Maps of metric spaces
Marius Buliga
这是一个教学介绍，涵盖了度量空间的地图、Gromov-Hausdorff距离及其“物理”含义，以及膨胀结构，作为一个度量空间到另一个度量空间的详尽地图数据库的方便简化。参见arXiv：1103.6007了解上下文。
This is a pedagogical introduction covering maps of metric spaces, Gromov-Hausdorff distance and its "physical" meaning, and dilation structures as a convenient simplification of an exhaustive database of maps of a metric space into another. See arXiv:1103.6007 for the context.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The visual angle metric and quasiregular maps
研究了映射下点间距离的畸变问题。首先证明了单位圆盘上含有视角度量的拟正则映射的一个Schwarz型引理。然后我们反过来研究了凸区域上bilipschitz映射关于视角度量的拟共形性。对于单位球或半空间，证明了关于视角度量的bilipschitz映射也是关于双曲度量的bilipschitz映射。我们还得到了各种不等式的视角度量的其他度量，如距离比度量和准双曲度量。
Expansive maps are isometries
证明了从紧度量空间的稠密子集到度量空间本身的可扩张映射是等距的
Metric conditions that guarantee existence and uniqueness of Optimal Transport maps
该研究探讨度量空间中Monge问题最优传输映射存在唯一性的度量条件，提出局部度量扭转条件与局部一致非分支假设，分别在对应成本下证明了映射的存在唯一性，拓展了最优传输理论的适用场景。
Weak differentiability of metric space valued Sobolev maps
证明了取值于对偶巴拿赫空间的Sobolev映射可以用弱 * 意义下的弱导数刻画.由于每一个度量空间等距嵌入到一个对偶巴拿赫空间中，这意味着度量空间值Sobolev映射的一个特征。此外，我们还研究了Sobolev映射在哪些目标空间上是几乎处处弱 * 可微的。
An approach to metric space valued Sobolev maps via weak* derivatives
本文提出用弱*导数刻画度量空间值Sobolev映射，并修正了Hajłasz和Tyson的先前结果。
Dynamics of Hilbert nonexpansive maps
在他的工作的基础几何，希尔伯特指出，一个公式出现在工程贝尔特拉米，凯莱和克莱因，使一个完整的度量任何有界凸区域。几十年后，加勒特·伯克霍夫（Garrett Birkhoff）和汉斯·萨麦尔森（Hans Samelson）注意到，当考虑收缩该度量的某些凸锥映射时，该度量有有趣的应用。这种情况已经出现在许多情况下，纯粹的和应用，并可以被称为非线性Perron-Frobenius理论。本文围绕这一理论的一个动力学方面展开。
Moving closer: contractive maps on discrete metric spaces and graphs
我们考虑离散的度量空间，我们寻找非常数的压缩。引入压缩映射的概念，刻画了具有非常数压缩映射的空间。通过一些例子讨论了压缩映射、压缩映射与常数函数之间的可能关系。最后，我们将主要结果应用于无向连通图的子图。
Harmonic nets in metric spaces
我们研究从加权图到局部允许唯一重心的度量空间的调和映射，如具有曲率上界的Alexandrov空间。我们证明了存在性结果，通过构造一个迭代几何过程，收敛到这样的映射，简称调和网。
Slopes of Kantorovich potentials and existence of optimal transport maps in metric measure spaces
本文研究了在测地线度量空间中满足适当的无分支假设的二次费用函数的最优运输问题。我们介绍和研究沿曲线和沿测地线的斜率的概念，我们应用后者来证明适当的推广的Brenier定理的最佳映射的存在。
Uniformization, $\partial$-biLipschitz maps, sphericalization, and inversion
定义了一致度量空间之间的$\partial$ -biLipschitz同胚，并证明了这些映射总是拟莫比乌斯的.我们还证明了一个同胚是$\partial$ -biLipschitz是等价的映射biLipschitz在拟双曲度量在这些空间。这些主张的证明要求我们一致化拟双曲度量。我们进一步证明了Gromov双曲空间的所有容许一致化通过恒等映射彼此是拟莫比乌斯的，包括那些基于Gromov边界上一点的一致化。利用主要结果，我们然后表明，球化和反演操作是兼容的双曲空间在自然意义上的一致化。
