A new concept of local metric entropy for finite-time nonautonomous dynamical systems
我们引入了一个新的有限时间熵的概念，这是一个局部版本的经典概念的度量熵。在此基础上，导出了Pesin熵公式的有限时间形式和$2$ -D系统的有限时间熵的显式表达式。我们还讨论了如何应用有限时间熵场来探测特殊的动力学结构，如拉格朗日相干结构。
2014-06-25 math.DS
On scaling entropy sequence of dynamical system
本文给出了关于标度熵的一系列陈述，标度熵是由A。M. 90年代末的Vershik。我们证明了它确实是一个度量不变量，并在几种特殊情况下计算了它。
2014-09-22 math.DS
Entropy of nonautonomous dynamical systems
熵的不同概念在动力系统的经典理论中起着基础性的作用。与许多其他用于分析自治动力学的概念不同，测度论和拓扑熵都可以很自然地扩展到过程公式中给出的离散时间非自治动力系统。本文概述了作者在这方面的工作。还提出了一个例子，以前没有出现在文献中。
2017-08-02 math.DS
Entropy and Emergence of Topological Dynamical Systems
一个拓扑动力系统$(X,f)$包含两个自然系统，一个在概率测度空间上，另一个在超空间上.我们在这两个空间中引入了熵序的概念，并证明了它与$(X,f)$的拓扑熵是一致的。我们还考虑了不变测度的熵序，建立了一个变分原理。
2020-05-07 math.DS
Preimage entropy dimension of topological dynamical systems
给出了紧度量空间上连续映射原像熵维数的一个新定义，研究了原像熵维数的基本性质，并将原像熵维数与拓扑熵维数进行了比较.所定义的原像熵维具有拓扑熵维的各种基本性质，如子系统的原像熵维与原系统的原像熵维有界，拓扑共轭系统具有相同的原像熵维等.讨论了原像熵维数与原像熵之间的关系。
2014-04-10 math.DS
Topological entropy dimension on subsets for nonautonomous dynamical systems
本文研究了非自治动力系统的经典熵维数和Pesin熵维数，探讨了其幂规则、单调性等性质，并证明在经典拓扑熵为正且有限时两者重合且等于一。
2025-03-30 math.DS
Variational principle for neutralized Bowen topological entropy on subsets of non-autonomous dynamical systems
Ovadia和Rodriguez-Hertz（Neutralized local entropy，arXiv：2302.10874）定义了紧致度量空间上自治动力系统的中和Bowen开球。用中和的Bowen开球代替通常的Bowen开球，对紧致度量空间上的非自治动力系统引入子集的中和Bowen拓扑熵、子集的中和加权Bowen拓扑熵、Borel概率测度的下中和Brin-Katok局部熵和Borel概率测度的中和Katok熵等概念.然后，利用下中和Brin-Katok局部熵和下中和Katok熵建立了非空紧子集的中和Bowen拓扑熵和中和加权Bowen拓扑熵的变分原理.特别地，这推广了（YANG，R.，陈，E.，周旭：自治动力系统的中和Bowen拓扑熵的变分原理，arXiv：2303.01738v1）。
2023-03-17 math.DS
Entropy, chaos and weak horseshoe for infinite dimensional random dynamical systems
本文研究了无限维随机动力系统的复杂动力学问题，其中确定性动力系统是其在Polish空间中的特例。在不作任何双曲性假设的情况下，证明了如果连续随机映射有正的拓扑熵，则它包含拓扑马蹄。我们还证明了正的拓扑熵蕴含着Li-Yorke意义下的混沌。这里展示的复杂行为是由正熵引起的，而不是系统的随机性。
2015-04-26 math.DS
Entropy, Lyapunov exponents and the volume growth of boundary distortion under the action of dynamical systems
研究了动力系统相空间中区域边界畸变体积增长与李雅普诺夫指数之间的关系。
2012-04-01 math.DS
Relationship between Li-Yorke chaos and positive topological sequence entropy in nonautonomous dynamical systems
研究一致收敛非自治动力系统的混沌性质。与紧区间上的自治系统相反，拓扑序列熵的正性与Li-Yorke混沌的发生并不等价，更确切地说，这两种可能的推论都不成立.
