Anti-Ramsey theory problems, lattice point counts on polytopes, and Hodge structures on the cohomology of toric varieties
我们发现图族$G$和$G$的子图$H$，使得避免$H$的单色着色的$G$的边着色的数目由格点计数或某一环面簇上同调的Hodge结构决定。一般来说，这给出了一类具有几何结构的“反拉姆齐理论问题”。例如，我们发现一个拉姆齐数类这样的图。关键的观察是，我们以前的结果表示的辅助单纯复形的$h$ -向量的单纯色多项式可以重新解释为一个边染色的图避免单色染色指定的禁用子图。专门单纯复形所产生的三角形的多面体（如单模三角），我们得到家庭的图形和禁止的子图，避免单色着色的禁止的子图的边着色取决于格点计数或霍奇结构上同调的环面品种。
2022-06-14 math.AG math.AT math.CO
Two graph isomorphism polytopes
最近，在图同构方面考虑了某些$(n!)^2$张量的凸包$ψ_{n,n}$。我们考虑这些张量中的$n!$对角线的凸包$ψ_n$。我们显示：1.多面体$ψ_n$是$ψ_{n,n}$的一个面。2.判定图$G$是否具有与$H$同构的子图简化为对$ψ_n$的优化。3.对$ψ_n$的优化简化为对$ψ_{n,n}$的优化。特别地，这意味着子图同构问题简化为在$ψ_{n,n}$上的优化。
2008-01-12 cs.CC cs.DM math.CO
On the k-Systems of a Simple Polytope
简单多胞形P的图G（P）的k-系统是G（P）的诱导子图的集合，它与P的k-面导出子图的集合具有某些性质。这个新概念导致了关于G（P）的多项式大小的证明，既适用于平面顶点集的集合，也适用于Kalai意义下的抽象目标函数（AOF）。此外，它被证明是一个非循环定向产生AOF当且仅当它诱导一个唯一的sink上的每2面。
2001-06-27 math.CO math.MG
Fractional Perfect b-Matching Polytopes. I: General Theory
无向图G的分数完美b-匹配多面体是所有非负实数在G的边上的赋值，使得与任意顶点v相关联的所有边上的实数之和为给定的非负数b_v的多面体.本文给出了这类多面体的非空性条件、维数公式以及顶点、边和面格的特征.这些结果中有许多是用G的某些生成子图来表示的，这些子图与多面体的子集或元素有关。例如，证明了G的分数完美b-匹配多面体的元素u是多面体的顶点当且仅当u的图的每个分支都是无圈的或者恰好包含一个奇长圈，这里u的图定义为G的生成子图，其边是u为正的那些边.
2013-01-30 cs.DM math.CO
Examples and counterexamples for Perles' conjecture
d维简单凸多胞体的组合结构可以从其抽象图中重建[Blind & Mani 1987，Kalai 1988]。然而，没有多项式/有效的算法是已知的这个任务，虽然多项式检查证书的正确重建被发现[Joswig，Kaibel和Koerner 2000]。一个强得多的证明将由M. Perles：“简单d-多面体的图的小面子图恰好是所有（d-1）-正则的、连通的、诱导的、非分离的子图”[Perles 1970]。我们给出了例子的有效性Perles猜想：特别是，它适用于循环多面体的循环，并为堆叠多面体的循环。另一方面，我们确定了一个拓扑障碍，必须存在于任何反例Perles猜想，因此，开始与修改的“Bing的房子”，我们构建明确的4维反例。
2001-07-19 math.CO
Two-edge-connected (not necessarily spanning) subgraphs and polyhedra
研究两边连通子图多面体 TECSP(G)，用线性不等式刻画其格点并给出最大权子图 ILP 算法，同时分析面定义条件及实际效率。
2024-10-24 math.CO
A minimal counterexample to a strengthening of Perles' conjecture
在本文中，我们提出了一个最小的反例的Perles猜想，回答了一个问题的Haase和Ziegler。例子是一个简单的4-多面体，它有一个导出的3-连通3-正则子图，其图补是连通的。这个子图是平面的，而不是多面体的一个面的图。
2018-09-06 math.CO
The Graph of the Pedigree Polytope is Asymptotically Almost Complete (Extended Abstract)
与旅行推销员相关的多面体的图（1-骨架）引起了人们的广泛关注。谱系多面体是经典对称旅行商问题多面体（Arthanari 2000）的扩展，其图包含TSP多面体图作为生成子图（Arthanari 2013）。与TSP多面体不同，谱系多面体不是“对称的”，例如，它们的图不是点传递的，甚至不是正则的。证明了在谱系多胞形的图中，当城市数趋于无穷大时，顶点数的商最小度趋于1。
2016-11-28 cs.DM math.CO
