Coding of geodesics on some modular surfaces and applications to odd and even continued fractions
将Series建立的模曲面$\operatorname{PSL}(2,{\mathbb Z})\backslash {\mathbb H}$上的测地线与正则连分数之间的联系推广到$Γ\backslash {\mathbb H}$上的测地线与奇、怪连分数之间的联系，其中$Γ\cong {\Bbb Z}_3 \ast {\Bbb Z}_3$是由三阶元素$\left( \begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix} \right)$和$\left( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{smallmatrix} \right)$生成的$\operatorname{PSL}(2,{\mathbb Z})$的指数2子群，其基本域为理想四边形.在我们的框架中讨论了$Θ\backslash {\mathbb H}$上的测地线与偶连分数之间的类似联系，其中$Θ$表示由$\left( \begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix} \right)$和$\left( \begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$生成的$\operatorname{PSL}(2,{\…
2019-07-01 math.DS math.NT
Traces of reciprocal singular moduli
我们证明了反奇异模的迹的生成序列是一个混合模形式的重量$3/2$，其阴影是由一元和二元θ函数的乘积的线性组合。为了证明这些结果，我们将Bruinier和Funke的Kudla-Millson θ提升推广到亚纯模函数.
2020-04-02 math.NT
Prime geodesic theorem for the modular surface
在推广的Lindelöf假设下，将模曲面的素测地线定理误差项中的指数约化为有限对数测度集外的$\frac{5}{8}+\varepsilon $.
2018-03-23 math.NT
Self-reciprocal functions, powers of the Riemann zeta function and modular-type transformations
雅可比的θ函数的经典变换承认一个简单的证明，通过产生一个整表示，产生这种不变性明显。这个想法似乎最早出现在S。拉马努金Koshlyakov、Ferrar、Guinand、Ramanujan和其他人提出了几个关于这一想法的例子。一个统一的程序来分析这些例子和自然的推广。
2013-12-04 math-ph math.MP math.NT
Transcendence of simple geodesics on finite modular covers
研究有限指数子群对应的模覆盖上简单测地线的端点性质，证明若测地线简单则端点要么有理数、二次无理数或超越数，并验证了最小测地线叶层情形。
2026-07-13 math.DS math.NT
Cycle Integrals of the Parson Poincaré Series and Intersection Angles of Geodesics on Modular Curves
证明了Parson权2k模积分的循环积分与模曲线上测地线的交角的一个几何公式。我们的结果是模拟模积分的经典公式的循环积分的某些双曲庞加莱级数，由于Katok。另一方面，推广了Matsusaka和Duke，Imamoglu和Tóth关于权为2的模积分的循环积分的一个最近的几何公式.
2022-03-16 math.NT
Quadratic Irrationals, Closed Geodesics on the Modular Surface and Dynamical Zeta Functions
我们表明，与二次无理数的收敛序列相关的生成函数以自然的方式与2-环面的双曲自同构的动态zeta函数相关。作为推论，这表明二次无理数的Lévy常数自然地表现为这类映射的拓扑熵。
2018-05-03 math.CO math.DS math.NT
Prime geodesic theorem for the modular group
Soundararajan和Young（2013）提出了一种改进模群的素测地定理误差项的新方法，并实际得到了误差项的指数为25/36。在本文中，我们将其锐化为9/13。
2019-12-12 math.NT
