Tutorial on Scale and Conformal Symmetries in Diverse Dimensions
R. Jackiw, S. -Y. Pi
我们回顾了在各种模型和尺寸的尺度和共形对称性之间的关系。我们提出了一个降维从相对论非相对论共形动力学。
We review the relation between scale and conformal symmetries in various models and dimensions. We present a dimensional reduction from relativistic to non-relativistic conformal dynamics.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Manifestly Conformal Descriptions and Higher Symmetries of Bosonic Singletons
通常的共形场的环境空间方法是基于将d维共形空间识别为平坦d+2维环境空间中的狄拉克投影超锥。在这项工作中，我们明确地集中在任何整数自旋的单态，并提出了一种方法，允许一个有地方性和共形对称性的表现。这是通过在光纤中而不是在时空中使用环境空间表示来实现的。这种方法使我们能够刻画任意玻色子单粒子的高阶对称子代数，它是反德西特时空上混合对称规范场的候选高阶自旋代数。此外，我们认为，这个代数实际上用尽所有更高的对称性。
Generalized conformal maps as classical symmetries of Yang-Mills fields
我们表明，一类以前定义的地图，称为自对偶和因果态射，形成经典对称性的杨米尔斯领域在四个复杂的层面。这些映射推广了共形变换，并允许一个非局部的拉回连接，保持理论的方程。首先，它表明，自对偶态射形式的对称性的反自对偶杨米尔斯方程在此拉回。然后定义了因果态射的超对称推广，它保持了N=3超对称Yang-Mills理论的场方程的解。作为一种特殊情况，这意味着因果态射的修改定义形成了普通杨-米尔斯场方程的对称性。
Galilean Conformal and Superconformal Symmetries
首先简要讨论了三种不同的非相对论共形代数：Schroedinger代数、Galilean共形代数和局部NR共形等距无穷代数。进一步，我们将更详细地考虑由相对论共形代数O（d+1，2）（d -空间维数）在极限c等于无穷大时得到的伽利略共形代数（GCA）。两个不同的收缩极限提供GCA和一些最近考虑的实现将简要讨论。最后，考虑D=4超共形代数的NR压缩，利用复Weyl超荷，得到Galilei共形超代数（GCSA）.
From conformal invariance towards dynamical symmetries of the collisionless Boltzmann equation
无碰撞玻尔兹曼输运方程或弗拉索夫方程的动力学对称性，但在外部驱动力的影响下，来自$2D$共形代数的非标准表示。在没有外力的情况下，共形不变输运方程的对称性首先通过考虑粒子动量作为独立变量来推广。这个新的共形表示可以进一步扩展到包括一个外力。概述了结构和可能的物理应用。
Conformal Symmetries of the Yamabe and Paneitz Operators
本文研究了一般伪黎曼流形上Yamabe Laplacian算子和Einstein空间上Paneitz算子的一阶和二阶共形对称性。我们证明了Yamabe算子的一阶共形对称诱导了二阶共形对称。我们表明，在爱因斯坦空间的每一个共形Killing向量场诱导共形对称的Paneitz运营商，相反，每一个一阶共形对称的Paneitz运营商产生的共形Killing向量场。我们的主要定理的可能的扩展说明的例子。本文对B.卡特和卡姆兰和麦克莱纳汉的论文。
Non-relativistic conformal symmetries and Newton-Cartan structures
本文给出了非相对论性牛顿-嘉当时空共形无穷小对称性的统一分类。通过Galilei结构引入了非相对论性共形变换的李代数。它们形成了一族由有理“动力学指数”$z$标记的无限维李代数。Henkel等人的薛定谔-维拉索罗代数对应于$z=2$。作为投影牛顿-嘉当对称，它们对于类时测地线产生通常的薛定谔李代数，其中z=2。对于类光测地线，它们依次产生共形伽利略代数（CGA）和Lukierski、Stichel和Zakrzewski [Henkel的别名“$\alt$“]，以及$z=1$。实现这些对称性的物理系统包括，例如，有质量和无质量的非相对论粒子的经典系统，还有流体力学，以及伽利略电磁学。
Scaling and conformal symmetries for plane gravitational waves
该研究揭示平面引力波的等距性及其共形扩展（chrono-projective变换）分别对质量与无质量粒子构成对称性，同伦变换为普适对称性并生成新守恒量，类比等距性于横向坐标的作用。
Twisted partition functions for ADE boundary conformal field theories and Ocneanu algebras of quantum symmetries
对于每一个ADE Dynkin图，我们给出了一个实现，在通常的融合代数（图代数），由相关的Ocneanu图描述的量子对称性的代数。在每种情况下，我们都明确地给出了相应的扭曲配分函数的列表
Instantons with continuous conformal symmetries: Hyperbolic and singular monopoles and more, oh my!