On a class of strong valid inequalities for the connected matching polytope
本文识别了图$G$的连通匹配多面体的$O(|E(G)|^2)$个非平凡面，并提供了附带软件以进一步检查输入图的多面体。
2023-10-22 cs.DM math.CO
Simple polytopes without small separators, II: Thurston's bound
我们证明了存在n个顶点的简单4维多面体，使得图的所有分隔符的大小至少为$Ω(n/\log n)$。这就确立了Thurston的一项强有力的索赔形式，而对该索赔的解释和证据已经丢失。我们通过切掉一种特殊类型的相邻三次多面体的顶点和边来构造多面体。由此得到的简单多面体的图是4-正则的，它们包含3-正则的“立方连通圈图”作为生成子图的子图。
2017-08-22 math.CO math.MG
Persistent Graphs and Cyclic Polytope Triangulations
证明了3维循环多面体C（n+2，3）与n阶持久图的三角剖分之间的双射。我们表明，在这种双射的Stasheff-Tamari订单三角自然转化为子图之间的持久图包含。此外，我们描述了第二个更高的Bruhat阶B（n，2）的连接。我们还给出了一个算法，有效地枚举所有持久图的n个顶点，从而所有的三角剖分C（n+2，3）。
2020-11-16 cs.DM math.CO
Convex Polytopes from Nested Posets
受图结合面体KG的启发，我们考虑了偏序集上的结合性和管的概念。这导致一个新的家庭简单的凸多胞体得到的迭代截断。这些推广图associahedra和nestohedra，甚至包括概念的cw-复合嵌套。然而，这些偏序集关联面体与广义置换面体完全属于不同的范畴。
2013-06-18 math.AT math.CO math.QA
On the Graph of the Pedigree Polytope
谱系多面体是经典对称旅行商问题多面体的扩展，其图（1-骨架）包含TSP多面体图作为生成子图。虽然TSP多面体中顶点的邻接判定是coNP-完全的，但Arthanari给出了Pedigree多面体中邻接的组合（多项式可判定）刻画。基于这一特征，我们研究了谱系多面体的图的渐近，大量的城市。不像TSP多胞形图是顶点传递的，谱系图甚至不是正则的。使用“邻接博弈”来处理Arthanari对邻接的复杂归纳特征，我们证明了最小度渐近等于顶点数，即，该图是“渐近几乎完全的”。
2016-11-25 cs.DM math.CO
Graph edge contraction and subdivisions for adjacency polytopes
邻接多面体，也就是。与无向图相关联的对称边多面体已经在包括数论、离散几何和动力系统在内的几个看似独立的领域中被定义和研究。特别是，作者的动机来自Kuramoto方程的热带交叉问题。邻接多面体的规则剖分有助于解决这些问题。本文探讨了邻接多面体的规则剖分与其基础图沿边的收缩之间的联系。我们构造了一个特殊的正则剖分，它的单元格与原图的边收缩相关的邻接多面体的小平面一一对应。此外，这种细分导致原始图分解为“单元子图”。我们探讨组合，图论，和拟阵方面的这种连接。
2020-07-14 math.CO
On fractional realizations of graph degree sequences
本文介绍了图的度序列和一个紧密相关的凸多胞体的分数实现。单图实现对应于该多面体的顶点的子集。我们描述了多面体顶点的性质，并刻画了每个多面体顶点对应于一个单图实现的度序列。这些包括伪分裂图的度序列，我们刻画其实现的禁止子图和图形结构。
2013-10-03 math.CO
Colorful Graph Associahedra
给定一个图G，图的结合面体是一个简单的凸多胞体，它的面偏序集是由G的连通子图构成的。通过附加调色板的分配，我们定义了彩色图的协面体，将其表示为简单抽象多面体的集合，并探讨了它的性质。
2020-11-16 math.CO
Perfectly Matchable Set Polynomials and $h^*$-polynomials for Stable Set Polytopes of Complements of Graphs
图$G$的顶点子集$S$称为$G$的完美匹配集，如果由$S$导出的子图包含完美匹配。$G$的完全匹配集多项式，首先由Ohsugi和Tsuchiya明确提出，是$G$的完全匹配集的数量的（普通）生成函数$p(G; z)$。在这项工作中，我们提供了明确的递归计算$p(G; z)$的任意（简单）图，并使用这些计算Ehrhart $h^*$多项式的某些格多面体。也就是说，我们表明$p(G; z)$是$h^*$ -多项式的某些类的独立集多面体，其顶点对应于稳定集的$G$。
2022-07-29 math.CO
Lipschitz polytopes of posets and permutation statistics
