Connectivity Bounds for the Vacant Set of Random Interlacements
最近在arXiv：0704.2560中引入了Z^d（d大于或等于3）上的随机交错的模型。非负参数u参数化Z^d上的随机交错的密度。在本说明中，我们研究了在非退化状态下，由水平u处的随机交织留下的空集的连通性，其中u大于空集渗流的非退化临界参数，参见arXiv：0704.2560，arXiv：0808.3344。我们证明了一个拉伸指数衰减的连通性函数的空集在水平u，当u大于其他关键参数。这两个关键参数是否实际上一致，目前仍是一个悬而未决的问题。
2009-08-17 math-ph math.MP math.PR
Percolation for the Finitary Random interlacements
本文证明了有限随机交织$\mathcal{FI}^{u,T}$在$\mathbb{Z}^d$中的连通性关于平均停时的相变。对于每个$u>0$，概率为一个$\mathcal{FI}^{u,T}$对于所有足够小的$T>0$没有无限连通分量，并且对于所有足够大的$T<\infty$有唯一的无限连通分量。这回答了Bowen在$\mathbb{Z}^d$的特殊情况下提出的一个问题。
2020-10-12 math.PR
Sharp connectivity bounds for the vacant set of random interlacements
Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）；University of Cambridge（剑桥大学）；Imperial College London（帝国理工学院）
研究三维及以上空间中随机交织空置集在强度u下的渗流，推导截断两点函数的下界，在三维及高维非临界情形达到指数阶最优，并揭示临界标度极限的欧几里得不变性。
2026-06-16 math-ph math.MP math.PR
Strong local uniqueness for the vacant set of random interlacements
本文研究 Z^d 上随机交织空余集的渗流相变，引入并证明强局部唯一性性质 SLU，从而在 u<u_* 的超临界相建立相变尖锐性，并为无穷簇几何与重整化提供关键判据。
2025-10-20 math-ph math.MP math.PR
Finite range interlacements and couplings
本文通过发展耦合方法，证明有限程随机交织集在大尺度上能以高概率逼近标准随机交织集，并揭示其在临界点附近的去固化机制，为后续渗流相变研究提供关键工具。
2023-08-14 math-ph math.MP math.PR
Vertex Degree of Random Intersection Graph
通过独立地将给定对象集$W,$的子集分配给单图$G.$的顶点集$V$的每个顶点来构造随机交图。在$V,$的两个顶点之间存在边当且仅当它们各自的子集（在$W$中）具有至少一个公共元素。导出了顶点集$V,$中任意两个顶点连通的强阈值。并给出了图$G.$的典型顶点的度的几乎必然概率界
2008-09-06 math.PR
On the strengths of connectivity and robustness in general random intersection graphs
随机交图在近二十年来受到了广泛的关注，目前在无线传感器网络的密钥预分配和社交网络建模等方面有着广泛的应用。本文研究了一般随机交图模型的连通性和鲁棒性。具体地说，我们建立了尖锐的渐近0 - 1法律的$k$ -连接和$k$ -鲁棒性，以及渐近精确概率的$k$ -连接，任何正整数$k$。$k$ -连通性属性量化了图的连通性对节点或边故障的弹性。另一方面，$k$ -鲁棒性度量了在存在行为不端节点的情况下在图上传播信息的局部扩散策略（不使用全局图拓扑信息）的有效性。除了给出一般随机交图模型下的结果外，我们还考虑了一般模型的两种特殊情况，即二项式随机交图和均匀随机交图，这两种情况也有许多应用。对于这两个特殊的图，我们的结果的渐近精确概率的$k$ -连通性和渐近0 - 1法律的$k$ -鲁棒性也是新的文献。
2014-09-21 cs.DM cs.SI math.CO
On $k$-connectivity and minimum vertex degree in random $s$-intersection graphs
随机$s$ -交图最近在广泛的应用领域引起了人们的兴趣。一般来说，随机$s$ -交图的构造是首先以某种随机方式为每个顶点分配一组项，然后在至少共享$s$项的所有顶点对之间放置一条无向边（当$s=1$时，该图称为随机交图）.特别感兴趣的特殊情况是均匀随机$s$ -交图，其中每个顶点独立地从公共项池中均匀随机地选择相同数量的项。另一个重要的情况是二项随机$s$ -交图，其中池中的每个项都以相同的概率独立地分配给每个顶点。这两个模型已经发现了许多应用，迄今为止，包括密码分析和推荐系统，安全传感器网络，在线社交网络，信任网络和小世界网络（均匀随机$s$ -交图）的建模，以及聚类分析，分类和集成电路的设计（二项式随机$s$ -交图）。本文对二项/均匀随机$s$ -交图，给出了与$k$ -连通度和最小顶点度有关的结果.具体地说，我们得到了以下三个性质的渐近精确概率和0 - 1定律：（i）$k$ -顶点连通性，（ii）$k$ -边连通性和（iii）最小顶点度至少为$k$的性质.
