Counterexamples to a dimension-free variant of Erdős's diameter conjecture for separated distances
该研究通过构造特定点集，证明在高维空间中，即使所有点对距离均大于等于1，直径也可能远小于n²，推翻了埃德华兹的直径猜想。
2026-10-26 math.CO math.MG
A new proof of Vazsonyi's conjecture
本文给出了欧氏空间中n点间直径对的个数至多为2n-2的完备证明。该证明避免了球多面体中使用的原始证明Grunbaum，Heppes和Straszewicz。作为推论，我们得到任何三维直径图都可以嵌入到射影平面中。
2007-05-04 math.CO math.MG
Maximal r-Diameter Sets and Solids of Constant Width
我们回想一下度量空间中的r-极大集的定义，它是直径为r的极大子集。在特殊情况下，当度量空间是欧几里德时，这样一个集合恰好是一个直径为r的常数体。在回顾这些物体的理论的过程中，我们提供了一个简单的构造，它产生了一大类这样的固体。
2010-08-15 math.DS math.GM math.MG
Coverings of planar and three-dimensional sets with subsets of smaller diameter
考虑了与将欧几里得空间中的集合分裂为较小直径子集的经典Borsuk问题相关的定量估计。对于给定的$k$，存在子集的最小直径，在该最小直径处存在由任何单位直径的平面集合的$k$子集构成的覆盖。为了找到最小直径的上估计，我们提出了一个算法，找到次优分区。在$10 \leqslant k \leqslant 17$的情况下，改进了最小直径的一些上估计和下估计。另一个结果是单位直径的任何集合$M \subset \mathbb{R}^3$可以被划分成直径不大于$0.966$的四个子集。
2022-10-22 math.MG
Approximation and Inapproximability Results for Maximum Clique of Disc Graphs in High Dimensions
我们证明了算法和硬度的问题，找到最大的一个固定的直径在欧几里得空间的结果。特别是，我们证明，如果$A^*$是最大的子集的直径$r$的$n$点在欧几里得空间，然后为每个$ε>0$存在一个多项式时间算法，输出一组$B$的大小至少$|A^*|$和直径最多$r(\sqrt{2}+ε)$。在硬度方面，粗略地说，我们表明，除非$P=NP$为每个$ε>0$它是不可能保证直径$r(\sqrt{4/3}-ε)$为$B$，即使算法被允许输出一组大小$({95\over 94}-ε)^{-1}|A^*|$。
2009-03-14 cs.CG math.MG
A diameter gap for quotients of the unit sphere
证明了对于维数大于1的单位球面上的群的任意等距作用，其商空间的直径为零或大于一个与维数无关的普适正常数.
2021-06-03 math.DG math.MG math.RT
Constructing 5-chromatic unit distance graphs embedded in the Euclidean plane and two-dimensional spheres
本文主要研究二维球面或平面中色数大于4的单位距离图的求法。此类图为平面上的Nelson-Hadwiger问题的色数及其对球体情况的推广提供了下界。构造了一系列嵌入平面的顶点数为64513的5色单位距离图。与先前已知的例子不同，这些图不包含Moser主轴作为子图。给出了在两个半径值上嵌入球面的5-色图的构造。即构造了嵌入单位边长二十面体外接球的372个顶点的5-色单位距离图和嵌入大二十面体外接球的972个顶点的5-色图。
2022-10-22 math.CO math.MG
On Unit Spherical Euclidean Distance Matrices Which Differ in One Entry
单位球面欧几里德距离矩阵（EDM）D是其元素可以被实现为单位球面上的n个点的点间（平方）欧几里德距离的矩阵。在本文中，给定这样一个D和1 \leq k <1 \leq n，我们提出了一个集的特征的所有单位球面EDM，其项目与D的那些，除了可能与第k1和第lk位置的项目。因此，我们表明，这个集合可以是离散的，由一个或两个元素组成，或者它可以是连续的。使用两种替代方法，其中第二种是基于凯莱-门格尔矩阵的结果。
2019-04-08 math.MG
Improving Rogers' upper bound for the density of unit ball packings via estimating the surface area of Voronoi cells from below in Euclidean d-space for all d>7
球填充问题要求单位球在d维欧几里得空间中的稠密填充。这个问题有其根源的几何，数论，它是一部分希尔伯特的第18个问题。1958年C. A.罗杰斯证明了一个非平凡的上界的密度单位球填充在d维欧几里得空间的所有d>0。1978年Kabatjanskii和Levenstein改进了大d的这个界。事实上，罗杰斯的界限是目前已知的43>d>3的最佳界限，在此之上，Kabatjanskiii-Levenstein界限接管。本文改进了Rogers关于欧氏d-空间中单位球填充密度的上界，其中d>7。我们这样做是通过估计从下面的表面积的Voronoi细胞在任何包装的单位球在欧几里德d-空间的所有d>7。
2001-10-18 math.MG
On multiple Borsuk numbers in normed spaces
Hujter和Lángi在直径为$d > 0$的欧几里得$n$ -空间中引入了一个集合$S$的$k$ -fold Borsuk数，作为$S$子集的家族$\mathcal F$的最小基数，其直径严格小于$d$，使得$S$的每个点至少属于$\mathcal F$的$k$成员。研究了有限维赋范空间中集合$S$的$k$ -fold Borsuk覆盖是否可以扩展为$S$的完备化.进一步，我们确定了赋非角范平面上集合的$k$ -fold Borsuk数，并给出了赋角范平面上集合的一个部分刻画.