在有限偏序集$P$上引入Lipschitz函数，并研究了相应的Lipschitz多面体$L(P)$ . $L(P)$的几何结构可以用下降相容置换和概括下降和大上升的置换统计来描述。对于排序偏序集，Lipschitz多面体是中心对称的和Gorenstein的，这意味着统计量的对称性和单峰性。最后，我们定义了$(P,k)$ -超单作为经典超单的推广，并给出了它们的体积和$h^*$ -向量的组合解释。
2017-03-30 math.CO
On the $f$-vectors of flow polytopes for the complete graph
本文利用图双射与子图枚举结果，给出了完全图流多面体及$CRY_n$多面体$f$-向量的生成函数与显式公式，并将其扩展至任意非负净流场景，恢复了Tesler多面体的$f$-向量。
2024-09-23 math.CO
The brick polytope of a sorting network
准多面体是一个多面体，它的图形是一个凸多边形三角剖分上的翻转图形。伪三角剖分和多重三角剖分以两种不同的方式推广了三角剖分，它们已经由Pilaud和Pocchiola在他们研究由给定排序网络支持的具有接触的伪线安排上的翻转图时统一了。在本文中，我们构建了一个排序网络的砖多面体，获得的凸包的砖向量与网络支持的每个伪线安排。我们组合的特点，这个多面体的顶点，描述它的脸，并将其分解为一个Minkowski和拟阵多面体。我们的砖多面体包括Hohlweg和Lange的许多实现的associahedron，出现作为砖多面体的某些精心挑选的排序网络。我们还讨论了砖多面体的排序网络支持伪线安排，对应于多三角形的凸多边形：我们的多面体只实现子图的翻转图上的多三角形，他们不能出现作为一个假设的multiassociahedron的投影。
2011-12-01 math.CO math.MG
A Triangulation of the Flow Polytope of the Zigzag Graph
CUNY Graduate Center（纽约市立大学研究生中心）；Queens College (CUNY)（皇后学院（纽约市立大学））
本文通过网格图子图刻画之字形图流多面体三角剖分的对偶图，利用整数流给出邻接的数值特征，并提出两个新统计量以恢复$h^*$-多项式。
2026-09-09 math.CO
On the Statistics of Lattice Polytopes
我们使用自反性和自反维数的概念，以便引入格多面体的概率测度，并开始调查其统计性质。离散几何应用的例子包括研究自反多面体的自对偶性的随机性，以及在更高维度中对这种多面体的期望值的影响。我们还讨论了计数问题和相关的算法，并指出有趣的开放问题。在这种情况下，我们定义的概念IP限制多面体。我们的新结果包括IP-单纯体在3维的IP-限制。研究这些问题的主要动机来自代数几何和弦理论的应用。
2008-09-06 hep-th math.AG math.CO
Subgraph statistics in subcritical graph classes
设$H$是一个固定图，$\mathcal{G}$是一个次临界图类.在本文中，我们证明了$H$（作为一个子图）的出现次数在一个均匀随机图的大小$n$在$\mathcal{G}$遵循一个正常的极限分布的线性期望和方差。在我们的证明的主要成分是分析框架开发的Drmota，Gittenberger和Morgenbesser处理无穷系统的函数方程。作为一个案例研究，我们得到了显式表达式的三角形和长度为4的圈的家庭的系列平行图。
2015-12-30 math.CO math.PR
Marked tubes and the graph multiplihedron
给定一个图G，构造一个凸多胞体，其面偏序集是基于G的标记子图的。称为图多面体，我们提供了一个实现使用整数坐标。这不仅产生了一个自然推广的多面体，但功能的多面体出现在作品有关绗缝磁盘，边界黎曼曲面，和操作结构。图的多重面体的某些例子与单形和立方体的闵可夫斯基和有关，而其他例子则与置换面体有关。
2008-07-25 math.AT math.CO math.QA
Central limit theorems for local network statistics
子图计数-特别是三角形等小形状的出现次数-表征随机网络的特性，因此已广泛用作网络汇总统计。然而，子图通常是全局计数的，现有的方法无法描述特定于顶点的特征。另一方面，有根子图计数-集中在任何给定顶点的邻域上的计数-是局部网络属性的基本描述符。我们得到了非齐次随机图中有根子图计数的渐近联合分布，这个模型推广了许多流行的统计网络模型。这一结果使大型图的统计分析从估计网络摘要转变为估计连接局部网络结构和顶点特定协变量的模型。作为一个例子，我们认为学校的友谊网络，并表明，当地的友谊模式是性别和种族的显着预测。
2020-06-28 cs.SI math.CO math.ST
The linkedness of cubical polytopes: beyond the cube
本文研究立方体多胞形图的连通性，证明每个立方体 d-多胞形（d≠3）是 ⌊(d+1)/2⌋-连通的，且是强 ⌊d/2⌋-连通的，结果最优。
2023-10-12 math.CO
Some combinatorial properties of flag simplicial pseudomanifolds and spheres