2014-11-18 cs.DM cs.SI math.CO
Percolation and Connectivity in AB Random Geometric Graphs
给定$R^d$中两个独立的Poisson点过程$Φ^{(1)},Φ^{(2)}$，连续AB渗流模型是以$Φ^{(1)}$中的点为顶点，且以这些点为中心的半径为$2r$的球的交点至少包含$Φ^{(2)}$中的一个点的任何一对点之间具有边的图.这是离散格子上的$AB$渗流模型的推广。我们证明了所有$d > 1$的渗流的存在，并推导出临界强度的界限。我们还提供了一个表征这个临界强度时，$d = 2$。为了研究连通性问题，我们考虑了单位立方体中强度$n$和$cn$的独立泊松点过程。$AB$随机几何图如上定义，但具有半径为$r$的球。我们推导出最大最近邻距离的弱律结果和连通性阈值的几乎必然渐近界。
2010-12-17 math.PR
On connectivity in a general random intersection graph
一般随机交图的研究越来越受到人们的关注。本文考虑定义在由$n$顶点组成的集合$\mathcal{V}_n$上的一般随机交图$\mathbb{G}(n,\overrightarrow{a}, \overrightarrow{K_n},P_n)$，其中$\overrightarrow{a}$是概率向量$(a_1,a_2,\ldots,a_m)$，$\overrightarrow{K_n}$是$(K_{1,n},K_{2,n},\ldots,K_{m,n})$ .该图已在文献中进行了研究，包括最近的Yaeanan [arXiv：1508.02407]的工作。假设存在由$P_n$不同对象组成的池$\mathcal{P}_n$。$\mathcal{V}_n$中的$n$顶点被划分为$m$组$\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots, \mathcal{A}_m$。每个顶点$v$根据概率分布被独立地精确地分配给一个组，其中$\mathbb{P}[v \in \mathcal{A}_i]= a_i$为$i=1,2,\ldots,m$。之后，组$\mathcal{A}_i$中的每个顶点从对象池$\mathcal{P}_n$中均匀随机地独立选择$K_{i,n}$对象。最后，在$\mathcal{V}_n$中共享至少一个对象的两个顶点之间绘制无向边。该图模型$\mathb…
2015-08-17 cs.DM cs.SI math.PR
On Connectivity Thresholds in the Intersection of Random Key Graphs on Random Geometric Graphs
在$n$节点的随机密钥图（RKG）中，每个节点被随机分配来自$P_n$密钥池的$K_n$密码密钥的密钥环。如果两个节点在它们的密钥环中至少有一个公共密钥，则它们可以直接通信。我们假设$n$节点均匀分布在$[0,1]^2.$中。除了公共密钥要求之外，我们还要求两个节点也在彼此的$r_n$内，以便能够具有直接边。因此，我们有一个随机图，其中RKG是叠加在熟悉的随机几何图（RGG）。对于这样一个随机图，我们得到了使图渐近几乎必然连通的$K_n,$ $P_n$和$r_n$之间关系的紧界.
