Several new relations for the $n^{th}$ prime number
Boris B. Benyaminov
基于函数$π(x)$的对数性质和绝对值性质，得到了素数$P_n$的一些新的关系式.
We arrive at some new relations for the prime number $P_n$, based on the logarithmic and absolute-value properties of the function $π(x)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Explicit relations between primes in short intervals and exponential sums over primes
在黎曼假设（RH）的假设下，证明了素数上指数和的截断均方平均渐近公式中的假设误差项与短区间内素数的均方误差项之间的定量关系.我们还注意到，这样的关系与更精确的形式蒙哥马利的配对相关猜想。
Relationships and Algorithm in order to achieve the Largest Primes
今天，素数在数论和密码学领域都取得了特殊的地位。我们知道，由于梅森定理的应用而出现的求最大素数的趋势，虽然导致了相关数的巨大发展，但却使求素数的速度从一年降到了五年。本文通过加快对素数的求取速度，得到了比梅森定理更广的定理。从那时起，频繁使用梅森定理的原因是没有人能找到一个有效的公式来访问最大的素数。本文给出了素数的一些关系式，可以定义几个求任意区间内素数的公式，因此，根据这些关系式的灵活性，可以在求大素数的领域中找到一个新的分支，最后给出了求最大素数的一个算法.
Series and Product Relations Made from Primes
已知整数的倒数之和$\sum_n (1/n)$与素数的倒数之和$\sum_n (1/p_n)$都是发散的。在这里，我们研究一个由素数组成的级数，其和正好为1。我们还证明了这个和仅仅与素数上的无穷乘积有关。然后，我们推广了级数（及其相关乘积）的形式，将这个想法扩展到其他数论集合，如孪生素数。计算一个由孪生素数组成的乘积会得到一个新的数学常数。
Number of Irreducible Polynomials and Pairs of Relatively Prime Polynomials in Several Variables over Finite Fields
讨论了有限域上多元给定次数的不可约多项式和给定次数的互素多项式对的计数结果。考虑了度的两个概念，{ \em全次数}和{ \em向量度}。我们证明了不可约数可以递归地按度计算，并且互素对的数目可以用不可约数来表示。我们还得到了不可约数和互素对数的渐近公式。不可约数的渐近公式推广和改进了Carlitz，Cohen和Bodin的一些结果.
On the Asymptotics of a Prime Spin Relation II
对含有单位w的奇类数循环立方数域K，若范数（w）=范数（1-w）=-1，我们证明了满足给定自旋关系的有理素数p的密度等于1/2.此外，我们证明了这个密度限制为有理素数是1 mod 4是1/4，这个密度限制为有理素数是-1 mod 4是3/4。
On the Asymptotics of a Prime Spin Relation
对于循环全实数域$K$，它具有奇素数次数$n$，奇类数，$2$惰性，且每个全正单位都是正方形，满足自旋关系spin $(\mathfrak{p},σ)$ spin $(\mathfrak{p},σ^{-1})=1$的有理素数$p$的密度由公式\[ D_K=\frac{m_Kn+1}{n2^n} \]给出，其中$\mathfrak{p}$是可计算的，数域$K$的有界不变量。由于在惰性情况下的错误，该公式在勘误表中对原始版本进行了修改。由于惰性情况是非实质性的，结果的强度没有显著变化。
Goldbach Representations with several primes
研究整数表示为k个素数之和的Goldbach表示的平均阶渐近公式，推广k=2的结果至一般k并获得更优误差项，同时证明黎曼猜想与该平均阶的等价性。
Carmichael number variable relations: three-prime Carmichael numbers up to 10^24
界限和其他关系，涉及变量与卡迈克尔数的审查和扩展。家庭的号码或个人号码达到或接近这些界限。本文提出了一种求三素Carmichael数的新算法，并给出了$10^{24}$的实现.给出了与三素卡迈克尔数分布有关的统计量，特别提到了Granville和Pomerance在[A.Granville and C.Pomerance，Two contradictures concerning Carmichael numbers，Math.Comp.71（2001），883-908]中的猜想。
