Small unit-distance graphs in the plane
证明了一个顶点数不超过9的图是单位距离图当且仅当它不包含74个所谓的最小禁止图之一。这扩展了Chilakamarri和Mahoney（1995）的工作，他们为最多7个顶点的单位距离图提供了类似的分类。
2019-05-24 math.CO
The number of unit distances is almost linear for most norms
我们证明了在平面上存在一个范数，在这个范数下，没有n-点集确定超过O（n log n log log n）的单位距离。实际上，大多数范数都有这个性质，在这个意义上，它们的补是所有范数的度量空间中的一个微薄集（度量由单位球的豪斯多夫距离给出）。
2010-07-07 math.CO
A lower bound for 4-regular planar unit distance graphs
我们执行一个穷举搜索的最小4-正则单位距离图的下界的34个顶点。
2014-01-17 math.CO
The Erdös-Falconer distance problem on the unit sphere in vector spaces over finite fields
art，Iosevich，Koh and Rudnev（2007）利用傅里叶分析方法证明了有限Erdös-Falconer距离猜想对$\mathbbm{F}_q^d$中单位球面的子集成立。本文给出了这个结果的一个图论证明。
2008-10-09 math.CO
Fast regocnition of planar non unit distance graphs
我们研究了一个给定的图不能嵌入到平面中，使得相邻顶点相距单位距离，并且直线边不相交的准则。
2014-01-17 math.CO
Eleven Unit Distance Embeddings of the Heawood Graph
本文用图象和顶点坐标的15位近似法给出了Heawood图，即二阶有限射影平面的点-线关联图的11种单位距离嵌入.这些与定义的代数方程一起足以计算精确嵌入的任意精确近似，从而表明希伍德图确实是一个单位距离图。因此，我们驳斥了1972年对V. Chvatal的“怀疑”。
2009-12-30 math.CO
The Möbius-Kantor graph is a faithful unit-distance graph
本文证明了广义Petersen图$\mathrm{GP}(8,3)$（即Möbius-Kantor图）在平面上具有忠实的单位距离表示。
2025-08-08 math.CO
Sets of Complex Unit Vectors with Two Angles and Distance-Regular Graphs
我们研究{0，α}-集，它是$\mathbb{C}^m$的单位向量的集合，其中任意两个不同的向量有角0或α。我们研究了一些距离正则图，这些图利用Godsil和Roy的方法提供了{0，α}-集的新构造.我们证明了平坦向量的{0，α}-集的大小的界，并刻画了所有产生{0，α}-集的距离正则图在相等时满足界.
2013-06-13 math.CO
Gain distance matrices for complex unit gain graphs
复数单位增益图（$ \mathbb{T} $ -增益图），$ Φ=(G, φ) $是函数$ φ$将单位复数分配给$ G $的边缘的每个方向，并且将其逆分配给相反方向的图。复数单位增益图（$ \mathbb{T} $ -增益图）是一个单图，其中边的每个方向都被赋予一个复数单位，其逆方向被分配给边的相反方向。在这篇文章中，我们提出了$ \mathbb{T} $ -增益图的增益距离矩阵。这些概念推广了距离矩阵和符号距离矩阵的相应已知概念。沙胡尔湾Hameed等人引入了符号距离矩阵并发展了它们的性质。受他们工作的启发，我们建立了几个谱性质，包括平衡$ \mathbb{T} $ -增益图和增益距离矩阵之间的一些等价关系。在此基础上，我们引入了正加权$ \mathbb{T} $ -增益图的概念，并研究了它的一些性质。利用这些性质，推导出了Acharya和Stanić的平衡谱判据。此外，还研究了序无关性和距离相容性的概念。此外，我们还得到了距离相容性的一些刻画。
2021-01-27 math.CO
1-planar unit distance graphs
本文研究1-平面单位距离图，证明n个顶点的此类图最多有3n-√[4]{n}/15条边，结果几乎紧，并推广到k-平面与k-准平面情形。
2025-06-03 math.CO
New upper bound for the cardinalities of $s$-distance sets on the unit sphere
我们用Fisher型不等式和线性规划界作为$S^{d-1}$上$s$ -距离集基数的上界。本文对任意$s$，给出了$S^{d-1}$上$s$ -距离集基数的一个新的上界.这个上界改进了Fisher型不等式，并且对于不适用于线性规划界的$s$ -距离集是有用的.
