On the integers of the form $p^2+b^2+2^n$ and $b_1^2+b_2^2+2^{n^2}$
证明了和集{p^2+b^2+2^n：p是素数，b，n \in N}有正的下密度.我们还构造了一个具有奇模的剩余类，它不包含p^2+b^2+2^n形式的整数.对于和集{b_1^2+b_2^2+2^{n^2}：b_1，b_2，n \in N}也得到了类似的结果.
2009-05-24 math.NT
On two new kinds of restricted sumsets
设$A_1,\ldots,A_n$是可加阿贝尔群$G$的有限子集，其上有$|A_1|=\cdots=|A_n|\ge2$ .对于第二作者最近提出的两类新的限制和集$$L(A_1,\ldots,A_n)=\{a_1+\cdots+a_n:\ a_1\in A_1,\ldots,a_n\in A_n,\ \text{and}\ a_i\not=a_{i+1} \ \text{for}\ 1\le i<n\}$$和$$C(A_1,\ldots,A_n)=\{a_1+\cdots+a_n:\ a_i\in A_i\ (1\le i\le n),\ \text{and}\ a_i\not=a_{i+1} \ \text{for}\ 1\le i<n,\ \text{and}\ a_n\not=a_1\}$$，当$G$是域的加群时，我们用多项式方法得到了$|L(A_1,\ldots,A_n)|$和$|C(A_1,\ldots,A_n)|$的下界.此外，当$G$是无挠和$A_1=\cdots=A_n$，我们完全确定时，$|L(A_1,\ldots,A_n)|$或$|C(A_1,\ldots,A_n)|$达到其下限。
2022-10-21 math.GR math.NT
Sidon sets with $Δ$-separated sumsets in additive number theory
Lehman College (CUNY)（莱曼学院（市立大学系统））
该研究针对整数区间内最大Δ-分离西顿集的基数，推导了其上下界，属于加法数论中西顿集相关的理论研究。
2026-11-10 math.CO math.NT
Multidimensional lower density versions of Plünnecke's inequality
通过对$\mathbb{N}^2$中各种低密度概念证明Plünnecke型不等式，研究了$\mathbb{N}^2$中和集的下渐近密度.更具体地说，我们引入了一个概念，较低的tableaux密度在$\mathbb{N}^2$，其中涉及平均超过凸tableaux形状的地区在$\mathbb{N}^2$包含的起源。这推广了著名的关于$\mathbb{N}$中和集的下渐近密度的Plünnecke型不等式.对于$\mathbb{N}^2$中更基本的下矩形渐近密度概念，我们也给出了一个拓扑Plünnecke不等式，并证明了某些部分结果.
2017-03-09 math.CO math.NT
An improved lower bound for finite additive 2-bases
一个非负整数集合A是值域为n的加2-基，如果它的和集A+A包含0，1，.，n而不是n+1。已知具有任意大尺寸|A| =k和$n/k^2 \ge 2/7 > 0.2857$的显式基。我们提出了一个更一般的结构和改进的下界$85/294 > 0.2891$。
2017-01-10 math.NT
Improved stability for the size and structure of sumsets
本文大幅改进了任意有限整数集和集大小与结构稳定性的有效阈值上界，使其更接近已知下界。
2024-06-05 math.CO math.NT
A Local Classification of Four-Element Multiple Sumsets
研究有限集\(A\subset\mathbb{Z}\)的\(h\)重和集相关问题，核心方法是利用Lev的下界简化问题到仿射直径为五的归一化集，主要贡献是确定\(R(h,4)\)特定区间的值，证明相关猜想并得到新缺失区间。
2026-07-22 math.CO math.NT
Sumsets with a minimum number of distinct terms
本文研究限制至少 r 个不同项的广义和集 h^(≥r)A，给出其在 Z_m 上最小大小的上界，并在 Z 与 Z_p 上证明精确下界及等号集合的刻画。
2025-01-10 math.CO math.NT
Sumsets of Wythoff Sequences, Fibonacci Representation, and Beyond
设$α= (1+\sqrt{5})/2$，用$a_i = \lfloor i α\rfloor$定义上下Wythoff序列，$b_i = \lfloor i α^2 \rfloor$用于$i \geq 1$。在最近的一篇有趣的论文中，Kawsumarng等人证明了一些关于可表示为$a_i + a_j$、$b_i + b_j$、$a_i + b_j$等形式的和的数的结果。在本文中，我将展示如何使用一个简单的想法和现有的免费软件Walnut推导出他们的所有结果。其关键思想是，对于它们的每一个和集，都有一个相对较小的自动机接受所表示的数字的斐波那契表示。我还展示了自动机方法如何轻松地证明其他结果。
2020-06-07 cs.DM cs.FL math.CO
The Romanov theorem revised
设P是所有素数的集合，P_2=P \cup{p_1p_2: p_1,p_2\in P} $。证明了和集2 ^P +P_2={2 ^p +q：p \in P，q \in P_2}有正的下密度.