Linear recurrence relations for binomial coefficients modulo a prime
研究了当正整数k为固定值时，二项式系数序列\binom{k}{i}模素数p在有限范围0 \le i \le k中满足（正）次h的线性递归关系.特别地，我们证明了，如果2 h \le k<p-h，这不会发生。这个假设可以减弱为2 h \le k<p，如果我们假设，此外，关系的特征多项式没有-1作为根。我们应用我们的结果来恢复一个已知的有限域有限域上的费马曲线的点的数目的界限。
Figurate primes and Hilbert's 8th problem
本文利用椭圆曲线的理论，讨论了几个与形状素数有关的丢番图方程。同时，我们还提出了几个与形素数和希尔伯特第8问题有关的猜想，包括哥德巴赫猜想、孪生素数猜想和Catalan猜想。
Congruence Properties of Mersenne Primes
研究了每一个梅森素数与某些自然数之间的关系。我们首先证明每个梅森素数都是{4 n + 3，对于某个整数'n'}的形式，并将结果推广到2的所有幂。我们还列出了它们与其他整数的关系，直到10。一些次要的结果也得到了证明。在此基础上，讨论了确定梅森素数基数的方法。
Primes in Tuples IV: Density of small gaps between consecutive primes
我们表明，一个积极的比例连续素数之间的所有差距是小差距。我们提供了几个定量的结果，一些无条件和一些有条件的，在这种味道。
A mod $p$ Geometric Jacquet-Langlands Relation for Quaternionic Shimura Varieties at Ramified Primes
研究分歧素数处四元数志村簇的模p几何性质，引入不同水平的Pappas-Rapoport模型及特征p纤维分层，证明层同构于辅助志村簇上ℙ¹-丛的乘积，给出Goren-Oort层的描述。
Graph Invariants Based on the Divides Relation and Ordered by Prime Signatures
考虑了节点都是正整数$n$的约数且弧$(a,b)$由$a$整除$b$定义的有向无圈图.研究了两个经典图--Hasse图$G^H(n)$及其传递闭包$G^T(n)$的序、大小、路数等14个图不变量.这些图的不变量的简洁公式和算法的设计和这些图的几个重要性质的形式证明。这些不变量的自然序由$n$的序列计算和几个新的序列被确定通过比较它们与现有的序列的在线百科全书的序列。从图论的观点解释了这些新的和现有的整数序列。$G^H(n)$和$G^T(n)$的特征在于$n$的素数签名。因此，两个传统的顺序素签名，即分级colexicographic和规范的订单被认为是和额外的新的整数序列被发现。
On the finiteness of prime trees and their relation to modular forms
本文研究了素数树的有限性及其与模形式的关系，证明了在特定条件下模形式可由两个特定艾森斯坦级数的线性组合表示。
Bounds for the first several prime character nonresidues
令$\varepsilon > 0$。我们证明了存在常数$m_0=m_0(\varepsilon)$和$κ=κ(\varepsilon) > 0$，并且满足以下条件：对于每一个整数$m > m_0$和每一个模$m$的非平凡Dirichlet特征标，存在多于一个的$m^κ$素数$\ell \le m^{\frac{1}{4\sqrt{e}}+\varepsilon}$和$χ(\ell)\notin \{0,1\}$ .证明使用的基本引理的筛，诺顿的完善的伯吉斯界，和一个结果Tenenbaum的分布顺利数满足互质条件。对于二次字符，我们证明了一个稍弱的下限上的素数$\ell \le m^{\frac14+ε}$与$χ(\ell)=1$。
On norm relations for Asai-Flach classes
本文给出了Lei-Loeffler-Zerbes建立的Asai-Flach Euler系统的范数关系的一个新的证明。更确切地说，我们重新定义Asai Flach类的语言使用的Loeffler-Skinner-Zerbes的Lemma-Eisenstein类，并证明了垂直和驯服的范数关系，使用局部zeta积分。对于在二次实数域$F$上的Hilbert模形式上附加的Asai表示的这些欧拉系统范数关系已经由Lei-Loeffler-Zerbes证明，对于在$F$中惰性的素数和满足某些假设的分裂素数;使用这种技术，我们能够去除它并证明所有惰性和分裂素数的驯服范数关系。