Mapping properties of a scale invariant Cassinian metric and a Gromov hyperbolic metric
本文考虑尺度不变的Cassinian度量和Gromov双曲度量。讨论了尺度不变的卡西尼度量在一个穿孔球到另一个穿孔球的莫比乌斯映射下的一个畸变性质。我们得到了从一个具有尺度不变的Cassinian度量（或Gromov双曲度量）的域到同一个具有欧氏度量的域上的恒等映射的连续模.在拟共形映射下，这两个度量的拟不变性也得到了证明。
A totally bounded Uniformity on coarse metric Spaces
本文给出了粗糙空间上边界的一种新形式。端函子空间将粗糙度量空间映射到一致拓扑空间，将粗糙映射映射到一致连续映射。
Some invariant properties of quasi-Möbius maps
研究了拟度量空间的拟莫比乌斯映射作用下保持不变的性质。一个度量空间称为具有常数D的加倍空间，如果每个有限半径的球最多能被D个半径一半的球覆盖。证明了加倍性质是（拟）Möbius空间的不变性质.此外，还证明了一致不连通的性质对于（拟）莫比乌斯空间也是一个不变量。
Nonexistence of quasiconformal maps between certain metric measure spaces
我们提供了新的条件，确保两个度量测度空间是不拟共形等价。作为应用，我们证明了次黎曼海森堡群与旋转平移群之间不存在拟共形映射。
Modulus of families of sets of finite perimeter and quasiconformal maps between metric spaces of globally $Q$-bounded geometry
推广了J.C. Kelly推广到了Ahlfors $Q$ -正则度量测度空间支持$1$ -Poincaré不等式.本文证明了：若$X$和$Y$是两个支持$1$ -Poincaré不等式的Ahlfors $Q$ -正则空间，且$f:X\to Y$是拟共形映射，则$f$拟保持对应于任意有限周长集合$E\subset X$的测度集合$\mathcal{H}^{Q-1}\lfloor_{ΣE}$的$Q/(Q-1)$ -模.我们还表明，对于$Q/(Q-1)$ -模几乎每一个$ΣE$，如果图像表面$Σf(E)$没有看到的奇异集的$f$作为一个大的集合，那么$f(E)$也是有限的周长。即使在标准的欧几里德设置我们的结果是更普遍的比凯利，因此是新的，即使在那里。
Maps of bounded variation from PI spaces to metric spaces
该研究针对满足加倍与庞加莱性质的PI空间上取值于度量空间的有界变差映射，通过简单映射逼近构建良态松弛理论，并给出含弱对偶测试计划概念的多种等价刻画。
Potential theory and quasisymmetric maps between compact Ahlfors regular metric measure spaces via Besov functions: preliminary
利用紧Ahlfors正则度量测度空间的双曲填充，研究了该空间的Besov容性.这种方法是适用的，即使空间不支持任何庞加莱不等式。作为Besov容量估计的一个应用，我们证明了如果两个Ahlfors正则度量测度空间之间的同胚在某些附加的假设下保持一定的Besov类，那么这个同胚必然是一个拟对称映射.
Ahlfors-David regular sets and bilipschitz maps
给定度量空间中的两个Ahlfors-David正则集，研究其中一个是否有一个子集与另一个等价.
Differentiability of Lipschitz maps from metric measure spaces to Banach spaces with the Radon Nikodym property
本文证明了Lipschitz映射X->V的可微性，其中X是满足加倍条件和Poincaré不等式的完备度量测度空间，V是具有Radon-Nikodym性质（RNP）的巴拿赫空间.证明依赖于一个新的特征的可微结构等度量测度空间，在方向导数的方向上的切向量的适当的可求长曲线。
A Bochner Formula for Harmonic Maps into Non-Positively Curved Metric Spaces
本文研究了从黎曼流形到任意非正曲和CAT（-1）度量空间的调和映射。首先我们讨论区域变分公式，特别强调误差项。扩大高阶项的曲率和其他公式，我们证明了类似的Eels-Sampson Bochner公式在这个更一般的设置。特别地，我们证明了从非负里奇曲率空间到非正曲率空间的调和映射具有次调和能量密度。当整环是紧的时，能量密度是常数，如果整环有一个正里奇曲率点，则每个到NPC空间的调和映射必是常数。
Concentration of maps and group action
本文从映射集中论的观点出发，研究了紧群和Lévy群作用对一大类度量空间，如R-树、加倍空间、度量图和Hadamard流形的作用.