一个单纯复形$Δ$称为flag，如果$Δ$的所有极小非面至多有两个元素.证明了以下几点：首先，如果$Δ$是维数为$d-1$的标志单纯伪流形，则$Δ$的图（i）是$(2d-2)$ -顶点连通的，并且（ii）有一个子图，该子图是$d$ -维交叉多胞形的图的细分。其次，当$Δ$是$d$维交叉多面体的边界复形时，维数为$d-1$的旗单纯同调球面$Δ$的$h$ -向量被最小化.
2009-05-28 math.CO
Degree Sequence Optimization and Extremal Degree Enumerators
本文通过非线性变换将度序列优化转化为度枚举子多面体问题，刻画了完全图及部分完全二部图的极值顶点，并据此提出更简单快速的优化算法。
2024-04-03 cs.DM cs.DS math.CO
Modular statistics for subgraph counts in sparse random graphs
讨论了Kolaitis和Kopparty的一个问题，证明了对于给定的整数$q>1$和两两非同构连通图$G_1...G_k$，如果$p=p(n) $使得$\Pr(G_{n,p}\supseteq G_i)\to 1$ $\forall i$，则当$ξ_i$为$G_{n,p}$中$G_i$的拷贝数时，$(ξ_1...ξ_k)$在${\bf Z}_q^k$上渐近均匀分布.
2015-01-27 math.CO
Polyhedral approach to weighted connected matchings in general graphs
本文针对一般图中加权连通匹配的NP困难问题，提出两种混合整数规划公式和分支切割方案，利用匹配多面体与连通子图多面体的强有效不等式逼近凸包，并在DIMACS基准实例上取得良好计算效果。
2023-10-09 cs.DM cs.DS math.CO
Listing faces of polytopes
University of Warwick（华威大学）
本文提出了一种高效算法，用于构造多面体的面哈密顿回路，解决了B-排列多面体的面哈密顿回路猜想。
2026-08-17 math.CO
Smaller extended formulations for spanning tree polytopes in minor-closed classes and beyond
设$G$是真小闭类$\mathcal G$中的连通$n$ -顶点图.证明了$G$的生成树多面体的扩张复杂性为$O(n^{3/2})$。这改进了Wong（1980）和Martin（1991）的工作所得出的$O(n^2)$界。它还扩展了Fiorini，Huynh，Jaret和Pashkovich（2017）的结果，他们获得了嵌入固定曲面的图的$O(n^{3/2})$界。我们的证明更普遍地适用于所有允许强次线性平衡分隔符的图类：本文证明了：对每个常数$β$和$0<β<1$，如果$\mathcal G$是一个在导出子图下闭的图类，使得$\mathcal G$中的所有$n$ -顶点图都有大小为$O(n^β)$的平衡分隔符，则$\mathcal{G}$中每个连通的$n$ -顶点图的生成树多面体的扩张复杂度为$O(n^{1+β})$ .我们实际上给出了这个结果的两个证明，一个是直接构造扩展公式，另一个是通过通信协议。使用后一种方法，我们也给出了一个简短的证明$O(n)$界平面图由于威廉姆斯（2002）。
2021-12-02 cs.DM math.CO math.OC
Bond Polytope under Vertex- and Edge-sums
Charles University, Faculty of Mathematics and Physics, Department of Applied Mathematics（查理大学数学物理学院应用数学系）
研究通过顶点和边的和构造图的bond多面体，并证明了在(K5-e)-无界图中bond多面体的扩展复杂度线性，同时给出了线性时间求解最大bond问题的算法。
2026-04-27 cs.DM math.CO math.OC
The linkedness of cubical polytopes: The cube
本文证明了立方体多胞体的图具有最大可能的连通性，并引入强连通性概念，回答了Wotzlaw的问题。
2021-03-06 math.CO
The $h^{*}$-polynomial of the cut polytope of $K_{2,m}$ in the lattice spanned by its vertices
图的割多胞形是泛函分析、组合优化、概率论等领域的重要研究对象。例如，Sturmfels和Sullivant证明了切割多面体的复曲面理想在代数统计中是有用的。在格多面体理论中，$h^{*}$ -多项式是最重要的不变量之一。已知割多面体的$h^{*}$ -多项式是回文的充要条件。然而，除了树，没有一类图的$h^{*}$ -多项式的切割多面体是明确指定的。本文利用复曲面理想的Gröbner基理论，确定了完全二部图$K_{2,m}$的割多面体的$h^{*}$ -多项式.