On the Newman sum over multiples of a prime with a primitive or semiprimitive root 2
得到了素数的本原根或半本原根为2的倍数上的Newman和的一个简单关系式。我们也考虑p=17的情况。
Regular primes, non-Wieferich primes, and finite multiple zeta values of level $N$
本文引入一般级的有限多重zeta值，研究其非零性与正则素数及非Wieferich素数的联系，并提出若干更易处理的相关问题以替代证明素数无穷性的困难目标。
Some examples in the theory of Beurling's generalized prime numbers
几个例子的广义数系统的构造比较各种条件发生在文献中的素数定理的背景下，Beurling广义素数。
Explicit versions of the prime ideal theorem for Dedekind zeta functions under GRH, II
最近我们证明了GRH下的素理想定理的几个显式版本。在这里，我们证明了一个版本的最佳渐近行为。
Twin Primes and the Zeros of the Riemann Zeta Function
利用黎曼ζ函数的逆函数，对孪生素数计数函数的Legendre型关系进行了修正.它的分析揭示了黎曼ζ函数在临界带的零点分布及其与素数和孪生素数问题的联系。
Distribution of primes represented by polynomials and Multiple Dedekind zeta functions
本文给出了二元不可约齐次多项式$f(a,b)$表示的素数和素数对的素数分布的几个定理。对于任何不可约多项式$f$，我们用公式表示斜率$t=b/a$。在这里，我们制定了一个猜想，所有不可约多项式。我们也考虑素数对的分布图。它显示出意想不到的关系，多个戴德金zeta函数-在$s=2$为一个素数和$(s_1,s_2)=(2,2)$为素数对。我们测试了几个二次域的素数对的猜想。对高斯整数上的素数对和多重Dedekind zeta函数的猜想提供了小于百分之零点一的误差。我们还测试了在一对不同的二次域中比较素数集合的方法。从数值上讲，这些变量可以用调节器和类号来表示。一些数据和代码可以在GitHub上找到（参见\cite{Zouberou}）。
Wieferich and Mersenne primes for function fields
本文研究了函数域中魏弗里希素数与梅森数的性质及其与费马方程的关系。
A Friendly Intro to Sieves with a Look Towards Recent Progress on the Twin Primes Conjecture
这是我在2013年10月9日给布朗研究生研讨会的一次演讲的延伸和背景，名为“一个友好的介绍筛子，展望孪生素数猜想的最新进展。“在演讲中，我提到了几个筛子，有些细节很多，有些细节很少。我还讨论了几个结果，并建立在许多来源。我将在这里提供缺失的细节和/或来源以供额外阅读。
Dealing with prime numbers I.: On the Goldbach conjecture
在本文中，我们提出了一些意见，著名的哥德巴赫猜想。特别是我们列出和解释一些数值结果，使我们能够制定素数和偶数之间的关系。我们也可以确定非常薄和低的发散范围，其中找到素数的概率为1。
Hecke Relations for Eta Multipliers and Congruences of Higher-Order Smallest Parts Functions
本研究通过作用于Eisenstein-eta商族的Hecke算子推导恒等式，得到系数素数幂模同余式，应用于解决Garvan提出的高阶最小分部函数同余问题，还建立曲柄矩、秩矩与分拆函数的素数幂模联系，强化推广了已有结果。
A Prime-Representing Constant
我们提出一个常数和一个递归关系来定义一个序列$f_n$，使得$f_n$的底数是$n$ th素数.因此，这个常数产生了完整的素数序列。我们还证明了这个常数是不合理的，并考虑其他序列，可以使用相同的方法产生。
Expected gaps between prime numbers
我们直接通过Eratosthenes筛法来研究连续素数之间的间隔。使用初等方法，我们确定了这些差距和特定序列的连续差距，称为星座的递归关系。使用这种递归，我们可以估计一个素数和它的平方之间出现的间隙或星座的数量。这种递归也有明确的含义开放的问题之间的差距素数，包括三个问题提出的埃尔德什和图兰。