2013-05-01 cs.IT math.CO math.IT
The coupling method for inhomogeneous random intersection graphs
我们提出了新的结果门限函数的一个广泛的家庭的随机交图。为此，我们采用耦合方法用于建立门限函数的均匀随机交图介绍了Karobranski，Scheinerman，和辛格-科恩。在非齐次随机交图的情况下，该方法有相当大的修改和扩展。通过改变的方法，我们能够建立门限函数的一般随机交图等性质的$k$ -连通性，匹配包含或哈密顿。此外，使用新的方法，我们设法锐化齐次随机交图的最佳已知结果。
2015-01-10 math.CO math.PR
Connectivity of random hypergraphs with a given hyperedge size distribution
本文研究超边大小分布为重尾且允许超大边的随机超图，证明其连通性阈值主要由平均超边大小决定，对分布形状和高阶矩不敏感，并将结果推广到随机交集图模型。
2024-06-03 math.CO math.PR
The cover time of a sparse random intersection graph
许多已知的网络具有附属网络的结构，其中$n$网络的每个节点（参与者）从给定的$m$属性集合中选择属性集合，并且两个节点（参与者）在它们共享公共属性时建立邻接关系。我们研究这种网络上的随机游动的行为。为此，我们使用这种网络的常用模型--随机交图。本文建立了二项随机交图${\cal G}(n,m,p)$上的简单随机游动在连通度阈值及以上的覆盖时间，并考虑了$n,m,p$的范围，其中典型属性由（随机）有界的参与者共享.
2020-08-27 math.CO math.PR
$k$-connectivity of inhomogeneous random key graphs with unreliable links
我们认为，在无线传感器网络中，利用异构随机密钥预分配方案的安全和可靠的连接。我们通过一个开关信道模型来模拟无线链路的不可靠性，该模型产生了一个Erdens-Rényi图，而异构方案产生了一个非均匀的随机密钥图。因此，整个网络可以通过两个图的交集来建模。我们提出了关于如何缩放交叉模型的参数的条件（以0 - 1定律的形式），使得具有高概率i）其所有节点连接到至少$k$其他节点;即，该图的最小节点度不小于$k$，以及ii）该图是$k$ -连通的，即，即使任何$k-1$节点离开网络，图也保持连接。我们还提出了数值结果来支持这些条件的有限节点制度。我们的结果是补充和推广文献中的一些以前的工作。
2016-10-24 cs.CR cs.NI math.PR
Degenerate random environments
我们考虑某些独立同分布的连通性。$\Z^d$上的随机环境，其中在每个位置，某些步骤可能不可用。场地渗流和定向渗流可以看作是我们所考虑的模型的特殊情况。在这类模型中，最常被研究的量之一是从原点沿着连通路径可以到达的（随机）顶点集。更一般地说，对于我们考虑的模型，多种不同类型的连通性是有意义的，包括：从原点可以到达的顶点集;从原点可以到达的顶点集;两者的交集。与渗流模型一样，我们考虑的许多模型都承认或预期承认相变。本文的主要结果之一是证明了一些二维模型的相变是非单调的，在其基础参数的存在性，和改进的边界上的定向网站渗流的临界值的三角形晶格。随机有向图的连通性为理解这些随机环境中的随机游动的渐近性质提供了基础，我们将在第二篇论文中对此进行研究。
2012-05-10 math.PR
k-Connectivity in Random Key Graphs with Unreliable Links
随机密钥图是一类随机交图，是由用于无线传感器网络（WSN）安全通信的随机密钥预分配方案自然导出的。随机密钥图最近受到了很大的关注，部分原因是它们在各种领域中的广泛适用性，包括推荐系统、社交网络、安全传感器网络、聚类和分类分析以及密码分析等等。本文研究了存在不可靠链路时随机密钥图的连通性。边缘的不可靠性由独立的伯努利随机变量捕获，使得图的边缘彼此独立地打开或关闭。所得到的模型是随机密钥图和Erdos-Renyi图的交集，并且预计在捕获各种真实世界的网络时是有用的;例如，考虑到安全的WSN应用，链路不可靠性可归因于严重损害传输的恶劣环境条件。我们提出了如何缩放该模型参数的条件，以便i）图中的最小节点度至少为k，ii）图是k-连通的，随着节点数量的增加，两者都具有很高的概率。结果给出的形式与临界阈值确定的零一法律，并示出符合这两个图形属性。这些发现改进了Rybarczyk先前关于随机密钥图（具有可靠链接）的k-连通性的结果，以及Yagan关于具有不可靠链接的随机密钥图的1-连通性的零一定律。