2010-04-28 math.CO
On the computational complexity of degenerate unit distance representations of graphs
有些图允许以这样一种（自然的）方式在欧几里德k空间中绘图，即边被表示为单位长度的线段。这样的绘图将被称为k维单位距离表示。当两个非邻顶点画在同一点上时，我们说这个表示是退化的。图的维数（欧几里德维数）被定义为给定图具有非退化k维单位距离表示（具有非邻顶点映射到距离不为1的点的性质）所需的最小整数k。证明了判定一个输入图是否同态于一个维数k ≥ 2的图（其中欧几里德维数k ≥ 2）是NP-难问题。
2010-01-06 math.CO
A Moser-spindle-free 5-chromatic unit distance graph on 2131 vertices in the plane
针对Hadwiger-Nelson问题，本研究构造出不含Moser纺锤体的2131顶点5色单位距离图，改进了此前64513顶点的同类结果，利用21顶点7对称单位距离图的弧完成构造。
2026-10-07 math.CO
Unit distance graphs with ambiguous chromatic number
首先，拉斯洛·塞克利（Laszlo Szekely）和最近的萨哈龙·谢拉（Saharon Shelah）和亚历山大·索伊费尔（Alexander Soifer）提出了无限图的例子，这些图的色数取决于为集合论选择的公理。这类图的存在性可能与平面问题的色数有关。本文构造了一类新的具有模糊色数的图。它们是顶点集为R^n的单位距离图，因此可以进一步证明平面的色数可能依赖于集合论。
2009-12-16 math.CO
Computing Small Unit-Distance Graphs with Chromatic Number 5
我们提出了一种新的方法来减少具有给定性质的图的大小。我们的方法，这是基于子句证明最小化，使我们能够计算几个553顶点的单位距离图的色数5，而最小的公布的单位距离图的色数5有1581个顶点。后一个图是由Aubrey de Grey构造的，表明平面的色数至少为5。我们的图缺乏4-着色是由于在某些顶点上强制执行了清晰的模式。此外，我们的图表可以在一秒钟内得到机械验证，这表明该模式是基于一个相当短的论点。
2018-05-30 math.CO
Erdős's unit distance problem and rigidity
本文针对Erdős单位距离问题，证明了具有接近n^{4/3}个单位距离的点集的结构性结果，并将改进Spencer等人上界的问题归结为刚性框架猜想。
2025-07-21 math.CO
Kronecker covers, V-construction, unit-distance graphs and isometric point-circle configurations
我们称一个3维多面体P是可容许的，如果它具有以下两个性质：（1）对于P的每个顶点，它的第一邻点的集合是共面的;（2）由第一邻点确定的所有平面是不同的。证明了由容许多胞形P通过V-构造得到的点-平面构形的Levi图是其1-骨架的Kronecker覆盖。我们研究了V-结构的组合性质，并将其用于单位距离图上，构造了新的等距点圆构型。特别是，我们提出了一个无穷级数的所有成员的子配置著名的Clifford配置。
2012-07-29 math.CO
On some non-rigid unit distance patterns
最近由Palsson，Senger和Sheffer提出的Erdés单位距离问题的一个推广，要求在平面和$3$ -空间中具有给定顶点数的单位距离路的最大数目。研究这个问题的一个变体，我们证明了半径为$1/\sqrt{2}$的球面上的单位距离路径和圈的数目的严格界。我们还考虑了$\mathbb{R}^3$中关于$3$ -正则单位距离图的一个类似问题.
2023-01-19 math.CO math.MG
Spectral properties of distance Laplacian matrices of complex unit gain graphs
该文研究复单位增益图的距离拉普拉斯矩阵谱性质，建立平衡增益图的零化度刻画，给出切换等价图同谱的必要条件，还推导了谱半径的上下界及等号成立条件。
2025-07-28 math.CO
Gain distance Laplacian matrices for complex unit gain graphs
本文定义了复数单位增益图在任意顶点排序下的两种增益距离拉普拉斯矩阵，刻画了其奇异性与秩的公式，并利用该矩阵给出了图中平衡性的两类刻画，相关结果推广至加权情形。
2024-04-25 math.CO
A unit-distance graph in the plane with independence ratio below 1/4
通过精心选择的两顶点增广，将27顶点构造的几何分数色数从4提升到严格大于4，证明存在有限单位距离图其独立比严格小于1/4，从而否定Erdős问题并推出平面分数色数严格大于4。
2026-06-29 math.CO
Clustering in typical unit-distance avoiding sets
本文在平面中严格证明，稠密乃至典型的避免单位距离集合都会出现距离约为2的点对过度富集的聚类现象，并基于线性规划方法加以论证。
2024-07-06 math.CO math.MG
Algorithmic exploration of the unit distance problem in the rational plane
提出一种基于有理平面局部广度搜索的算法，生成单位距离图，其密度超过近期理论下界，并克服了网格结构的局限性。
2026-09-04 cs.CG math.CO
Unit distance graphs and algebraic integers
本文回答了Brass关于$\mathbb{R}^2$的可加子群的单位距离图的顶点度的一个问题.
