Tate curves and UHF-algebras
Igor Nikolaev
证明了Tate曲线的扭曲齐次坐标环的自伴随表示的范数闭包（的稳定化）包含UHF-代数的一个拷贝.
It is proved that (a stabilization of) the norm-closure of a self- adjoint representation of the twisted homogeneous coordinate ring of a Tate curve contains a copy of the UHF-algebra.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Tate-Shafarevich groups of constant elliptic curves and isogeny volcanos
利用有限域上椭圆曲线的等距图的火山结构，刻画了函数域上常数椭圆曲线的Tate-Shafarevich群的结构.
An oft cited letter from Tate to Serre on computing local heights on elliptic curves
1979年John Tate写给Jean-Pierre Serre的一封信，作者在信中描述了一种计算椭圆曲线局部高的高效优雅算法。
Perfectoid Tate Curve
证明了Abel Jacobi定理和Reimann Roch定理的完美形式，并构造了完美椭圆曲线.定义了一个完全泰特曲线，并通过一个Čech复形计算了它的上同调。此外，还定义了拟完全θ函数和Weierstravel级数，并给出了相应的解释.
Orders of Tate-Shafarevich groups for the Neumann-Setzer type elliptic curves
本文给出了Neumann-Setzer型椭圆曲线的Tate-Shafarevich群的阶的研究结果。
An elementary proof of the Mazur-Tate-Teitelbaum conjecture for elliptic curves
利用Kato元给出了椭圆曲线Mazur-Tate-Teitelbaum猜想的初等证明。
The Cassels-Tate pairing on 2-Selmer groups of elliptic curves
我们使用Poonen和Stoll给出的Albanese-Albanese配对定义，显式计算了椭圆曲线的2-Selmer群上的Cassels-Tate配对。这导致了一个新的证明，Cassels定义的配对上的2-Selmer群的椭圆曲线同意的Cassels-Tate配对。
The Sato--Tate Distribution in Families of Elliptic Curves with a Rational Parameter of Bounded Height
本文得到了关于有理参数为有界高度的椭圆曲线参数族上Frobenius角分布的Sato-Tate猜想的新结果。
The Sato-Tate conjecture for a Picard curve with Complex Multiplication
设C/Q为仿射模型y^3=x^4-x给出的亏格为3的Picard曲线。本文计算了C的Sato-Tate群，证明了C的广义Sato-Tate猜想，并计算了C的归一化局部因子的极限分布的统计矩.
The twisting Sato-Tate group of the curve $y^2 = x^{8} - 14x^4 + 1$
我们确定扭曲Sato-Tate群的属$3$超椭圆曲线$y^2 = x^{8} - 14x^4 + 1$，并表明，所有可能的扭曲Sato-Tate群的子群出现作为Sato-Tate群的显式扭曲$y^2 = x^{8} - 14x^4 + 1$。进一步证明了曲线$y^2 = x^{8} - 14x^4 + 1$的所有$\mathbb Q$ -twist的Jacobian的广义Sato-Tate猜想。
On the vanishing of almost all primary components of the Shafarevich-Tate group of elliptic curves over the rationals
Shafarevich-Tate和Selmer群是在椭圆曲线的Kummer理论的背景下出现的。关于有理数域上椭圆曲线$E$的Shafarevich-Tate群的有限性，Birch和Swinnerton-Dyer定理都包含了这一问题，至今仍是一个未解决的问题.本文在Galois上同调的框架下，对椭圆曲线的Shafarevich-Tate群和Selmer群进行了研究.提到了Shafarevich-Tate群的有限性的已知结果，包括Coates和Wiles，Rubin，Gross和Zagier以及Kolyvagin的结果。然后，我们证明了消失的$\ell$ -主要成分的Shafarevich-Tate群几乎所有的素数$\ell$，任何椭圆曲线$E$的有理数没有复乘。