本文通过引入线性约束简化非线性约束，全面研究了具有各类连续共形对称性的瞬子，发现了大量新型瞬子并提供了分类框架，同时探讨了其与双曲、奇异磁单极子等规范理论对象的联系。
Hidden symmetries of integrable conformal mechanical systems
我们分裂成一个“径向”和一个“角”的部分，后者被定义为共形群的轨道上的哈密顿系统的一般共形力学系统，与卡西米尔函数的作用的哈密顿。我们减少分析的运动常数的整个系统的研究某些微分方程在这个轨道上。对于可积力学系统，共形不变性使它们成为超可积的，产生了一系列最初由沃伊切霍夫斯基在有理卡洛杰罗模型中发现的守恒量。最后，我们证明了从任意N=4的超对称“角”Hamilton系统出发，可以构造一个新的具有全N=4的超共形D（1，2;α）对称性的系统.
Higher Symmetries of the Schrödinger Operator in Newton-Cartan Geometry
建立了牛顿-嘉当几何的非相对论共形对称与薛定谔方程之间的关系。特别是，我们讨论了代数$\mathfrak{sch}(d)$的向量场保形平坦的牛顿-Cartan时空，我们证明了其弯曲的推广产生的对称群的协变薛定谔方程耦合到牛顿势和广义科里奥利力。我们提供内在的牛顿-Cartan定义的Killing张量和共形薛定谔-Killing张量，我们讨论各自的联系，守恒量和更高的对称性的薛定谔方程。最后，我们考虑共形对称性在牛顿扭量理论中的作用，其中扭量空间上的全纯向量场的无限维代数对应于牛顿-Cartan时空上的对称代数$\mathfrak{cnc}(3)$。
Second Order Symmetries of the Conformal Laplacian
设（M，g）是任意维数至少为3的伪黎曼流形.我们确定了（M，g）上共形（或Yamabe）Laplacian的所有共形对称的形式，这些共形对称由二阶微分算子给出。它们是从满足自然和共形不变条件的共形Killing 2-张量构造的。由此，我们也得到了共形拉普拉斯算子的二阶对称的分类。我们的结果推广了Eastwood和Carter的结果，分别适用于共形平坦流形和Einstein流形。我们说明我们的结果在两个家庭的例子在三维。
Nonlinear symmetries of perfectly invisible $PT$-regularized conformal and superconformal mechanics systems
研究了完全不可见的$PT$正则化零能隙量子共形和超共形力学系统中Lax-Novikov积分对其（超）共形对称性的影响.我们证明，用该积分展开共形对称性会导致非线性扩展的广义薛定谔代数。用具有$osp(2|2)$子超代数的非线性超扩展薛定谔代数描述了处于非破缺奇异非线性$\mathcal{N}=4$超Poincaré对称性相的$PT$正则化超共形力学系统.在部分破缺相中，所有奇积分的标度维数是不定的，并且$osp(2|2)$不包含为子超代数。
Conformal and projective symmetries in Newtonian cosmology
非相对论性共形变换的定义被认为是在牛顿-嘉当和卡鲁扎-克莱因型的Escherzart/Bargmann几何框架。宇宙学的对称群以及牛顿引力场方程的牛顿-胡克解就是起作用的例子。它表明，特别是，标准宇宙模型的最大对称群同构的13维共形牛顿-Cartan群的共形巴格曼扩展明确制定。与薛定谔群或共形伽利略代数相比，注意力被吸引到独立的空间和时间膨胀的出现。
Stochastic Loewner evolution for conformal field theories with Lie-group symmetries
随机Loewner演化是研究二维临界系统的一个新工具。我们将这种方法扩展到具有连续对称性的临界系统的情况，例如SU（2）Wess-Zumino-Witten模型，其中畴壁具有额外的自旋1/2自由度。我们表明，随机演化的结果在Knizhnik-Zamolodchikov方程的关联函数。
From conformal embeddings to quantum symmetries: an exceptional SU(4) example