2018-07-10 math.CO math.MG math.NT
Monochromatic Equilateral Triangles in the Unit Distance Graph
令$χ_Δ(\mathbb{R}^{n})$表示对$\mathbb{R}^{n}$着色所需的最小颜色数，使得不会存在边长为$1$的单色等边三角形。利用切片秩方法，我们改进了Frankl和Rodl的一个结果，证明了$χ_Δ\left(\mathbb{R}^{n}\right)$随$n$指数增长.这种技术大大提高了$χ_Δ\left(\mathbb{R}^{n}\right)$的最佳已知的定量下界，我们得到了\[ χ_Δ\left(\mathbb{R}^{n}\right)>(1.01446+o(1))^{n}. \]
2020-05-07 math.CO
Perspectives on the unit distance problem
综述单位距离问题及其关联几何背景，阐述已知结果、困难原因及与其他数学分支的联系。
2026-09-11 math.CO math.HO
Unit distances and diameters in Euclidean spaces
我们证明了d维欧几里得空间中n个点的集合中单位距离或直径的最大数只能通过特定类型的Lenz构造来获得，对于所有d >= 4和n足够大，取决于d。作为推论，我们确定了所有偶数d >= 6的单位距离的精确最大数，以及所有d >= 4的直径的精确最大数，对于所有足够大的$n$，取决于d。
2007-07-02 math.CO math.MG
Rational Distances with Rational Angles
在1946年Erd \H OS要求最大数量的单位距离，$u(n)$，之间的$n$点在平面上。他展示了$u(n)> n^{1+c/\log\log n}$，并推测这是真正的量级。最著名的上界是由Spencer、Szemerédi和Trotter提出的$u(n)<cn^{4/3}$。我们表明，上界$n^{1+6/\sqrt{\log n}}$持有，如果我们只考虑单位距离与合理的角度，我们的意思是，通过对点的线使一个合理的角度度与x轴。利用Mann的一个代数定理，得到了单位距离图中两个固定顶点之间的路数的一个一致界，给出了当有过多的有理角的单位距离时的一个矛盾.如果我们考虑有理距离而不是单位距离，只要直线上没有三个点，这个界限就成立。一个超线性下界给出，由于Erd \H OS和珀迪。如果我们在一条直线上有最多的$n^α$点，那么我们分别得到具有有理角的有理距离的数量的界限$O(n^{1+α})$或$n^{1+α+6/\sqrt{\log n}}$，这取决于是$α\ge 1/2$还是$α< 1/2$。
2011-05-09 math.CO
An improved constant factor for the unit distance problem
我们证明了$n$平点之间的单位距离的个数至多为$1.94\cdot n^{4/3}$，改进了以前的最佳界$8n^{4/3}$ .我们也给出了更好的上限和下界的几个小值的$n$。我们还证明了交叉引理的一些变形，并改进了一些常数因子。
2021-12-15 cs.DM math.CO
Unit distance graphs with few crossings per edge
ELTE Eötvös Loránd University（布达佩斯罗兰大学）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究网络阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）
研究了单位距离图的边数上限，针对k=1时改进了上界，k=2时首次给出非平凡上界，并给出了k=2的下界构造。
2026-03-20 math.CO
Graph minimization, focusing on the example of 5-chromatic unit-distance graphs in the plane
本文提出了一种新的图极小化方法，该方法要求保持图的某些性质，并给出了一种有效的检验方法。我们将此方法应用于极小化5-色单位距离图，得到了一个有509个顶点和2442条边的图。
2022-06-28 math.CO math.MG
The Erdős unit distance problem for small point sets
该研究改进了16至30顶点单位距离图边数的上界，在n≤21时与下界匹配并枚举最稠密图，通过高效生成ℱ-自由图和自定义嵌入器提升了单位距离图的判定效率。
2025-02-12 math.CO math.MG
Optimization Problems over Unit-Distance Representations of Graphs