2017-12-30 math.DS
Metric Entropy of Nonautonomous Dynamical Systems
我们引入了度量熵的概念，非自治动力系统给出了一个序列的概率空间和一个序列的测度保持这些空间之间的映射。这个概念推广了Kolmogorov和Sinai建立的度量熵的经典概念，并通过一个变分不等式与Kolyada，Misiurewicz和Snoha定义的非自治系统的拓扑熵相联系。此外，它与度量熵的经典概念有几个共同的性质。特别是，不变性方面适当定义的同构，权力规则，和Rokhlin型不等式证明。
2013-07-16 math.DS
Topological entropy and Hausdorff dimension of irregular sets for non-hyperbolic dynamical systems
我们系统地研究了非双曲动力系统的例子，具有不规则集的全拓扑熵和全豪斯多夫维数。例子包括一些部分双曲系统和几何洛伦兹流。我们也为未来的研究提出了一些有趣的问题。
2022-02-14 math.DS
Unique ergodicity for zero-entropy dynamical systems with the approximate product property
证明了对于任何具有近似乘积性质的拓扑动力系统，零拓扑熵等价于唯一遍历性。在较强的条件下证明了极小性的等价性。此外，我们还证明了当系统具有周期点时，唯一遍历性蕴含着近似乘积性质。
2020-07-01 math.DS
Local stable and unstable sets for positive entropy $C^1$ dynamical systems
对于光滑紧致黎曼流形上的任意$C^1$，利用测度熵和最大李雅普诺夫指数给出了局部稳定集和不稳定集的豪斯多夫维数的一个下界.我们的方法的主线是在拓扑动力系统的设置下，这也适用于无限维$C^1$动力系统。
2018-08-30 math.DS
Unstable Entropy and Unstable Pressure for Random Partially Hyperbolic Dynamical Systems
设$\mathcal{F}$是一个$C^2$随机部分双曲动力系统.对于不稳定叶理，通过不稳定叶理上的$\mathcal{F}$动力学，引入并研究了相应的不稳定度量熵、不稳定拓扑熵和不稳定压力.给出了不稳定度度量熵的Shannon-McMillan-Breiman定理的一个版本，得到了不稳定压力的一个变分原理，从而也得到了不稳定熵的一个变分原理.此外，作为变分原理的一个应用，研究了不稳定压力的平衡态，包括Gibbs $u$ -态。
2020-07-13 math.DS
Entropy and Its Variational Principle for Product Type Dynamical Systems
本文在使用测度弱 * 收敛的论证中存在缺陷。这篇论文被同一作者的“Entropy and Its变分原理for Locally Compact Metrizable Systems”取代。
2015-11-06 math.DS
Variational principles on subsets of non-autonomous dynamical systems: topological pressure and topological entropy
本文讨论了非自治动力系统的拓扑压和拓扑熵的子集变分原理。定义了任意子集的Pesin-Pitskel拓扑压（加权拓扑压）和Bowen拓扑熵（加权Bowen拓扑熵）.此外，我们还定义了所有Borel概率测度的测度论压力和测度论下熵。然后，证明了拓扑压的变分原理（拓扑熵）联系Pesin-Pitskel拓扑压力非自治动力系统任意非空子集上的（加权拓扑压）到Borel概率测度的测度论压力（它将任意非空紧子集上的Bowen拓扑熵（加权Bowen拓扑熵）与测度联系起来-非自治动力系统的Borel概率测度的理论低熵）。证明了Pesin-Pitskel拓扑压（加权拓扑压）和Bowen拓扑熵（加权Bowen拓扑熵）可以分别由Borel概率测度的测度论压力和测度论下熵确定.这些结果推广了Feng和Huang的结果（变分原理for拓扑熵of subsets，J. Funct. Anal.（2012））、Ma和Wen的结果（A Billingsley type theorem for Bowen entropy，Comptes Rendus Mathematique（2008））以及Tang等人的结果（变分原理for topological pressure on subsets，J. Math. Anal. Appl.（2015））应用于经典动力系统到非自治动力系统的压力和熵。
2022-06-01 math.DS
Relative tail entropy for random bundle transformations
引入相对尾熵建立了连续丛随机动力系统的一个变分原理。我们还表明，相对尾熵是保守的主扩展。