Small gaps between the set of products of at most two primes
本文将Maynard和Tao的方法应用于两个不同素数（E2-数）的乘积集。我们得到了关于E2-数和素数分布的几个结果。其中，Goldston，Pintz，Yildirim和Graham关于m个连续E2-数之间的小间隙的结果得到改进。
On the arithmetic and geometric means of the prime numbers
本文建立了素数算术平均数与几何平均之比的显式上、下界，改进了现有的最佳估计。此外，我们证明了几个与Hassani所说的这个口粮有关的假设。为了做到这一点，我们使用显式估计的素数计数函数，切比雪夫的$\vartheta$ -功能和第一$n$素数的总和。
Prime polynomial values of linear functions in short intervals
本文建立了数论中一个猜想的函数域模拟，它是几个著名猜想的组合，包括Hardy-Littlewood素数元组猜想，关于等差数列和短区间内素数个数的猜想，以及Goldbach猜想.在大有限域的极限中，证明了$n$线性函数的同时素数个数的一个渐近公式。
Diophantine Inequalities as a Problem of Difference between Consecutive Primes
在本文中，我们已经开发了一种方法来解决\textit{diophantine inequalities}使用它们与\textit{difference between consecutive primes}的关系。使用这种方法，我们已经能够证明一些定理，包括英厄姆的指数定理以及一些新的结果。丢番图不等式及其与Cramer和Andrica不等式的关系也被讨论。
Bounded gaps and perfect power gaps in sequences of consecutive primes
本文研究连续素数间隙中是否存在较大间隙或完美幂间隙，并探讨相关数学问题。
Behaviour of the least root modulo a prime of a polynomial
对于根之间没有非平凡线性关系的多项式$f(x)\in\mathbb Z[x]$，提出了一个关于$f(x)\equiv0\bmod p$的最小根$r_p$（$r_p\in\mathbb Z,\,0\le r_p<p)$）的分布的猜想，其中$p$遍历素数集，使得$f(x)$模$p$是完全分裂的.
On The Asymptotic Density Of Prime k-tuples and a Conjecture of Hardy and Littlewood
1922年，Hardy和Littlewood提出了一个关于可容许素数k-元组的渐近密度的猜想。在2011年，沃尔夫计算了孪生素数的“Skewes数”，即，第一个素数，在这一点上，哈迪-利特尔伍德不等式发生逆转。在本文中，我们找到了8个以上的素k元组的“Skewes数”，并提供了支持Hardy-Littlewood猜想的数值数据。此外，我们提出了几种算法来计算这些数字。
Anomalous Primes and the Elliptic Korselt Criterion
本文研究了Silverman在[20]中引入的一类伪素数--Ⅰ型椭圆Korselt数与反常素数之间的关系。本文推广了文[20]中的一个结果，该结果给出了一类椭圆型Korselt数是反常素数的乘积的充分条件.最后，我们证明了几乎所有形式为n=pq的I型椭圆Korselt数都是反常素数的乘积
The number of prime factors of integers with dense divisors
我们证明了，对于整数$n$，其连续因子的比率以上有界的任意常数，素因子的数量的正常顺序是$C \log \log n$，其中$C=(1-e^{-γ})^{-1} = 2.280...$和$γ$是欧拉常数。我们探讨了几个应用程序，并解决了Margenstern关于实际数的猜想。
Chiral Prime Concatenations
手征素连接的概念研究作为一个递归的素数从种子集和适当的块定义的素性增长，一代一代，从右或从左开始的建设。几个基本的问题，如手征级联是否是一个对称的过程，一个无穷的过程，以及计算最大的手征素数。特别地，构造了最大左级联素数。它是24位数的唯一素数。通过引入素数的反常左连接，我们可以超过左连接素数的24位数限制。证明了素数在反常级联下是左手征的。
On prime values of cyclotomic polynomials
本文给出了几种寻找$n$上$Φ_k(x^n)$不可约的充要条件的方法，其中$Φ_k$是$k$ -th分圆多项式.