2019-11-02 cs.IT math.CO math.IT
Zero-one laws for connectivity in inhomogeneous random key graphs
我们提出了一种新的随机密钥预分配方案来保护异构无线传感器网络的安全。网络中的n个传感器中的每一个根据某个概率分布μ = {μ_1，. . .，μ_r }。在部署之前，为第i类传感器分配K_i个加密密钥，这些密钥是从P个密钥的公共池中随机均匀选择的。一旦部署，一对传感器可以安全地通信，当且仅当它们有一个共同的密钥。我们通过一个新定义的非齐次随机密钥图来模拟该网络的通信拓扑。我们建立了关于参数P和{K_1，. . .，K_r }，使得该图i）没有孤立节点;并且ii）是连通的，两者都具有高概率。结果给出的形式与传感器的数量n增长无限大的零-一定律，确定临界缩放，并显示出符合这两个图形属性。我们的结果是对Godehartt等人和Zhao等人关于同一模型（本文称为一般随机交图）的结果的补充和改进。
2015-08-10 cs.IT math.IT math.PR
Monotone Increasing Properties and Their Phase Transitions in Uniform Random Intersection Graphs
均匀随机交图已经引起了广泛的兴趣，并在各种应用中得到了广泛的应用。具有$n$节点的均匀随机交叉图被构造如下：每个节点从相同的$n$不同项目池中均匀随机地选择一组$K_n$不同项目，并且两个节点在它们之间建立无向边当且仅当它们共享至少一个项目。对于用$G(n, K_n, P_n)$表示的图，本文给出了如下结果.首先，我们提供了一个精确的概率$G(n, K_n, P_n)$有一个完美的匹配和有一个Hamilton圈，分别在$P_n = ω\big(n (\ln n)^5\big)$（所有渐近符号理解与$n \to \infty$）。分析表明，就像（$k$ -）的连接性在以前的工作中所示，完美匹配的包容性和汉密尔顿循环包容的属性，$G(n, K_n, P_n)$也表现出相变：对于上述每一个属性，随着$K_n$的增加，概率的极限，$G(n, K_n, P_n)$有$0$到$1$增加。其次，我们分别计算了$G(n, K_n, P_n)$在$k$ -连通性（KC）、完全匹配包容性（PMC）和Hamilton圈包容性（HCC）下的相变宽度。对于图属性$R$和正常数$a < \frac{1}{2}$，其中相变宽度$d_n(R, a)$定义为最小$K_n$之间的差，确保$G(n, K_n, P_n)$具有属性$R$，概率至少为$1-a$或$a$，我们针对任何正常数$a<\frac{1}{2}$和$k…
2015-02-02 cs.DM cs.SI math.CO
Towards $k$-connectivity of the random graph induced by a pairwise key predistribution scheme with unreliable links
研究了无线传感器网络的安全可靠连接问题。安全性被假定为确保由随机成对密钥预分配方案的Chan，Perrig，和宋，和不可靠的无线链路表示由独立的开/关信道。通过一个随机$K$ -out图和一个Erdens-Rényi图的交集对网络进行建模，我们提出了缩放条件（关于节点数、方案参数$K$和无线信道开启的概率），使得当节点数变大时，所得到的图不包含度小于$k$的节点。结果以零-一定律的形式给出，并改进了Yaerian和Makowski关于不存在孤立节点的先前结果（即，不存在度为零的节点）。通过模拟，所建立的0 - 1定律被示出也适用于$k$ -连通性的性质;即，尽管删除了任何$k-1$节点或边，图仍保持连通的属性。
2014-04-19 cs.CR cs.DM cs.IT
Thresholds for vanishing of `Isolated' faces in random Čech and Vietoris-Rips complexes