2016-06-17 math.DS
Slow entropy and variational dynamical systems
University of Utah（犹他大学）
研究亚指数复杂度动力系统的变分性质，通过直接计算慢熵证明部分移位非变分，而某些区间交换变换为变分。
2024-10-19 math.DS
Entropy Flexibility of Dynamical Systems
本文引入并研究了动力系统的熵灵活性概念，利用更新系统技术证明在多类严格遍历子系统中可实现任意中间熵值，并证明了该性质是3-流形向量场和曲面微分同胚的典型性质。
2025-07-15 math.DS
Some results on the entropy of nonautonomous dynamical systems
本文提出了Kolyada和Snoha于1996年提出的离散非自治动力系统的熵理论。本文的第一部分是一般拓扑系统的测度论熵理论。我们推导出几个条件，保证一个初始的概率测度，当推进的系统，产生一个不变测度序列的熵捕获任意细尺度上的动态。本文的第二部分将一般理论应用于Fisher和Arnoux提出的有限型非平稳子移位。特别是，我们给出了充分条件的变分原理，有关拓扑和测度论熵，举行。
2015-07-30 math.DS
Entropy Formulas For Dynamical Systems With Mistakes
本文研究了错误动力球的递推问题，即允许一定误差的动力球，其误差比例随动力球长度的增加而减小并趋于零。在较弱的假设下，证明了测度熵与错误动力球返回时间的指数增长性一致，以及错误动力球的最小返回时间与其长度成线性关系，并得到了有限型子移位和悬浮半流的平均递推公式.应用包括$β$ -变换，公理A流和具有温和规格性质的映射的悬置半流。特别地，我们推广了文[4，9，17]中关于错误动力球的一些结果.
2010-11-04 math.DS
Topological entropy of nonautonomous dynamical systems
设$\mathcal{M}(X)$是具有弱$^\ast$ -拓扑的紧度量空间$X$上的Borel概率测度空间.本文证明了：若非自治动力系统$(X,\{f_n\}_{n=1}^{+\infty})$的拓扑熵为零，则其诱导系统$(\mathcal{M}(X),\{f_n\}_{n=1}^{+\infty})$的拓扑熵也为零;若$(X,\{f_n\}_{n=1}^{+\infty})$的拓扑熵为正，则其诱导系统$(\mathcal{M}(X),\{f_n\}_{n=1}^{+\infty})$的拓扑熵跳到无穷大.与Bowen不等式相反，我们构造了一个非自治动力系统，它的拓扑熵在有限对一扩张下不保持。
2019-11-18 math.DS
Computation of Topological Entropy via $ϕ$-expansion, an Inverse Problem for the Dynamical Systems $βx+α\mod 1$
基于Parry的$ϕ$ -展开，给出了一类移位空间的拓扑熵的计算算法.本文的思想是求解动力系统的逆问题$βx+α\mod1$。第一部分是阐述$ϕ$ -展开式在分段单调动力系统中的应用。本文给出了不同于Parry的$ϕ$ -展开式的有效性的充要条件。
2008-06-05 math.DS
Inflation word entropy for semi-compatible random substitutions
我们引入了膨胀词熵的概念，随机替换与常数和原始的替代矩阵。以前的计算拓扑熵的系统隐含地使用这个概念，并建立平等的拓扑熵和通货膨胀字熵，依赖于特设的方法。我们提出了一个统一的方案，证明了膨胀词熵和拓扑熵实际上是一致的。拓扑熵近似于一系列的收敛的上限和下界，在许多情况下，导致一个解析表达式。
2019-01-21 math.DS
Shannon entropy for stationary processes and dynamical systems
本文研究了由$\mathbb Z$或$\mathbb Z^n$表示的平稳遍历过程，其有限维边缘具有关于勒贝格测度绝对连续的律.我们定义了一个熵理论，这些连续的过程，证明了类似的香农Breiman Mac Millan定理和研究更精确的高斯过程的特定例子。
2007-01-08 math.DS
Metastability, Lyapunov exponents, escape rates, and topological entropy in random dynamical systems
我们探讨了随机动力系统中的亚稳定性概念，着重于随机Perron-Frobenius算子上循环与随机映射的逃逸率之间的联系，以及有限型随机移位的拓扑熵。利用随机Perron-Frobenius上循环和随机邻接矩阵上循环的李雅普诺夫谱，将随机系统分解为两个不相交的随机系统，分别给出了随机映射下逃逸率和有限型随机移位下拓扑熵的严格上界和下界.