2007-11-10 math.NT
Distribution of Missing Sums in Sumsets
Princeton University（普林斯顿大学）；Williams College（威廉姆斯学院）；CUNY, The College of Staten Island and the Graduate Center（纽约市立大学，史泰登岛学院及研究生中心）
研究和集缺失和的分布，推导方差公式并发现双峰分布特性。
2012-12-21 math.NT
Limiting Behavior in Missing Sums of Sumsets
该研究针对随机子集和集的缺失求和项数量问题，推广已有结果至任意概率p，给出至少缺失n项的概率指数界、二阶矩新表达式及小p极限首阶行为，证明小p时缺失数接近期望值。
2024-02-01 math.NT
On a sumset conjecture of Erdős
Erdinger证明了对任何具有正下渐近密度的集合$A\subseteq \mathbb{N}$，存在无穷多个集合$B,C\subseteq \mathbb{N}$使得$B+C\subseteq A$ .在$A$的Banach密度超过$\frac{1}{2}$的情况下，我们验证了Erdens的猜想.因此，我们证明了，对于正Banach密度的$A\subseteq \mathbb{N}$（一个比正下密度弱得多的假设），我们可以找到无限的$B,C\subseteq \mathbb{N}$，使得$B+C$包含在$A$和$A$的平移的联合中。上述两个结果都推广到任意可数顺从群。对于伪随机的自然数的子集，我们也给出了Erdés猜想的一个正解.
2014-04-23 math.CO math.GR math.LO
Sums, products and ratios along the edges of a graph
在其开创性的文件Erdés和Szemerédi制定的Aktures的大小和积集的整数。他们猜想的最强形式是关于沿着图的边的和与积。在本文中，我们表明，这种强形式的Erdens-Szemerédi猜想不成立。给出了图的边的和集、积集和比集的基数的上界和下界。
2018-02-18 math.CO math.NT
Kneser's theorem for upper Buck density and relative results
本文建立了上Buck密度的Kneser定理类似结论，对比Jin关于上Banach密度的结果，并构造了具有Buck密度反直觉性质的序列，拓展了密度相关的和集周期性研究。
2025-02-13 math.NT
Iterated Sumsets and Subsequence Sums
设$G\cong \mathbb Z/m_1\mathbb Z\times\ldots\times \mathbb Z/m_r\mathbb Z$是一个有限阿贝尔群，其上有$m_1\mid\ldots\mid m_r=\exp(G)$ . Kemperman结构定理刻画了满足$|A+B|<|A|+|B|$的所有子集$A,\,B\subseteq G$，并已被推广到覆盖当$|A+B|\leq |A|+|B|$。利用这些结果，我们提供了一个精确的结构描述的所有有限子集$A\subseteq G$与$|nA|\leq (|A|+1)n-3$时$n\geq 3$（也当$G$是无限的），在这种情况下，许多病理可能性的情况下$n=2$消失，特别是大$n\geq \exp(G)-1$。结构描述与其他参数相结合，以推广奥尔森断言的子序列和结果，即具有长度$|S|\geq 2|G|-1$的来自$G$的项的序列$S$必须具有可表示为来自$S$的$|G|$ -项的和的$G$的每个元素，否则具有除了$|G/H|-2$之外的所有项，其项位于某些$H\leq G$的公共$H$ -陪集中。我们表明，弱得多的假设$|S|\geq |G|+\exp(G)$足以获得一个几乎相同的结论，在$H$是平凡的情况下，我们必须允许所有的$S$，但$|G/H|-1$条款是从相同的$H$陪集。对PDMATHBNF上的界进行了改进，…
2018-04-18 math.NT
Random Cayley sum hypergraphs and $k$-fold sumsets
Yonsei University（延世大学）；KAIST（韩国科学技术院）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）
本文研究有限阿贝尔群中$k$重和集的阈值，给出随机Cayley和超图独立数的新上界，从而改进并推广了Alon-Pham及Balogh等人的结果。
2026-11-06 math.CO math.NT
A Romanoff-type theorem for a multiset of products of powers
