On the distribution of the cardinalities of level sets of the Takagi function
设T是Takagi连续但无处可微函数。已知几乎所有水平集（关于T的值域上的勒贝格测度）都是有限的。我们表明，最常见的基数的水平集的T是两个，并详细调查的一组纵坐标y，使水平集在水平y正好有两个元素。作为一个副产品，我们得到了一个简单的迭代程序求解方程T（x）=y。我们进一步证明了任何正的偶数整数作为某个水平集的基数出现，并研究了当从T的范围内随机选取一个纵坐标y时，哪些基数以正概率出现。结果的关键是一个水平集的集合方程组，它是由T.这些集合方程产生了一个系统的水平集的基数之间的线性关系，在不同的水平，本文的所有结果流。
2011-10-18 math.CA
The Takagi function: a survey
本文简述了Takagi函数T的历史，并综述了T的已知性质，包括它的不可微性、连续模、图形性质和水平集。几个推广的高木函数，只要他们是基于“帐篷地图”，也进行了讨论。最后一节回顾了一些应用程序的高木函数的各个领域的数学，包括数论，组合数学和经典的实分析。
2011-11-07 math.CA
On the level sets of the Takagi-van der Waerden functions
研究了连续但无处可微函数\begin{equation*} f_r(x)=\sum_{n=0}^\infty r^{-n}ϕ(r^n x), \end{equation*}的水平集，其中$ϕ(x)$是$x$到最近整数的距离，$r$是具有$r\geq 2$的整数.利用对称相关随机游动的性质，证明了$f_r$的几乎所有水平集都是有限的（关于$f$范围上的Lebesgue测度），但对于从$[0,1)$中随机选取的横坐标$x$，在水平$y=f_r(x)$上的水平集几乎必然是不可数的.因此，$f_r$的占用度量是奇异的。
2014-05-11 math.CA
How large are the level sets of the Takagi function?
设T是Takagi连续但无处可微函数。本文从概率的角度和Baire范畴的角度研究了T的水平集的大小。我们首先给出三个最近发表的结果更基本的证明。第一种是由于Z. Buczolich指出，几乎所有的水平集（关于T范围上的勒贝格测度）都是有限的。第二种是J. Lagarias和Z. Maddock指出，水平集中的平均点数是无限的。第三个结果，也是由Lagarias和Maddock得出的，指出水平集中包含的局部水平集的平均数量是3/2。在第二部分的文件中，它表明，在上述结果相比，一组纵坐标y与不可数无限水平集是剩余的，并给出了一个相当明确的描述这一集。本文还对Lagarias和Maddock的一个问题给出了否定的回答，证明了大多数水平集（在Baire范畴的意义下）包含无穷多个局部水平集，并且水平集的连续统甚至包含不可数个局部水平集.最后，几个主要的结果被扩展到一个版本的T与任意符号的被加数。
2011-09-10 math.CA
Local level sets of the Takagi-van der Waerden function
Hangzhou Institute for Advanced Study, UCAS（杭州高等研究院）；Zhejiang University（浙江大学）
本文研究Takagi-van der Waerden函数$T_r$的局部水平集，推广了Lagarias和Maddock的结果，证明了均匀随机高度下局部水平集期望数量为$(r+1)/r$（偶数$r$）或$(r+1)/(r-1)$（奇数$r$）。
2026-10-07 math.CA
Local level sets of the Takagi-van der Waerden function
Hangzhou Institute for Advanced Study, UCAS（杭州高等研究院，中国科学院大学）；Zhejiang University（浙江大学）
本文研究了塔卡吉-范德瓦耳登函数的局部水平集，证明了对于偶数整数 $ r \geq 2 $，在均匀分布的随机变量 $ y $ 下，水平集 $ L_r(y) $ 中的局部水平集的期望数量为 $ 1 + 1/r $。
2026-02-11 math.CA
Slices of the Takagi function
本文证明了Takagi函数图形切片的Hausdorff维数上界为其Assouad维数减一且界限紧致，并基于更一般的自仿射集合推导出该结果，同时给出了Marstrand切片定理对所有切片成立的充要条件。
2023-11-15 math.CA
The improper infinite derivatives of Takagi's nowhere-differentiable function