我们研究单位距离表示和图的洛瓦兹θ数之间的关系，最初由洛瓦兹建立。我们推导并证明极小极大定理。这个框架使我们能够得到一个加权版本的超球数的图和相关的最小-最大定理。然后，我们通过图同态连接到三明治定理。本文提出并研究了图的超球数的一个推广及相关的最优化问题。广义问题涉及到找到一个给定的形状，其中包含一个单位距离表示的图形的最小椭球。我们证明了任意半正定形式描述的椭球产生NP-困难的问题。
2012-08-25 math.CO math.OC
On the unit distance problem
Erd \H os单位距离猜想在平面上说，从一个大小为$n$的点集中，被固定（欧几里德）距离分开的点对的数量对于任何$ε>0$都是$\leq C_ε n^{1+ε}$。最著名的界限是$Cn^{\frac{4}{3}}$。我们表明，如果所考虑的集合是均匀分布的，并且固定距离远小于集合的直径，则指数$\frac{4}{3}$显著提高。相应的结果也建立在更高的维度。结果是通过求解相应的连续问题和使用连续到离散的转换机制。利用已知的关于凸区域格点膨胀分布的结果检验了结果的清晰度。我们还介绍了以下变体的Erd \H OS单位距离问题：有多少对点从一组大小$n$是由一个整数距离分开？我们在这个方向上得到了一些结果，并提出了一个猜想。
2017-09-23 math.CA math.CO
Constructing 5-chromatic unit distance graphs embedded in the Euclidean plane and two-dimensional spheres
本文主要研究二维球面或平面中色数大于4的单位距离图的求法。此类图为平面上的Nelson-Hadwiger问题的色数及其对球体情况的推广提供了下界。构造了一系列嵌入平面的顶点数为64513的5色单位距离图。与先前已知的例子不同，这些图不包含Moser主轴作为子图。给出了在两个半径值上嵌入球面的5-色图的构造。即构造了嵌入单位边长二十面体外接球的372个顶点的5-色单位距离图和嵌入大二十面体外接球的972个顶点的5-色图。
2022-10-22 math.CO math.MG
Remarks on the disproof of the unit distance conjecture
本文提供了一个简短、消化后的OpenAI生成反例，以及对其的反思，该反例驳斥了埃德华·埃尔德什的单位距离猜想，并探讨了其背后的数学思想。
2026-05-20 math.CO math.NT
Connectedness of Unit Distance Subgraphs Induced by Closed Convex Sets
单位距离图$G_{\mathbb{R}^d}^1$是其节点是$\mathbb{R}^d$中的点的无限图，如果这些点之间的欧几里得距离为1，则两点之间具有边。这个图的二维版本$G_{\mathbb{R}^2}^1$通常研究其色数，如Hadwiger-Nelson问题。然而，单位距离图的其他性质却很少被研究。在这里，我们考虑的限制$G_{\mathbb{R}^d}^1$的闭凸子集$X$的$\mathbb{R}^d$。我们证明了当$X$的$r(X)$的半径等于0，或当$r(X)\geq 1$和$X$的仿射维数至少为2时，图$G_{\mathbb{R}^d}^1[X]$是精确连通的。对于超矩形，我们给出了临界情况下，半径正好为1的图直径的界限。
2022-02-11 math.CO math.MG
A note on the unit distance problem for planar configurations with Q-independent direction set
令$T(n)$表示在欧几里得平面$\mathbb{R}^2$中的一组$n$点可以确定的单位距离的最大数目，其中附加条件是由配置确定的不同单位长度方向必须是$\mathbb{Q}$独立的。这与鄂尔多斯单位距离问题有关，但在方向集上有一个简化的附加假设，该假设“一般地”成立。我们证明了$T(n+1)-T(n)$是$n$的汉明重量，即，$n$的二进制展开式中非零二进制系数的数目，并明确地找到$T(n)$的公式。特别地，$T(n)$是$Θ(n log(n))$。此外，我们描述了一个过程，以构建一个集的$n$点在平面上与$\mathbb{Q}$ -独立的单位长度方向集，精确地达到$T(n)$单位距离。在这样做的过程中，我们表明$T(n)$也是相同的最大数量的边缘的顶点的子集的大小$n$确定的可数无限格$\mathbb{Z}^{\infty}$或无限超立方体图$\{0,1\}^{\infty}$。确定T（n）的问题可以看作是一类填充问题或等周问题。
2014-06-25 math.CO math.MG
More unit distances in arbitrary norms
Stanford University（斯坦福大学）
该研究证明对任意d≥2维范数存在n点集实现至少(d/2-o(1))n log₂n个单位距离，匹配典型范数的已知上界，还证明d≥3的典型范数单位距离图含所有m的K_{d,m}副本。
2025-06-16 math.CO math.MG