HSE University（高等经济大学）
该论文针对固定底数的幂乘积多重集，在密度和相关假设下，证明了具有多个表示的整数数量的下界，并应用于素数及两平方和集合，无需乘法独立性假设。
2026-10-01 math.NT
Infinite Families of Counterexamples to a Conjecture of Liu and Qian and a Refined Inverse Theorem for Restricted Sumsets in $\mathbb{Z}_p$
School of Mathematics and Statistics, Liaoning University（辽宁大学数学与统计学院）
本文针对Liu和Qian关于$\mathbb{Z}_p$中受限和集临界对的猜想，在边界情形给出反例，并在$|A|+|B|\le p-1$假设下证明改进的逆定理。
2026-09-14 math.NT math.RA
Ensembles de petite somme, structure de sous-criticité
若$A$和$B$是实数的两个有界集，Ruzsa证明了包含比率$λ(A)/λ(B)$的和集$A+B$的测度的精确下界. De Roton建立了关于这个下界的临界集的一个结构性结果。在这里，我们证明了一个推广德Roton的工作，建立一个结果，在附近的情况下平等。
2022-02-06 math.CO math.NT
Rank of matrices with entries from a multiplicative group
我们建立了矩阵的秩的下界，其中除了对角元素之外的所有元素都位于小秩的乘法群中。应用这些界限，我们证明了$\mathbb{R}^d$中有限点集的距离集生成高秩的乘法群，而小秩的乘法群不能包含大的和集.
2021-09-01 math.CO math.NT
Additive number theory and the Dyson transform
本文梳理Dyson变换的理论背景，重现其秩r和集Shnirel'man密度下界定理的证明，并展示包括Kneser不等式在内的应用。
2024-09-06 math.NT
On sets with small sumset and m-sum-free sets in Z/pZ
在群$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中的$3k-4$猜想对于$p$素数陈述，如果$A$是满足$2A\neq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$和$|2A|=2|A|+r \leq \min\{3|A|-4,\;p-r-4\}$的$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$的非空子集，则$A$被大小至多为$|A|+r+1$的等差数列覆盖。Serra和Zémor的一个定理证明了由$r\leq 0.0001|A|$提出的猜想，而对$|A|$没有任何附加的约束.受温和的额外约束$|2A|\leq 3p/4$（这是最佳的在某种意义上解释的文件），我们的第一个主要结果提高了对$r$的约束，允许$r\leq 0.1368|A|$。我们还证明了一个变体，进一步提高了这个约束$r$提供$A$是足够密集的。然后我们给出几个应用程序。首先，我们应用上述变体来给出$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中$m$ -无和集的最大密度的新上界，即，将没有解$(x,y,z)\in A^3$的$A$设置为方程$x+y=mz$，其中$m\geq 3$是固定整数。之前最大密度的最佳上限是$1/3.0001$（使用塞拉-泽莫尔定理）。我们将其改进为$1/3.1955$。我们还提出了一个建设以下的Schoen的想法，这产生了一个下界的形式$1/8+o(1)_{p\to\infty}…
2020-11-13 math.CO math.NT
Sums and Products of Distinct Sets and Distinct Elements in $\mathbb{C}$
设$A$和$B$是$\mathbb{C}$的有限子集，使得$|B|=C|A|$。我们证明了和积现象的以下变体：如果$|AB|<α|A|$和$α\ll \log |A|$，则$|kA+lB|\gg |A|^k|B|^l$。这是一个应用程序的结果Evertse，Schlickewei，和施密特对线性方程的变量取值乘法组的有限秩，结合早先的定理Ruzsa约sumsets在$\mathbb{R}^d$。作为$A=B$情形的一个应用，我们给出了$|A^+|+|A^\times|$的一个下界，其中$A^+$是$A$的相异元素之和的集合，$A^\times$是$A$的相异元素之积的集合.