2012-09-12 math.DS
Naive entropy of dynamical systems
我们研究了动力系统的一个不变量，称为朴素熵，它被定义为任何可数群的可测和拓扑作用。我们专注于不顺从的群体，在这种情况下，不变量是二值的，与每个系统有天真的熵为零或无穷大。鲍恩已经阐明，当作用群是sofic时，零朴素熵意味着sofic熵至多为零，这两种类型的系统。我们证明了这个猜想的拓扑版本表明，对于每一个行动的sofic群同胚的一个紧凑的度量空间，零天真熵意味着sofic熵至多为零。这个结果和朴素熵的简单定义使我们能够证明自由群在康托尔集上的一般作用具有至多为零的sofic熵。我们观察到一个远端$Γ$ -系统在两种意义下的朴素熵都为零，如果$Γ$有一个无限阶无限阶元.我们还证明了一个拓扑系统的朴素熵大于或等于同一系统关于任何不变测度的朴素测度熵。
2016-02-20 math.DS
Variational principles of metric mean dimension for random dynamical systems
本文针对随机动力系统中的无限纤维熵系统，提出四种测度论 ε-熵，并建立度量平均维数的四个变分原理，推广了 Bogenschutz-Kifer 相对化变分原理。
2023-10-27 math.DS
Entropy Formula for Random $\mathbb{Z}^k$-actions
本文考虑了随机$\mathbb{Z}^k$作用的熵，包括测度熵和拓扑熵，这些作用是由$\mathbb{Z}^k$作用的生成元的随机合成所产生的.应用Pesin的交换同构理论，通过生成元的李雅普诺夫谱，得到了$C^{2}$随机$\mathbb{Z}^k$作用的测度论熵公式.对于由Lipschitz映射、有限图上的连续映射和$C^{1}$扩张映射等更一般的映射生成的随机$\mathbb{Z}^k$（或$\mathbb{Z}_+^k$）作用，也得到了拓扑熵的一些公式和界.此外，作为应用，我们给出了某些$C^{2}$ $\mathbb{Z}^k$作用的Friedland熵公式.
2017-01-03 math.DS
Dynamical Classification of a Family of Birational Maps of C^2 via Algebraic Entropy
本文对一类9参数双有理映射f：C2 -> C2进行了动态分类。从f的迭代次数dn的序列中，我们得到f的动力学次数delta（f）。我们确定当dn增长周期性，线性，二次或指数。所考虑的映射族包括Bedford和Kim在[4]中研究的双有理映射作为它的一个子族。
2017-04-25 math.DS
Partially observable systems and quotient entropy via graphs
我们考虑部分可观测动力系统的范畴，动力系统的熵理论在泛函上扩展到这一范畴。这导致我们引入商-拓扑熵。我们讨论出现的结构。我们展示了如何商熵可以明确计算的符号编码。为此，我们利用动力系统的范畴和图的范畴之间的关系，由马尔可夫分割和拓扑马尔可夫链介导的连接。
2020-09-01 math.DS
Some results on shadowing and local entropy properties of dynamical systems
本文在伪轨跟踪性假设下研究动力系统的局部熵性质，给出可跟踪点成为熵点的充要条件，并建立（非）h-膨胀性的判定条件，据此构造反例回答 Artigue 等人提出的问题。
2023-09-23 math.DS
Dynamical consequences of a free interval: minimality, transitivity, mixing and topological entropy
研究了包含自由区间的紧致可度量化空间上连续映射的动力学（即，同胚于开区间的开子集）。特别注意拓扑传递性、弱和强拓扑混合、稠密周期性和拓扑熵之间的关系以及极小集的拓扑结构。特别地，证明了极小集的一个二分性和传递映射的一个二分性。
2011-12-06 math.DS
Entropy dimension for Deterministic Walks in Random Sceneries
熵维数是一个熵型量，它取$[0,1]$中的值，并对动力系统的复杂性的不同水平的中间增长率进行分类。本文考虑了Bernoulli系统无理旋转斜积的复杂性，这类模型可以看作是随机环境中的确定性游动，并证明了通过选择适当的旋转基系统，这类模型可以具有任意给定的熵维数.