我们简要地讨论了几种用于描述环面上边界共形场论量子对称性的代数工具。起点是一个融合范畴，以及一个作用于另一个由量子图描述的范畴。对于已知的例子，相应的模块不变的配分函数，这是有时与保形嵌入，提供了足够的信息来恢复整个结构。我们用SU（4）在第4层共形嵌入到自旋（15）在第1层的例子来说明这些概念，从而得到例外的量子图E4（SU（4））。
Orlov-Schulman symmetries of the self-dual conformal structure equations
本文研究自对偶共形结构方程层次的Orlov-Schulman对称性，证明额外对称性与基本Lax-Sato流的兼容性，并通过Galilean变换和缩放等例子进行说明。
Non-relativistic conformal symmetries in fluid mechanics
自由不可压缩流体的对称性跨越伽利略群，并伴随着空间和时间的独立膨胀。当流体是可压缩的，对称性被扩大到扩展的薛定谔群，这也涉及到，此外，薛定谔扩展。虽然不可压缩的流体动力学可以推导出一个适当的非相对论性限制的共形不变的相对论性理论，最近讨论的共形伽利略群，从相对论共形群收缩，是不是一个对称。这可以用非相对论极限的微妙之处来解释。
Higher Spin Symmetries and Deformed Schrödinger Algebra in Conformal Mechanics
研究了具有Calogero势的$1+1$维矩阵偏微分方程（有/无额外的耗散项De Alfaro-Fubini-Furlan，DFF，阻尼项）的动力学对称性.一阶不变微分算子诱导出若干不变代数和超代数。除了Calogero共形力学的$sl(2)\oplus u(1)$不变性外，还得到了一个由一阶和二阶微分算子实现的$osp(2|2)$不变超代数.具有无限生成元塔的不变代数由变形海森堡代数的泛包络代数给出，它被证明等价于薛定谔代数的变形版本。这个向量空间也产生了一个更高自旋（引力）的超代数。我们还证明了纯和DFF矩阵Calogero偏微分方程具有同构的动力学对称性，相关的相似变换和时间变量的重新定义。
First Integrals from Conformal Symmetries: Darboux-Koenigs Metrics and Beyond
在常曲率空间上，测地线方程自动地具有高阶积分，这些高阶积分是由一阶积分建立的，对应于大量的Killing向量。对于一般的共形平坦空间，这不再成立，但在这种情况下，存在一个大的共形对称代数。在本文中，我们使用这些共形对称建立高阶积分的测地线方程。我们使用这种方法给出了一个新的推导达布-柯尼希斯度量，其中只有一个Killing向量，但两个二次积分。我们还考虑了具有一个Killing向量和两个三次积分的情况。该方法允许以更简单的方式构造量子模拟。
Quantum symmetries for exceptional SU(4) modular invariants associated with conformal embeddings
SU（4）的三个例外模不变量存在于第4、6和8层。它们可以通过适当的共形嵌入得到，并且相应的图具有自融合性。从这些嵌入，或从它们的相关模不变量，我们确定量子对称的代数，获得它们的生成元，并作为副产品，恢复已知的图E4（SU 4），E6（SU 4）和E8（SU 4）描述SU（4）型的例外量子子群。我们还得到了它们各自及其相关量子群胚的示性数（量子基数、维数）。
Symmetries of supergravity backgrounds and supersymmetric field theory
在四维时空中，所有的${\cal N} =1$超引力-物质系统都可以在豪于1981年提出的所谓的$\mathsf{U}(1)$超空间中表达。本文致力于研究那些包围背景$\mathsf{U}(1)$超空间的几何结构，这些几何结构在弯曲空间中的超对称场论中是重要的。我们引入（共形）Killing张量超场$\ell_{(α_1 \dots α_m) ({\dot α}_1 \dots {\dot α}_n)}$，其中$m$和$n$为非负整数$m+n>0$，并详细说明它们在以下情况下的意义：（i）$m=n=1$ ;（ii）$m-1=n=0$ ;（iii）$m=n>1$。（共形）Killing矢量超场$\ell_{α\dot α}$产生弯曲超空间的（共形）等距，它们是每个（共形）超对称场论的对称性。（共形）Killing旋量超场$\ell_{α}$产生扩展的（共形）超对称变换。证明具有$m=n>1$的（共形）Killing张量超场生成（无质量）大质量Wess-Zumino算子的所有更高对称性。