Compactification of Drinfeld Moduli Spaces as Moduli Spaces of $A$-Reciprocal Maps and Consequences for Drinfeld Modular Forms
本文构造了秩$r$和水平$N$的Drinfeld模的模空间的紧化，作为$A$ -互反映射的模空间.这与佐竹紧化密切相关，但不完全相同。该构造涉及对$N$的一些技术假设，这些假设对于共尾理想集$N$是满足的。在特殊情况$A={\mathbb F}_q[t]$和$N=(t^n)$中，我们得到了水平$N$和所有权的Drinfeld尖点形式的分次理想的表示，并且可以推导出任意权的尖点形式空间的维数公式。我们期望得到相同的结果，但证明需要更多的想法。
2019-03-06 math.AG math.NT
Cutting Sequences for Geodesic Flow on the Modular Surface and Continued Fractions
本文描述了模曲面H/PSL（2，Z）上测测地流关于PSL（2，Z）的标准基本区F = {z=x+iy：-1/2 <= x <= 1/2 and |z| >=1}的切割序列.垂直测地线{θ+it：t > 0}的切割序列与θ的一维连分数展开有关，称为一维Minkowski测地线连分数（MGCF）展开，它与二维格族的参数化约化基族有关。所有测地线的切割序列的集合在符号空间{L，R，J}中形成双侧移位，符号空间{L，R，J}具有与垂直测地线相同的禁止块集合。我们证明了这种位移不是sofic位移，它表征了基本区F直到双曲平面H的等距。给出了垂直测地线{θ+it：t > 0}的切割序列、θ的MGCF展开式和θ的加性普通连分数（ACF）展开式之间的转换方法。我们证明了切割序列和MGCF展开都可以通过有限自动机从另一个计算出来，并且θ的ACF展开可以通过有限自动机从垂直测地线θ+it的切割序列计算出来。然而，垂直测地线的切割序列不能通过任何有限自动机从ACF展开计算，但是当给定ACF展开的前O（l）个符号作为输入时，有一种算法可以计算其前l个符号，这需要时间O（l^2）和空间O（l）。
2001-04-02 math.DS math.NT
Geodesic flows and slow downs of continued fraction maps
本文扩展模曲面单位切丛上测地流的截面，将偶 Farey 映射描述为偶连分数 Gauss 映射的三分支减速，推广了 Series、Heersink 及 Boca 等人的相关工作。
2023-10-27 math.DS math.NT
Cycle integrals of modular functions, Markov geodesics and a conjecture of Kaneko
本文研究了模函数在马尔可夫二次函数上的值，该二次函数定义为沿相应的闭测地线的循环积分。这些数字满足Kaneko证明的两个性质。更精确地说，我们证明了一个模函数f的值，沿着马尔可夫树的任何分支B，收敛到f在马尔可夫数的值，这是B的尖端的前身。我们还证明了这些值的交错属性。
2019-04-04 math.NT
Quadratic irrationals and linking numbers of modular knots
模曲面上的一条闭测地线在去掉三叶结后在三维球面上产生一个纽结，可以计算出这种纽结与三叶结的环绕数.我们表明，当按其长度排序时，具有规定的环绕数的闭测地线的集合关于刘维尔测度平均成为等分布的。我们证明了这一点，通过使用热力学形式主义证明了equidistribution结果为一组相应的二次无理数的单位区间。
2012-05-10 math.DS math.NT
Size of discriminants of periodic geodesics of the modular surface
本文研究了模曲面中随机矩阵特征值生成环的判别式比值，证明了其存在概率极限分布，并给出了基本判别式与整数环的具体概率。
2024-03-20 math.DS math.NT
Farey neighbours, modular symbols and divergent geodesics
本文借助双曲流形中 Margulis 尖点邻域与发散测地线的公垂线分布，建立 Farey 邻点对及模符号在多种数论结构中的有效渐近计数，并刻画 Bianchi 3-轨形尖点邻域的相切性质。
2025-09-02 math.NT
Concentration of closed geodesics in the homology of modular curves
本文证明实二次域窄类群子群对应的闭测地线同调类集中在爱森斯坦线附近，并研究其水平方面、同调上确界范数问题及在群论与模形式中的应用。
2023-04-03 math.NT
The correlation between multiplicities of closed geodesics on the modular surface
