支配和警察与强盗四种图操作下throttling数的紧的上下界。
Nordhaus-Gaddum-type theorem for rainbow connection number of graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接. $G$的彩虹连接数，表示为$rc(G)$，是用于使$G$彩虹连接的最小颜色数。本文给出了彩虹联系数的一个Nordhaus-Gaddum型结果。我们证明了如果$G$和$\bar{G}$都是连通的，那么$4\leq rc(G)+rc(\bar{G})\leq n+2$ .通过实例证明了该上界对所有$n\geq 4$都是尖锐的，下界对所有$n\geq 8$都是尖锐的.对于其余的小型$n=4,5,6,7,$，我们也给出了精确的界限。
A Nordhaus-Gaddum conjecture for the minimum number of distinct eigenvalues of a graph
本文对图$G$所对应的对称矩阵的最小特征值个数$q(G)$提出了一个Nordhaus-Gaddum猜想：对于除四个例外之外的所有图$G$，我们猜想有$q(G)+q(G^c)\le |G|+2$，其中$G^c$是$G$的补.我们用$q(G)=|G|-1$计算了所有树和所有图$G$的$q(G^c)$，从而验证了树，单圈图，图与$q(G)\le 4$，以及图与$|G|\le 7$的猜想。
More eigenvalue problems of Nordhaus-Gaddum type
设$G$是一个阶为$n$的图，$μ_{1}\left(G\right) \geq \cdots\geqμ_{n}\left(G\right) $是它的邻接矩阵的特征值.本文研究Nordhaus-Gaddum型本征值问题。设$\overline{G}$是图$G.$的补图，证明了若$s\geq2$和$n\geq15\left(s-1\right) ,$，则\[ \left\vert μ_{s}\left(G\right) \right\vert +|μ_{s}(\overline{G})|\,\leq n/\sqrt{2\left(s-1\right)}-1. \];若$s\geq1$和$n\geq4^{s},$，则\[ \left\vert μ_{n-s+1}\left(G\right) \right\vert +|μ_{n-s+1}(\overline {G})|\,\leq n/\sqrt{2s}+1. \];若$s=2^{k}+1$对某个整数$k$，则这些界是渐近紧的.这些结果解决了无限多的情况下，一个一般的开放问题。
Nordhaus-Gaddum-type results for the generalized edge-connectivity of graphs
设$G$是一个图，$S$是$G$的顶点集，$λ(S)$是$G$中两两边不交树$T_1, T_2,..., T_{\ell}$的最大个数$\ell$，使得对每个$1\leq i\leq \ell$都有$S\subseteq V(T_i)$.定义$G$的广义$k$ -边连通度$λ_k(G)$为$λ_k(G)= min\{λ(S) | S\subseteq V(G) \ and \ |S|=k\}$。因此是$λ_2(G)=λ(G)$。本文考虑了参数$λ_k(G)$的Nordhaus-Gaddum型结果.我们确定了$n$阶图$G$和$m$阶图$n$和$m$大小图的$λ_k(G)+λ_k(\bar{G})$和$λ_k(G)... λ_k(\bar{G})$的上下界.文中还给出了一些达到这些界的图类。
Nordhaus-Gaddum problem in term of $G$-free coloring
设$H=(V(H),E(H))$是一个图。$H$的$k$ -染色是一个映射$π: V(H) \longrightarrow \{1,2,\ldots, k\}$，如果每个色类都导出一个无$K_2$的子图.对于阶至少为$2$的图$G$，$H$的一个无$G$的$k$ -着色是一个映射$π: V(H) \longrightarrow \{1,2,\ldots,k\}$，使得由$π$的每个色类导出的子图不包含$G$的拷贝. $H$的$G$ -free色数是使其具有$G$ -free $k$ -染色的最小数，记为$χ_G(H)$ .本文利用图的顶点数、最大度、最小度和色数给出了图的$G$ -free色数的一些界和性质。我们的主要结果是图的无$\G$色数的Nordhaus-Gaddum型定理。
Bounds on Kemeny's constant of a graph and the Nordhaus-Gaddum problem