Non-trivial Shafarevich-Tate Groups of Elliptic Curves
我们用Mordell-Weil群刻画了$y^2=x(x-a^2)(x+b^2)$的二次扭曲，并且在一定条件下，Shafarevich-Tate群的$2$ -准素部分同构于$(\mathb Z/2\mathbb Z)^2$.我们还得到了这些椭圆曲线的分布结果。
On Effective Sato-Tate Distributions for Surfaces Arising from Products of Elliptic Curves
本文证明了两族由椭圆曲线乘积产生的曲面（单参数K3曲面和双二次曲面）的Sato-Tate分布，并给出无条件有效误差界，同时完善了Thorner关于联合Sato-Tate分布的工作。
Improved Weil and Tate pairings for elliptic and hyperelliptic curves
本文给出了计算椭圆曲线上的Weil和Tate对的平方以及超椭圆曲线上的Tate对的平方的算法。本文介绍的平方配对的优点是，我们的算法来评估它们是确定性的，不依赖于一个随机选择的点。我们的配对比通常的配对节省约20-30%。
On Tate-Shafarevich groups of some elliptic curves
这是ANT-0166的更新版本。推广Stroeker和Top的结果，我们证明了椭圆曲线$y^2 = (x+k)(x^2+k^2)$的Tate-Shafarevich群的2-秩可以变得任意大.我们还提出了一个猜想的秩Selmer群附加到有理2-等距的椭圆曲线。
On the anticyclotomic Mazur-Tate conjecture for elliptic curves with supersingular reduction
该短注针对具有超奇异约化的椭圆曲线，研究其Selmer群Fitting理想相关的Mazur-Tate“弱”主猜想的反分圆类似问题。
Pseudorandomness of Sato-Tate Distributions for Elliptic Curves
在本文中，我们提出的断言，一个给定的椭圆曲线的Frobenius角序列的$\mathbf{Q}$没有复乘是伪随机的，换句话说，Frobenius角是统计独立分布的Sato-Tate措施。给出了数值证据来支持这些结论。
Structure of Tate-Shafarevich groups of elliptic curves over global function fields
确定了整体函数域上一类椭圆曲线的Tate-Shafarevich群的结构.从专著[1]中已知这些是有限的阿贝尔群，因此它们是有限的循环群的直和，其中这些循环分量的阶是Tate-Shafarevich群的不变量。这种分解的泰特-Shafarevich群直接和有限循环群取决于行为的Drinfeld-Heegner点对这些椭圆曲线。这些点类似于有理数上椭圆曲线上的Heegner点。
Tate Safarevich groups of elliptic curves with complex multiplication
我们证明了${\Bbb Q}_p/{\Bbb Z}_p$在${\Bbb Q}$上具有复数乘法的椭圆曲线$E$的Tate-Shafarevich群中的拷贝数至多为$2p - g$，其中$g$是$E({\Bbb Q})$的秩，并且对于所有足够大的好的普通素数$p$。
Tate-Shafarevich groups of elliptic curves with nontrivial 2-torsion subgroups
对任意数域，证明了存在定义在其上的椭圆曲线，使得其Shafarevich-Tate群具有非平凡的2-挠子群.
The Sato-Tate Distribution in Thin Parametric Families of Elliptic Curves
我们得到了关于单参数和双参数椭圆曲线族上Frobenius迹分布的Sato-Tate猜想的新结果。我们认为这些曲线的参数值具有规定的算术结构：产品集，等比数列，最显着的素数。特别是，有些家庭比以前研究的家庭要薄得多。
Surjectivity of $p$-adic regulator on $K_2$ of Tate curves
证明了当基域包含在$Q_p$的分圆扩张中时，从Tate曲线的Quillen $K_2$到$p$-adic上同调群的$p$-adic调节子的满射性.这意味着由于Suslin的确切序列Tate曲线的$K_1$的扭转部分的有限性。
Special values of L-functions and false Tate curve extensions II
在本文中，我们展示了如何可以结合的p-adic Rankin-Selberg产品的建设Hida和自由度的结果Hecke模的Wiles建立有趣的同余之间的特殊值的L函数。这些同余是一些深层的代数同余的一部分，这些同余来自加藤关于非对易岩泽理论的伪泰特曲线延拓的工作。
Computing the Cassels-Tate pairing on the 3-Selmer group of an elliptic curve
