Discretization of hyperbolic type Darboux integrable equations preserving integrability
Ismagil Habibullin, Natalya Zheltukhina, Alfia Sakieva
提出了一种基于积分的Liouville型非线性偏微分方程的可积离散化方法。离散刘维尔型模型的新的例子。
A method of integrable discretization of the Liouville type nonlinear partial differential equations is suggested based on integrals. New examples of discrete Liouville type models are presented.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On Darboux integrability of discrete 2D Toda lattices
证明了A和C级数李代数对应的半离散和离散二维Toda格的Darboux可积性。
Darboux first integral conditions and integrability of the 3D Lotka-Volterra system
我们应用达布理论的可积性多项式常微分方程的3维。利用这一理论和计算机代数，我们研究了具有线性和二次多项式不变代数解的3维Lotka-Volterra系统首次积分的存在性，并确定了许多可积性情况。
The article investigates systems of differential-difference equations of hyperbolic type, integrable in sense of Darboux. The concept of a complete set of independent characteristic integrals underlying Darboux integrability is discussed. A close connection is found between integrals and characteristic Lie-Rinehart algebras of the system. It is proved that a system of equations is Darboux integrable if and only if its characteristic algebras in both directions are finite-dimensional.
On the discretization of Darboux Integrable Systems
研究了达布可积系统的离散化问题。使用所考虑的连续系统的$x$ -、$y$ -积分进行离散化。得到了半离散达布可积系统的新例子。
In this paper, we present a method of deriving extended Prelle-Singer method's quantifiers from Darboux Polynomials for third-order nonlinear ordinary differential equations. By knowing the Darboux polynomials and its cofactors, we extract the extended Prelle-Singer method's quantities without evaluating the Prelle-Singer method's determining equations. We consider three different cases of known Darboux polynomials. In the first case, we prove the integrability of the given third-order nonlinear equation by utilizing the Prelle-Singer method's quantifiers from the two known Darboux polynomials…
We study discretization of Darboux integrable systems. The discretization is done by using $x$- or $y$-integrals of the considered systems. New examples of semi-discrete Darboux integrable systems are obtained.
Darboux integrability of trapezoidal $H^{4}$ and $H^{6}$ families of lattice equations I: First integrals
本文证明了梯形$H^{4}$和$H^{6}$族四元方程是达布可积系统。这一结果揭示了这样一个事实，即这类方程是线性化的，因为它被证明使用代数熵测试[G。古比奥蒂角Scimiterna和D. Levi，Algebraumentropy，symmetries and linearization for quad equations consistent on the cube，\emph{J. Nonlinear Math. Phys.}，23（4）：507543，2016]。最后，我们对如何使用第一积分来获得通解提出了一些建议。
Darboux transformations for 5-point and 7-point self-adjoint schemes and an integrable discretization of the 2D Schrodinger operator
本文首先研究具有达布变换的差分格式，这些差分格式可以看作是椭圆型偏微分方程的自然离散。特别地，我们构造了一般的具有5个和7个邻点的自伴格式的达布变换。我们还介绍了一个杰出的离散化的二维稳态薛定谔方程，描述了一个5点差分格式涉及两个潜在的，其中承认一个达布变换。
We prove a Darboux-Jouanolou type theorem on the algebraic integrability of polynomial differential $r$-forms over arbitrary fields ($r\geq 1$). We also investigate the Darboux's method for producing integrating factors.