本文研究连通图 Kemeny 常数的 Nordhaus-Gaddum 问题，证明了各类图族关于该常数及其补图对应值的极小值与乘积的界，并得出当图最大度满足特定渐近条件时该极小值至多为 O(n)。
Nordhaus--Gaddum type inequalities for Laplacian and signless Laplacian eigenvalues
设$G$是一个顶点数为$n$的图。用$q_1(G)$表示$G$的最大无符号拉普拉斯特征值，用$μ_1(G)\ge\cdots\geμ_{n-1}(G)\geμ_n(G)=0$表示$G$的拉普拉斯特征值.关于图的Laplacian散布的一个猜想是：图的Laplacian散布是$μ_1(G)-μ_{n-1}(G)\le n-1$或等价的图的Laplacian散布是$μ_1(G)+μ_1(\Gb)\le2n-1$ .证明了二部图的猜想。我们还证明了对任何二部图$G$，$μ_1(G)μ_1(\Gb)\le n(n-1)$ . Aouchiche和Hansen [A survey of Nordhaus-Gaddum type relations，Discrete Appl. Math.161（2013），466- 546]证明了对于具有$n$顶点的任何图$G$，$q_1(G)+q_1(\Gb)\le3n-4$和$q_1(G)q_1(\Gb)\le2n(n-2)$，%。通过构造一类图$H_n$证明了前者，并反证了后者，其中$q_1(H_n)q_1(\ov{H_n})$是关于$2.15n^2+O(n)$的.
Toward a Nordhaus-Gaddum Inequality for the Number of Dominating Sets
图$G$中的支配集是顶点的集合$S$，使得$G$的每个顶点要么在$S$中，要么与$S$中的顶点相邻。Nordhaus-Gaddum不等式将图$G$与它的补图$\bar{G}$联系起来。在这种精神下，Wagner证明了在$n$顶点上的任何图$G$满足$\partial(G)+\partial(\bar{G})\geq 2^n$，其中$\partial(G)$是图$G$中的控制集的个数。在同一篇论文中，他评论说，一个上限为$\partial(G)+\partial(\bar{G})$之间的所有图形的$n$顶点似乎要困难得多。在这里，我们证明了一个上界$\partial(G)+\partial(\bar{G})$，并证明了任何图最大化这个总和有最小度至少$\lfloor n/2\rfloor-2$和最大度至多$\lfloor n/2\rfloor+1$。我们猜想完全平衡二部图最大化$\partial(G)+\partial(\bar{G})$，并已验证了这一计算上的所有图在最多$10$顶点。
Nordhaus-Gaddum-type problems for lines in hypergraphs
我们研究了在一个更对称的环境中超图中的线数，这里既考虑了超图，也考虑了它的补图。在一般情况下和某些特殊情况下，直线数的下界比在单超图中的相应值高得多，或者有更好的证明。证明了两个超图在$n$点上的线数之积的最小值很容易确定为$\binom{n}{2}$，而它们的和的最小值介于$Ω(n)$和$O(n \log n)$之间.我们还研究了超图的一些限制类，并确定了超图的最小和的紧界时，从欧几里得空间，一个真正的射影平面，或树。
Signless Laplacian eigenvalue problems of Nordhaus-Gaddum type
设$G$是一个阶为$n$的图，$q_1(G)\geq q_2(G)\geq\cdots\geq q_n(G)$表示$G$的无符号拉普拉斯特征值. Ashraf和Tayfeh-Rezaie [Electron. J. Combin. 21（3）（2014）\#P3.6]显示了$q_1(G)+q_1(\overline{G})\leq 3n-4$，等式成立当且仅当$G$或$\overline{G}$是星$K_{1,n-1}$。本文讨论了如下问题：对于$n\geq6$，$q_2(G)+q_2(\overline{G})\leq 2n-5$是否总是成立？对于不连通补图和二部图，我们给出了这个问题的肯定答案，并确定了达到界的图。此外，我们还证明了$q_2(G)+q_2(\overline{G})\geq n-2$，并对极图进行了刻画。
Tight Nordhaus-Gaddum-type upper bound for total-rainbow connection number of graphs