Geometric symmetries on Lorentzian manifolds
各种几何量和物理量的李导数定义了广义相对论中的对称性和共形对称性。从而得到运动、共线变换、共形运动和共形共线变换。这些对称性不仅用于寻找爱因斯坦场方程的新解，而且还用于对空间进行分类。这里介绍了不同的分类方案。这些对称性之间的关系进行了讨论，并举例说明。
Conformal symmetries of the super Dirac operator
本文沿着Stein和Weiss构造广义Cauchy-Riemann算子的思路，定义了作用在超旋量空间中的超函数上的Dirac算子。对称超代数osp（m）的引入|2n）是这种方法的一个新的基本特征。本文将这种对称代数推广到共形对称代数osp（m + 1，1| 2n）。Dirac算子的核作为这两个代数的表示进行了研究。该构造也给出了Howe对偶对osp（1）的一个显式实现|2）x osp（m| 2n）< osp（m + 4n| 2m + 2n）。最后，超狄拉克算子给出了洞察分类不变的一阶微分算子在超抛物几何的开放问题。
Noether symmetries, energy-momentum tensors and conformal invariance in classical field theory
在经典场论的框架内，我们首先回顾了对称性的Noether理论，简单地重新推导了它的基本结果，特别强调了规范理论的Noether恒等式。我们接下来将详细讨论平坦时空中庞加莱不变量理论的贝林凡特能量-动量张量与希尔伯特能量-动量张量族之间的差异。所有这些张量都在壳上重合，但它们在以下意义上分担了各自的职责：贝林凡特张量是用来获得庞加莱对称性生成元的张量，它是可能存在的其他最终时空对称性生成元的基本成分。相反，希尔伯特张量是检验一个理论是否包含庞加莱以外的其他时空对称性的手段。我们详细讨论了尺度和共形对称的情况，并给出了一些例子。我们表明，庞加莱不变拉格朗日，尺度不变性的实现选择一个独特的希尔伯特张量，它允许一个简单的测试是否共形不变性也实现。最后，我们对度量广义协变理论和固定曲面背景下的经典场论作了一些基本评述。
Conformal symmetries of spherical spacetimes
我们研究球对称时空的共形几何，一般不指定物质分布的形式。一般共形Killing对称性得到了一些可积性条件。以前的结果与静态时空被证明是我们的解决方案的一个特殊情况。将流线共形地映射到流线上，生成了一般的继承共形对称向量，并证明了可积性条件的满足。本文证明了在膨胀、加速和剪切的相对论性流体的爱因斯坦方程的精确解中存在一个超曲面正交共形Killing矢量。
Higher Symmetries of the Laplacian via Quantization
我们发展了一种新的方法，基于量子化的方法，来研究不变量微分算子的高阶对称性。我们在这里集中在共形平坦流形上的拉普拉斯算子的共形不变幂，并恢复Eastwood，Leistner，Gover和Šilhan的结果。特别是，共形等变量子化建立了零测地流的哈密顿对称性代数与共形拉普拉斯算子的高阶对称性代数之间的对应关系。结合辛约化，这导致了共形群的最小幂零余伴随轨道的量子化。其正则函数代数的星变形与共形拉普拉斯算子的高阶对称代数同构。两者都认同约瑟夫理想对泛泛代数的商。
Conformally related vacuum gravitational waves, and their symmetries
本研究利用Möbius重定义时间构建特殊共形变换，实现真空引力波的两类转化，发现新的共形O(2,1)对称pp波，并详细分析了粒子在相关引力场中的三类运动行为。
Hidden symmetries from distortions of the conformal structure
在测地线运动的情况下，质量参数破坏了共形对称性。当考虑非零测地线时，适当的共形Killing矢量不再产生守恒电荷。我们研究如何引进的质量实际上是有关的外观适当的扭曲的共形部门，这导致新的守恒定律。作为一个突出的例子，我们使用一个一般的pp波度量，它利用这个属性的最大值。我们研究必要的几何条件，使这种类型的扭曲是适用的。我们表明，相对矢量是发电机的非形式变换，并证明其连接到高阶（隐藏）对称性。除了pp波几何，我们还提供了一个额外的例子的形式的德西特度规。同样，适当的共形Killing向量可以适当地变形，以产生质量测地线的守恒量。随后，我们继续通过引入一个额外的对称性破缺效应。后者是通过考虑一个Bogoslovsky型的线元，其中涉及一个洛伦兹违反参数来实现。我们再次利用pp波案例作为指导，研究如何用原始生成器的扭曲来取代对称性破缺--这次也与Killing矢量有关。我们进一步分析和讨论的必要几何条件，导致这些扭曲的出现。