本文将计算椭圆曲线的2-Selmer群上Cassels-Tate配对的Cassels方法推广到3-Selmer群上.这需要对计算的局部和全局部分进行重大修改。我们的方法是实用的，在足够小的例子，并可用于提高上限的椭圆曲线的秩由3-下降。
Congruences between Ramanujan's tau function and elliptic curves, and Mazur--Tate elements at additive primes
证明了若$E/\mathbb{Q}$是一条椭圆曲线，且对$p=2$或$3$具有有理$p$ -挠率，则Ramanujan的tau函数与$E$模$p$之间存在同余关系.我们利用这样的同余计算Iwasawa不变量的$2$ -进和$3$ -进Mazur-泰特元素附加到Ramanujan的tau函数。我们还数值研究了附加到椭圆曲线上的Mazur-Tate元的Iwasawa不变量，该椭圆曲线在固定素数处具有加性约化。
Congruent Elliptic Curves with Non-trivial Shafarevich-Tate Groups
研究了一类全等椭圆曲线$E^{(n)}: y^2=x^3-n^2x$，其中$n$是全等于$1\pmod 8$且素因子全等于$1\pmod 4$的正整数.我们刻画了这样的$E^{(n)}$与Mordell-Weil秩零和$2$ -主要部分的Shafarevich-Tate群同构的$\big(\mathbb Z/2\mathbb Z \big)^2$。我们还讨论了一类具有Shafarevich-Tate群的2-准素部分的$E^{(n)}$同构于具有$k\ge2$的$\big(\mathbb Z/2\mathbb Z \big)^{2k}$.
On the generalised Tate conjecture for products of elliptic curves over finite fields
本文通过对M的一个自变量稍加修改，证明了有限域上椭圆曲线乘积的H^3的广义Tate猜想。关于泰特猜想的间谍。当椭圆曲线至多在3个等距类之间运行时，我们充分证明了这一点。我们还展示了从H^4开始，对于3个以上的Islam类，事情是如何变得更加复杂的。
Relating Tate-Shafarevich group of an elliptic curve with class group
给出了${\mathbb Q}$上的椭圆曲线$E$的Tate-Shafarevich群与${\mathbb Z}/p$上的$Gal({\mathbb Q}(E[p]/{\mathbb Q}) = GL_2({\mathbb Z}/p)$在其上按标准二维表示运算的${\mathbb Q}(E[p])$的类群的商之间的精确关系.我们在大多数情况下都建立了这样的关系。
On the cohomology of the Lubin-Tate curve of level 2 and the Lusztig theory over finite rings
有限环上的Lubin-Tate曲线的稳定约化中仿射曲线$(X^{q^2}-X)^{q-1}=(Y^{q(q+1)}-Y^{q+1})^{q-1},$的光滑紧化是由不可约分支构成的一个上同调群$W$，它与Lusztig理论有关.本文研究了上同调群$W$与Lusztig理论之间的关系。
Visible 2-torsion in the Tate-Shafarevich group of an elliptic curve
本文证明椭圆曲线的Tate-Shafarevich群中任意两个2-挠元可在同一阿贝尔曲面中可见，推广了先前仅知单个2-挠元的结果，并解释了Cremona和Mazur论文中的一些原始观察。
Stable models of Lubin-Tate curves with level three
本文构造了一个三层Lubin-Tate曲线的稳定形式模型，并研究了Weil群和除代数在其稳定约化中的作用.进一步，我们研究了Lubin-Tate曲线的上同调结构。我们的研究是纯局部的，包括局部域的剩余域的特征为2的情况。
The Tate-Voloch Conjecture in a Power of a Modular Curve
设$p$为素数。Tate和Voloch证明了代数环面上的有穷级点不可能是$p$ -adically太靠近一个不动子簇而不落在它上面.目前的工作是由半阿贝尔簇上的挠点和Shimura簇上的特殊点或CM点之间的类比激发的.我们证明了Tate和Voloch关于模曲线Y（1）的幂的类似结果，即用对应于椭圆曲线与复乘和普通归约的乘积的点代替扭点.此外，我们还证明了关于普通约化的假设是必要的。
Behaviour of the order of Tate-Shafarevich groups for the quadratic twists of elliptic curves