一个图称为\emph{total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个全着色图称为\emph{total-rainbow connected}，如果图的任意两个顶点由一条路连接，该路的边和内部顶点具有不同的颜色。对于连通图$G$，$G$的\emph{total-rainbow connection number}，记为$trc(G)$，是使$G$全彩虹连通的$G$全着色所需的最小颜色数。本文首先刻画了具有大全彩虹连通数的图。在此基础上，得到了全彩虹联系数的Nordhaus-Gaddum型上界.证明了如果$G$和$\overline{G}$是$n$顶点上的连通补图，则$trc(G)+trc(\overline{G})\leq 2n$当$n\geq 6$时，$trc(G)+trc(\overline{G})\leq 2n+1$当$n=5$时.给出的例子表明，上界是尖锐的$n\geq 5$。这完全解决了[Y]中的猜想。Ma，Total rainbow connection number and complementary graph，Results in Mathematics 70（1-2）（2016），173-182。
Split Graphs and Nordhaus-Gaddum Graphs
一个图G是NG-图，如果χ（G）+ χ（G补）=| V（G）|+1。我们的特征NG-图完全从度序列导致一个线性时间识别算法。我们还探讨了NG-图和分裂图之间的联系。NG-图有三种类型，分裂图也可以自然地分为两类，平衡图和非平衡图。我们的特点，这五个类的度序列。我们构造双射类的NG-图和平衡和不平衡的分裂图，连同已知的公式分裂图的数量在n个顶点，使我们能够计算这些类的大小。最后，我们提供了一个双射之间的不平衡分裂图的n个顶点和分裂图的n-1或更少的顶点提供证据，我们的猜想，分裂图的数量的快速增长来自平衡分裂图。
The connectivity of a bipartite graph and its bipartite complementary graph
1956年，Nordhaus和Gaddum用图的阶给出了图与其补图的色数的和与积的上下界.从那时起，图$G$中的一个不变量与$G$的补图$G^c$中的同一不变量的和或积的任何界被称为Nordhaus-Gaddum型不等式或关系。关于连通性的Nordhaus-Gaddum型不等式已经被一些作者研究过。对于一个具有二划分的二部图$G=G[X,Y]$（$X,Y$），它的二部补图$G^{bc}$是一个具有$V(G^{bc})=V(G)$和$E(G^{bc})=\{xy:\ x\in X,\ y\in Y$和$xy \notin E(G)\}$的二部图.本文得到了二部图及其二部补图的连通度的Nordhaus-Gaddum型不等式。此外，我们证明了这些不等式是最好的可能。
A Nordhaus-Gaddum type problem for the normalized Laplacian spectrum and graph Cheeger constant
本文研究了归一化拉普拉斯谱与图Cheeger常数的Nordhaus-Gaddum型问题，通过给出图的等周数与Cheeger常数及其补图对应值的下界，证明了图与其补图第二大归一化拉普拉斯特征值的最大值不小于$2/n^2$。
Nordhaus-Gaddum-type theorem for conflict-free connection number of graphs
一个边着色图$G$是\emph{conflict-free connected}，如果在每对不同的顶点之间，存在一条包含在其恰好一条边上使用的颜色的路径。连通图$G$的\emph{conflict-free connection number}，用$cfc(G)$表示，定义为使$G$无冲突连通所需的最小颜色数。在本文中，我们确定了所有的树$T$的顺序$n$的$cfc(T)=n-t$，其中$t\geq 1$和$n\geq 2t+2 $。然后证明了连通图$G$的$1\leq cfc(G)\leq n-1$，并用$cfc(G)=1,n-4,n-3,n-2,n-1$刻画了连通图$G$.最后，我们得到了图的无冲突联络数的Nordhaus-Gaddum型定理，证明了如果$G$和$\overline{G}$是连通的，则$4\leq cfc(G)+cfc(\overline{G})\leq n$和$4\leq cfc(G)\cdot cfc(\overline{G})\leq2(n-2)$，并且$cfc(G)+cfc(\overline{G})=n$或$cfc(G)\cdot cfc(\overline{G})=2(n-2)$当且仅当$G$和$\overline{G}$之一是最大度树$n-2$或$P_5$，且下界是尖锐的.