Some results on maps that factor through a tree
本文给出了单连通拟凸度量空间上的映射分解通过树的一个充要条件。当目标是欧氏平面且映射是指数大于1/2的Hölder连续映射时，这类映射可以通过卷绕数函数上的某些积分消失来刻画.这特别表明，如果目标是装备有卡诺-卡拉西奥多里度规的海森堡群，并且映射的霍德尔指数大于2/3，则映射通过树因子。
Quasicircles and Bounded Turning Circles Modulo bi-Lipschitz Maps
我们构建了一个目录，雪花型度量圆，描述了所有的度量拟圆\bl \等价。这是一个度量空间模拟的结果，由于罗德。我们的构造也适用于所有有界转动的度量圆;这些圆不需要加倍。作为一个副产品，我们表明，度量拟圆的Assouad维数严格小于2是bi-Lipschitz等价于一个平面拟圆。
Metrics and convergence in the moduli spaces of maps
我们提供了一个一般的框架来研究映射族的收敛性质。对于流形$M$和$N$的$M$配备了一个体积形式$\mathcal{V}$，我们认为家庭的地图在收集$\{(ϕ, B) : B \subset M, ϕ:B \rightarrow N\text{ with both measurable}\}$，我们定义了一个距离函数$\mathcal{D}$类似的$L^1$距离这样一个集合。$\mathcal{D}$的定义取决于几个参数，但我们表明，度量空间的属性和拓扑不依赖于这些选择。特别地，我们证明了度量空间总是完备的。在探索了$\mathcal{D}$的性质后，我们将重点转移到探索这类映射族的收敛性质上。
Collapsing Maps and Quasi-Isometries
我们引入一个推广的b-度量，我们称之为（b，c）-度量。证明了若$X$是$(b,c)$ -度量空间且$ψ: X \longrightarrow Y$是拟等距空间，则$X$是$(b,c)$ -可度量化的.我们还定义了一种特殊的折叠映射，可以应用于任意的$(b,c)$ -度量空间。我们在这个坍缩映射的象上定义了一个距离函数，并由此证明了这个坍缩映射是一个拟等距映射。
On Carrasco Piaggio's theorem characterizing quasisymmetric maps from compact doubling spaces to Ahlfors regular spaces
本文解构并探讨了Carrasco Piaggio的一个定理的组成部分，该定理将紧致加倍度量空间的Ahlfors正则共形规范与度量空间的Gromov-双曲填充上的权联系起来.我们考虑一个建设的双曲填充比卡拉斯科Piaggio考虑的一个简单，我们确定的效果的四个属性假设卡拉斯科Piaggio上的紧凑的度量空间的诱导度量。
Metric differentiation, monotonicity and maps to L^1
本文给出了L^1中Lipschitz映射的无穷小结构的一种新方法。作为第一个应用，我们给出了先前论文中主要定理的另一种证明，即海森堡群不允许在L^1中有双李普希茨嵌入。证明使用度量微分定理的保罗和削减度量分解减少非嵌入参数的分类单调子集的海森堡群。
The coincidence of the current homology and the measure homology via a new topology on spaces of Lipschitz maps
考虑了局部Lipschitz可缩度量空间和局部Lipschitz映射的范畴，它是度量空间的一个广泛的范畴，包括了有限维Alexandrov空间和CAT空间.在Ambrosio和Kirchheim意义下，我们还考虑了度量空间中具有紧支集的正规流的链复形.本文证明了它的同调是范畴上的一个同伦不变量。为了证明这个结果，我们在任意度量空间之间的Lipschitz映射空间上定义了一个新的拓扑。证明了该拓扑与紧黎曼流形之间的$C^1$ -映射空间上的通常的$C^1$ -拓扑一致。
Monotone Sobolev extensions in metric surfaces and applications to uniformization
本文研究了度量表面中单调Sobolev映射的扩展定理，并应用于紧度量表面的统一化问题。
A Tauberian approach to metric scaling limits of random discrete structures, with an application to random planar maps
本文提出一种基于Tauberian定理和夹逼定理的方法，在GHP拓扑下证明随机离散结构的度量缩放极限，并应用于随机平面地图，证明Brownian球面是不可约四边形剖分的缩放极限。
Constructing Hölder maps to Carnot groups
本文构造了到具有卡诺度量的卡诺群，特别是第一海森堡群$\mathbb{H}$的Hölder映射. Pansu和Gromov观察到，任何嵌入$\mathbb{H}$的表面的Hausdorff维数至少为3，因此当$α>\frac{2}{3}$时，没有表面嵌入$\mathbb{H}$的$α$ -Hölder。Züst改进了这一结果，证明了当$α>\frac{2}{3}$，任何从单连通黎曼流形到$\mathbb{H}$因子的$α$ -Hölder映射都通过一个度量树。本文通过构造从$D^2$和$D^3$到$\mathbb{H}$的$(\frac{2}{3}-ε)$ -Hölder映射，证明了Züst的结果是尖锐的.我们利用这些证明了如果$0<α< \frac{2}{3}$，则从紧度量空间到$\mathbb{H}$的$α$ -Hölder映射集在连续映射集中是稠密的，并构造了从$\mathbb{R}^3$到$\mathbb{H}$的适当的度-1映射，其Hölder指数任意接近于$\frac{2}{3}$ .
