发表机构
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
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研究图\(G\)及其补图\(\overline{G}\)的特征值关系，通过证明一般界来研究\(\lambda_i(G)+\lambda_j(\overline{G})\)等相关问题，给出新证明并揭示与其他工作的关系，为诺德豪斯 - 加达姆型问题研究提供新视角。
AI 中文摘要
对于图\(G\)，令\(\lambda_1(G)\geq\lambda_2(G)\geq\cdots\geq\lambda_n(G)\)表示\(G\)的邻接特征值。我们研究对于固定的\(i\)和\(j\)，\(\lambda_i(G)+\lambda_j(\overline{G})\)的渐近最大值。我们证明了对于所有\((i,j)\)对，\(\lambda_i(G) + \lambda_{j}(\overline{G})\)的一般界，也给出了关于固定\(i\)和\(j\)时最小化\(\lambda_{n - i + 1}(G) + \lambda_{n - j + 1}(\overline{G})\)相关问题的一般界。我们证明对于所有\(n\)个顶点的带环图\(G\)，\(\lambda_1(G) + \lambda_2(\overline{G}) \leq \frac{8}{7}n\)。我们的方法还为特尔帕伊证明的谱半径的诺德豪斯 - 加达姆结果\(\lambda_1(G) + \lambda_1(\overline{G}) \leq \frac{4}{3}n - 1\)给出了一个新的简短证明。我们还展示了这些诺德豪斯 - 加达姆型问题与布鲁克斯、林兹和卢最近关于图的最大谱隙工作的密切关系。
英文摘要
For a graph $G$, let $ λ_1(G)\ge λ_2(G)\ge \cdots \ge λ_n(G)$ denote the adjacency eigenvalues of $G$. We prove that for all looped graphs $G$ on $n$ vertices, \[λ_1(G) + λ_2(\overline{G}) \le \frac87 n. \] Our method also gives a short new proof of the Nordhaus-Gaddum result for the spectral radius proved by Terpai that $λ_1(G) + λ_1(\overline{G}) \le \frac43n - 1$. We investigate the asymptotic maximum of \[ λ_i(G)+λ_j(\overline G) \] for fixed $i$ and $j$. We prove general bounds on $λ_i(G) + λ_{j}(\overline{G})$ for all pairs $(i, j)$ and also give general bounds on the related problem of minimizing $λ_{n-i+1}(G) + λ_{n-j+1}(\overline{G})$ for fixed $i$ and $j$. We also show the close relation of these Nordhaus-Gaddum type problems to recent work on the maximum spectral gaps of graphs by Brooks, Linz and Lu.
CommentsRevised exposition; results unchanged