2020-04-10 math.CO
Combinatorial interpretation of the coefficients of the order polynomial of fence posets
LACIM, Université du Québec à Montréal（拉辛数学与计算机科学实验室，蒙特利尔大学）
研究针对围栏偏序集定义新统计量blP，为其序多项式系数提供组合解释，还借此解释舒伯特拟阵基多面体埃尔哈特多项式系数，建立序多面体埃尔哈特多项式线性系数下界，并猜想该统计量对其他偏序集的推广。
2026-11-03 math.CO
On the connected (sub)partition polytope
KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文研究了图的连通k-子划分多面体的面结构及分离问题的计算复杂性，提出并验证了多项有效不等式，并通过实验验证其实用性。
2025-12-22 math.CO
Lattice of Integer Flows and the Poset of Strongly Connected Orientations for Regular Matroids
本文将Amini关于整数流格的Voronoi多面体面偏序集与子图强连通定向偏序集同构的结果推广至正则拟阵，并证明整数割定理可作为整数流定理在拟阵对偶性下的直接推论。
2023-07-01 math.CO
Toric graph associahedra and compactifications of $M_{0,n}$
对于任何图$G$，人们可以关联一个环面簇$X(\mathcal{P}G)$，该环面簇作为沿着对应于$G$的连通子图的坐标子空间的射影空间的爆破而获得。这种环面变体的多面体是$G$的图形结合面体，这是一类多面体，包括permutohedron，associahedron和stellahedron。证明了当$G$是离散集上的迭代锥时，空间$X(\mathcal{P}{G})$同构于$M_{0,n}$的Hassett紧化.这可以被看作是一个众所周知的事实，即洛塞夫-马宁模空间是同构的复曲面品种的permutohedron。
2015-08-13 math.AG math.CO
Constructing certain families of $\mathbf{3}$-polytopal graphs
设$n\geq 3$和$r_n$是$3$ -多面体图，使得对于每个$3\leq i\leq n$，$r_n$至少有一个度为$i$的顶点.我们找到了$r_n$的最小顶点数。然后，我们描述了一个算法来构建图$r_n$。对于$3$ -多面体的面，可以用公式表示对偶语句。算法背后的思想很容易推广到解决相关问题。此外，给定一个$3$ -多面体$t_l$，它包括所有$3\leq i\leq l$的度为$i$的顶点，$l$是固定的，我们定义了一个算法来为$n>l$输出一个$3$ -多面体$t_n$，它包括所有$3\leq i\leq n$的度为$i$的顶点，并且使得初始的$t_l$是$t_n$的子图. $t_n$的顶点数是渐近最优的，在这个意义上，当$n$变大时，它与上述最小顶点数匹配到数量级。事实上，我们只损失了第二高项的系数的一小部分，这个量可以取得尽可能小，代价是首先构造一个相应的大辅助图。
2021-04-30 math.CO
$h^*$-vectors of graph polytopes using activities of dissecting spanning trees
该研究针对图对称边多面体与半平衡有向图根多面体的生成树剖分，证明其$h^*$-多项式可表为对应生成树活动性的生成函数，提供了计算新方法并揭示了剖分统计量分布的无关性。
2023-04-21 math.CO
On local weak limit and subgraph counts for sparse random graphs
本文利用Sidorenko不等式证明了稀疏随机图的局部弱收敛序列的局部和全局子图数与度矩之间的一般关系。这产生了一个最佳的标准，检查时的渐近行为的图统计，如聚类系数和不确定性是由当地的弱限制。作为一个应用，我们获得了新的事实，稀疏随机交图的几个常见模型的局部弱极限，因为我们看到在这里，是一个简单的随机团树对应于一定的两个类型的Galton-Watson分支过程。
2023-02-04 math.CO math.PR