证明了模曲面上闭测地线重数的相关函数的显式乘积表示。这使得严格的一部分的调查Bogomolny，Leyvraz和施密特的相关性的特征值的拉普拉斯的模块化表面。这个结果也可以被看作是Hardy-Littlewood孪生素数猜想的一个（严格证明的）类似物。
2001-04-25 math-ph math.MP math.NT
The variance of closed geodesics in balls and annuli on the modular surface
我们渐近估计分布的闭测地线在小随机球或环上的模块表面$Γ\backslash\mathbb{H}$的方差。提出了一个概率模型，其中闭测地线建模使用随机测线段，我们严格分析了这个模型使用混合的测地流在$Γ\backslash\mathbb{H}$。这导致了一个猜想的渐近行为的方差，这不像在以前探讨的情况下，不等于期望值。我们证明了这一猜想的小球和annuli，解决了一个问题留下的汉弗莱斯和Radziwill开放。
2022-03-30 math.NT math.PR
On the $L^{2}$-restriction norm problem for closed geodesics on the modular surface
令$f$是具有谱参数$t\geq 2$的Petersson归一化Hecke-Maass尖点形式，并且令$\mathcal{C}_{D}$是与基本判别式$D>0$相关联的$\text{Sl}_{2}(\mathbb{Z})\setminus \mathbb{H}$中的闭测地线的并集。根据Sarnak在给Reznikov的信中的建议，我们用Waldspurger公式将约束范数$||f|_{\mathcal{C}_{D}}||_{2}^{2}$表示为L-函数中心值的加权和。这使我们能够在当前边界上获得无条件的改进。
2022-11-09 math.NT
Sign changes along geodesics of modular forms
该研究针对模曲面上尖点测地线紧线段β，分析尖点形式和艾森斯坦级数沿β的符号变化次数，无条件证明艾森斯坦级数在全密度谱参数集的精确下界，基于矩界条件推广至所有谱参数并证明尖点形式类似定理，论证依赖均方界及去除林德洛夫假设。
2025-02-10 math.NT
Volumes of hyperbolic three-manifolds associated to modular links
模曲面上的周期测地线对应于单位切丛$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$中测地流的周期轨道。任何有限数量轨道的补是一个双曲$3$ -流形，因此它有一个定义良好的体积。我们提出了强有力的数值证据表明，在一组测地线对应的理想类群的实二次域的情况下，体积具有线性渐近的测地线的总长度。对于一般的测地线集，情况并非如此
2017-05-17 math.GT math.NT
Computing intersections of closed geodesics on the modular curve
在最近的工作杜克，Imamoglu，和托特，环绕数的某些环节的空间$\text{SL}(2,\mathbb{Z})\backslash\text{SL}(2,\mathbb{R})$进行了调查。这个环绕数也可以解释为闭测地线在模曲线上的相交数，这是本文的重点。通过将交叉数与康威地形的河流组合计算联系起来，给出了计算相交数的有效算法。还导出了一对正互质基本判别式的全交公式，该公式可以看作是Gross和Zagier的一个经典结果的实二次模拟.本文最后讨论了与相交数有关的数值计算和分布问题。
2021-06-01 math.NT
Erdős-Kac type theorem for the number of scattering geodesics on modular surface
本文受经典 Erdős-Kac 定理启发，证明模曲面上具有共同停留时间的散射测地线数量满足一种 Erdős-Kac 型高斯分布规律。
2025-06-09 math.DG math.NT
Intersecting geodesics on the modular surface
本文引入模相交核，利用 Duke 定理证明模曲面上测地线相交角关于 $\sin θds dθ$ 以幂节省速率等分布，解决了 Rickards 提出的主要猜想。
2021-02-27 math.DS math.NT math.SP
Limiting modular symbols and the Lyapunov spectrum
本文由限制模块符号的主题上的变化。涵盖的主题包括：作为连分数移位的李雅普诺夫指数的水平集上的Birkhoff平均的极限模符号的表达式，取决于广义Gauss-Kuzmin算子的谱性质的消灭定理，与模曲线上的非闭测地线相关联的某些非平凡同调类的构造，与移位不变集相关的某些Selberg zeta函数和C^* 代数。