Darboux Integrability of Trapezoidal $H^{4}$ and $H^{6}$ Families of Lattice Equations II: General Solutions
本文构造了梯形$H^{4}$方程和$H^{6}$方程两类四元方程的通解。这些解决方案是利用达布意义上的第一积分的性质获得的，这些积分是在[Gubbiotti G.，亚米洛夫R.I.，J.物理. A：数学.理论. 50（2017），345205，26页，arXiv：1608.03506]。这些第一积分用于减少问题的解决方案，一些线性或可线性化的非自治常差分方程，可以正式解决。
Darboux integrability of determinant and equations for principal minors
我们认为，代表一个恒定的条件下，一个二维的朗斯基，混合朗斯基-Casoratian和二维Casoratian方程。这些行列式方程的独立积分的数量等于它们的阶-这意味着达布可积性。另一方面，领先的主要子项的递归公式是等价的二维户田方程及其半离散和晶格类似物与特定的边界条件（截止约束）。这种连接是用来获得经常性的公式和封闭形式的表达，从行列式方程的积分户田型方程的积分。显式地给出了对应于零行列式的方程的通解，而在非零行列式的情况下，它们以常线性方程的解给出。
The autonomous Hietarinta equation is a well-known example of the quad-graph discrete equation which is consistent around the cube. In a recent work, it was conjectured that this equation is Darboux integrable (i.e., for each of two independent discrete variables there exist non-trivial functions that remain unchanged on solutions of the equation after the shift in this discrete variable). We demonstrate that this conjecture is not true for generic values of the equation coefficients. To do this, we employ two-point invertible transformations introduced by R.I.~Yamilov. We prove that an autono…
Bäcklund-Darboux Transformations and Discretizations of $N=2\; a=-2$ Supersymmetric KdV Equation
研究了$N=2 \;a=-2$超对称KdV方程.构造了该方程的达布变换和相应的贝克隆变换。同时，还导出了相应的贝克隆变换的非线性叠加公式。利用贝克隆变换和相关的非线性叠加公式构造了可积的超半离散和全离散系统。同时也考虑了这些离散系统的连续极限。
From the Birkhoff-Gustavson normalization to the Bertrand-Darboux integrability condition
从Birkhoff-Gustavson（BG）-正规化的观点研究了一类受扰谐振子的Bertrand-Darboux可积性条件：通过求解BG-正规化的计算机代数逆问题，证明了如果具有齐次{ \it三次}多项式势和齐次{ \it四次}多项式势的受扰谐振子允许相同的BG-归一化到4次，则两个振子都满足Bertrand-Darboux可积性条件。
The problem of discretization of Darboux integrable equations is considered. Given a Darboux integrable continuous equation, one can obtain a Darboux integrable differential-discrete equation, using the integrals of the continuous equation. In the present paper, the discretization of the differential-discrete equations is done using the corresponding characteristic algebras. New examples of integrable discrete equations are obtained.
Darboux theory of integrability in the sparse case
达布定理和茹阿诺卢定理讨论了多项式向量场的首次积分和有理首次积分的存在性。这些结果是根据多项式向量场的次数给出的。在这里，我们表明，我们可以得到同样的结果，如果我们考虑的大小牛顿多面体的向量场。此外，我们表明，在这种情况下，界是最优的。
Discrete integrable systems, Darboux transformations, and Yang-Baxter maps
这些课堂讲稿致力于离散系统的可积性及其与Yang-Baxter（YB）映射理论的关系。拉克斯对在离散系统的可积性中起着重要的作用。通过考虑著名的双无限Toda格，我们引入了拉克斯对的概念。特别地，我们给出了用逆散射变换方法求解Cauchy初值问题，回顾了Jacobi矩阵的散射理论，并给出了逆散射变换的Riemann-Hilbert公式.另一方面，Lax-Darboux方案构成了可积系统理论中的重要工具，因为它涉及几个可积性概念。我们解释的作用，达布和Bäcklund transformations在理论的可积系统，我们展示了它们如何可以用来构建离散的可积系统通过Lax-Darboux计划。此外，我们还介绍了Yang-Baxter映射的理论，并指出了它与离散可积系统的关系。最后，我们以非线性薛定谔方程为例，演示了通过达布变换构造杨-巴克斯特映射的方法。
In our previous work \cite{LNS}, we constructed quasi-Casoratian solutions to the noncommutative $q$-difference two-dimensional Toda lattice ($q$-2DTL) equation by Darboux transformation, which we can prove produces the existing Casoratian solutions to the bilinear $q$-2DTL equation obtained by Hirota's bilinear method in commutative setting. It is actually true that one can not only construct solutions to soliton equations but also solutions to their corresponding B$\ddot{a}$cklund transformations by their Darboux transformations and binary Darboux transformations. To be more specific, eigenf…
Factorization of linear partial differential operators and Darboux integrability of nonlinear PDEs
使用一个新的广义因子的定义，我们证明了这种因子为一个给定的线性偏微分算子的格是模块化的，并获得类似的著名定理的Loewy-Ore理论的因式分解的线性常微分算子。讨论了在可交换和非可交换情形下因子化Groebner基计算的可能应用，并给出了在寻找非线性偏微分方程Darboux可积性判据中的应用.