本文给出了关于椭圆曲线二次扭转的Tate-Shafarevich群的阶的研究结果。给出了一个一般猜想，对$\Bbb Q$上的固定椭圆曲线$E$和正整数$k$，在有限群$E_d(\Bbb Q)$和$|\Sha(E_d(\Bbb Q))| = k^2$的情况下，给出了小于$X$的二次扭曲数$E_d$，$d$的渐近公式.本文继续了作者以前关于Tate-Shafarevich群在曲线$X_0(49)$的二次扭中的阶的研究。在第8节中，我们展示了具有$|\Sha(E)| > 63408^2$的秩为零的椭圆曲线的$88$示例，这是之前已知的任何显式曲线的最大值。我们的记录是一个椭圆曲线$E$与$|\Sha(E)| = 1029212^2$。
Congruent Elliptic Curves with Non-trivial Shafarevich-Tate Groups: Distribution Part
研究了一类子类全等椭圆曲线$E^{(n)}: y^2=x^3-n^2x$的分布，其中$n$全等于$1\pmod 8$且素因子全等于$1\pmod 4$ .我们证明了剩余符号性质的独立性。因此，我们得到了秩为零的分布，如$E^{(n)}$与$2$ -主要部分的Shafarevich-Tate群同构的$\big(\mathbb Z /2\mathbb Z\big)^2$。我们还得到了秩为零的$E^{(n)}$和同构于$\big(\mathbb Z /2\mathbb Z\big)^{4}$的Shafarevich-Tate群的$2$ -准素部分的个数的一个下界.
Tate-Shafarevich Groups and Frobenius Fields of Reductions of Elliptic Curves
设$\E/\Q$是$\Q$上的固定椭圆曲线，它不具有复乘。在广义黎曼假设下，A. C. Cojocaru和W. Duke等得到了素数$p\le x$个数的渐近公式，使得$\E$模p的约化有平凡的Tate-Shafarevich群. A.最近的研究结果C. Cojocaru和C.大卫导致一个更好的错误项。我们在证明方案中引入了一个新的论点，使证明方案得到了进一步的改进。
On Shafarevich-Tate groups and the arithmetic of Fermat Curves
本文推广了第一作者关于素数阶费马曲线商的雅可比行列式的Shafarevich-Tate群中的非平凡元素的结果，并利用第二作者的方法导出了19阶费马曲线上二次点的一个结果。
Lang-Trotter and Sato-Tate Distributions in Single and Double Parametric Families of Elliptic Curves
我们得到了单参数和双参数椭圆曲线族上关于Frobenius迹和Frobenius场的Lang-Trotter猜想的新结果.对于Sato-Tate猜想，我们也得到了类似的结果.特别地，我们改进了A.C. Cojocaru和第二作者（2008）对多项式参数化椭圆曲线族的Lang-Trotter猜想的平均值，当参数穿过一组有界高度的有理数时。我们考虑的一些家庭比以前研究的家庭要薄得多。
Sato--Tate, cyclicity, and divisibility statistics on average for elliptic curves of small height
我们得到了素数$p\le x$的数量的渐近公式，对于这些素数，椭圆曲线$$ \E_{a,b} : Y^2 = X^3 + aX + b $$的约化模$p$满足某些"自然“性质，平均在整数$a$和$b$上，具有$|a|\le A$和$|b| \le B$，其中$A$和$B$相对于$x$是小的。具体而言，我们调查行为相对于佐藤-泰特猜想，循环性，整除的点数由一个固定的整数$m$。
Murmurations and Sato-Tate Conjectures for High Rank Zetas of Elliptic Curves
本研究将有理数域上椭圆曲线的Sato-Tate猜想与murmuration现象从阿贝尔Hasse-Weil Zeta函数推广至其p约化的非阿贝尔高秩Zeta函数，证明二者在该场景下同样成立。
Periods of generalized Tate curves
广义Tate曲线是一类具有固定亏格和退化数据的泛曲线族，通过特殊化模和变形参数，它可以成为Schottky均匀化Riemann曲面和Mumford曲线。将广义Tate曲线看作一类退化Riemann曲面，给出了广义Tate曲线的de Rham和Betti上同调群之间的周期同构以及相关对象：Gauss-Manin联络、Hodge结构的变分和单值权滤子的显式表达式.一个值得注意的事实是，类似的公式也适用于芒福德曲线族。进一步证明了对于具有最大退化闭纤维的广义Tate，其局部幂幺周期可表示为系数为多重对数函数的形变参数的幂级数.也给出了这个p-adic版本。
The p-part of Tate-Shafarevich groups of elliptic curves can be arbitrarily large
本文证明了对任意素数p>5，E/K的Tate-Shafarevich群的p-挠的维数可以任意大，这里E是数域K上的椭圆曲线，[K：Q]的界为仅依赖于p的常数.由此我们推出A/Q的Tate-Shafarevich群的p-挠的维数可以任意大，这里A是阿贝尔簇，dim A的界为仅依赖于p的常数.