设T是Takagi连续但无处可微函数。利用N的Rademacher级数表示。Kono，我们给出了T具有左侧、右侧或双侧无穷导数的那些点的完整刻画。这一特征通过几个例子来说明。主要结果的一个推论是T '（x）为无穷大的点集具有豪斯多夫维数1。作为证明方法的副产品，还得到了关于T的连续模的一些精确结果。
2010-02-13 math.CA
Functions consistent with real numbers, and global extrema of functions in exponential Takagi class
高木指数类的函数在构造上类似于1901年描述的连续、无处可微的高木函数。它们有一个实参数$v\in (-1;1)$，在点$x\in{\mathbb R}$由级数$T_v(x) = \sum_{n=0}^\infty v^n T_0(2^nx)$定义，其中$T_0(x)$是$x$和最近整数点之间的距离。如果$v=1/2$，则$T_v$与高木函数一致。本文对参数$v$的不同取值，研究了函数$T_v$的整体极值以及极值点集. $T_v$的所有功能都有一个$1$周期，因此仅在$[0;1]$段上对其进行研究。本文的研究是基于相容和反相容多项式和级数的性质，前半部分的工作是致力于此。
2020-03-19 math.CA
On a class of generalized Takagi functions with linear pathwise quadratic variation
我们考虑一类$\mathscr{X}$的连续函数的$[0,1]$，是从两个不同的角度来看的兴趣。首先，它与作为高木函数的推广而被研究的函数集密切相关。其次，$\mathscr{X}$中的每个函数都允许线性路径二次变分，因此可以作为Föllmer路径伊藤演算中的积分器。我们得到了类$\mathscr{X}$的几个一致性质。例如，我们计算整体逐点最大值，一致最大振荡，和精确的一致连续模$\mathscr{X}$中的所有功能。此外，我们给出了一个例子对$x,y\in\mathscr{X}$，使二次变化的总和$x+y$不存在。
2015-08-13 math.CA math.PR q-fin.MF
At which points exactly has Lebesgue's singular function the derivative zero ?
设L_a（x）是具有实参数a（0<a<1，a不等于1/2）的Lebesgue奇异函数.众所周知，L_a（x）是严格递增的，并且几乎处处导数为零.然而，[0，1]中的x的哪些集合实际上具有L_a '（x）=0或无穷大？我们给出了这些集合的部分特征的二进制扩展的x。作为应用，我们考虑了Takagi的无处可微函数的复合函数和Lebesgue奇异函数的逆函数的可微性。
2010-12-26 math.CA
Purely unrectifiable sets, fractal percolation and graphs of functions
ELTE Eötvös Loránd University（罗兰大学）；Westlake University（西湖大学）
本文综述了作者关于不可整流性的研究成果，包括Takagi、Weierstrass-Cellerier等连续函数图形上的纯不可整流1-集，以及分形渗流几乎必然纯α-不可整流的条件。
2026-06-16 math.CA math.PR
Sharp Lower Bounds for Dyadic Square Functions of indicator functions of sets
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
本文研究了dyadic square functions的下界，针对S₂和S₁，给出了基于布朗运动首次退出时间和Takagi函数的精确下界，改进了经典Burkholder-Davis-Gundy下界。
2026-04-13 math.CA math.CO
Scaled Oscillation and Level Sets
研究了上下尺度有界振荡的连续函数水平集的大小和正则性。
2021-07-12 math.CA
Volume of sublevel sets versus area of level sets via Gelfand-Leray form
本文利用Gelfand-Leray形式给出了子水平集的体积与水平集的面积之间的关系。作为结果，我们给出子水平集的体积的估计。特别是我们给一个已知的事实证明，即衍生物的体积的$n$维球的半径等于领域的边界的$n$维球。
2018-12-13 math.CA
Bounds for volumes of sub-level sets of polynomials and applications
本文给出了有界集上多项式子水平集体积估计中的一些显式指数，并应用于振荡积分的衰减和奇异积分的收敛.