Integrability of V. Adler's discretization of the Neumann system
我们证明了V.Adler最近提出的Neumann系统离散化的可积性。
Darboux transformations with tetrahedral reduction group and related integrable systems
在本文中，我们得到了新的两个组件可积微分差分和部分差分系统通过应用Lax-Darboux计划的运营商形成的${\mathfrak{sl}}_3({\mathbb{C}})$ -基于自守李代数。通过拉克斯对和广义对称性证明了所发现的系统的可积性。
On Bäcklund transformations preserving the Darboux integrability of hyperbolic equations
本文证明两类Bäcklund变换保持Darboux可积性，并用于检验方程列表完备性，由此构造了一个由三个二元任意函数参数化的新Darboux可积方程族。
Darboux points and integrability of homogeneous Hamiltonian systems with three and more degrees of freedom
我们考虑自然复哈密顿系统的$n$自由度给出的哈密顿函数，这是一个总和的标准动能和齐次多项式潜在的$V$度$k>2$。著名的Morales-Ramis定理给出了这类系统Liouville可积的已知最强必要条件。它指出，对于每个$k$，存在一个明确已知的无限集$\scM_k\subset\Q$，使得如果系统是可积的，则在满足$V'(\vd)=\vd$的非零$\vd\in\C^n$处计算的Hessian矩阵$V''(\vd)$的所有特征值都属于$\scM_k$。除其他外，本文的目的是使这一结果更加清晰。在关于$V$的某些泛型假设下，我们证明了以下事实。对于每个$k$和$n$，存在有限集合$\scI_{n,k}\subset\scM_k$，使得如果系统是可积的，则Hessian矩阵$V''(\vd)$的所有特征值都属于$\scI_{n,k}$。我们给出了一个算法，允许找到集$\scI_{n,k}$。我们应用这个结果的情况下，$n=k=3$，我们发现所有的可积潜力满足genericity假设。其中有几个是新的，他们是可积的一个高度非平凡的方式。我们发现了三个潜在的额外的第一积分是4和6度的动量。
Bäcklund-Darboux Transformations and Discretizations of Super KdV Equation
对于广义超KdV方程，构造了三个达布变换和相应的贝克隆变换.这些达布变换的兼容性导致三个离散系统及其Lax表示。研究了Kupershirt超KdV方程的一个Bäcklund-达布变换的约化及其相应的离散系统.当所有奇变量为零时，得到了KdV方程的Levi贝克隆变换的一个非线性叠加公式.
On Darboux integrable semi-discrete systems of exponential type
本文考虑指数型双曲方程组的离散化问题。证明了在$2\times 2$系统的情况下，所得到的半离散系统是达布可积的，仅当它对应于半单李代数的Cartan矩阵.