2010-09-13 math.CO math.NT
A Romanoff-type theorem for $P_2$+{$a^a$: a$\ge$ 1}
Yangzhou University（扬州大学）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与创新学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Nankai University（南开大学）
研究$P_2$+{$a^a$: a$\geq$ 1}的和集，用罗曼诺夫第二矩法证明其有正的下密度，核心是给出奇异因子的平均估计来控制移位间算术相关性以推进证明。
2026-07-07 math.NT
Sharp bound on the number of maximal sum-free subsets of integers
Cameron和Erdwords问，在$\{1, \dots , n\}$中，\emph{maximal}无和集的数量是否比无和集的数量小小于。在同一篇论文中，他们给出了极大自由和集个数的$2^{\lfloor n/4 \rfloor }$的一个下界。在这里，我们证明了以下几点：对于每个$1\leq i \leq 4$，有一个常数$C_i$，使任何$n\equiv i \mod 4$，$\{1, \dots , n\}$包含$(C_i+o(1)) 2^{n/4}$最大和自由集。我们的证明利用了Green的容器和移除引理，Deshouillers，Freiman，Sós和Temkin的结构结果，以及Green和Morris最近关于小和集整数子集的数量的限制。讨论了阿贝尔群的极大无和子集个数的相关结果和公开问题。
2018-05-11 math.CO math.NT
Additive relations in irrational powers
University of Warwick（华威大学）
本文研究了无理数幂次集合的加法性质，证明了在特定条件下该集合的和集渐近达到上界，并给出了有效计算此类幂次参数的方法。
2026-08-03 math.CO math.NT
Improved Upper Bounds on Key Invariants of Erdős-Rényi Numerical Semigroups
本文针对 Erdős-Rényi 随机数值半群模型，运用多种概率方法将期望 Frobenius 数和期望嵌入维数的上界改进到与下界仅差一个多对数因子，并证明了一个关于循环群随机子集 k 重和集的高概率结论。
2025-07-21 math.AC math.CO math.NT
The density of sums of distinct divisors
本文研究正整数作为不同除数之和的密度，给出显式上下界，并证明其不渐近于 $K/\log t$，且下界为 $0.79/\log t$。
2026-09-23 math.NT
On the independence number of sparser random Cayley graphs
本文研究稀疏随机 Cayley 和图的独立数，首次将 Green–Morris 的 $p=1/2$ 结论推广到 $p=o(1)$，并借助推广 Freĭman 引理的几何定理完成证明。
2024-12-04 math.CO math.NT
Transversal Difference Numbers in Finite Abelian Quotients
Institute of Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院数学研究所）；CertSIGN；Babeş-Bolyai University（巴比什-博尧伊大学）
研究有限阿贝尔群对(G,H)的横向差数δ(G,H)，给出下界δ(G,H)≥2|G/H|-m(G,H)，并针对循环商和乘积族证明精确性，对奇素数p的平方情形提出猜想δ(G,H)=(2p-1)^2。
2026-06-29 cs.CR cs.DM math.CO