2020-12-24 math.DS
On the Continuity of the Topological Entropy of Non-autonomous Dynamical Systems
设$M$是紧致黎曼流形.由$M$上的$C^{r}$ -同态序列$(f_{i})_{i\in\mathbb{Z}}$构成的集合$\text{F}^{r}(M)$可以被赋予紧拓扑或强拓扑.对这些序列给出了拓扑熵的概念。如果我们考虑$\text{F}^{r}(M)$上的紧拓扑，我将证明这个熵在每个序列处是不连续的。另一方面，如果$ r\geq 1$和我们考虑$\text{F}^{r}(M)$上的强拓扑，这个熵是一个连续映射。
2017-09-03 math.DS
Entropy determination based on the ordinal structure of a dynamical system
由于Bandt和Pompe的创新性工作，评估时间序列的顺序方法在非线性时间序列分析的其他技术中日益确立。本文总结和推广了由状态空间的序生成划分的递增序列确定保测度动力系统的Kolmogorov-Sinai熵的理论.我们的主要重点是在没有信息损失的情况下测量过程。特别地，我们考虑的问题的最小必要数量的测量有关的一个给定的动力系统的属性。
2015-02-04 math.DS
Topological entropy of nonautonomous dynamical systems on uniform spaces
本文研究了紧致一致空间$X$上由连续自映射序列$f_{0,\infty}=\{f_n\}_{n=0}^{\infty}$生成的非自治动力系统$(X,f_{0,\infty})$的拓扑熵的性质、计算和估计.得到了$(X, f_{0,\infty})$、它的$k$次乘积系统和它的$n$次迭代系统之间的拓扑熵关系.证明了在$f_{0,\infty}$是等连续的条件下，$(X, f_{0,\infty})$的熵等于$f_{0,\infty}$的熵.证明了当$f_{0,\infty}$一致收敛于$f$时，$(X, f_{0,\infty})$的熵小于或等于其极限系统$(X, f)$的熵.证明了当两个拓扑等熵共轭系统的等熵共轭度为有限对一时，系统具有相同的熵。最后，我们得到了与转移矩阵相关的耦合膨胀系统的不变子系统的熵的上界和下界的估计。
2022-10-17 math.DS
The Entropy of an Overlapping Dynamical System
术语“重叠”指的是从单位区间到其自身的某种相当简单类型的分段连续函数，也指单位区间上相当简单类型的迭代函数系统（IFS）。这两类对象之间的对应关系被用于（1）找到从一个重叠IFS的吸引子到另一个重叠IFS的吸引子的分形变换是同胚的充要条件和（2）找到与重叠函数相关联的动力系统的拓扑熵的公式。
2013-05-23 math.DS
On the entropy of equilibrium measures and game-theoretic equilibrium feedback operators in multi-channel dynamical systems
研究了多通道动力系统中平衡测度的熵与博弈论平衡反馈算子之间的关系。具体来说，我们表明，存在一个平衡测度，它最大化的自由能（即，熵和对势的积分之和）与由一组反馈算子组成的多通道动力系统的平衡或“最大熵“状态有关。此外，我们观察到，这样的连接是有意义的，当这组反馈算子的战略相互作用在无限的地平线上，在博弈论的意义上，使用当前的系统状态信息。最后，我们简要地评论了当系统中存在随机扰动时，我们的结果对平衡反馈算子的弹性行为的影响。
2014-01-29 math.DS
Entropy Scales in Topological Dynamical Systems
Nanjing Normal University（南京师范大学）
该研究受Helfter尺度概念启发，引入Bowen熵尺度等概念，建立相关变分原理，给出原系统与诱导系统上容量熵尺度关系的条件，补充全移位反例并证明对应零熵结果。
2026-10-27 math.DS
Sequence entropy for amenable group actions
本文研究了顺从群作用的序列熵，在测度论和拓扑动力系统中通过序列熵系统探讨了谱与混合概念，并利用序列熵对刻画了弱混合与零系统。
2023-11-23 math.DS
Symmetric homoclinic tangles in reversible dynamical systems have positive topological entropy
针对可逆向量场中对称周期轨道族的强横截同宿相交，证明了系统拓扑熵为正，揭示了同宿缠结的混沌本质。
2025-01-24 math.DS
On Entropic Characterization of Symmetry Breaking in Dynamical Systems I: Spontaneous and Dynamical Symmetry Breaking
本文提出基于熵与信息传递的框架，揭示动力系统中局域自发与动力学对称性破缺伴随轨迹减速和 Shannon 熵增加，并将分析扩展到全局破缺，验证信息论量可作为对称性破缺转变的前兆与诊断指标。
2025-11-11 math.DS
Predictability, topological entropy and invariant random orders
我们证明了可数顺从群的拓扑可预测作用具有零拓扑熵，正如Hochman所证明的那样。在路线上，我们调查不变的随机秩序，并制定一个统一的Kittle-Pinsker公式的Kolmogorov-Sinai熵的措施保持行动的顺从群体。我们还给出了Weiss关于sofic群的拓扑素作用具有非正拓扑sofic熵的一个证明。
2019-02-05 math.DS
Random walks on random coset spaces with applications to Furstenberg entropy
通过在随机陪集空间上构造随机游动，确定了非交换自由群的平稳遍历作用的Furstenberg熵的范围.