Darboux Points and Integrability Analysis of Hamiltonian Systems with Homogeneous Rational Potentials
研究了具有齐次有理位势$V(\vq)$的自然Hamilton系统在Liouville意义下的可积性。通过对微分Galois变分方程组沿某些特解的分析，得到了这类系统可积的强必要条件。这些条件具有对在方程$\grad V(\vd)=\vd$的非零解$\vd$处计算的Hessian $V"(\vd)$的特征值的算术限制的形式。这样的解称为真达布点。最近证明了对于一般多项式齐次位势，位势在所有真达布点上的Hessian特征值之间存在着普遍的关系。关于理性势的这种关系是否存在的问题似乎很难回答。这一现象的原因之一是势及其梯度的不定点的存在。然而，对于两个自由度，我们证明了这种关系存在。这一结果是重要的，因为它允许表明，一组容许值的特征值的海森在适当的达布点的潜力满足必要条件的可积性是有限的。反过来，它提供了一个工具，可积有理势的分类。此外，最近，有人提出，对于多项式齐次势，可积性的附加必要条件可以从不适当的达布点的存在中推导出来，即，点$\vd$，它们是方程$\grad V(\vd)=\vzero$的非零解。这些新的条件也有强加在$V"(\vd)$的特征值的算术限制的形式。本文证明了对于有理位势，非正常达布点给出了同样的可积性必要条件。
Darboux points and integrability of homogeneous Hamiltonian systems with three and more degrees of freedom. Nongeneric cases
本文研究了具有$n$自由度的可积自然Hamilton系统的分类问题，其自由度由Hamilton函数给出，该Hamilton函数是标准动能与$k>2$次的齐次多项式势$V$之和.假定势不是一般的。除某些特殊情况外，如果一个势$V$允许方程$V'(\vd)=0$的非零解，则它不是一般的。在Morales-Ramis理论的框架下，这种解的存在性给出了很强的可积性障碍。该理论还给出了附加的可积性障碍，其具有对在满足$V'(\vd)=\vd$的非零$\vd\in\C^n$处计算的海森矩阵$V''(\vd)$的特征值$(λ_1,...,λ_n)$施加的限制的形式。此外，我们表明，类似的通用情况下，也为非通用的潜在的$(λ_1,...,λ_{n})$计算在各种解决方案的$V'(\vd)=\vd$之间存在一些普遍的关系。我们推导出他们的情况下$n=k=3$应用多变量剩余演算。我们证明了强度所获得的结果详细分析的非通用情况下$n=k=3$。我们的分析涵盖了所有的可能性，我们区分这些情况下，已知的方法是太弱，以决定是否潜在的可积或不。此外，对于$n=k=3$由于这种分析的三参数家庭的潜力可积或超可积与额外的多项式第一积分，似乎可以是一个任意高的程度相对于动量的区别。
We provide the necessary and sufficient conditions of Liouvillian integrability for Liénard differential systems describing nonlinear oscillators with a polynomial damping and a polynomial restoring force. We prove that Liénard differential systems are not Darboux integrable excluding subfamilies with certain restrictions on the degrees of the polynomials arising in the systems. We demonstrate that if the degree of a polynomial responsible for the restoring force is greater than the degree of a polynomial producing the damping, then a generic Liénard differential system is not Liouvillian inte…
Darboux Transformation and Exact Solutions in the model of Cylindrically Symmetrical Chiral Field
本文讨论了达布变换方法在旋对称手征场可积模型中的应用。提出了相应的线性矩阵方程组，并得到了其解的对称性。找到了达布变换的必要形式，构造了形式的单孤子解和N孤子解。利用Pohlmayer变换给出了sin-Gordon型方程，并推导出其可积性假设。
On the Second-Order Positive Burgers' Equation: Integrability, Lax Pair, Darboux Transformations, and Lie Symmetry Reduction
本文从标准Burgers层级推导出二阶正Burgers方程，通过多种方法确立其可积性，推导变换并分类行波等解，证明Hirota微扰级数有限截断，为相关领域理论理解提供支撑。
Integral preserving discretization of 2D Toda lattices
本文证明 Habibullin 提出的二维广义 Toda 晶格半离散类比在所有单李代数 Cartan 矩阵情形下均保持 Darboux 可积性，并利用特征代数确立第二方向完整特征积分族的存在性。
Classification of a Subclass of Two-Dimensional Lattices via Characteristic Lie Rings
本文的主要目标是测试一种新的分类算法。为此，我们将其应用到一个相关的问题描述的一个子类的二维格的可积情况。通过引入截断条件$u_{-1}=c_0$和$u_{N+1}=c_1$，我们将格点$u_{n,xy}=α(u_{n+1},u_n,u_{n-1})u_{n,x}u_{n,y}$化为一个有限的双曲型PDE系统.假设对于每个自然的$N$，得到的系统在达布意义下是可积的，我们寻找$α$。为了检测双曲型系统的达布可积性，我们使用达布可积性的代数判据，该判据声称这样一个系统的特征李环必须是有限维的。我们证明了点变换只有一个格在研究类通过测试。晶格符合早期发现的Ferapontov-Shabat-Yamilov方程。该格点的一维约化$x=y$也通过了对称可积性检验。