Sato-Tate Distributions of Catalan Curves
对于不同的奇素数$p$和$q$，我们用仿射方程$y^q=x^p-1$定义了Catalan曲线$C_{p,q}$.本文构造了Jacobians的Sato-Tate群，研究了它们的正规化L-多项式系数的极限分布.Catalan Jacobians是非退化的，并且是（$\mathbb Q$上的自同态域的）非循环伽罗瓦群的单的，因此在Sato-Tate群的背景下研究它们是很有趣的.我们计算的极限分布的统计和数值的时刻。最后，我们确定了雅可比行列式的伽罗瓦自同态类型，使用旧的和新的技术。
A classical family of elliptic curves having rank one and the $2$-primary part of their Tate-Shafarevich group non-trivial
本文研究$x^3+y^3=2p$和$x^3+y^3=2p^2$形式的椭圆曲线，其中$p$是满足$p\equiv 2\bmod 9$或$p\equiv 5\bmod 9$的奇素数.我们首先表明，$3$ -部分的Birch-Swinnerton-Dyer猜想持有这些曲线。然后我们将它们的$2$ -Selmer群与$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$的理想类群的$2$ -秩联系起来，得到了秩为1的椭圆曲线的一些例子和Tate-Shafarevich群的非平凡$2$ -部分.
Visualizing elements of order four in the Shafarevich-Tate group of an elliptic curve
设E是定义在数域K上的椭圆曲线。设h是E的Shafarevich-Tate群中的一个4阶元素.我们证明了h在无穷多个阿贝尔曲面中直到同构都是可见的。这就是说，存在无穷多个阿贝尔曲面J，使得E \hookrightarrow J和h位于自然映射H^1（K，E）\rightarrow H^1（K，J）的核中。
Rank 2 Local Systems, Barsotti-Tate Groups, and Shimura Curves
我们发展了$K$-线性阿贝尔范畴的下降准则。利用最近的进展，朗兰兹对应由于安倍晋三，我们建立了一定的秩2的局部系统和一定的Barsotti-Tate群在有限域上的完整曲线之间的对应关系。我们猜想这样的Barsotti-Tate群"来自"一族伪椭圆曲线。作为这些思想的一个应用，我们提供了一个判别$\mathbb{F}_q$上的Shimura曲线的准则。一路上，我们制定了一个猜想，某些兼容系统的系数域。
Asymptotic formula for Tate-Shafarevich groups of $p$-supersingular elliptic curves over anticyclotomic extensions
本文在广义Heegner假设下，研究了p-超奇异椭圆曲线在反圆塔Z_p-扩张中数域上的Tate-Shafarevich群的p-准素子群，并给出了其渐近公式。
Effective equidistribution and the Sato-Tate law for families of elliptic curves
推广了最近的工作，我们给出了所有椭圆曲线族和单参数椭圆曲线族模p（p素数趋于无穷大）服从Sato-Tate律的有效界.我们提出了两种证明方法。两者都使用Murty Sinha的框架;第一个只涉及L函数和组合学的傅里叶系数的矩的知识，并保存对数，而第二个需要Sato-Tate定律。我们的目的是说明结果的口径如何取决于输入的误差项，以及必须做什么组合。
An Asymptotic formula for Tate-Shafarevich groups of CM elliptic curves at supersingular primes
本文在Kobayashi符号Selmer群的附加假设下，对具有复乘的椭圆曲线在反圆$\mathbb{Z}_p$-扩张中间层上的Tate-Shafarevich群证明了渐近公式。
Computing Néron-Tate heights of points on hyperelliptic Jacobians