Uniformizing surfaces via discrete harmonic maps
证明了对亏格大于1的任意闭曲面和填充该曲面的任意有限权图，存在一个双曲度量，使得在该曲面上的一个固定的同伦类和所有双曲度量中实现该图的最小Dirichlet能量调和嵌入.我们给出明确的例子，这样的双曲曲面通过一个新的解释尼尔森实现问题的映射类群。
Liouville theorem, conformally invariant cones and umbilical surfaces for Grushin-type metrics
证明了对角向量场系统生成的控制距离的共形映射的一个分类定理。结果表明，所有这些映射都可以作为适当的扩张、反演和等距的合成而得到。我们还对底层度量的所有脐曲面进行了分类。
$p$-harmonic mappings between metric spaces
本文解决了奇异度量空间之间Sobolev映射的狄利克雷问题，推广了Guo和Wenger [Comm. Anal. Geom.2020]。在我们的证明中的主要新成分是由Korevaar和Schoen [Comm. Anal. 1993年]。我们还发展了一个理论的痕迹在边界的情况下，调查尖锐的条件来表征痕迹的存在。
Uniformization with infinitesimally metric measures
我们考虑拟共形映射的扩张和一致化定理到与$\mathbb R^2$同胚的度量空间$X$的情形。给定这样一个空间上的测度$μ$，我们引入$μ$ -拟共形映射$f:X \to \mathbb R^2$，它的定义涉及到曲线的长度由$μ$变形.我们证明了如果$μ$是一个无穷小度量测度，即，如果它满足David和Semmes度量加倍测度条件的无穷小版本，则存在这样的$μ$ -拟共形映射.我们应用这个结果给出了允许无穷小拟对称参数化的度量空间的一个刻划。
Metric convexity in the symplectic category
我们介绍了一个扩展的标准的局部到整体的原则，用于证明凸定理的动量映射处理封闭的地图，采取的值在长度度量空间。这种扩展是用来研究的凸性质的圆柱值的动量映射介绍的Condevaux，Dazord，和Molino，并允许我们获得最一般的凸性声明，在文献中的动量映射相关的辛李群行动。
Transport maps, non-branching sets of geodesics and measure rigidity
在本文中，我们研究了具有绝对连续第一边际的最优耦合的迁移映射的一般存在性与Rajala-Sturm（Calc.Var.PDE 2014）引入的称为本质非分支的背景测度的性质之间的关系。特别地，本文证明了Cavalletti-Huesmann（Ann.Inst.H.庞加莱肛门。Non Linèaire 2015）暗示任何本质上无分支的度量测度空间只要初始测度是绝对连续的，就有唯一的迁移映射。这推广了Cavalletti-Mondino（Commun.对流Math.2017）在具有测度压缩条件$\mathsf{MCP}(K,N)$的本质非分支空间上。最后证明了一个测度刚性结果，即在固定的度量空间上，任何两个本质非分支、定性非退化的测度必相互绝对连续. Cavalletti-Mondino在更强的条件下获得了这一结果（Adv.Math. 2016）。它特别适用于度量测度空间的广义有限维里奇曲率有界从下面。
Backward dynamics of non-expanding maps in Gromov hyperbolic metric spaces
本文通过引入稳定膨胀概念，研究Gromov双曲空间中非扩张映射的向后动力学，解决了全纯抛物型自映射逃逸向后轨道收敛性的开放问题。
Bures--Kuratowski metrics and simplicial complexes for completely bounded maps
研究Bures-Kuratowski度量在完全有界映射上的应用，结合Kuratowski嵌入与正则表示Hausdorff坐标，提出度量的l^p楔分解方法，并探讨其在单纯复形中的几何计算与同调特征。
Maps on probability measures preserving certain distances --- a survey and some new results
生活在度量空间上的Borel概率测度是基本的数学对象。有几个有意义的距离函数，使生活在一定的空间度量空间的概率测度的集合。我们感兴趣的是这种度量空间的等距结构的描述。我们概述了一些最近的结果的主题，我们也提供了一些新的Wasserstein距离。更具体地说，我们考虑的空间上的所有Borel概率测度的单位球的欧几里得空间赋予Wasserstein度量$W_p$为任意$p \geq 1,$，我们表明，行动的Wasserstein等距的狄拉克措施的集合是由等距的基本单位球。
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