2001-11-08 math.DS math.NT
Windings of prime geodesics
本文针对一般带尖点双曲轨形提出测地线绕指定尖点的绕数新构造，证明算术曲面族中该绕数可由Rademacher符号表示，并结合自守形式谱理论得到闭本原有向测地线绕数分布的统计结果。
2024-09-27 math.DS math.GT math.NT
Periods of the $j$-function along infinite geodesics and mock modular forms
Zagier的著名工作的痕迹奇异模涉及系数的某些弱全纯模形式的重量$1/2$的痕迹价值的模块$j$ -功能在虚二次点。一个真正的二次模拟最近研究了杜克大学，Imamoglu，和托特。他们表明，系数的某些重量$1/2$模拟模形式\[ f_D = \sum_{d>0} a(d,D) q^d, \qquad D>0 \]给出的痕迹循环积分的$j$ -功能。他们的结果适用于$dD$不是平方的系数$a(d,D)$。最近，Bruinier、Funke和Imamoglu利用正则化的θ提升证明了平方$dD$的系数$a(d,D)$是$j$ -函数的正则化积分的迹。在本文中，我们提供了一种替代方法来解决这个问题。我们介绍的功能$j_{m,Q}$（$Q$的二次型），这是有关的$j$ -功能和显示，通过修改方法的杜克大学，Imamoglu，和托特，系数$dD$是一个平方的痕迹循环积分的功能$j_{m,Q}$。
2014-10-27 math.NT
A Central Limit Theorem for the Winding Number of Low-Lying Closed Geodesics
Universität Zürich（苏黎世大学）
本文证明模曲面上低洼闭测地线的缠绕数在按标准长度归一化后具有高斯极限分布，并给出Berry-Esseen界和局部极限定理。
2026-01-27 math.DS math.NT
A Mean Value Theorem for Closed Geodesics on Congruence Surfaces
本文对有限面积黎曼曲面上给定长度的闭测地线定义了一个加权重数函数。这些加权的多重性自然出现在塞尔伯格迹公式，特别是他们的均方起着重要的作用，在研究统计的特征值的表面上的拉普拉斯算子。在模域的情况下，E. Bogomolny，F. Leyvraz和C.施米特给出了一个均方公式，M.彼得本文计算了有理四元数代数单位群的同余子群所对应的曲面的加权重数的均方，特别是模群的同余子群的加权重数的均方.值得注意的是，结果是模域均方的有理倍数。
2005-02-12 math.NT
Beyond Expansion II: Low-Lying Fundamental Geodesics
如果模块表面上的闭测地线不“高”地行进到尖点，则其为“低位”。如果它对应于实二次域的类群中的元素，则它是“基本的”。我们证明了存在无穷多个低洼的基本测地线，回答了一个问题的Einsiedler-Lindenstrauss-Michel-Venkatesh。
2016-06-20 math.DS math.NT
Distribution of Kaneko's val function
Faculty of Mathematics, Kyushu University（九州大学数学系）
该研究证明金子（Kaneko）的val函数在本原双曲共轭类按测地线长度排序时集中于720，对权0弱全纯模函数也有类似结论，结合等分布定理等完成证明。
2026-09-02 math.DS math.NT
The Prime Geodesic Theorem
研究了模曲面的闭测地线的分布。本文改进了素测地线定理中的误差项，并在Dirichlet L-函数的广义黎曼假设的条件下，得到了很短区间上的素测地线的结果.我们强调了闭测地线和某些狄利克雷L-函数之间的联系。
2010-11-24 math.NT
On the prime geodesic theorem
University College London（伦敦大学学院）
改进了模群素数测地线定理的误差项，并推广到任意不定四元数代数的同余子群。
2026-10-15 math.NT
Meromorphic modular forms with rational cycle integrals
研究了与正定二元二次型相关的亚纯模形式测地循环积分的有理性。特别地，我们得到了这些亚纯模形式的适当线性组合的循环积分的有限有理公式。
2019-07-09 math.NT
A Lyapunov exponent attached to modular functions
本研究针对满足特定非负条件的SL(2,Z)弱全纯模函数，构造推广已知形式的GL(2,Z)不变李雅普诺夫指数映射，证明其值域性质、在马尔可夫无理数上的递增凸性，及纯周期二次无理数处的值与模曲面周期积分的关系，关联Kaneko关于j函数的猜想。