2013-11-26 math.CO math.MG
Curves of constant diameter and inscribed polygons
欧氏平面上的一条简单闭曲线具有性质C_n（R），如果在每一点上都能内接一个唯一的正则$n$ -边形，其边长为$R$ . C_2（R）等价于具有恒定直径。本文证明了对于所有n，除了圆之外，满足C_n（R）的平滑曲线是存在的，并且圆是唯一满足C_2（R）和C_4（R '）的$C^2$正则曲线，其中$R'=R/\sqrt{2}$ .在附录中，我们证明了最后一个断言对任何R和R '都成立。证明只使用了初等微分学和几何。
2012-02-10 math.MG
Extremal Eigenvalues of the Laplacian on Euclidean domains and closed surfaces
研究了单位体积欧几里得整环上Laplacian算子的特征值在Dirichlet和Neumann边界条件下的极值序列的性质.第二部分研究了Laplace-Beltrami算子在单位面积闭曲面上的极值特征值序列。
2014-03-08 math.MG
Contact numbers for congruent sphere packings in Euclidean 3-space
继续Harborth（1974）和作者（2002）的研究，我们研究了以下两个关于球填充的基本问题。回想一下，单位球的任意有限堆积的接触图（即，是欧氏空间中的（简单）图，其顶点对应于填充元，并且如果对应的两个填充元彼此接触，则其两个顶点通过边连接。在欧氏空间中，求n个单位球的填充的接触图的最大边数是接触图的一个基本问题。我们的方法找到最大的接触数的下限和上限估计是一个组合的分析和组合的想法，它也是基于最近的一些结果的球包装。最后，我们还感兴趣的是上述问题的以下更特殊的版本。也就是说，让我们想象我们被给予一个格单位球，它的中心点在欧几里得3-空间中形成格L（并且某些单位球对彼此接触），然后让我们生成n个单位球的填充，使得n个单位球的每个中心都选自L。正如在一般情况下，我们感兴趣的是找到良好的估计，最大接触数的包装的n个单位球获得这种方式。
2011-09-28 math.MG
On cyclic quadrilaterals in euclidean and hyperbolic geometries
在单位圆上按正序排列的四个点确定四边形的顶点，四边形被认为是欧几里得四边形或双曲四边形，这取决于连接顶点的线是欧几里得线还是双曲线。在双曲线的情况下，这种类型的四边形称为理想四边形。我们的主要结果给出了一个欧几里德对应的早期结果的双曲距离之间的对边的理想四边形。证明是基于计算涉及双曲几何。我们还得到了单位圆盘内双曲测地线线段的双曲中点的一个新公式。作为某些几何性质的应用，我们给出了单位圆上任意四点关于一个直径对称化的欧氏构造，它保持了四元组的绝对交比。
2020-06-07 math.HO math.MG
Metric Thickenings, Borsuk-Ulam Theorems, and Orbitopes
度量空间的增厚捕捉空间的局部几何性质。在这里，我们展示了应用程序的下界的拓扑结构的加厚的圆，更一般的领域。我们解释互连与几何圈行动欧几里得空间，结构的零三角多项式，和定理的Borsuk-Ulam型。利用欧几里得空间上圆作用轨道的凸包的组合结构和几何结构，给出了圆的度量增厚的同伦型的几何证明。球的加厚的同伦连通性界允许我们证明，一个加权平均值的奇数映射$S^n \to \mathbb{R}^{n+2}$的小直径集上的函数值为零。我们证明了奇映射$S^{2n-1} \to \mathbb{R}^{2kn+2n-1}$的Borsuk-Ulam定理的一个额外的推广。本文证明了从圆到任意欧几里得空间的奇映射的最优数量界的结果。这反过来又意味着任何斜齐次三角多项式在特定直径的圆的子集上都有零;这些结果是最优的。
2019-10-09 math.AT math.CO math.GT
Contact graphs of unit sphere packings revisited
三维欧氏空间中单位球的任意有限填充的接触图是其顶点对应于填充元且如果对应的两个填充元彼此接触则其两个顶点由边连接的（简单）图。关于接触图的一个最基本的问题是求n个单位球的填充的接触图的最大边数。本文改进了以前的估计，证明了欧氏空间中n个单位球的任意填充中的接触对数总是小于$6n-0.926n^{2/3}$ .而且，作为上述问题的自然扩张，我们建议研究接触三胞胎的最大数量（分别为，四元组）在欧氏3-空间中的n个单位球的任意包装中。特别是，我们证明了接触三胞胎（分别为，四元组）至多是$25/3n$（相应地，$11/4n$）。
2012-10-21 math.MG
Gromov--Hausdorff Distance Between Euclidean Unit Balls
University of Florida（佛罗里达大学）
本文利用Borsuk--Ulam定理，证明了不同维数欧几里得单位球间的Gromov--Hausdorff距离大于1/2且随维数趋于1，并给出上界小于1。