On sets containing a unit distance in every direction
我们研究了$\mathbb{R}^2$中在每个方向上都包含单位距离的紧集的盒维数（这样的集合可能具有零豪斯多夫维数）。在其他结果中，我们表明，较低的盒维数必须至少是$\frac{4}{7}$，可以低至$\frac{2}{3}$。这在某种意义上量化了单位圆距离成为差集有多远。
2021-07-01 math.CA math.CO math.MG
Unit and distinct distances in typical norms
该论文在Baire范畴意义上对$\nmathbb{R}^d$上几乎所有范数解决了Erdős单位距离和不同距离问题，给出紧确界限，并证明几乎所有平面范数的单位距离图色数为4。
2024-11-07 math.CO math.MG
Breaking the 3/2 barrier for unit distances in three dimensions
我们证明了$\mathbb{R}^3$中的每一个$n$点集都跨越$O(n^{295/197+ε})$单位距离。这是对$O(n^{3/2})$的先前边界的改进。证明中的一个关键因素是将$\mathbb{R}^3$中的圆切割成伪段的新结果。
2022-02-28 cs.CG math.CO math.MG
Two notions of unit distance graphs
$\mathbb{R}^d$中的{ \em忠实（单位）距离图}是其顶点集是$d$维欧几里得空间的有限子集的图，其中两个顶点相邻当且仅当它们之间的欧氏距离正好是$1$。$\mathbb{R}^d$中的{ \em（单位）距离图}是这样的图的任何子图。在本文的第一部分，我们专注于这两类图之间的差异。特别地，我们证明了对于任何固定的$d$，$\mathbb{R}^d$中$n$标号顶点上的忠实距离图的个数是$2^{(1+o(1)) d n \log_2 n}$，并给出了已知事实$\mathbb{R}^d$中$n$标号顶点上的距离图的个数是$2^{(1-1/\lfloor d/2 \rfloor +o(1))n^2/2}$的一个简短证明.我们还研究了涉及这些图的几个Ramsey型量的行为。%和高围长图。本文的第二部分讨论了在$\mathbb R^d$中确定与忠实距离图不同构的图的最小可能边数的问题。
2014-02-15 cs.DM math.CO math.MG
The crossing number and the unit-distance crossing number of the Hamming graphs H(d,3)=K_3^{box d}, and their realizations over many coordinate fields
Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)（里约热内卢州立大学）
本文研究Hamming图H(d,3)的平面单位距离绘制，证明其普通交叉数为Theta(n^2)（常数7/6），给出单位距离交叉数的上下界，并揭示其可构造性与超越实现的几何统一。
2026-11-11 math.CO
Estimation of the distance between two bodies inside an $n$-dimensional ball of unit volume
我们考虑的问题，估计两个机构之间的距离体积$\varepsilon$位于一个$n$维球$U$的单位体积$n\to\infty$。令$A$是一个闭集，其具有在单位体积的$n$维球内的体积$\varepsilon$（$0 \leq \varepsilon \leq 1/2$）的光滑边界。在所有体积集合中，$\varepsilon$是一个具有最小可能自由表面积的集合，位于相对于穿过球中心的某个超平面的一个半空间中。则$A$具有与表示垂直于$U$的球和球$U$本身的交点的集合相同的自由表面积。
2020-01-13 math.CO math.MG
On rigidity properties of unit-distance graphs
KU Leuven（荷语鲁汶大学）；Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics, Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院约翰·拉德纳计算与应用数学研究所）；Faculty of Information Technology, Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学信息技术学院）；School of Mathematical Sciences, Lancaster University, UK（兰开斯特大学数学科学学院）
本文研究单位距离图及其子类（便士图、弹珠图、火柴杆图）的刚性性质，回答了一个关于便士图和弹珠图刚性的开放问题，并建立了便士图与NAC着色之间的联系。