Simple Space-Time Symmetries: Generalizing Conformal Field Theory
本文研究作用在具有G-不变整体因果结构的时空流形M=G/H上的简单时空对称群G。我们对（G，M）进行了分类，它们具有共形场论的下列附加性质：1）M中一点的稳定子群H是G的一个抛物子群的单位分量，这意味着因子分解H=MAN，其中M推广了洛伦兹变换、A变换和N个特殊共形变换。2)N中的特殊共形变换平凡地作用在时空流形M的切向量上。G是SU（m，m），SO（2，D），Sp（1，R），SO ~*（4 n）和E_7（-25）的泛覆盖，H是特殊极大抛物子群。他们符合组分数线性变换的Euklidean约旦代数的使用作为推广的闵可夫斯基时空主张Gunaydin。所有这些群G都有正能量表示。它也将表明，经典的共形群SO（2，D）是唯一允许的具有时间反射自同构的群;在所有其他情况下，时空具有内禀手征结构。
Conformal symmetries of the energy-momentum tensor of spherically symmetric static spacetimes
研究了一般球对称静态时空中能量动量张量的共形物质直射。当能量动量张量为非简并时，这些共形物质共线的一般形式被找到，并且独立共形物质共线的最大数目为\emph{fifteen}。在能量动量张量的简并情况下，发现这些共线有无限的自由度。在能量-动量简并的某些子情形下，Ricci张量是非简并的，即存在非简并的Ricci遗传共线。
Promoting finite to infinite symmetries: the 3+1-dimensional analogue of the Virasoro algebra and higher-spin fields
在这封信中明确提供了有限伪酉对称的无限放大。u（2，2）=so（4，2）+u（1）的特殊情况构成了3+1维共形对称的无限维推广，除了具有所有共形自旋的物质场之外。这些代数为更高维度的可积场模型提供了一个新的舞台;例如，高SO（4，2）-自旋场的反德西特和共形规范理论。一个非交换的空间几何解释的建议也概述。
On the Advancements of Conformal Transformations and their Associated Symmetries in Geometry and Theoretical Physics
共形变换和对称性的历史发展概述如下：他们的起源从球极射投影的地球，他们的开花在两个维度领域内的分析复杂的功能，一般的作用，转换的倒数半径在维度高于两个和他们的线性化方面的多球坐标的达布，外尔的尝试，以扩大广义相对论，有限维共形变换在经典场论中的缓慢兴起及其解释问题，然后自1970年左右以来，它们在量子场论及以后的渐近和结构问题中的接受迅速传播，直到目前的AdS/CFT猜想。本文的场合：一百年前贝特曼和坎宁安发现了电磁学麦克斯韦方程组关于共形时空变换的形式不变性。
Horizons and Geodesics of Black Ellipsoids with Anholonomic Conformal Symmetries
分析了由史瓦西度规的各向异性共形变换产生的静态位形的视界和测地线结构。我们构造了这种非对角真空度规的最大解析延拓，并得出结论：对于小变形，描述“黑椭球”物体的爱因斯坦方程有不同类别的真空解。这是可能的，因为在一般情况下，非对角度量变形非球对称性和相关的非完整框架的唯一性黑洞定理的条件不成立。
Symmetries of second-order PDEs and conformal Killing vectors
研究了一类二阶偏微分方程的Lie点对称性。这类方程自然地定义了二阶对称张量（度量）。在情况下的PDE是线性的一阶导数，我们表明，李点对称性的度量模的共形代数涉及的线性部分的PDE的约束。在这类重要的元素是克莱因-戈登方程和拉普拉斯方程。我们应用一般的结果，并确定这些方程的李点对称性在各种一般类的黎曼空间。最后研究了具有Lorenzian度量的黎曼空间中波动方程的II型隐对称.