Pisot Numbers and Primes
我们定义并研究了一个变换，它的迭代使皮索数和素数之间的有趣关系脱颖而出。虽然我们所描述的关系是一般的，但它们在Pisot极限点中具有特殊的形式。我们给出了三个优雅的公式，它允许在整个半线上的所有极限点，不是其他Pisot数的整数幂。
Curious conjectures on the distribution of primes among the sums of the first $2n$ primes
令$p_n$是$n$第一个素数，令$(S_n)_{n=1}^\infty:=(S_n)$是第一个$2n$连续素数之和的序列，即$S_n=\sum_{k=1}^{2n}p_k$与$n=1,2,\ldots$。相应的计算结果所支持的启发式参数表明，素数之间的分布序列$(S_n)$以同样的方式，他们分布在正整数。换句话说，考虑到素数定理，该断言等价于\begin{equation*}\begin{split} &\# \{p:\, p\,\,{\rm is\,\,a\,\, prime\,\, and}\,\, p=S_k \,\,{\rm for\,\,some\,\,} k \,\,{\rm with\,\,} 1\le k\le n\} \sim & \# \{p:\, p\,\,{\rm is\,\,a\,\, prime\,\, and}\,\, p=k \,\,{\rm for\,\,some\,\,} k \,\,{\rm with\,\,} 1\le k\le n\}\sim\frac{\log n}{n}\,\, {\rm as}\,\, n\to\infty, \end{split}\end{equation*}，其中$|S|$表示集合$S$的基数。假设这个断言为真（猜想3.3），我们说$(S_n)$满足限制素数定理。受此启发，在第一节和第二节中，我们给出了关于素数计…
Solutions of polynomial equations in several variables modulo a prime power
本文提出了一种通过主干树结构确定多项式方程模素数幂解集的方法，并应用该方法证明了Poincaré级数的有理性。
Summatory relations and prime products for the Stieltjes constants, and other related results
Stieltjes常数$γ_k(a)$出现在Hurwitz zeta函数$ζ(s,a)$的Laurent展开式的常规部分。我们提出这些常数$γ_k(a)$的基本数学常数，如加泰罗尼亚常数方面的总结性结果，并进一步将它们与素数的有理函数的产品。我们提供的例子，无限系列的差异Stieltjes常数评估为体积双曲$3$ -空间。我们提出了一个新的级数表示的第一Stieltjes常数在合理的论点的差异。我们得到了$ζ(1/2)L_{-p}(1/2)$的表达式，其中对于素数$p>7$，$L_{-p}(s)$是某些$L$ -系列，以及值$ζ(1/2)$的显着紧界，$ζ(s)=ζ(s,1)$是黎曼ζ函数。
Primes of the form \pm a^2\pm qb^2
用简单的二次型表示素数，如$\pm a^2\pm qb^2$，是一个可以追溯到费马、拉格朗日、勒让德、欧拉、高斯和许多其他人的主题。我们对$q\le 20$的此类结果的完整列表感兴趣。有些结果可以用初等方法建立，我们把它们应用到一些例子中。我们正在引入各种表示之间的新关系。
On Maximal Values of Gronwall Numbers for Integers with Given Greatest Prime Factor and Remainder in Modified Mertens Formula
研究整数最大格罗旺数与修改后的梅特恩公式中素数倒数和余数之间的关系，不依赖黎曼假设，提出新的极限关系。
On certain sums over primes and the Riesz function
本文通过Gram级数导数与里斯函数的关系，探讨素数求和近似中的Mobius函数级数，推导出一般积分关系。
A Congruence for Sums of Integer Powers Modulo Products of Distinct Primes
本文证明了在特定条件下，不同素数乘积模下的整数幂和满足一种同余关系。
Prime Points in Orbits: Some Instances of the Bourgain-Gamburd-Sarnak Conjecture
利用Vinogradov三素数定理的Vaughan变分证明了几类无限超曲面中的素点的Zurkki-稠密性，包括某些二次型的水平集、永久多项式和某些准齐次向量空间的定义多项式.其中三个家庭的情况下，一个猜想布尔甘，甘布尔和Sarnak关于总理点轨道的简单代数群。我们的方法是基于制定的一般条件上的定义多项式的超曲面，这足以保证Zurki密度的素数点是等价的存在一个奇点。
Asymptotics of sums of functions of primes located on an arithmetic progression