Faltings和Hriljac证明了曲线雅可比矩阵上一点的Néron-Tate高度可以表示为曲线正则模型上相应因子的自相交。我们使这明确，并使用它来给一个算法计算Néron-Tate高度的雅可比矩阵的超椭圆曲线。为了证明我们的算法的实用性，我们说明它通过计算Néron-Tate高度的超椭圆曲线的雅可比矩阵的亏格从1到9。
Algebraicity of L-values for elliptic curves in a false Tate curve tower
设$E$是$Q$上的椭圆曲线，$τ$是$Q$上的Artin表示，通过非阿贝尔扩张$Q(\sqrt[p^n]{m},μ_{p^n})/Q$分解，其中$p$是奇素数，$n,m$是正整数。我们表明，$L(E,τ,1)$，特殊值在$s=1$的$L$ -函数的扭曲$E$由$τ$，除以经典的超越周期$Ω_{+}^{d^+}|Ω_{-}^{d^-}|ε(τ)$是代数和伽罗瓦等变的，预测德利涅猜想。
Towards the Sato-Tate Groups of Trinomial Hyperelliptic Curves
我们考虑$$C_1\colon y^2=x^{2g+2}+c, C_2\colon y^2=x^{2g+1}+cx, C_3\colon y^2=x^{2g+1} +c,$$形式的曲线的雅可比矩阵的Sato-Tate群的单位连通区，其中$g$是曲线的亏格，$c\in\mathbb Q^*$是常数。我们从三个方面来处理这个问题。首先，我们使用Kani-Rosen定理来确定亏格为4和5的$C_1$曲线的Jacobian的分裂，并证明在每种情况下Sato-Tate群的单位连通区是什么。然后，我们确定分裂的雅可比矩阵的高属$C_1$曲线找到映射到较低的属曲线，然后计算回调的微分1-形式。在使用这种方法时，我们能够将形式为$C_1$、$C_2$和$C_3$的曲线的雅可比行列式联系起来。最后，我们提出了一种计算这三种曲线族雅可比行列式的Sato-Tate群的单位连通区的新方法。我们使用这种方法来计算许多明确的例子，并发现令人惊讶的模式，这些家庭的曲线的单位连通区的形状。
Integral Tate modules and splitting of primes in torsion fields of elliptic curves
设$E$是有限域$k$上的椭圆曲线，$\ell$是不同于$k$的特征的素数.在本文中，我们考虑的问题，找到结构的泰特模块$T_\ell(E)$作为一个完整的伽罗瓦表示的$k$。我们指出了一个明确的程序来解决这个问题，从特征多项式$f_E(x)$和$j$不变的$j_E$的$E$。希尔伯特类多项式的虚二次订单在这里发挥了重要作用。我们给出了数域上椭圆曲线挠域素分裂研究的一个整体应用。
Sato-Tate Distributions of $y^2=x^p-1$ and $y^2=x^{2p}-1$
本文确定了Sato-Tate群，并证明了$$ y^2=x^p-1 \text{ and } y^2=x^{2p}-1,$$型曲线的Jacobian的广义Sato-Tate猜想，其中$p$是奇素数.我们的结果依赖于这些曲线的雅可比矩阵是非退化的，这一事实，我们证明在文件中。此外，我们计算与Sato-Tate组相关的矩统计量。这些矩统计量可以用来验证等分布声明的推广Sato-Tate猜想通过比较他们的矩统计量得到的迹在规范化的$L$ -多项式的曲线。
On the Iwasawa Invariants of Mazur--Tate elements of elliptic curves at additive primes
该研究探讨有理数域上椭圆曲线在加法约化素数处Mazur–Tate元的λ-不变量，结合Sage计算数据给出加法潜在超奇异情形的实例与猜想，并将结果推广到相关尖点Hecke特征形式的对应不变量。
Nontrivial torsion in the Tate--Shafarevich group of elliptic curves via visibility and twists
本文研究了椭圆曲线在ℓ处加法减少时的可见性定理，推导出合适二次扭变下Sha群中存在非平凡ℓ-torsion，并以ℓ=3为例，展示具有相同BSD不变量等特征的非同构椭圆曲线对，其Tate-Shafarevich群同构且有非平凡3-primary部分。
Elliptic curves with large Tate-Shafarevich groups over $\mathbb{F}_q(t)$