2025-03-20 math.DS math.NT
Integrality of Picard-Fuchs differential equations of Kobayashi geodesics and applications
研究证明了皮卡-福克斯微分方程的积分性，并应用于构造有理曲线在希伯特模流形中的部分哈斯不变量提升。
2025-12-09 math.NT
Duke's Theorem for subcollections
我们结合有效的混合和杜克定理的模块化表面上的闭测地线，以显示某些子集的集合的测地线与一个给定的判别式仍然equidistributed。这些子集合仅被假定具有足够大的总长度，而没有任何进一步的限制。
2014-06-13 math.DS math.NT
Special curves in modular surfaces
我们表明，测地线在上半平面附加到一个最大的分裂环面或一个真正的二次环面在$GL_{2, \mathbf{Q}}$是唯一的不可约的代数曲线，其图像通过$j$-不变量包含在一个代数曲线。
2021-05-23 math.NT
Equidistribution of partial coverings from closed geodesics
University of Copenhagen（哥本哈根大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
研究有限体积双曲曲面中，由定向闭测地线集合关联的部分覆盖的等分布问题，通过证明给定在单位切丛中等分布的闭测地线集合，其相关部分覆盖也等分布，在模群情况给出等分布结果的另证。
2026-07-29 math.DS math.GT math.NT
The Quantum Variance of the Modular Surface
在半经典极限下，计算了模面上拉普拉斯算子量子态观测量的方差。它表明，这种厄米形式是对角化的不可约表示的模商，并在每个这些它是等于经典方差的测测地流流后插入一个微妙的算术特殊值的相应的$L$ -功能。
2018-02-13 math.NT
Arithmetic modular links
本文在模曲面上构造测地线序列，其典范提升的补空间为算术三维流形，建立了模曲面与算术流形间的联系。
2024-02-02 math.GT math.NT
Linking numbers and non-holomorphic Siegel modular forms
研究算术双曲3-流形中测地线链环数的生成级数，证明其收敛于2维西格尔空间函数且经修改后具权2西格尔模形式变换性质，通过分析Kudla-Millson theta级数积分得链环数多项式界。
2025-04-19 math.DG math.GT math.NT
Asymptotic formulas for partial sums of class numbers of indefinite binary quadratic forms
Sarnak从模群的素测地定理出发，得到了不定二元二次型类数和的渐近公式。本文利用模群的同余子群的素测地线定理，给出了类数的部分和的几个渐近公式。
2015-02-09 math.NT
Non-Archimedean Poincaré series and geodesics on the Bruhat-Tits tree
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文在Drinfeld半平面上构造非阿基米德Poincaré级数，证明其收敛性与非零性，并用于生成模形式空间，推广了Kurihara的方法。
2026-10-16 math.NT
Prime scattering geodesic theorem
本文研究模曲面上散射测地线的分布与逗留时间，首次建立了散射测地线计数与素因子位于算术级数中的正整数之间的联系。
2025-05-08 math.DG math.NT
Equidistribution in S-arithmetic and adelic spaces
本文介绍了双曲曲面上测测地流的混合及其应用。我们专注于在模块化表面的Hecke树的例子。
2016-09-23 math.DS math.NT
On geodesics of phyllotaxis
向日葵的种子通常由映射$n\longmapsto φ_θ(n)=\sqrt{n}e^{2iπnθ}$建模，导致大致均匀的再分配，其中两个连续的种子由发散角$2πθ$分离，其中$θ$是黄金分割率。我们关联到一个任意的真实发散角$2πθ$的测地线路径$γ_θ: \mathbb R_{>0}\longrightarrow \mathrm{PSL}_2(\mathbb Z)\backslash \mathbb H$的模曲线，并使用它的局部描述的图像$φ_θ(\mathbb N)$的叶序图$φ_θ$。