Statistical inference of a ranked community in a directed graph
针对有向图中植入排序子图的检测与恢复问题，建立统计与计算阈值，确定对数密度设置下的精确指数阈值，并给出两种极端情况的细粒度结果，为该类排序社区推断提供理论基础。
2024-11-18 cs.CC cs.DS math.CO
Graph properties of graph associahedra
一个图的结合面体是一个简单的多面体，它的面格编码了给定图的连通子图的嵌套结构。本文研究了图的结合面体的1-n-n的某些图的性质，如它们的直径和它们的Hamilton性。我们的结果推广了经典的结合面体（路结合面体）和置换面体（完全图结合面体）的已知结果.我们还讨论了部分扩展到家庭的nestohedra。
2015-05-29 math.CO
Pseudograph associahedra
给定一个单图G，图的结合面体KG是一个简单多面体，其面偏序集是基于G的连通子图的。本文在一般的情形下，对具有环和重边的伪图，定义并构造了图的结合面。然后，我们考虑变形的伪图associahedra作为其基础的图形被改变的边缘收缩和边缘删除。
2010-05-14 math.AT math.CO math.QA
The Hierarchy of Circuit Diameters and Transportation Polytopes
多面体图直径的研究是线性规划理论中的一个经典问题。虽然运输多面体是运筹学和统计学的核心，但赫希猜想对一般的$m{\times}n$ --运输多面体是否正确仍然是开放的。在早期的工作中，前三位作者介绍了一个层次的变化的概念，图直径多面体。关键的原因是这种层次结构为通常的图直径提供了一些有趣的下界。本文有三个贡献：第一，我们比较了$m{\times}n$ -运输多面体的直径的层次。我们证明了$m+n-1$的Hirsch猜想界在大多数直径概念中是有效的。其次，我们证明了对于$3{\times}n$ --运输多面体，Hirsch猜想在经典图直径下成立。第三，我们证明了$2{\times}n$ -运输多面体，较强的单调赫希猜想举行，并提高了早期的界限图直径。
2015-04-21 math.CO math.OC
The evolution of random subgraphs of the permutahedron
Instituto de Matemática, Estatística e Ciência da Computação, Universidade de São Paulo（圣保罗大学数学、统计和计算科学学院）；RobotDreams GmbH（RobotDreams有限公司）；School of Mathematics, University of Birmingham（伯明翰大学数学学院）
本文研究了置换体的渗透和连通性阈值，开发了新的图探索技术，并探讨了置换体的等周性质。
2026-10-26 math.CO
A framework unifying some bijections for graphs and its connection to Lawrence polytopes
本文构建了一个统一BBY双射和Bernardi双射的新双射族，通过Lawrence多胞形的三角剖分定义图册，将生成树与Jacobian群联系起来，并推广至正则拟阵。
2025-06-26 math.CO
The distribution of minimum-weight cliques and other subgraphs in graphs with random edge weights
我们在$n$中渐近地确定了完全图$K_n$中的最小权$k$ -团（或任何严格平衡图$H$）的权的分布和均值，该图的边权是从均匀分布或其他连续分布中抽取的独立随机值。对于集团，我们还提供了明确的（非渐近）的分布的CDF的形式直接从斯坦-陈方法，并在一个宽松的，但更简单的形式。直接形式推广到其它子图和其它边权重分布。我们说明了不同的$k$和$n$值的团的结果。结果可以被应用于评估网络中的图$H$的观察到的最小权重副本是否提供网络的边权重不是独立分布而是具有某种结构的统计证据。
2017-07-04 math.CO math.PR
Testing linear inequalities of subgraph statistics