The phase space structure of the oligopoly dynamical system by means of Darboux integrability
本文通过动态系统定性方法研究三家企业Cournot寡头动态的相空间结构，揭示了相空间中的一维和二维不变子流形及全局吸引子的特性，并探讨了系统可积性及达布多项式在寻找第一积分中的应用。
Darboux transformations and Recursion operators for differential--difference equations
本文讨论了与Lax表示直接相关的两个概念：达布变换和可积系统的递归算子。然后，我们提出了一个广泛的列表，可积微分差分方程连同他们的哈密顿结构，递归算子，非平凡的广义对称性和达布-拉克斯表示。新的结果包括可积Volterra型方程的多Hamilton结构和递归算子，非线性薛定谔方程的可积离散，如Kaup-Newell格，Chen-Lee-Liu格和Ablowitz-Ramani-Segur（Gerdjikov-Ivanov）格.我们还计算了弱非局部逆递归算子。
On Some Algebraic Properties of Semi-Discrete Hyperbolic Type Equations
研究了非线性半离散方程t_x（n+1）=f（t（n），t（n+1），t_x（n））.一个适当的代数制定的达布可积性进行了讨论，并试图通过这一概念的分类达布可积链已进行。
This article is devoted to the partial difference quad-graph equations that can be represented in the form $φ(u(i+1,j),u(i+1,j+1))=ψ(u(i,j),u(i,j+1))$, where the map $(w,z) \rightarrow (φ(w,z),ψ(w,z))$ is injective. The transformation $v(i,j)=φ(u(i,j),u(i,j+1))$ relates any of such equations to a quad-graph equation. It is proved that this transformation maps Darboux integrable equations of the above form into Darboux integrable equations again and decreases the orders of the transformed integrals by one in the $j$-direction. As an application of this fact, the Darboux integrable equations pos…
Discrete Darboux Transformation for Ablowitz-Ladik Systems Derived from Numerical Discretization of Zakharov-Shabat Scattering Problem
本文基于Zakharov-Shabat散射问题的数值离散化，推导出Ablowitz-Ladik系统的离散Darboux变换，研究其在计算多孤子势中的有效性，并发现所得数值方案对步长是一阶的。
The integrable discretization of the Bianchi-Ernst system
给出了离散的Moutard方程的约束条件，从而给出了Bianchi-Ernst系统的可积离散化。我们还推导出这样一个系统的解决方案之间的Bianchi变换（孤子术语中的Darboux-Backlund变换）的离散模拟。我们最终得到了离散Bianchi变换的叠加。
The present work addresses the study and characterization of the integrability of three famous nonlinear Schrödinger equations with derivative-type nonlinearities in 1+1 dimensions. Lax pairs for these three equations are successfully obtained by means of a Miura transformation and the singular manifold method. After implementing the associated binary Darboux transformations, we are able to construct rational soliton-like solutions for those systems.
Complete list of Darboux Integrable Chains of the form $t_{1x}=t_x+d(t,t_1)$
本文研究了形式为$$ \frac{d}{dx}t(n+1,x)=f(t(n,x),t(n+1,x),\frac{d}{dx}t(n,x)) $$且未知数$t(n,x)$依赖于连续变量和离散变量$x$和$n$的微分差分方程.这类方程称为达布可积的，如果存在两个函数$F$和$I$，其自变量为有限个$x$，$\{t(n\pm k,x)\}_{k=-\infty}^\infty$，${\frac{d^k}{dx^k}t(n,x)}_{k=1}^\infty$，使得$D_xF=0$和$DI=I$，其中$D_x$是关于$x$的全微分算子，$D$是移位算子：$Dp(n)=p(n+1)$。用两个特征李代数的有限性重新表述达布可积性，为可积方程的分类提供了一个有效的工具。当函数$f$具有特殊形式$f(u,v,w)=w+g(u,v)$时，给出了达布可积方程的完整列表.
