The $\mathbb{G}_0$-dichotomy due to Kechris, Solecki and Todor\vcević characterizes the analytic relations having a Borel-measurable countable coloring. We give a version of the $\mathbb{G}_0$-dichotomy for $\boraxi$-measurable countable colorings when $ξ\leq 3$. A $\boraxi$-measurable countable coloring gives a covering of the diagonal consisting of countably many $\boraxi$ squares. This leads to the study of countable unions of $\boraxi$ rectangles. We also give a Hurewicz-like dichotomy for such countable unions when $ξ\leq 2$.
杜帕克介绍了一个两人游戏的功能$f$之间的零维波兰空间，其中玩家II有一个获胜的战略，当且仅当$f$是贝尔类1。我们推广这一结果，通过定义一个游戏的任意函数$f : X \to Y$之间的任意波兰空间，使玩家II有一个获胜的策略在这个游戏中当$f$是Baire类1。利用参与人II的策略，重新证明了关于第一返回可恢复函数的一个结果。
Decomposing Baire class 1 functions into continuous functions
设dec是使第一Baire类的每个函数都能分解为kappa连续函数的最小基数kappa。Cichon，Morayne，Pawlikowski和Solecki证明了cov（Meager）<= dec <= d，并询问这些不等式是否可以始终严格。cov（Meager）表示覆盖实数线所需的最少数量的闭无处稠密集，d表示Ω ^Ω中的控制族的最小基数。Steprans证明了cov（Meager）不= dec是一致的。本文证明了第二个不等式也可以严格化。dec不同于d的模型是通过将ω_2 Miller -有时称为超完美或理性完美实数添加到连续统假设的模型中获得的模型。有些令人惊讶的是，用于建立另一个不等式cov（Meager）not= dec的一致性的模型是对超完美强迫迭代的轻微修改。
Characterization of order types of pointwise linearly ordered families of Baire class 1 functions
在20世纪70年代，M。Laczkovich提出了以下问题：让$\mathcal{B}_1(X)$表示一套Baire类$1$功能定义的不可数波兰空间$X$配备了逐点排序。\[\text{Characterize the order types of the linearly ordered subsets of $\mathcal{B}_1(X)$.} \]本文的主要结果是这个问题的一个完整的解决方案。我们证明了一个线性序同构于Baire类$1$函数的一个线性序族当且仅当它同构于以下线性序的一个子集，我们称之为$([0,1]^{<ω_1}_{\searrow 0},<_{altlex})$，其中$[0,1]^{<ω_1}_{\searrow 0}$是$[0, 1]$中具有最后一个元素$0$的实数的严格递减超限序列的集合，而$<_{altlex}$，即所谓的\emph{alternating lexicographical ordering}，定义如下：如果$(x_α)_{α\leq ξ}, (x'_α)_{α\leq ξ'} \in [0,1]^{<ω_1}_{\searrow 0}$和$δ$是最小序数，其中两个序列不同，那么我们说，\[ (x_α)_{α\leq ξ} <_{altlex} (x'_α)_{α\leq ξ'} \iff (δ\text{ is even and }…
Reverse Mathematics of the uncountability of $\mathbb{R}$: Baire classes, metric spaces, and unordered sums
Dag Normann和作者最近开始研究$\mathbb{R}$的不可数性的逻辑和计算性质，形式化为语句$\textsf{NIN}$（分别为：$\textsf{NBI}$表示没有注射（分别为双射）从$[0,1]$到$\mathbb{N}$。一方面，这些原则是很难证明相对于通常的规模的基础上的理解和不连续泛函。另一方面，这些原则是最弱的原则之一，在一个新的互补规模的基础上（经典有效）连续性公理从布劳威尔的直觉主义数学。我们继续研究$\textsf{NIN}$和$\textsf{NBI}$相对于后者的规模，连接这些原则与定理的Baire类，度量空间，无序和。前两个主题的重要性不需要解释，而最后一个主题的主要定理，即当它们存在时，无序和是（可数）系列，具有相当独特的性质，意味着用柯西准则制定的$\textsf{NIN}$，和（仅）当用极限制定时的$\textsf{NBI}$。这项研究是在Ulrich Kohlenbach的高阶逆向数学框架内进行的。