2026-10-06 math.CO math.MG
Progressions in Euclidean Ramsey theory
本研究改进了欧几里得拉姆齐理论中共线点着色问题的结果，将蓝色单位间距共线点的阈值从$10^{50}$降至1177，并拓展了不同点间距下的相关结论。
2024-12-16 math.CO
Rigidity-Induced Scaling Laws in Unit Distance Graphs: The Algebraic Collapse of Dense Substructures
National University of Río Cuarto (UNRC)（里奥夸尔托国立大学）
该研究通过结合结构刚性分解与 Cayley-Menger 变种理论，证明单位距离图在超过临界密度时必须包含刚性二分图，并展示了 $K_{3,3}$ 在 $\mathbb{R}^2$ 中的代数奇异性和维度坍缩，从而改进了非退化欧几里得配置的上界。
2026-01-25 math.CO math.MG
A Finite Graph Approach to the Probabilistic Hadwiger-Nelson Problem
我们提出了一个概率的方法，Hadwiger-纳尔逊问题最初开发的Polymath 16项目，特别是有关的方法，有限单位距离图。我们定义的数字\textit{badness}的一个给定的$k$ -着色的平面的概率，随机选择的单位距离的边缘是单色下的着色，我们提供的任意$k$ -着色使用概率技术有限图的坏的下界。由此产生的边界的逆置让我们计算非$k$ -可着色单位距离图的阶的下界，改进了由Pritikin和Polymath 16项目在$k = 4$和$k = 5$情况下产生的边界。此外，我们取得了部分进展的概率模拟的de Bruijn-Erdés紧性定理。
2020-08-18 math.CO
Spherical two-distance sets and graph eigenvalues
College of Mathematical Sciences, Harbin Engineering University（哈尔滨工程大学数学科学学院）
本文建立了球面二距离集与特定谱性质图的显式对应，并据此推导了球面二距离集最大大小的界。
2025-10-11 math.CO
An explicit lower bound for the unit distance problem
该研究通过构造代数数域，证明了平面中存在n个点集，其中包含超过n^1.014对距离恰好为1的点对，改进了OpenAI团队最近的工作，并推翻了Erdős的猜想。
2026-05-20 math.CO math.MG math.NT
Cardinalities of k-distance sets in Minkowski spaces
一个度量空间的子集是一个k-距离集，如果点之间恰好有k个非零距离。我们猜想d维巴拿赫空间（或Minkowski空间）中的k-距离集至多包含（k+1）^d个点，且它们相等当且仅当单位球是平行六面体.我们解决这个猜想肯定的所有2维空间和空间的单位球是一个平行。对于一般空间，我们找到了k-距离集的各种较弱的上界。
2007-12-06 math.CO math.MG
Isomorphisms of unit distance graphs of layers
本文证明不同宽度的层的单位距离图非同构，并推广到多维情形，且对特定层证明了自同构必为等距映射。
2025-05-23 cs.DM math.CO
Uniform distribution and geometric incidence theory
一个著名的单位距离猜想由于Erd \H os说，单位距离不能出现超过$C_εn^{1+ε}$倍（对于任何$ε>0$）之间的$n$点在欧几里德平面（见例如\cite{SST84}和其中包含的参考文献）。在三维中，固定的结合是$Cn^{\frac{4}{3}}$（参见例如\cite{KMSS12}和\cite{Z19}）。在四维和更高维中，这个问题在其一般公式中失去了意义，因为Lens示例表明，可以在$4$和更高维中构造一组$n$点，其中单位距离出现$\approx n^2$次（例如参见\cite{B97}）。然而，透镜的例子本质上是一维的，这就提出了一种可能性，即单位距离猜想在点集上附加结构假设的情况下，在高维中仍然很有趣。\cite{I19}、\cite{IS16}、\cite{IMT12}、\cite{IRU14}、\cite{OO15}中探讨了这一观点，并在单位距离问题与其连续对应问题之间建立了一些有趣的联系，特别是法尔科纳距离猜想（\cite{Falc85}）。本文在点集族是均匀分布的假设下，研究了单位距离问题及其变形。我们证明了几个发病率界在此设置和澄清的背景下，在组合几何中的发病率问题的均匀分布序列的一些关键属性。
2022-02-10 math.CA math.CO math.NT