Conformal compactification and cycle-preserving symmetries of spacetimes
在Cayley-Klein框架下，得到了9个二维常曲率实空间的保圈对称性.这种方法提供了一个统一的和全球性的研究共形结构的三个经典黎曼空间，以及六个相对论性和非相对论性时空（闵可夫斯基，德西特，反德西特，牛顿胡克和伽利略），并产生了一般表达式举行同时为所有这些。它们的度量结构和周期（包括测地线和圆的具有常测地曲率的线）被明确地表征。相应的循环（类高斯）李群及其代数的微分实现被推导出来;这个推导是新的，比通常的推导简单得多，并且适用于凯莱-克莱因家族中的任何齐性空间，无论是平坦的还是弯曲的，并且具有任何签名。构造了具有共形代数对称性的Laplace型和波动型微分方程。此外，共形群被实现为矩阵群作为全球定义的线性变换在一个四维的“共形环境空间”，这反过来又导致了一个明确的描述“共形完成”或紧化的九个空间。
Nonrelativistic conformal transformations in Lagrangian formalism
对应于$N$ -伽利略共形对称的共形变换，以前定义为相空间上的正则对称变换，被构造为坐标空间中的点变换。
From Conformal Group to Symmetries of Hypergeometric Type Equations
我们表明，超几何型方程的性质变得透明，如果他们来自适当的二阶常系数偏微分方程。特别是，我们推导出的超几何和Gegenbauer方程的对称性的4-和3-维拉普拉斯方程的共形对称。我们还从二维和一维热方程的所谓薛定谔对称性导出了合流方程和厄米方程的对称性。最后，我们还描述了如何属性的${}_0F_1$方程遵循的亥姆霍兹方程在2维。
Some remarks on conformal symmetries and Bartnik's splitting conjecture
受G. Galloway和C. Vega（参见arXiv：1712.00785），我们研究了具有紧致柯西超曲面的整体双曲时空上的类时共形Killing向量场的存在性的一些几何后果，特别是与所谓的Bartnik分裂猜想有关。特别地，我们给出了Galloway和Vega论文中主要定理的一个补充结果.
Noncommutative instantons from twisted conformal symmetries
在非对易四球$S_θ^4$上构造了一个拓扑荷为-1的规范非等价SU（2）瞬子的五参数族.这些瞬子是规范泛函的临界点，并且满足关于$S_θ^4$上形式的Hodge星算子的自对偶方程。它们是通过作用于与球面上的非对易瞬子丛正则相关的基本瞬子上的扭曲共形对称而获得的。通过指数定理得到了这个家庭的完备性参数。模空间的“切空间”的维度被计算为扭曲狄拉克算子的指数，结果等于5，这是一个能够经受变形的数字。
Relative Equilibria for Scaling Symmetries and Central Configurations
本文探讨了缩放对称性在辛几何框架下的作用，引入了共形辛映射和共形动量映射，推导了缩放对称性的相对平衡方程，并应用于牛顿n体问题。
"Kepler Harmonies" and conformal symmetries
本文证明Kepler重标度经Eisenhart-Duval提升到5维Bargmann引力波时空后成为时空对称性，并导出新的守恒Noether荷，可用于位力定理和Kepler第三定律。
Revisiting the symmetry-resolved entanglement for non-invertible symmetries in $1{+}1$d conformal field theories
本文重新审视1+1维CFT中非可逆对称分辨纠缠的已有计算框架，修正了边界对投影算符构造的影响，结合模型验证后发现结论与原提案存在分歧。
On Infinite-Dimensional Algebras of Symmetries of the Self-Dual Yang-Mills Equations
考虑了自对偶Yang-Mills方程的隐对称的无限维代数。利用扭量图讨论了最近引入的一个电流型对称代数和共形对称的仿射扩张。结果表明，自对偶Yang-Mills方程的扩展共形对称性可以用Ward扭量构造得到简单的描述.