研究了位于等差数列上的素数函数和的分布问题。这个问题与等差数列上素数的分布问题密切相关。在此分布的基础上，得到了素数函数和的渐近估计的一般公式，并得到了等比数列上各种素数函数和的渐近性.证明了关于等比数列上素数函数和的渐近性的几个断言。证明了这些渐近性存在的充要条件。
On Primorial Numbers
素数由于其简单的定义和显著的性质，几千年来一直吸引着数学家和数学爱好者的注意。在本文中，我们研究素数（第一个素数的乘积），定义素数集，素数区间，素数表，和素数循环数。本文建立了素数与本原循环数之间以及素数的容许k-元组与本原循环数的容许k-元组之间的关系。最后，我们研究了哥德巴赫猜想，并利用原始区间、孪生数、表亲数和性感素数得到了四个哥德巴赫猜想。
On the Distribution of Products of Primes and Powers
我们证明了几个结果的分布数是一个素数和$k$次幂的产品。首先，我们证明了这类数的计数函数的一个渐近公式，推广了E.科恩然后，我们表明，在这个公式中的误差项可以锐化的假设的黎曼假设。最后，我们证明了这些计数函数在短区间内的一个渐近公式。
On short products of primes in arithmetic progressions
我们给出了几个族的合理小整数$k, \ell \ge 1$和实正$α, β\le 1$，使得产品$p_1\ldots p_k s$，其中$p_1, \ldots, p_k \le m^α$是素数和$s \le m^β$是一个产品的最多$\ell$素数，代表所有约化剩余类模$m$。这是P.Erdos，A. M. Odlyzko和A. Sarkozy（1987），它对应于$k = \ell =1$（即两个素数的乘积）。特别地，我们改进了A. Walker（2016）.
Determining newforms via arithmetic relations among Fourier coefficients
研究两个新形式的傅里叶系数之间的算术关系如何用于确定底层形式，给出了扭曲不等价非CM新形式在素数幂处归一化傅里叶系数的差、积和比的分布定量结果，并推导了重数一的定量改进和密度一类似定理。
On generalized Ramanujan primes
本文建立了关于广义Ramanujan素数的几个结果。对于$n\in\mathbb{N}$和$k \in \mathbb{R}_{> 1}$，我们给出了$n$ th $k$ -Ramanujan素数的估计，从而推广和改进了目前文献中的结果.此外，我们还得到了关于$k$ -Ramanujan素数分布的一些结果.此外，我们还找到了某些$n$ th $k$ -Ramanujan素数的显式公式.作为应用，我们证明了Mitra，Paul和Sarkar关于素数个数的一个猜想对每一个充分大的正整数都成立.
Congruence properties of prime sums and Bernoulli polynomials
本文研究涉及素数的特定和式的同余性质，利用伯努利数与伯努利多项式表达结果，并进一步导出一个一般的同余关系。
The Prime state and its quantum relatives
$n$量子比特的素态，$|\mathbb{P}_n\rangle$，被定义为小于$2^n$的素数所对应的所有计算基态的均匀叠加。这种状态以量子力学的方式对素数的算术性质进行编码。我们首先表明，量子傅立叶变换的素数状态提供了一个直接访问的Chebyshev的分布中的偏置。接下来，我们研究了$|\mathbb{P}_n\rangle$到$n=30$量子比特的纠缠熵，并找到了它的标度和无平方整数密度的香农熵之间的关系。这个关系也适用于使用量子基构造素数状态时，表明这个属性是素数分布所固有的。当考虑由算术级数中的素数叠加而构建的状态时，也发现了同样的特征。最后，我们探讨了其他数论量子态的性质，例如由奇合数、无平方整数和星素数定义的量子态。在这项研究中，我们开发了一个开源库，使用任意精度的浮点数对角化矩阵。
Characterizations of Mersenne and 2-rooted primes
我们给出了梅森素数的几个特征（定理1.1）和2是原根的素数的几个特征（定理1.2）。这些刻画涉及群代数、循环矩阵、二项式系数和二部图。
A search for Wilson primes
威尔逊素数是一个素数p使得（p-1）！= -1 mod p^2。我们报告了对2 * 10^13的威尔逊素数的搜索，并描述了在搜索中使用的几种新算法。特别地，我们给出了计算（p-1）的第一个已知算法！mod p^2在每个素数的平均多项式时间内。
Generalisation of Baker's Forcing Method to Arbitrary Prime and NP-hardness of Several $p$-adic Optimisations
研究将贝克强制方法推广到任意素数的p进数优化，证明了p进数线性回归、2进数动态神经网络及相关p进数优化问题部分推广的NP难。
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