2013-03-04 math.DS math.PR
The Lyapunov dimension, convergency and entropy for a dynamical model of Chua memristor circuit
对于混沌动力学和吸引子维数的研究，发现李雅普诺夫指数的概念是有用的，并得到广泛传播。混沌行为的特征，如李雅普诺夫维数和熵率，可以通过李雅普诺夫指数估计。在这项工作中的分析方法的研究李雅普诺夫维数，收敛性和熵的蔡氏忆阻器电路的动力学模型的演示。
2018-01-29 math.DS nlin.CD
Dynamical entropy of probability measures on infinite product spaces
本文提出无限乘积空间上概率测度的无限乘积熵，证明其在平移不变情形下等价于移位熵，并分析其基本性质及与子集拓扑熵的变分关系。
2024-10-28 math.DS math.PR
M{ö}bius orthogonality in density for zero entropy dynamical systems
证明了：当零熵动力系统$(X,T)$只有可数个遍历测度且$μ$代表算术M{<$}bius函数时，存在一个对数密度为1的整数子集$A$，使得对于每个$f$，$\frac1N \sum_{n\leq N} f(T^nx)μ(n) \to 0$在$X$上连续，$N\to\infty$，$N\in A$，在$x\in X$上一致.特别是，密度版本的M{<$}bius正交性。
2019-05-16 math.DS math.NT
On $p$-adic entropy of some solenoid dynamical systems
一个动力系统有一个非负的实数，叫做熵。1990年，Lind，Schmidt和Ward证明了由有理整数环上的Laurent多项式代数诱导的动力系统的熵可用Mahler测度描述. 2009年，Deninger引入了$p$ -adic熵，并利用$p$ -adic马勒测度得到了Lind-Schmidt-Ward定理的一个$p$ -adic类比。本文证明了由数域$K$的整数环上的Laurent多项式代数导出的和由螺线管定义的两个动力系统的$p$ -adic熵的存在性和显式表达式。
2019-10-02 math.AG math.DS math.NT
Entropy Theory for Random Walks on Lie Groups
University College London（伦敦大学学院）；Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文在李群上研究随机游走的熵理论，发展了独立同分布随机变量乘积的熵和方差结果，用于分析平稳测度。
2026-02-02 math.DS math.PR
Dynamical Morse entropy
本文针对可平铺顺从群作用下的拓扑空间连续函数，定义了同调可检测临界点数量的熵，证明其下界为贝蒂数熵之和，推广了微分几何中的标准莫尔斯不等式。
2024-06-20 math.DG math.DS
Soficity, amenability, and dynamical entropy
在以前的论文中，作者开发了一个算子代数方法刘易斯鲍文的sofic措施熵，产生不变量的行动可数sofic群同胚的紧凑度量化空间和保测变换的标准概率空间。我们在这里表明，这些措施和拓扑熵不变量都符合他们的经典对应时，代理集团是顺从的。
2010-11-22 math.DS math.GR math.OA
On the relation between topological entropy and restoration entropy
在通信约束条件下的状态估计的上下文中，动态熵的几个概念起着基本的作用，其中包括：拓扑熵和恢复熵。本文给出了一个定理，证明了对于大多数动力系统，恢复熵严格超过拓扑熵。这意味着鲁棒估计策略通常需要比非鲁棒估计策略更高的数据传输速率。我们定理的证明很短，但使用了光滑动力系统理论中的复杂工具。
2018-11-28 cs.IT math.DS math.IT