On the Classification of Darboux Integrable Chains
研究了$t_{x}(n+1)=f(t(n),t(n+1),t_x(n))$形式的微分差分方程，其中未知数$t=t(n,x)$依赖于$x$，$n$ .如果存在函数$F$，则称该方程是达布可积的（称为$x$ -积分）和$I$（称为$n$ -积分），两个有限数量的变量$x$，$t(n)$，$t(n\pm 1)$，$t(n\pm 2)$，$...$，$t_x(n)$，$t_{xx}(n)$，$...$，使得$D_xF=0$和$DI=I$，其中$D_x$是关于$x$的全微分算子，$D$是移位运算符：$Dp(n)=p(n+1)$。达布可积性的性质是重新制定的特征李代数，给出了一个有效的工具，可积方程的分类。在函数$f$具有特殊形式$f(x,y,z)=z+d(x,y)$的情况下，给出了上述形式的允许非平凡$x$ -积分的方程的完整列表。
Folding of quadrilaterals, zigzags, and Arnold-Liouville integrability
本文将Darboux四边形折叠porism和Bottema锯齿形porism纳入Arnold-Liouville可积性框架，揭示其可积结构。
The purpose of this article is to develop an algebraic approach to the problem of integrable classification of differential-difference equations with one continuous and two discrete variables. As a classification criterion, we put forward the following hypothesis. Any integrable equation of the type under consideration admits an infinite sequence of finite-field Darboux-integrable reductions. The property of Darboux integrability of a finite-field system is formalized as finite-dimensionality condition of its characteristic Lie-Rinehart algebras. That allows one to derive effective integrabili…
Algebraic Properties of Quasilinear Two-Dimensional Lattices connected with integrability
基于可积约化的概念，讨论了三个自变量的非线性可积方程的一种分类方法。我们称该方程可积，如果它容许一大类约化为两个独立变量的双曲型方程的达布可积系统。最自然和方便的对象，在这个框架内的研究计划是类的二维格推广著名的户田格。本文讨论了$u_{n,xy}=α(u_{n+1} ,u_n,u_{n-1} )u_{n,x}u_{n,y} + β(u_{n+1},u_n,u_{n-1})u_{n,x}+γ(u_{n+1} ,u_n,u_{n-1} )u_{n,y}+δ(u_{n+1} ,u_n,u_{n-1})$形式的拟线性格。我们指定的系数的晶格假设存在切断条件，减少晶格的达布可积双曲型系统的任意高阶。在非简并性的一些额外假设下，我们描述了在上述意义下可积的格类。在获得的链列表中有新的例子。
Liouville integrability and superintegrability of a generalized Lotka-Volterra system and its Kahan discretization
证明了广义Lotka-Volterra系统及其Kahan离散化的Liouville可积性和超可积性。
On the symmetry classification of integrable chains in 3D. Darboux-integrable reductions and their higher symmetries
本文提出了一种方法，用于识别和分类三维中具有离散和连续变量的可积非线性方程，并揭示了Toda型链的降维结构及其对称性特性。
Multiscale expansions of difference equations in the small lattice spacing regime, and a vicinity and integrability test. I
我们提出了一个算法程序i）研究之间的“距离”的可积偏微分方程和任何离散化，在小晶格间距的制度，并在同一时间，ii）测试（渐近）可积性的离散化。这种方法应该提供，特别是，有用的和具体的信息是如何好的任何数值计划用于集成一个给定的可积偏微分方程。该方法以非线性Schroedinger方程的一个相当一般的10参数离散族为例，由以下三个步骤组成：i）按照Degasperis-Manakov- Santini方法，构造离散系统的所有阶的通解的连续多尺度展开; ii）应用Degasperis-Procesi（DP）可积性检验对这种扩展进行检验，以检验离散系统的渐近可积性及其与连续极限的“距离”; iii）使用DP测试的主要输出来通过新颖且简单的公式构造离散系统的无穷多个近似对称性和运动常数。
On complete integrability of the generalized Weierstrass system
本文研究了广义Weierstrass系统在Sinh-Gordon型方程下的完全可积性。利用条件对称方法，构造了由耦合Riccati方程所确定的广义Weierstrass系统的贝克隆变换.其次，线性谱问题被发现，这是由非奇异$2 \times 2$矩阵的基础上$sl (2, \mathbb C)$表示。我们导出了Weierstrass系统的达布变换的显式形式。利用贝克隆变换得到了广义Weierstrass系统的新的一类多孤子解，并给出了这些结果在经典弦论中的一些物理应用.