设$\mathbb{F}_q$是具有奇特征$p$的有限域.我们展示了有理函数域$K = \mathbb{F}_q(t)$上的椭圆曲线，其Tate-Shafarevich群是大的。更精确地说，我们考虑某些无限序列的显式椭圆曲线$E$，我们证明了他们的Tate-Shafarevich群$\mathrm{III}(E)$是有限的，并满足$|\mathrm{III}(E)| = H(E)^{1+o(1)}$作为$H(E)\to\infty$，其中$H(E)$表示指数微分高度的$E$。这些序列中的椭圆曲线两两之间既不是同构的，也不是几何同构的。进一步证明了Tate-Shafarevich群的$p$ -准素部分是平凡的.证明涉及明确计算这些椭圆曲线的$L$ -函数，证明BSD猜想，并获得估计的$L$ -函数的中心值的大小。
Elliptic curves with exceptionally large analytic order of the Tate-Shafarevich groups
我们展示$88$的例子秩零椭圆曲线的有理数与$|\sza(E)| > 63408^2$，这是最大的以前已知的值为任何显式曲线。我们的记录是一个椭圆曲线$E$与$|\sza(E)| = 1029212^2 = 2^4\cdot 79^2 \cdot 3257^2$。我们可以使用Kolyvagin，Kato，Skinner-Urban和Skinner的深入结果来证明，在某些情况下，这些阶是$\sza$的真阶。例如，$410536^2$是第2.3节表格中$E= E_4(21,-233)$的$\sza(E)$的真实顺序。
Constructing non-trivial elements of the Shafarevich-Tate group of an Abelian Variety over a Number Field
Birch and Swinnerton-Dyer（BSD）猜想的第二部分根据曲线的其他可计算不变量给出了椭圆曲线的Shafarevich-Tate群的阶的猜想公式。Cremona和Mazur提出了一个理论，该理论通常可以用来验证BSD猜想，通过构造一条椭圆曲线的Shafarevich-Tate群的非平凡元素，借助于一条环境曲线的Mordell-Weil群。本文推广了Cremona和Mazur的工作，给出了数域上阿贝尔簇的Shafarevich-Tate群可构造的精确条件.然后，我们给出了我们的一般结果的一个扩展，提供了新的理论证据的BSD猜想。
Finiteness of the Tate-Shafarevich Groups for Elliptic Curves over the Field of Rational Numbers
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。设$\underline{III}(E)$是$E$的齐性空间的等价类的一个群，称为它的Tate-Shafarevich群。本文证明了这个群具有有限的基数，并讨论了它在Birch猜想和Swinnerton-Dyer猜想中的作用。特别地，我们的结果暗示奇偶猜想，或Birch和Swinnerton-Dyer猜想模2。它也消除了$\underline{III}(E)$的有限性条件，使强Birch猜想和Swinnerton-Dyer猜想的计算问题成为可能.此外，我们还给出了三次平面曲线的Hasse-Minkowski定理的一个类似定理。
On the integral $2$-adic Tate module of elliptic curves
本文研究奇剩余特征完全离散赋值域上椭圆曲线的整2-adic Tate模，利用显式对半公式确定伽罗瓦群在2幂挠塔的作用，证明其由2-挠表示、c的平方类及根差的局部信息决定。
On Sato--Tate distributions, extremal traces, and real multiplication in genus 2
垂直Sato-Tate曲线给出了曲线族的预期迹分布。我们开发的精确表达式的分布相关的程度$4$表示的$\mathrm{USp}(4)$，$\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$和$\mathrm{SU}(2)$在附近的端点的Weil界。因此，我们得到定性的区别所产生的一般属- $2$曲线和属- $2$曲线与实或四元数乘法的极值轨迹。特别是，我们显示，在一个特定的意义上，在何种程度上曲线与真正的乘法占主导地位的贡献极值轨迹。
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