Nordhaus-Gaddum-type theorem for total proper connection number of graphs
一个图称为\emph{total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。全着色图$G$中的一条路$P$称为\emph{total-proper path}，如果$P$的任何两个相邻边被赋予不同的颜色; $P$的任何两个相邻内部顶点被赋予不同的颜色; $P$的任何内部顶点被赋予与$P$的关联边不同的颜色.全着色图$G$称为\emph{total-proper connected}，如果$G$的任意两个不同的顶点通过全真路连接，则连通图$G$的\emph{total-proper connection number}，记为$tpc(G)$，是使$G$全真连通所需的最少颜色数.本文首先用$tpc(G)=n-1$刻画了$n$顶点上的图$G$。在此基础上，得到了全真联络数的Nordhaus-Gaddum型结果.证明了如果$G$和$\overline{G}$是$n$顶点上的连通补图，则$6\leq tpc(G)+tpc(\overline{G})\leq n+2$ .举例说明了$n\geq 4$的下界是尖锐的。当且仅当$G$或$\overline{G}$是具有最大度$n-2$的树时，$n\geq 5$达到上界。
Generalized Nordhaus--Gaddum Inequalities for Eigenvalues
研究图\(G\)及其补图\(\overline{G}\)的特征值关系，通过证明一般界来研究\(\lambda_i(G)+\lambda_j(\overline{G})\)等相关问题，给出新证明并揭示与其他工作的关系，为诺德豪斯 - 加达姆型问题研究提供新视角。
Nordhaus-Gaddum inequalities for the number of cliques in a graph
本文研究了图中团数量的Nordhaus-Gaddum不等式，回顾了Ramsey多重性等相关问题的历史，并探讨了固定尺寸版本及多色版本下团数量之和与乘积的界。
Nordhaus-Gaddum Inequalities for Dominating-Set Counts in Bipartite Graphs
研究二分图中支配集数量的诺德豪斯 - 加达姆不等式，通过证明更强的界\(\partial(G) + \partial(\bar{G}) \leq 2(2^{|A|} - 1)(2^{|B|} - 1) + 2\)部分解决猜想，并刻画了等式成立的二分图。
Nordhaus-Gaddum inequalities for the number of 1-nearly independent vertex subsets
本文研究了图中1近独立顶点子集数量σ₁的诺德豪斯-加德姆不等式，证明了其下界及特定图结构下的极值性质。
On the Burning Game: Nordhaus-Gaddum Bounds and Graph Products
本文研究图上的燃烧博弈，建立了博弈燃烧数的 Nordhaus-Gaddum 界，并针对强、笛卡尔、字典序和冠状四种图乘积给出了相应的界。
Nordhaus--Gaddum type bounds for the complement rank
本文研究了互补秩的诺德豪斯-加德姆型界限，证明了互补秩乘积和和的下界，并通过构造实例验证了上界紧性。
Nordhaus-Gaddum type inequality for the fractional matching number of a graph
图G的分数匹配数是图G的分数匹配的最大尺寸。本文证明了n阶图G的下列几个明显的下界，并刻划了所有的极图。（1）图G的分数匹配数与其补图的分数匹配数之和不小于n/2，其中n不小于2. (2)若图G及其补图是非空的，则图G的分数匹配数与补图的分数匹配数之和不小于小于（n+1）/2，其中n不小于小于28. (3)若图G及其补图都没有孤立点，则图G的分数匹配数与补图的分数匹配数之和不小于小于（n+4）/2，其中n不小于小于28.