New symmetry properties of pointlike scalar and Dirac particles
在存在电磁相互作用的黎曼和黎曼-嘉当时空中，发现了点状标量粒子和狄拉克粒子（希格斯玻色子和所有轻子）的新的对称性.本文得到任意n维黎曼（或黎曼-嘉当）时空中点状标量粒子的Klein-Gordon方程的厄米特形式。新的共形对称的初始和厄米特形式的这个方程被确定。在上述时空中，导出了广义Feshbach-Villars和Foldy-Wouthuysen表象中的一般哈密顿量。找到了保持这些哈密顿量的类共形变换，确定了相应的Dirac粒子的共形对称性。它被证明，所有的共形对称性保持不变的包含电磁相互作用。
Scaling Symmetries and Conformal Relative Equilibria on Poisson Manifolds, with Applications to Lie-Poisson Systems
研究了具有缩放对称性的哈密顿系统在精确皮亚诺 manifold 上的共形相对平衡，通过引入共形皮亚诺作用和共形动量映射，建立了一种扩展的哈密顿公式。在非退化情况下，恢复了最近为精确辛情况发展的条件。
Hidden symmetries of the Higgs oscillator and the conformal algebra
我们给出了一个解决长期存在的问题，构建量子希格斯振荡器的隐藏对称性的发电机，一个粒子的d-球在一个中心电位变化的反余弦平方的极角。这个超可积系统具有丰富的代数结构，包括隐藏的SU（d）对称性，可以从经典守恒量和量子谱的简并性推导出来。到目前为止，这个SU（d）的量子生成元还没有被构造出来，除了在d=2时，经典守恒量的朴素量子化导致了在对易关系中具有二次项的变形李代数。我们在这里得到的非定域生成元满足标准的su（d）李代数，它们的构造依赖于最近发现的共形代数的实现，其中包含一套完整的希格斯振子的升降算子。这种算符结构来自于反德西特时空中希格斯振子薛定谔方程和克莱因-戈登方程之间的关系。从这样的观点来看，隐对称生成元的构造归结为在抽象共形代数so（d，2）中的操作。
Generalized Symmetries of Massless Free Fields on Minkowski Space
本文对自旋$s \geq 1/2$的无质量自由场的广义或局部对称性进行了完整而明确的分类。在等价条件下，这些对称性包括共形对称性和它们的对称性，新的$2s$阶手征对称性，以及它们关于共形Killing矢量的Lie微分所得到的高阶扩展.特别是，结果产生一个完整的分类广义对称的Dirac-Weyl中微子方程，麦克斯韦方程组，和线性化的重力方程。
Intrinsic Conformal Symmetries in Szekeres models
我们发现，空间非均匀（SI）和无旋尘埃模型允许\emph{6-dimensional algebra }的\emph{Intrinsic Conformal Vector Fields}（ICVFs）$\mathbf{X}_{α}$满足$p_{a}^{c}p_{b}^{d}\mathcal{L}_{\mathbf{X}_{α}}p_{cd}=2ϕ(\mathbf{X}_{α})p_{ab}$其中$p_{ab}$是相关的度量的二维分布$\mathcal{X}$垂直于流体速度$u^{a}$和径向单位类空矢量场$x^{a}$。对于表征屏幕空间$\mathcal{X}$的结构的曲率值$ε$中的每一个，确定本征共形（IC）代数。此外，超曲面$\mathbf{u}=\mathbf{0}$的共形平坦性表明存在3d度量$h_{ab}$的ICVF的\emph{% 10-dimensional algebra}。我们说明了这一期望，并提出了一种方法来获得它们明确给出的\emph{7 proper} ICVF的Lema\^ıtre-Tolman-Bondi（LTB）模型，它代表了最简单的子类内的Szekeres家庭。
Time and dark matter from the conformal symmetries of Euclidean space