Darboux transformations for a 6-point scheme
对二阶一般二元微分方程引入了（二元）达布变换。我们提出了一个离散版本的转换为6点差分格式。该格式适用于求解双曲型初边值问题。我们讨论了几个减少和规格的转换，以及其他达布协变计划的建设，通过现有的。特别地，我们引入了一个10点格式，它可以看作是自伴双曲型方程的离散化。
Interplay of symmetries and other integrability quantifiers in finite dimensional integrable nonlinear dynamical systems
在这项工作中，我们建立了扩展的Prelle-Singer程序与其他广泛使用的分析方法之间的联系，以确定可积系统的情况下，$n^{th}$阶非线性常微分方程（ODE）。通过综合这些方法，我们揭示了对应于$n^{th}$阶常微分方程的Lie点对称性、接触对称性、$λ$ -对称性、伴随对称性、零形式、达布多项式、积分因子、Jacobi最后乘子和广义$λ$ -对称性之间的联系.我们还证明了这些相互联系与适当的例子。通过利用这些相互联系，可以推导出与不同方法相关联的特征量，而无需求解相关的决定方程。
Discretization of Liouville type nonautonomous equations preserving integrals
讨论了Liouville型可积偏微分方程的半离散可积模拟的构造问题。如果这两个方程有一个共同的积分，我们称半离散方程为Liouville型偏微分方程的离散化。对于著名的Goursat表中的Liouville型可积方程，其最小阶积分的阶数小于或等于2，我们给出了一个相应的半离散形式的表.该列表包含非自治达布可积链的新例子。
Additional Constants of Motion for a Discretization of the Calogero--Moser Model
本文给出了由Nijhoff和Pang引入的Calogero-Moser模型的离散化的极大超可积性。给出了附加运动常数的显式公式。
Geometry of Darboux-Manakov-Zakharov systems and its application
研究了半线性偏微分方程组\label{GDMZabstract} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j} = f_{ij} \Big（x_k，u，\frac{\partial u}{\partial x_l} \Big），1 \leq i<j \leq n，k，l \in \{1，.，}的广义Darboux-Manakov-Zakharov系统的内在几何性质. n\}对实值函数$u(x_1,...,x_n)$的线性方程组进行了研究。系统（\ref{GDMZabstract}）一般不是Cartan意义下的对合：它的系数将受到复杂的非线性可积性条件的约束。我们推导出几何工具，明确构建形式（\ref{GDMZabstract}）的对合系统，基本上解决了可积性条件。对线性情形的研究为我们提供了一种新的方法来观察和求解多维$n$ -波共振相互作用系统及其修正形式，以及构造流体动力学类型的半Hamilton系统的新例子。这些应用的研究说明了一般理论。
Darboux Transformations of Bispectral Quantum Integrable Systems
基于偏微分算子的双谱性质，提出了一种适用于量子可积系统的高维达布变换的方法。具体地说，我们利用量子哈密顿系统的双谱对偶性，利用量子可积性的代数几何定义，构造完全可积量子系统之间的非平凡达布变换。作为应用，我们可以构造新的量子可积系统，如平凡例子（如一维系统的对称积）的达布变换或著名的双谱系统（如量子Calogero-Moser）的达布变换.
On integrability of Hirota-Kimura type discretizations
我们给出了一个概述的可积性的Hirota-Kimura离散化方法适用于代数完全可积（a.c.i.）二次向量场系统随着可积性的基本机制（Hirota-Kimura基地）的描述，我们为读者提供了一个相当完整的列表，目前可用的结果，具体的交流。系统.