Line graphs and Nordhaus-Gaddum-type bounds for self-loop graphs
该研究探究自环图的线图相关性质，证明其线图特征值不小于-2，关联两类线图的特征多项式，给出自环图特征值与能量的新界，推导谱半径下界及两个Nordhaus-Gaddum型界。
Nordhaus-Gaddum inequalities for the number of connected induced subgraphs in graphs
设$η(G)$是图$G$中连通诱导子图的个数，$\overline{G}$是$G$的补图.证明了在所有$n$ -顶点图中，$η(G)+η(\overline{G})$是最小的当且仅当$G$在四个顶点上没有诱导路.由于具有最大度$n-1$的$n$ -顶点星$S_n$是直径为$2$的唯一树，所以$η(S_n)+η(\overline{S_n})$是所有$n$ -顶点树中的最小值，而最大值仅由度序列为$(\lceil n/2\rceil,\lfloor n/2\rfloor,1,\dots,1)$的树实现.进一步证明了每一个$n\geq 5$阶且具有最大值$η(G)+η(\overline{G})$的图$G$的直径至多为$3$，无割点，且$\overline{G}$也是连通的.在树和图具有相同的顺序的情况下，我们发现，如果$η(G)$是最大的，那么$η(G)+η(\overline{G})$是最小的。作为我们的结果的推论，我们证明了唯一的连通图$G$的阶数和度$1$的顶点数，以及唯一的单圈（连通且只有一个圈）图$G$的阶数最小化$η(G)+η(\overline{G})$。
A Nordhaus--Gaddum problem for the spectral gap of a graph
该研究探讨图谱隙的Nordhaus–Gaddum问题，证明图与其补图中较大谱隙的多个阶的界，并构造了满足特定谱隙上界的连通图族，丰富了图谱理论相关结果。
Nordhaus-Gaddum-type theorems for maximum average degree
本文研究了最大平均度的诺德豪斯-加德姆型定理，推导了关于k分解的Kₙ的最大平均度的上界，并给出了精确值的确定。
The digrundy number of digraphs
本文将图着色的参数Grundy数和邻色数推广到有向图着色，分别称之为{ \emph{digrundy number} }和{ \emph{diochromatic number} }.首先，我们证明了对于每一个有向图的双色数等于digrundy数（因为它发生在图）。然后，我们证明了digrundy数的插值性质和Nordhaus-Gaddum关系，并改进了作者在[Electron. J. Combin. 25（2018）no. 3，Paper {\#} 3.51，17 pp.]
Nordhaus-Guddum type results for the Steiner Gutman index of graphs
基于Gutman指数$\operatorname{SGut}(G)$的概念，Mao和Das最近通过将Steiner距离用于连通图$G$来引入Steiner Gutman指数。$G$的\emph{Steiner Gutman $k$-index} $\operatorname{SGut}_k(G)$由$\operatorname{SGut}_k(G)$ $=\sum_{S\subseteq V(G), \ |S|=k}\left(\prod_{v\in S}deg_G(v)\right) d_G(S)$定义，其中$d_G(S)$是$S$的Steiner距离，而$deg_G(v)$是$v$在$G$中的度数。在本文中，我们得到了$\operatorname{SGut}_k$的新的精确上、下界，并研究了参数$\operatorname{SGut}_k$的Nordhaus-Gaddum型结果.本文给出了具有$n$、$m$边和最大度$Δ$、最小度$δ$的连通图$G$的$\operatorname{SGut}_k(G)+\operatorname{SGut}_k(\overline{G})$和$\operatorname{SGut}_k(G)\cdot \operatorname{SGut}_k(\overline{G})$的精确上、下界.
Incidence coloring of Regular graphs and Complement graphs
利用控制数与关联色数的关系，得到了$r$ -正则图是$(r+1)$ -关联可着色的充要条件.同时，我们确定了关联色数的最优Nordhaus-Gaddum不等式.
