Fast regocnition of planar non unit distance graphs
Sascha Kurz
我们研究了一个给定的图不能嵌入到平面中，使得相邻顶点相距单位距离，并且直线边不相交的准则。
We study criteria attesting that a given graph can not be embedded in the plane so that neighboring vertices are at unit distance apart and the straight line edges do not cross.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A lower bound for 4-regular planar unit distance graphs
我们执行一个穷举搜索的最小4-正则单位距离图的下界的34个顶点。
1-planar unit distance graphs
本文研究1-平面单位距离图，证明n个顶点的此类图最多有3n-√[4]{n}/15条边，结果几乎紧，并推广到k-平面与k-准平面情形。
4-regular planar unit triangle graphs without additional triangles
本文证明了仅由单位三角形组成而不含附加三角形的4-正则平面单位距离图的存在性。结果表明，单位三角形的最小数目是$\leq$ 6422。
Isosceles trapezoids of unit area with vertices in sets of infinite planar measure
本文肯定回答了 Erdős 的问题：每个无限 Lebesgue 测度的可测平面集必含单位面积等腰梯形的四个顶点，并将肯定结论推广到等腰三角形和直角三角形。
Weak Unit Disk and Interval Representation of Planar Graphs
我们研究了单位球相交表示的一种变体，即平面上的单位圆盘和直线上的单位区间。给定一个平面图和一个将图的边二分为近集和远集的图，目标是用单位球表示图的顶点，使得表示两个相邻顶点的球相交当且仅当对应的边是近的。我们考虑的问题，在平面上，并证明这是NP-难的决定是否存在这样的表示为一个给定的边划分。另一方面，每一个串-平行图允许这样的表示与单位圆盘的任何近/远标签的边缘。我们还表明，表示线上的问题是等价的一个变种的图着色。我们给出了围长为4的平面图和围长为3的外平面图的例子，这些图没有这样的单位区间表示。另一方面，所有无三角形的外平面图和所有最大平均度小于26/11的图总是可以表示的。特别是，这给出了一个简单的证明，表示所有平面图与大围长。
Polygons of unit area with vertices in sets of infinite planar measure
研究探讨了面积为1的多边形顶点在无限测度集合中的存在性，分别回答了循环四边形和等边凸多边形的问题。
On the Classification of Planar-Rips complexes and their corresponding unit disk graphs
本文对可实现为平面点集Vietoris-Rips复形的伪流形与弱伪流形进行单纯同构分类，并同伦分类二维纯闭平面Rips复形，进而刻画一类所有极大团基数相同的单位圆盘图。
Dujmović et al (FOCS2019) recently proved that every planar graph $G$ is a subgraph of $H\boxtimes P$, where $\boxtimes$ denotes the strong graph product, $H$ is a graph of treewidth 8 and $P$ is a path. This result has found numerous applications to linear graph layouts, graph colouring, and graph labelling. The proof given by Dujmović et al is based on a similar decomposition of Pilipczuk and Siebertz (SODA2019) which is constructive and leads to an $O(n^2)$ time algorithm for finding $H$ and the mapping from $V(G)$ onto $V(H\boxtimes P)$. In this note, we show that this algorithm can be mad…
Threshold-Coloring and Unit-Cube Contact Representation of Graphs
本文研究了图的阈值染色，其中用整数表示的顶点颜色描述给定图的任意生成子图如下。具有近颜色的顶点对意味着它们之间的边存在，而具有远颜色的顶点对意味着边不存在。不是所有的平面图都是阈值可着色的，但是一些子类，如树，一些平面网格和没有短圈的平面图总是可以阈值着色的。利用这些结果，我们得到了几个平面图子类的单位立方接触表示。阈值着色问题的变体与众所周知的图着色和其他图论问题有关。使用这些关系，我们显示的NP-完全的这些变种中的两个，并描述一个多项式时间算法的另一个。
Domination-packing ratio for planar and unit disk graphs
研究平面图和单位圆盘图中支配数与打包数的比率，证明其上界并改进了相关结果。
Toward a Unit Distance Embedding for the Heawood graph
图的单位距离可嵌入性，如平面性，涉及组合和几何约束的混合。我们构造了一个单位距离嵌入$H-e$，希望它将导致嵌入$H$。然后，我们调查分析方法的一般决策程序测试单位距离嵌入。
A note on the unit distance problem for planar configurations with Q-independent direction set
令$T(n)$表示在欧几里得平面$\mathbb{R}^2$中的一组$n$点可以确定的单位距离的最大数目，其中附加条件是由配置确定的不同单位长度方向必须是$\mathbb{Q}$独立的。这与鄂尔多斯单位距离问题有关，但在方向集上有一个简化的附加假设，该假设“一般地”成立。我们证明了$T(n+1)-T(n)$是$n$的汉明重量，即，$n$的二进制展开式中非零二进制系数的数目，并明确地找到$T(n)$的公式。特别地，$T(n)$是$Θ(n log(n))$。此外，我们描述了一个过程，以构建一个集的$n$点在平面上与$\mathbb{Q}$ -独立的单位长度方向集，精确地达到$T(n)$单位距离。在这样做的过程中，我们表明$T(n)$也是相同的最大数量的边缘的顶点的子集的大小$n$确定的可数无限格$\mathbb{Z}^{\infty}$或无限超立方体图$\{0,1\}^{\infty}$。确定T（n）的问题可以看作是一类填充问题或等周问题。