属性测试器是快速随机算法，其任务是区分满足某些预定属性${\cal P}$的输入和远不满足它的输入。由于这些算法通过检查输入的一小部分随机选择来操作，因此人们希望能够测试的最自然的属性是输入是否不包含某些禁止的小子结构。在图表的设置中，Alon等人获得了这样的结果，他证明了对于任何有限族的图${\cal F}$，被诱导${\cal F}$ -free（即不包含任何$F \in {\cal F}$的诱导副本）的性质是可测试的。人们自然会问，是否可以更进一步，证明涉及诱导子图的更精细的性质也是可测试的。Goldreich和Shinkar对Alon等人的结果进行了一个推广，他们证明了对于任何有限族的图${\cal F}$，以及任何涉及输入图中图$F \in {\cal F}$的密度的线性不等式，满足这个不等式的性质可以在图性质测试的某个限制模型中进行测试。我们在本文中的主要结果反驳了这个猜想在以下强的形式：这种类型的一些属性是不可测试的，即使在经典的（即无限制的）模型的图形属性测试。该证明明显偏离了该领域先前的不可测试性结果。其主要思想是利用一个与诱导子图密度有关的线性不等式来描述图的拟随机性。
2020-11-19 cs.DM math.CO
The action of the Weyl group on the $E_8$ root system
设$Γ$是$E_8$根系的根上的图，其中任何两个不同的顶点$e$和$f$由颜色等于$e$和$f$的内积的边连接。对于任何颜色集合$c$，设$Γ_c$是$Γ$的子图，它由所有$240$顶点和颜色位于$c$中的所有边组成。我们认为集团，即，$Γ$的完全子图，其是单色的，或者其大小至多为$3$，或者对于某些颜色集$c$是$Γ_c$中的最大团，或者其顶点是$E_8$根多面体的面的顶点。我们证明了，除了两个例外，两个这样的团是共轭下的自同构群的$Γ$当且仅当它们是同构的着色图。此外，对于从一个这样的团$K$到另一个团的同构$f$，我们给出了$f$扩展到$Γ$的自同构的充分必要条件，根据$f$的某些特殊的$K$的大小为7的子图的限制。
2021-07-18 math.CO
3-Symmetric Graphs
随机图的一个直观性质是它的子图也应该是随机分布的。我们考虑图的子图密度完全匹配他们的期望值。我们称具有这个性质的图为所有具有$k$顶点的子图是$k$ -对称的。我们讨论了这类图的一些性质和例子。我们构造了3-对称图，并给出了一些统计量。
2020-03-08 math.CO
Counting degree-constrained subgraphs and orientations
这篇短文的目的是宣传在统计物理和计算机科学中广为人知的规范变换方法（又名全息约化，重新参数化），但在组合学中鲜为人知。作为它的一个应用，我们给出了A. Schrijver证明了$d$ -正则图在$n$顶点上的欧拉方向数至少为$\left(\frac{\binom{d}{d/2}}{2^{d/2}}\right)^n$ .我们还表明，$d$ -正则图，甚至$d$总是至少有尽可能多的欧拉方向的$(d/2)$ -正则子图。
2020-04-02 math.CO
Anticoncentration for subgraph statistics
考虑整数$k,\ell$，使得$0\le \ell \le \binom{k}2$。给定一个大图$G$，$G$的$k$ -顶点子集中恰好跨越$\ell$边的部分是多少？当$G$为空或完整，并且$\ell$为零或$\binom{k}{2}$时，该分数可以恰好为1。另一方面，如果$\ell$远离这些极值，则可以预期该分数基本上小于1。这是最近证明了阿隆，Hefetz，Krivelevich和Tyomkyn谁发起了系统的研究这个问题，并提出了几个自然的解释。让$\ell^{*}=\min\{\ell,\binom{k}{2}-\ell\}$。我们的主要结果是，对于任何$k$和$\ell$，跨越$\ell$边缘的$k$ -顶点子集的分数至多是$\log^{O\left(1\right)}\left(\ell^{*}/k\right)\sqrt{k/\ell^{*}}$，这是最好的可能的对数因子。这改进了Alon，Hefetz，Krivelevich和Tyomkyn的多个结果，并解决了他们的一个问题。此外，我们还对超图的一些类似问题做了初步的探讨。我们的证明涉及一些拉姆齐类型的参数，和一些不同的概率工具，如多项式反集中不等式，hypercontractivity，和耦合技巧的随机变量上定义的“切片”的布尔超立方体。
2018-10-27 math.CO