2013-05-10 math.MG math.NT
An isomorphism between polynomial eigenfunctions of the transfer operator and the Eichler cohomology for modular groups
对于群PSL（2，Z），已知测地流的转移算子的多项式本征函数与模形式理论中的Eichler上同调之间存在同构。Chang和Mayer在最近的一篇论文中指出，对于PSL（2，Z）的某些子群，也存在这样的同构。我们证明了这一点，并提供了一些证据，通过计算机辅助代数计算，这样的同构存在于所有的主同余子群和所有的同余子群的Hecke型。
2001-11-07 math-ph math.DS math.MP
Small scale distribution of zeros and mass of modular forms
研究了小尺度下$SL_2(\mathbb Z) \backslash \mathbb H$上全纯Hecke尖点形式的零点和质量的行为。特别是，我们研究了双曲球的半径收缩足够慢的$k \rightarrow \infty$内的零点的分布。我们发现，零均匀分布在这样的球$k \rightarrow \infty$，只要半径收缩率最多一个小的权力$1/\log k$。这依赖于一个新的，有效的，证明鲁德尼克的定理equidistribution的零点和一个有效的版本的量子唯一遍历的全纯形式，我们在本文中获得。我们还研究了$SL_2(\mathbb Z) \backslash \mathbb H$的尖点附近的零点分布。Ghosh和Sarnak指出，这里几乎所有的零都位于两条垂直测地线上。我们发现，几乎所有的形式，高的尖点的零的正比例不在于这些测地线。对于所有的形式，我们假设广义Lindelöf假设，并建立一个下界的零点，躺在这些测地线的数量，这是显着强于以前的无条件的结果。
2015-06-16 math-ph math.CV math.MP
Limiting modular symbols and their fractal geometry
本文利用分形几何研究了模曲面的有限覆盖的第一同调群的边界问题。我们得到一个完整的描述代数不可见的部分，这个同调群。更确切地说，我们首先表明，对于任何模子群的测地向前动态相关的表面承认一个规范的符号表示的一个不可约的移位空间。然后，我们使用这种表示法，以获得一个“几乎完整的”多重分形描述的更高-维水平集所产生的Manin-Marcolli的限制模块化符号。
2006-11-02 math.GT math.KT math.NT
Closed geodesics on semi-arithmetic Riemann surfaces
本文利用数论和双曲几何的方法研究了半算术Riemann曲面的几何性质。首先，我们证明了存在无穷多个不同形状的半算术Riemann曲面，并证明了它们的系统在正实数上是稠密的。进而，对每个亏格$g \geq 2,$，构造了具有两两不同不变迹域的半算术曲面的无限族，否定了B.全最后，对于任何半算术表面，我们发现一个序列的同余覆盖与对数收缩增长，并为特殊情况下的表面承认模块嵌入，我们能够表现出明确的常数。
2020-08-31 math.GT math.MG math.NT
Higher-Weight Limiting Modular Symbols
本文通过对 Shokurov 的高权模符号进行极限过程，定义了端点为无理实数的高权极限模符号，并证明该极限等价于连分数展开逼近，方法借鉴了权 2 情形下的编码空间转移策略。
2023-10-19 math-ph math.MP math.NT
On a problem of A. Weil
构造了模曲面上测地线叠层的一个拓扑不变量。不变量有一个连续部分（连分数的尾部）和一个组合部分（奇异数据）。它表明，不变量是完整的，即测地线层片可以从不变量恢复。不变量的连续部分具有表面上的层压斜率的几何意义。
2018-01-31 math.GT math.NT
Eisenstein Series and Breakdown of Semiclassical Correspondence
我们认为某些拉格朗日状态与模块化表面$PSL(2,\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H}$上的不稳定horocycles，并表明，对于足够大的对数时间，波传播状态的期望值偏离经典的输运沿测地线。这是由于这些状态在对数时间内非常快地“逃逸到尖点”，而测地流继续在表面上均匀分布。证明的关键依赖于由Luo-Sarnak和Jakobson发起的Eisenstein级数的期望值的分析，基于相关$L$ -函数的次凸性估计--换句话说，这是一个非常特殊的情况，在这种情况下，我们可以明确地用算术工具分析长时间传播。
2017-11-04 math-ph math.AP math.DS