欧氏四维空间的共形群与其Weyl子群的商导致一个几何拥有相对论相空间的许多性质，包括自然辛形式和非退化的Killing度量。我们表明，通解possesses正交拉格朗日子流形，与诱导度量和自旋连接的子流形必然洛仑兹，尽管欧几里德开始点。通过考察双共形空间在一个与其相空间性质相适应的正交标架中的结构方程，我们还发现在这个几何中存在两个新的张量场，而这两个张量场在黎曼几何中是不存在的。第一个是Weyl向量与度量上的比例因子的组合，并确定子流形上的类时方向。第二个来自自旋联系的分量，关于新度规对称。虽然这个场来自自旋联系，但它均匀地变换。最后，我们证明了在没有共形曲率或源的情况下，位形空间具有与理想流体和宇宙学常数等价的几何项。
Multiple Schramm-Loewner evolutions for conformal field theories with Lie algebra symmetries
我们提供了多个Schramm-Loewner演化（SLEs）来描述具有李代数对称性的临界晶格模型中多个界面的标度极限。模型的临界行为由Wess-Zumino-Witten（WZW）模型描述。在李群和直线上引入多重布朗运动，构造了具有附加李代数对称性的多重SLE。通过WZW模型中的关联函数所满足的SLE鞅，可以理解所得到的SLE与WZW模型之间的联系。由于SLE迹之间的相互作用，这些布朗运动具有漂移项，该漂移项由相应WZW模型的配分函数确定。作为一个具体的例子，我们将该公式应用于su（2）k-WZW模型.利用模型中的融合规则，我们推测在配分函数和SLE迹的拓扑不等价配置之间存在一一对应。此外，通过求解Knizhnik-Zamolodchikov方程，我们精确地计算了三重SLE迹的某些配置的发生概率（即交叉概率）。
Conformal symmetries in the extremal process of two-dimensional discrete Gaussian Free Field
我们研究了正方形格点上离散高斯自由场的极值过程，阐明了在标度极限下共形对称性是如何表现出来的。具体地说，我们证明了有界域$D\subset\mathbb C$的格型中的极端局部极大值的空间位置（$x$）和中心值（$h$）的联合过程，当格间距趋于零时，收敛于具有强度测度$Z^D(dx)\otimes e^{-αh}d h$的Poisson点过程，其中$α$是常数，$Z^D$是随机变量. $D$上的有限测度随机措施$\{Z^D\}$自然是相互关联的;限制子域是由吉布斯-马尔可夫财产和图像下的分析双射$f$的变换规则$(Z^{f(D)}\circ f)(d x)\overset{\text{law}}=|f'(x)|^4\, Z^D(d x)$。给出了唯一确定这些测度的定律的条件。这些识别$Z^D$与临界刘维尔量子引力与连续高斯自由场。
Soliton surfaces associated with generalize symmetries of integrable equations
本文基于Fokas，Gel'fand等人的方法[15，16]，利用广义向量场的形式、它们的延拓结构以及与Fréchet导数的联系，给出了浸入李代数中的孤子曲面连续形变的对称性刻画.我们表达的必要和充分条件存在这样的表面在广义对称性的不变性准则，并确定额外的充分条件，承认一个明确的集成的浸入功能的二维表面在李代数。我们详细讨论了定义在Minkowski空间或欧氏空间上的$CP^{N-1}$西格玛模型的共形对称性所产生的$su(N)$值浸入函数。我们进一步表明，显式积分的充分条件，这样的浸入功能施加额外的限制，允许的共形对称的定义在闵可夫斯基空间的模型。另一方面，对于定义在欧氏空间上的$CP^{N-1}$西格玛模型的有限作用解的任意共形对称，充分条件是一致满足的.
Segal's contractions, AdS and conformal groups
对称性及其应用始终发挥了重要作用，即西格尔的工作。我将继续这一点，从他的正确证明（在李群水平）的物理学家所谓的“O 'Raifeartaigh定理”，继续他偶然介绍了1951年的（1953年）Inönü-维格纳收缩，其中通过从广告（SO（2，3））庞加莱是一个重要的例子，并与他的兴趣共形群体在上个世纪的后半部分。自60年代以来，Flato和我围绕这些主题与他进行了许多富有成效的互动。在最后一节中，我简明地将这些对对称性的兴趣与我们的几个兴趣联系起来，特别是基本粒子对称性和形变量子化，以及正在进行的将两者结合起来的计划。
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