2021-11-26 math.CA
Level sets of prevalent Hölder functions
本文研究单位区间上普遍α-Hölder函数的水平集，证明其上Minkowski维数不超过1-α，且Lebesgue正测度多个水平集的Hausdorff维数恰为1-α。
2024-08-12 math.CA
A pathological construction for real functions with large collections of level sets
考虑一个实函数的所有水平集。我们可以根据它们的豪斯多夫维数对这些水平集进行分组。我们证明了在给定的豪斯多夫维数下，所有水平集的集合的豪斯多夫维数可以任意接近于1，即使函数在某个水平上是可微的.根据豪斯多夫维数的定义，对于任何实函数$f(x)$和任何$α\in [0,1]$，$\dim_{H} \left\{ {0.03in} y \ : \ \dim_{H} (f^{-1}(y)) \geq α{0.03in} \right\} \leq 1$是清楚的。令人惊讶的是，我们所展示的是，这实际上是一个尖锐的界限。也就是说，任何$k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$的$$\sup \left\{ {0.03in} \dim_{H} \left\{ {0.03in} y \ : \ \dim_{H} (f^{-1}(y)) = 1 {0.03in} \right\} \ : \ f \in C^{k} {0.03in} \right\} = 1,$$。
2016-08-26 math.CA
The Bellman Function for Level Sets of Sparse Operators
本文通过研究稀疏算子的贝尔曼函数，确定其弱型(1,1)有界性及精确范数。
2026-03-12 math.CA
Level Sets of Differentiable Functions of Two Variables with Non-vanishing Gradient
证明了如果$f:\RR^2\rightarrow\RR$的梯度处处存在且处处不为零，则在其每个点的邻域内，水平集$\{x\in\RR^2:f(x)=c\}$同胚于一个开区间或通过一个点的多个开线段的并集.第二种情况仅在离散集的点处成立。我们还研究了水平集的全局结构。
2011-09-22 math.CA
Eliminating positive-measure level sets by small Lipschitz perturbations
Karlstad University（卡尔斯特德大学）
本文证明连续函数可通过任意小Lipschitz扰动，使得所有水平集的Lebesgue测度为零。
2026-07-03 math.CA
Differentiability of the volume of a region enclosed by level sets
函数f在n维空间上的水平包含一个区域。两个这样的水平之间的区域的体积取决于这两个水平。固定其中之一，体积成为剩余水平的函数。我们证明，如果函数f是光滑的，体积函数也是光滑的，对于f的正则值。对于f的临界值，体积函数仅是可微的。这项研究的最初动机来自放射治疗，其中这种体积函数用于优化过程。因此，它们的可微性变得很重要。
2007-12-06 math.CA
Hölder exponents and fractal structure of level sets of self-affine functions associated with the $Q_s$-representation of numbers
Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）；Dragomanov Ukrainian State University（德拉戈马诺夫乌克兰国立大学）
研究通过Q_s表示定义的局部复杂自仿函数，计算给定Q_s表示中数字渐近频率点的局部Hölder指数，确定函数具有连续水平集的条件，并描述满足额外条件的自仿函数最大点集的几何结构，证明其可为分形。
2026-03-25 math.CA
Exact formula on upper box dimension of generic Hölder level sets
ELTE Eötvös Loránd University（布达佩斯罗兰大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文首次为一大类自相似集提供了泛Holder级集上箱维数的精确公式，证明其维数为dim_H F - α。
2026-08-05 math.CA
Characterizing Distances Between Points in the Level Sets of a Class of Continuous Functions on a Closed Interval
给定一个连续函数$f:[a,b]\to\mathbb{R}$，使得$f(a)=f(b)$，我们研究距离集$|x-y|$，其中$f(x)=f(y)$ .特别是，我们表明，唯一的距离必须包含的是均匀划分$[a,b]$。此外，我们表明，它必须包含至少三分之一的间隔$[0,b-a]$。最后，我们探索了一些更高维的推广。
2022-06-21 math.CA
On the Morse-Sard Property and Level Sets of Sobolev and BV Functions
建立了平面开域上$BV_2$ -函数的Luzin $N$和Morse-Sard性质.利用这些结果，我们证明了几乎所有的水平集都是Lipschitz弧的有限不交并，其切向量是有界变差的。在$W^{2,1}$ -函数的情况下，我们加强了这一结论，证明了几乎所有的水平集都是切向量绝对连续的$C^1$ -弧的有限不交并.