2026-09-29 math.MG
Quantitative Bi-Lipschitz embeddings of bounded curvature manifolds and orbifolds
我们构造双Lipschitz嵌入到欧几里得空间的流形和有界直径和曲率的orbifolds。这种嵌入的变形和尺寸仅由直径、曲率和尺寸限定。我们的结果也适用于有界子集的完整黎曼流形，和完整的平坦和椭圆orbifold。我们的方法是基于分析结构的有界曲率流形在各种规模的专业化方法，从崩溃理论的某一类模型空间。
2017-04-12 math.DG math.MG
On contact numbers of locally separable unit sphere packings
在欧氏$d$ -空间中的一个多球填充的接触数是填充中的球接触对的数目。球填充的一个突出的子类是由所谓的完全可分球填充形成的：在这里，球在欧几里得$d$ -空间中的填充被称为完全可分，如果任何两个球可以被一个超平面分开，使得它与填充中每个球的内部不相交。Bezdek、Szalkai和Szalkai（Discrete Math.339（2）：668-676，2016）在欧几里得$d$ -空间中用$n$和$d$给出了$n$单位球的完全可分填充的接触数的上界。本文改进了它们的上界，并将新的上界推广到单位球的局部可分填充。我们称单位球的填充为局部可分填充，如果填充的每个单位球与与它相切的单位球一起形成完全可分填充。在平面上，我们证明了一个结晶的结果，通过表征所有的局部可分包装的$n$单位盘具有最大的接触数。
2021-05-14 math.MG
Circumspheres of sets of n+1 random points in the d-dimensional Euclidean unit ball (0<n<d+1)
在d维欧几里得空间中，任何均匀分布在圆心为O的单位球内部的n+1个独立随机点的集合几乎必然确定圆心为C、半径为R的外接球，其中n为正且小于d+1，当n为正且小于d时，n为平坦的。O在n平面上的投影称为O '。焦点设置在包含在这个单位球中的外接球上。对于任意大于1的d和任意小于d的正n，距离D = O 'C和R的联合密度函数有一个简单的封闭形式表达式。它们的边际密度函数都是幂和高斯超几何函数的乘积。D和R的随机表示表示为两个独立β随机变量的几何平均值。对于n等于d，正的，D和R具有狄利克雷分布，而D和R均为贝塔分布。Monte-Carlo模拟结果与计算结果吻合得很好
2018-03-22 math.MG math.PR
Non-Euclidean Erdős-Anning Theorems
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
本文研究了非欧几里得平面中整数距离点集的性质，证明了在严格凸距离函数下，任何三角形直径为δ时，最多O(δ²)个点可满足到三个顶点的距离为整数，并解决了Richard Guy关于黎曼流形等边维数的问题。
2025-02-24 cs.CG math.MG
Spherical codes, maximal local packing density, and the golden ratio
d维欧氏空间Rd中的离散局部填充（DLP）问题涉及在一个固定的单位直径球附近放置N个不重叠的单位直径球，使得从固定球的中心到周围N个球的中心的最大距离最小. DLP问题的解决方案是相关的实现对关联函数包装的不重叠的领域，并可能被证明是有用的，在改进后的最佳已知的上界的最大包装分数的领域包装在尺寸大于3。在Rd中的最优球面编码问题涉及到将N个单位直径的不重叠球面的中心放置到半径为R的球面上，使得R最小化。证明了在任意维数下，N个球面的最优球面编码问题的所有在1和黄金分割比之间的解也是相应的DLP问题的解。因此，对于任何单位直径的非重叠球体的堆积，半径小于或等于黄金比例的球形区域以任意球中心为中心，不能包含比可以放置在该区域表面上的球中心数量多一个的球中心数量。
2010-03-18 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech math.MG
On homotopy types of Euclidean Rips complexes
度量空间中一组点X的尺度为r的Rips复形是抽象的单纯复形，其面由X的有限个直径小于r的子集确定。我们证明了，对于欧氏空间R^3中的X，从X的Rips复形到它在R^3中的阴影的自然投影映射诱导在基本群上的满射。这部分回答了钱伯斯、德·席尔瓦、埃里克森和格里斯特提出的一个问题，他们研究了R^2的子集的这种投影。我们进一步证明了R^n的有限子集的Rips复形是普适的，因为它们模拟了所有PL-可嵌入R^n的单纯复形的同伦类型。作为一个应用，我们得到了任意R^4的有限子集的Rips复形的基本群。我们进一步证明了如果R^2中一个有限点集的Rips复形是一个维数至少为2的正规伪流形，那么它一定是一个交叉多面体的边界。
2016-02-12 math.AT math.MG