Characterizations for split graphs and unbalanced split graphs
利用边收缩给出了分裂图的一个刻画.然后，我们利用它证明了任何具有$α(G) \geq 3$的（$2K_{2}$，claw）-free图都是分裂图.此外，我们应用它来刻画任何伪分裂图。最后，我们再次利用边收缩刻画了不平衡分裂图，并利用它刻画了Nordhaus-Gaddum图。
Operations on Covering Numbers of Certain Graph Classes
图与其补图的色数和与积的界称为Nordhaus-Gaddum不等式。本文研究了有补图的独立数运算。我们还提供了一个新的某些图形类的特征。
The Sum and Product of Independence Numbers of Graphs and their Line Graphs
图与其补图的色数和与积的界称为Nordhaus-Gaddum不等式。本文研究了图及其线图的独立数之和与积的界。
The Sum and Product of Chromatic Numbers of Graphs and their Line Graphs
一个Nordhaus-Gaddum型结果是一个图及其补图的参数之和或乘积的（紧）下界或上界。在本文中，一些变化被认为是。首先，回忆一下他们的定理，该定理给出了一个图的色数与其补图的色数的和与积的界。在本文中，我们提供了另一类图的一个新的特征。
Conjectured bound for the distribution of eigenvalues of a graph
设$(n^+, n^0, n^-)$表示具有$n$顶点的图$G$的惯量。除了$n^-$的上限之外，惯性的Nordhaus-Gaddum界限是已知的。我们猜想，对任何图\[ n^-(G) + n^-(\bar{G}) \le 1.5(n - 1), \]，并证明了这一界的各种类的图和几乎所有的图。我们考虑这个界限和位于$-1$到$0$的区间内的特征值的数目之间的关系，我们将其表示为$n_{(-1,0)}(G)$。我们猜想，对任何图\[ n_{(-1,0)}(G) \le 0.5(n - 1). \]，并证明这一界几乎所有的图。我们还研究了这两个界限的极值图，并证明了这两个界限对于正则图是等价的。
More on limited packings in graphs
图$G$中的顶点集合$B$称为\emph{$k$-limited packing}，如果对于$G$的每个顶点$v$，其闭邻域在$B$中至多有$k$个顶点。图$G$的\emph{$k$-limited packing number}，记为$L_k(G)$，是$G$中$k$ -限制填充中的最大顶点数.图的$k$有限填充的概念是由Gallant等人引入的，这是众所周知的图的填充的推广。本文给出了图的$k$ -有限堆积数的几个紧界，分别用图的阶、直径、围长和最大度表示.结果，我们得到了一般$k$的该参数的紧Nordhaus-Gaddum型结果.最后，我们研究了树的开填充数、填充数和$2$限制的堆积数之间的关系。
More bounds for the Grundy number of graphs
图$G=(V,E)$的着色是将$V$划分为独立的集合或色类的划分$\{V_1, V_2, \ldots, V_k\}$。顶点$v\in V_i$是Grundy顶点，如果它与每个$j<i$的每个颜色类$V_j$中的至少一个顶点相邻。一个图的染色是Grundy染色，如果每个顶点都是Grundy顶点，并且图的Grundy数$Γ(G)$是一个图的Grundy染色的最大颜色数.本文给出了图的Grundy数的两个新的上界和著名的Nordhaus-Gaddum定理的一个更强的版本。此外，通过支持Zaker的一个猜想，我们给出了无$\{P_{4}, C_4\}$图的一个新的刻画，即对任何无$C_4$的图$G$，$Γ(G)\geq δ(G)+1$.
Degree Monotone Paths
我们将研究图中的度单调路径，这个问题的灵感来自于著名的Erd{Igns}-Szekeres定理，该定理涉及给定数列的最长单调子序列。图G中的路P称为度单调路，如果P中顶点的度序列按它们在P中出现的顺序是单调的。在本文中，我们将考虑这三个问题有关的参数：1。根据$G$的其他参数，找出$mp(G)$的界限。2.研究$f(n,k)$定义为一个图中$n$顶点上的最大边数，并给出了$mp(G) < k$。3.估计所有图$G$在$mp(G)+mp(\overline{G})$的$n$顶点上的最小值和最大值。对于第一个问题，我们的主要工具将是有向路和色数的Gallai-Roy定理。我们还将考虑一些详细的最大平面和最大外平面图，以研究所获得的边界的清晰度。对于第二个问题，我们建立了一个密切的联系之间的$f(n,k)$和经典的图兰数。对于第三个问题，我们建立了一些Nordhaus-Gaddum型不等式。最后，我们指出一些开放的问题，我们的结果点。