2010-07-26 math.AP math.CA
Level sets and Composition operators on the Dirichlet space
我们考虑平面上单位圆盘的狄利克雷空间中的复合算子。建立了关于有界性、紧性和Hilbert-Schmidt类成员的各种判据。其中一些标准被证明是最佳的。
2010-03-26 math.CA math.FA
Box dimension of generic Hölder level sets
本文研究一般Hölder水平集的盒维数，扩展了之前关于Hausdorff维数的研究，发现下盒维数与Hausdorff维数行为相似，而上盒维数则不同，并通过对Sierpiński三角形的估计说明差异。
2023-06-19 math.CA math.DS
On the Morse-Sard property and level sets of $W^{n,1}$ Sobolev functions on ${\mathbb R}^n$
建立了索伯列夫空间$W^{n,1}({\mathbb R}^{n})$中函数的Luzin N和Morse-Sard性质.利用这些结果，我们证明了几乎所有的水平集都是$C^1$的有限不交并--维数为$n-1$的光滑紧致流形.这些结果在有界变差函数$BV_{n}({\mathbb R}^{n})$的更大空间内仍然有效。对于证明，我们建立和使用一些新的结果的Luzin-型逼近Sobolev和BV-功能的$C^k$ -功能，例外集有小的Hausdorff内容。
2015-12-12 math.AP math.CA
On the curvature of level sets of harmonic functions
若开单位圆盘$B(0,1) \subset \mathbb{R}^2$中的实调和函数的水平集$\left\{x: u(x) = u(0)\right\}$与区间同构，则证明了$κ\leq 8$在原点水平集$\left\{x: u(x) = u(0)\right\}$的曲率上的锐界.边界是尖锐的，我们给唯一的（对称）极值。
2014-07-01 math.AP math.CA
On Separation of level sets for a pair of quadratic functions
给定一个二次函数$f(x)=x^TAx+2a^Tx+a_0,$，它的水平集$\{x\in\mathbb{R}^n: f(x)=0\}$可能有两个连通分支，因而可以被另一个二次函数$g(x)=x^TBx+2b^Tx+b_0.$的水平集$\{x\in\mathbb{R}^n: g(x)=0\}$分离。这类分离性质在二次最优化问题中有重要意义，值得深入研究。本文利用充要条件对分离性进行了解析刻画，为解决最优化问题提供了一种新的工具。
2021-01-13 math.CA math.OC
Generic Hölder level sets on Fractals
定义在分形上的一般连续函数水平集的豪斯多夫维数在R。Alzheimer，Z. Buczolich和M.大象在这些论文中定义了分形的拓扑豪斯多夫维数。本文研究了定义在分形上的一般$1$ -Hölder- $α$函数的水平集.这与分形的某种“厚度”、“导电性”性质有关。本文的主要概念是$D_{*}(α, F)$，它是定义在分形$F$上的一般$1$ -Hölder- $α$函数的水平集的豪斯多夫维数的本质上确界。证明了$D_{*}(α, F)$的一些基本性质，并以“厚分形海绵”为例计算了它的值，证明了对于连通自相似集$D_{*}(α, F)$，它等于一般$1$ -Hölder- $α$函数范围内几乎每一层的豪斯多夫维数.
2022-02-27 math-ph math.CA math.MP
Generic Hölder level sets and fractal conductivity
定义在分形上的一般连续函数的水平集的豪斯多夫维数可以给出与分形集$F$相对应的“网络”的“厚度/窄横截面”的信息。由此引出分形的拓扑豪斯多夫维数的定义。在本文中，我们继续我们的研究一般$1$ -Hölder- $α$功能的水平集。虽然在以前的文件中，我们给出了初始定义，并建立了这些通用的水平集的一些属性，在本文中，我们提供了数值估计的情况下的谢尔皮斯基三角形。这些计算提供了更好的洞察力，并说明了为什么人们可以认为这些通用的$1$ -Hölder- $α$水平集是测量分形“网络”的“厚度/窄截面/电导率”的东西。我们还给出了一个例子，我们称之为$D_{*}(α, F)$相变的现象。这大致意味着，对于某个较低的范围{$α$ s }，只有$F$的几何形状决定了$D_{*}(α, F)$，而对于较大的值，Hölder指数$α$也很重要。
2022-08-31 math-ph math.CA math.DS
Submanifolds that are level sets of solutions to a second-order elliptic PDE
出于一个问题的鲁贝尔，我们考虑的问题的特点，在$\RR^n$的非紧超曲面可以是正规的水平集的调和函数模的$C^\infty$仿射，以及某些推广到其他偏微分方程。我们证明了一个通用的充分条件，表明，特别是，任何（可能断开）代数非紧超曲面可以通过$\RR^n$的一个同态变换到调和函数的零集的组件的工会。我们使用的技术是对我们最近应用于构造具有打结流线的欧拉方程的解的基本策略的重大改进（Ann.of Math.，出版），结合了强大的，但不明确的局部结构与适当的全球逼近定理。鉴于Berry和Dennis问题的应用，水平集的交集也进行了研究。
2012-09-26 math.AP math.CA math.DG