C-Integrability Test for Discrete Equations via Multiple Scale Expansions
在本文中，我们推广了著名的可积性定理获得的多尺度技术的情况下，线性化差分方程。作为一个例子，我们应用的理论的情况下的微分差分色散方程的Burgers层次，通过离散的Hopf-Cole变换减少到一个线性微分差分方程。在这种情况下，方程满足$A_1$、$A_2$和$A_3$线性化条件。然后我们考虑其离散化。为了得到色散方程，我们用它的对称离散化代替时间导数。当我们对这个非线性偏差分方程应用多重尺度展开时，我们发现最低阶非世俗性条件是由一个不可积的非线性薛定谔方程给出的。从而说明离散化的Burgers方程既不是可线性化的，也不是可积分的。
Integrable semi-discretization of complex and multi-component coupled dispersionless systems and their solutions
提出了一种利用拉克斯对对的复杂多组分耦合无色散系统的可积半离散化方法。提出了一种适用于复sdCD系统的拉克斯对。通过将$2 \times 2$ Lax矩阵推广到$2^{N} \times 2^{N}$ Lax矩阵的情况，我们得到了多组分sdCD系统的拉克斯对.将达布变换（DT）应用于复杂的多分量sdCD系统，计算了系统的孤子解。通过应用连续极限，半离散系统的孤子解可退化为连续系统。
Relation between hyperbolic Nizhnik-Novikov-Veselov equation and stationary Davey-Stewartson II equation
本文提出一个三元Lax系统，其中两个方程构成定常Davey-Stewartson II方程的拉克斯对。在一定的非线性约束下，该Lax系统的完全可积条件包含双曲型Nizhnik-Novikov-Veselov方程及其标准拉克斯对.利用Davey-Stewartson II方程的达布变换求解双曲型Nizhnik-Novikov-Veselov方程。利用达布变换，得到了整体$n$孤子解.证明了每个$n$ -孤子解在空间无穷远处一致地指数趋近于零，并且在时间无穷远处渐近于$n^2$峰丛。
Discretizations of the generalized AKNS scheme
我们考虑矩阵Zakharov-Shabat AKNS格式的空间离散化，特别是离散矩阵非线性薛定谔（DNLS）模型，以及Ablowitz-Ladik（AL）模型的矩阵推广，这是更广泛认可的离散化。我们专注于通过局部达布变换的离散化的解决方案的推导，我们通过相关的离散线性方程组的通用解决方案，获得新的解决方案。连续模拟也进行了讨论，作为一个例子，我们确定的矩阵NLS方程的解决方案的热核。在这个框架中，我们还得到了离散的Burgers方程通过模拟的Cole-Hopf变换。使用每个方案的基本达布变换，我们识别矩阵DNLS样和AL层次结构，即我们提取相关的拉克斯对，通过敷料过程。通过离散的Gelfand-Levitan-Marchenko（GLM）方程，讨论了积分变换的离散模拟--整体Darboux变换。离散矩阵GLM方程和相关的解决方案的推导也提出了显式线性化。特别强调的是在离散化计划，即向前/向后的离散矩阵DNLS计划与对称的离散矩阵AL模型。
Binary Bell polynomials approach to the integrability of nonisospectral and variable-coefficient nonlinear equations
最近，Lembert，Gilson等人提出了一种基于二元Bell多项式的求解常系数孤子方程的双线性贝克隆变换和拉克斯对的清晰而系统的方法.在本文中，我们想进一步发展这种方法与新的应用。我们将这种方法推广到系统地研究变系数非等谱方程的完全可积性。最后，给出了利用二元Bell多项式导出非线性发展方程无穷多守恒律的一种方法。所有守恒密度和通量都由显式递推公式给出。以变系数KdV方程和KP方程为例，快速、自然地得到了它们的双线性公式、双线性贝克隆变换、拉克斯对、达布协变拉克斯对和守恒律.总之，虽然系数函数对变系数非线性方程有影响，但在一定的约束条件下，该方程也是完全可积的，从而在理论上给出了其$N$ -孤子解的正则解释.
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