Distance proper connection of graphs and their complements
设$G$是边着色连通图。$G$中的路径$P$被称为距离$\ell$ -适当路径，如果在$P$上没有两个相同颜色的边可以出现小于$\ell$的边。图$G$称为$(k,\ell)$ -真连通图，如果存在边染色使得$G$的每对不同顶点都由$G$中的$k$两两内点不交距离$\ell$ -真路连通.使$G$ $(k,\ell)$ -正确连接所需的最小颜色数称为$G$的$(k,\ell)$ -正确连接数，并由$pc_{k,\ell}(G)$表示。本文首先研究了$(1,2)$--$G$在$\overline G$的某些约束条件下的真联系数。然后，我们用$(1,2)$ -真联系数$n-1$或$n-2$刻画了阶$n$图.利用这个结果，我们研究了$(1,2)$ -真联系数的Nordhaus-Gaddum-型问题，证明了连通图$G$和$\overline{G}$的真联系数为$pc_{1,2}(G)+pc_{1,2}(\overline{G})\leq n+2$.等式成立当且仅当$G$或$\overline{G}$同构于双星。
Extremal problems for the eccentricity matrices of complements of trees
连通图$G$的偏心率矩阵，记作$\mathcal{E}(G)$，是由$G$的距离矩阵通过保留每行和每列中最大的非零元素，并在剩余的1中保留零元素而得到的. $G$的$\mathcal{E}$ -特征值是$\mathcal{E}(G)$的特征值，其中最大的一个是$G$的$\mathcal{E}$ -谱半径。$G$的$\mathcal{E}$ -能量是$G$的所有$\mathcal{E}$ -特征值的绝对值之和。本文研究了树的补图的偏心矩阵的一些极值问题，并刻画了其极值图。首先，我们确定唯一的树，其补有最小（分别，最大）的$\mathcal{E}$ -谱半径中的补树。证明了树的补图的$\mathcal{E}$ -特征值关于原点对称。作为这些结果的后果，我们刻画了树的补充有最小（分别，最大）最少的$\mathcal{E}$ -特征值之间的补充树。最后讨论了树的补图的第二大$\mathcal{E}$ -特征值和$\mathcal{E}$ -能量的极值问题，并刻画了极图的特征。作为应用，我们得到了树及其补图的第二大$\mathcal{E}$ -特征值和$\mathcal{E}$ -能量的Nordhaus-Gaddum型下界.
Connected Mutual-Visibility in Graphs
本文引入连通互可见数$\mu_c(G)$，研究其界、极值图、正则图取值及块结构局部性，并给出识别算法及NP完全性证明。
The (vertex-)monochromatic index of a graph
边着色图$H$中的树$T$称为\emph{monochromatic tree}，如果$T$的所有边具有相同的颜色.对于$S\subseteq V(H)$，$H$中的\emph{monochromatic $S$-tree}是包含$S$的顶点的$H$的单色树。对于连通图$G$和给定的整数$k$，$G$的\emph{$k$-monochromatic index $mx_k(G)$}是所需的最大颜色数，使得对于$k$顶点的每个子集$S\subseteq V(G)$，存在单色$S$ -树。本文证明了对任意连通图$G$，对每个PDMATHAMT有$mx_k(G)=|E(G)|-|V(G)|+2$，使得$3\leq k\leq |V(G)|$ .顶点着色图$H$中的树$T$称为\emph{vertex-monochromatic tree}，如果$T$的所有内部顶点具有相同的颜色.对于$S\subseteq V(H)$，$H$中的\emph{vertex-monochromatic $S$-tree}是包含$S$的顶点的$H$的顶点单色树。对于连通图$G$和给定的整数$2\leq k\leq |V(G)|$，$G$的\emph{$k$-monochromatic vertex-index $mvx_k(G)$}是所需的最大颜色数，使得对于$k$顶点的每个子集$S\subseteq V(G)…
Sub-quorum colorings of graphs
本文研究图的子拟群染色数，建立结构界、关联2-独立数、分析计算复杂性，并确定网格图与超立方体的精确值，提出一般等式猜想。
Frugal coloring of graphs revisited
本文重新审视了图的节俭着色问题，证明了相关问题的NP难性，并给出了树和多种图类的精确界及色数上界。
Quantum walks and graph operations
本文研究量子游走在笛卡尔积、联图和图补运算下的行为，刻画峰值态转移和相当好的态转移保持的条件，并给出图与其补图间量子游走差异的界。
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