New representation results for planar graphs
给出了一个泛表示定理，证明了任意图都是一个弦图、多个余二部图和一个单位区间图的交图。结果的核心是团覆盖宽度的概念，它是带宽参数的推广。具体地说，我们证明了任何可平面图都是一个弦图，四个共二部图和一个单位区间图的交图。等价地，任何可平面图都是弦图和团覆盖宽度不超过7的图的交图。我们进一步描述了结果的扩展，绘制在表面上的图形和图形不包括一个小的交叉数至多为1。
No new lower bound for the density of planar Sets avoiding Unit Distances
本文修正了先前声称构造出高于Croft下界的平面单位距离回避集合的错误，指出修正后所有常直径集合均未产生新下界，但保留文章以供参考。
On lower bounds of the density of planar periodic sets without unit distances
本文通过将无单位距离平面集最大密度问题转化为平坦环面图上的最大独立集问题，研究其下界，实验表明该方法未改进已知下界0.22936，且最佳离散集近似于Croft构造。
Cops and Robber Game with a Fast Robber on Interval, Chordal, and Planar Graphs
我们考虑一个由Fomin，Golovach，Kratochvil提出的警察和强盗博弈的变体，其中强盗具有无限的速度，也就是说，在她的回合中可以从她的顶点采取任何路径，但她不允许通过一个被警察占据的顶点。我们在区间图、弦图、可平面图和超立方体图上研究了这个博弈。令c_{\infty}（G）表示在该变体中捕获图G中的强盗所需的警察的数量。证明了如果G是区间图，则c_{\infty}（G）= O（sqrt（|V（G）|）），并给出了求区间图中c_{\infty}（G）的多项式时间3-近似算法.证明了对任意n，存在n-顶点弦图G，使c_{\infty}（G）= Omega（n / \log n）.令tw（G）和Delta（G）分别表示G的树宽和最大度。证明了对任意G，tw（G）+ 1 \leq（Delta（G）+ 1）c_{\infty}（G）.利用c_{\infty}（G）的这个下界，我们证明了两件事。第一个是，如果G是一个可平面图（或更一般地说，如果G没有固定顶点图作为子图），则c_{\infty}（G）= Theta（tw（G））。这立即导致O（1）-近似算法计算可平面图的c_{\infty}。第二个是如果G是m-超立方体图，则存在常数eta 1，eta 2>0使得（eta 1）2 ^m/（m sqrt（m））\leq c_{\infty}（G）\leq（eta 2）2 ^m/ m.
Implicit Enumeration of Topological-Minor-Embeddings and Its Application to Planar Subgraph Enumeration
给定图$G$和$H$，我们提出了一种方法，隐式枚举的拓扑子嵌入的$H$在$G$使用决策图。我们展示了一个有用的应用程序，我们的方法枚举子图的特征在于禁止拓扑未成年人，即，平面，outerplanar，串并联，仙人掌子图。计算实验表明，我们的方法可以找到所有平面子图在一个给定的图在最多五个数量级的速度比一个天真的回溯为基础的方法。
Distance sets of well-distributed planar sets for polygonal norms
设X是二维赋范空间，BX是X中的单位球.讨论了当X包含一个距离集Delta满足估计的均匀分布集时，BX的极值点集必须有多大的问题|Δ \cap [0，N]|<CN^{3/2 -ε}。我们还给出了一个良分布集存在的充要条件，|Δ \cap [0，N]|< CN.
Distance problems for planar hypercomplex numbers
本文研究了平面超复数的单位距离和相异距离问题：对偶数$\mathbb{D}$和对偶数$\mathbb{S}$ .我们表明，不同的距离问题在$\mathbb{S}^2$的行为类似于原来的问题在$\mathbb{R}^2$。其他三个问题的表现与它们的真实类似物相当不同。我们通过引入点集的多重性的各种概念来研究这三个问题。我们的分析是基于研究几何的对偶平面和双平面。我们还依赖于离散几何的经典结果，例如Szemerédi-Trotter定理。
An Omega(n^2) Lower Bound for Random Universal Sets for Planar Graphs
一个集合$U\subseteq \reals^2$是$n$ -泛的，如果所有的$n$ -顶点平面图都有平面直线嵌入到$U$中.我们证明了，如果$Q \subseteq \reals^2$由随机和均匀地从单位正方形中选择的点组成，那么$Q$必须具有基数$Ω(n^2)$，以便以高概率成为$n$ -普适的。这表明，概率方法，至少在其基本形式，不能用于建立一个通用集上的$o(n^2)$上限。
Diverse beam search to find densest-known planar unit distance graphs
针对Paul Erdős提出的单位距离图最大边数未解问题，提出带访问度量的多样化束搜索算法，可一键获取已知最稠密UDG，复现15<n≤30的已发表结果并验证更大规模下的增长趋势，提供代码与超6000万UDG数据库。
We prove that the number of unit distances among $n$ planar points is at most $1.94\cdot n^{4/3}$, improving on the previous best bound of $8n^{4/3}$. We also give better upper and lower bounds for several small values of $n$. We also prove some variants of the crossing lemma and improve some constant factors.
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