不同除数之和的密度
The density of sums of distinct divisors
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本文研究正整数作为不同除数之和的密度，给出显式上下界，并证明其不渐近于 $K/\log t$，且下界为 $0.79/\log t$。
中文摘要 AI 辅助
对于正整数 $t$，令 $d_t$ 表示使得 $t$ 是 $n$ 的不同除数之和的 $n$ 的集合的自然密度。Erdős 证明了 $d_t$ 存在，给出了一个未明确说明的多对数上界，在没有证明的情况下断言了一个匹配的下界，并询问是否 $d_t \sim c_3/(\log t)^{c_4}$。我们记录了显式界 \\[ \nu_t \le d_t \ll \frac{(\log\log t)^{\delta-3/2}}{(\log t)^{\delta}}, \qquad \nu_t = \frac{K}{\log t}\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\log\log t}{\log t}\Bigr)\Bigr), \\] 其中 $\delta = 0.086071\ldots$ 是 Erdős--Ford--Tenenbaum 常数，$K=c\\,e^{-\gamma}$，且 $c=1.33607\ldots$ 是实用数常数。因此，如果 Erdős 的渐近式成立，则 $\delta<c_4\le 1$。一个双素数构造，使用半尺度子集和以获得完全剩余覆盖，然后产生逐点超出量 \\[ \liminf_{t\to\infty}(\log t)\\,(d_t-\nu_t) \ge KI, \\] 其中 $I=\int_0^2 G(w)\\,\mathrm{d}w=0.05887\ldots$ 是一个显式初等积分。特别地，对于每个足够大的 $t$，$d_t\ge 0.79/\log t$，且 $d_t$ 不渐近于 $K/\log t$。
英文摘要
For a positive integer $t$, let $d_t$ denote the natural density of the set of $n$ for which $t$ is a sum of distinct divisors of $n$. Erdős proved that $d_t$ exists, gave an unspecified polylogarithmic upper bound, asserted without proof a matching lower bound, and asked whether $d_t \sim c_3/(\log t)^{c_4}$. We record the explicit bounds \[ ν_t \le d_t \ll \frac{(\log\log t)^{δ-3/2}}{(\log t)^δ}, \qquad ν_t = \frac{K}{\log t}\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\log\log t}{\log t}\Bigr)\Bigr), \] where $δ= 0.086071\ldots$ is the Erdős--Ford--Tenenbaum constant, $K=c\,e^{-γ}$, and $c=1.33607\ldots$ is the practical-number constant. Consequently, if Erdős's asymptotic holds, then $δ<c_4\le 1$. A two-prime construction, using a half-scale sumset to obtain full residue coverage, then yields the pointwise excess \[ \liminf_{t\to\infty}(\log t)\,(d_t-ν_t) \ge KI, \] where $I=\int_0^2 G(w)\,\mathrm{d}w=0.05887\ldots$ is an explicit elementary integral. In particular $d_t\ge 0.79/\log t$ for every sufficiently large $t$, and $d_t$ is not asymptotic to $K/\log t$.