研究了两种随机几何复形模型的组合连通性。这两个模型- Čech和Vietoris-Rips复合物-是建立在一个均匀的泊松点过程的强度$n$上的$d$维环面使用球的半径$r_n$。在前者中，$k$ -单形/面由$(k+1)$泊松点的子集形成，使得以这些点为中心的半径为$r_n$的球相互相交，而在后者中，我们只需要球的成对相交。给定一个（单纯）复形（即，所有$k \geq 1$的$k$ -单形的集合），我们可以通过$(k+1)$ -单形（“上连接”）或通过$(k-1)$ -单形（“下连接”）连接$k$ -单形。我们的兴趣是了解这两个组合概念的连接随机Čech和Vietoris-Rips复合物渐近为$n \to \infty$。特别是，我们详细分析了阈值半径消失的孤立$k$ -面对向上和向下连接的两种类型的随机几何复合物。虽然它是预期的阈值半径$r_n = Θ((\frac{\log n}{n})^{1/d})$在粗糙的规模，我们的结果给出了更严格的界限上的常数在对数尺度上，以及阐明可能的二阶校正因子。此外，他们还揭示了有趣的差异，在捷克和Vietoris-Rips情况下的相变。分析是有趣的，由于孤立的$k$ -面（作为半径的函数）的数量的非单调性，并导致人们考虑孤立的$k$ -面的“单调”消失。后者在粗略尺度上与上述消失阈值一致（即，$\log n$标度），但在上行连接情况下，Čech…
2018-02-22 math.CO math.PR
A curious gap in one-dimensional geometric random graphs between connectivity and the absence of isolated node
一维几何随机图是通过在单位间隔上均匀且独立地分布$n$节点，然后在具有至多$r_n$的距离的任何两个节点之间分配无向边来构造的。这些图已经收到了很大的兴趣，并被用于各种应用，包括无线网络。用于连接性的$r_n$的阈值在文献中被称为$r_n^{*} = \frac{\ln n}{n}$。在本文中，我们证明了不存在孤立节点的$r_n$的阈值是$\frac{\ln n}{2 n}$（即，阈值$r_n^{*}$的一半）。我们的结果表明，在一维几何随机图中，连通性阈值和孤立节点的不存在之间存在一个奇怪的差距;特别是，当$r_n$等于$\frac{c\ln n}{ n}$时，对于常数$c \in( \frac{1}{2}, 1)$，一维几何随机图没有孤立节点，但不连通。一维几何随机图中的这个奇怪的间隙与许多其他随机图中的普遍现象形成鲜明对比，如二维几何随机图、Erdens-Rényi图和随机相交图，所有这些图在渐近意义上只要没有孤立节点就变得连通。
2015-02-19 cs.DM cs.SI math.CO
Secure Connectivity of Heterogeneous Wireless Sensor Networks Under a Heterogeneous On-Off Channel Model
在本文中，我们研究了无线传感器网络的安全连接利用异构随机密钥预分配方案，其中每个传感器节点被分类为类$i$与概率$μ_i$的$i=1,\ldots,r$与$μ_i>0$和$\sum_{i=1}^r μ_i=1$。类$i$传感器被给予从大小为$P$的密钥池中随机均匀选择的$K_i$加密密钥。在部署之后，如果两个节点共享至少一个加密密钥，则它们可以安全地通信。我们使用异构开关信道模型来考虑网络的无线连接性，其中$i$类节点和$j$类节点之间的信道以概率$α_{ij}$（分别为$1-α_{ij}$）打开（分别为$1-α_{ij}$）用于$i,j=1,\ldots,r$。总的来说，两个传感器节点是相邻的，如果他们i）共享一个加密密钥和ii）之间有一个无线信道，这是on. We模型的整体网络使用的复合随机图的交叉非齐次随机密钥图（IRKG）$\mathbb{K}(n;\pmbμ,\pmb{K},P)$与非齐次Erdens-Rényi图（IERG）$\mathbb{G}(n;\pmbμ, \pmbα)$。前一个图是由异构随机密钥预分配方案自然诱导的，而后者是由异构开关信道模型诱导的。更具体地，如果两个节点i）在IRKG中相邻，则它们在复合图中相邻，即，共享密码密钥，以及ii）在IERG中相邻，即，有一个可用的无线信道。我们研究了复合随机图的连通性，并给出了如何缩放其参数的条件（以0 - 1定律…
2019-08-20 cs.IT eess.SP math.CO
